2. Un ángulo está en posición
normal, estándar o canónica, si
su vértice está en el origen de un
sistema de ejes coordenados y su
lado inicial coincide con el eje X
positivo.
X
Y
O A
B
3. X
Y
Considerando el ángulo en posición
normal , cuyo lado final está en el
punto P(x ; y); esta vez como se
trata del Plano Cartesiano la base
es: La abscisa (x), la ordenada (y)
y el radio vector (r), de un punto
del final del ángulo.
P(x;y)
y
x
r
6. Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando
su lado final coincide con uno de los
semiejes.
Las definiciones de las razones
trigonométricas son válidas para éstos
ángulos, aunque para algunos no está
definido por tener denominador cero.
, , , , son cuadrantales
8. Los ángulos coterminales son aquellos
ángulos que tienen el mismo lado inicial y el
mismo lado final, obviamente el, mismo
vértice.
X
Y
O A
B
9. PROPIEDAD 1
La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas (n Є Z- {0} ).
Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado.
PROPIEDAD 2
Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si y
son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al
mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple:
vueltasn 360n rad2 n
CosCos
SenSen
CtgCtg
TgTg
CscCsc
SecSec
10. Dado los puntos P y P1; Observa que:
y
Sen
r
x
Cos
r
x
Tan
y
x
Cot
y
r
Sec
x
r
Cs c
y
X
Y
O
P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
-y
Sen (- )
r
x
Cos -
r
x
Tan -
y
y
Cot -
x
r
Sec -
x
r
Csc -
y
Rs. Ts. Ángulo
positivo
Rs. Ts. Ángulo
negativo
11. De éstas dos igualdades se deduce:
sen (- ) sen
cos - cos
tan - tan
cot - cot
sec - sec
csc - csc
X
Y
O
P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
12. 1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el
valor de Csc α
a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3
2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo
signo?
a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III
3) El resultado de: Csc270º (Sen90º + cos180º), es:
a) 0 b) -1 c) 2 d) -2
4) ¿Son coterminales los ángulos?
) 445º y 85º
b) 69º y 429º
-17º y 343º
d) 735º y 25º
5) El valor de [sen(-30)]3 es:
A a) -1/2 b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6
13. UNO MÁS EN LA FAMILIA
El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una
excepción cuando nació su rimer hijo.
Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje: 1+1=3
ANO LUZ
El año luz es la distancia que recorre la luz en un año.La luz viaja a 300.000 kilometros por
segundo,18.000.000 kilometros por minutos,o 1.080.000.000 kilometros por hora(lo mismo
que mi auto),los que mas le guste.En un día recorre 25.920.000.000.