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Prof:: Jesús Ciro Callupe Guzmán
Un ángulo  está en posición
normal, estándar o canónica, si
su vértice está en el origen de un
sistema de ejes coordenados y su
lado inicial coincide con el eje X
positivo.
X
Y
O A
B

X
Y
Considerando el ángulo en posición
normal  , cuyo lado final está en el
punto P(x ; y); esta vez como se
trata del Plano Cartesiano la base
es: La abscisa (x), la ordenada (y)
y el radio vector (r), de un punto
del final del ángulo.
P(x;y)

y
x
r
0y,
y
rvectorradio
0x,
x
r
Sec
vectorradio
0y,
y
x
Pde
Pdeabscisa
0x,
x
y
Pde
Pdeordenada
r
xPdeabscisa
r
yPdeordenada












Csc
Pdeordenada
Csc
Pdeabscisa
Sec
Ctg
ordenada
Ctg
Tg
abscisa
Tg
Cos
vectorradio
Cos
sen
vectorradio
Sen
22
xr
:que
y
recordar

Sea  un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de
dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera:
X
Y
P(x;y)

y
x
r
X
Y
Todas son positivasSeno
Cosecante
Tangente
Cotangente
Coseno
Secante
Las Rs. Ts. que se
anotan son positivas
IC IIC IIIC IVC
Sen + + - -
Cos + - - +
Tg + - + -
Ctg + - + -
Sec + - - +
Csc + + - -
Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando
su lado final coincide con uno de los
semiejes.
Las definiciones de las razones
trigonométricas son válidas para éstos
ángulos, aunque para algunos no está
definido por tener denominador cero.
, , , , son cuadrantales
 (rad) 0 /2  3/2 2
 (grados) 0 90° 180° 270° 360°
Sen  0 1 0 -1 0
Cos  1 0 -1 0 1
Tg  0 ND 0 ND 0
Ctg  ND 0 ND 0 ND
Sec  1 ND -1 ND 1
Csc  ND 1 ND -1 ND
Los ángulos coterminales son aquellos
ángulos que tienen el mismo lado inicial y el
mismo lado final, obviamente el, mismo
vértice.
X
Y
O A
B


PROPIEDAD 1
La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas (n Є Z- {0} ).
Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado.
PROPIEDAD 2
Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si  y
 son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al
mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple:
vueltasn    360n  rad2 n


CosCos
SenSen




CtgCtg
TgTg




CscCsc
SecSec


Dado los puntos P y P1; Observa que:
y
Sen
r
x
Cos
r
x
Tan
y
x
Cot
y
r
Sec
x
r
Cs c
y












X
Y
O


P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
 
 
 
 
 
-y
Sen (- )
r
x
Cos -
r
x
Tan -
y
y
Cot -
x
r
Sec -
x
r
Csc -
y














Rs. Ts. Ángulo
positivo
Rs. Ts. Ángulo
negativo
De éstas dos igualdades se deduce:
 
 
 
 
 
sen (- ) sen
cos - cos
tan - tan
cot - cot
sec - sec
csc - csc
 
 
 
 
 
 
 

 
 


X
Y
O


P(x;y)
r
r
P1(x;-y)
1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el
valor de Csc α
a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3
2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo
signo?
a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III
3) El resultado de: Csc270º (Sen90º + cos180º), es:
a) 0 b) -1 c) 2 d) -2
4) ¿Son coterminales los ángulos?
) 445º y 85º
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-17º y 343º
d) 735º y 25º
5) El valor de [sen(-30)]3 es:
A a) -1/2 b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6
UNO MÁS EN LA FAMILIA
El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una
excepción cuando nació su rimer hijo.
Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje: 1+1=3
ANO LUZ
El año luz es la distancia que recorre la luz en un año.La luz viaja a 300.000 kilometros por
segundo,18.000.000 kilometros por minutos,o 1.080.000.000 kilometros por hora(lo mismo
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Ang pos normal

  • 1. Prof:: Jesús Ciro Callupe Guzmán
  • 2. Un ángulo  está en posición normal, estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el eje X positivo. X Y O A B 
  • 3. X Y Considerando el ángulo en posición normal  , cuyo lado final está en el punto P(x ; y); esta vez como se trata del Plano Cartesiano la base es: La abscisa (x), la ordenada (y) y el radio vector (r), de un punto del final del ángulo. P(x;y)  y x r
  • 5. X Y Todas son positivasSeno Cosecante Tangente Cotangente Coseno Secante Las Rs. Ts. que se anotan son positivas IC IIC IIIC IVC Sen + + - - Cos + - - + Tg + - + - Ctg + - + - Sec + - - + Csc + + - -
  • 6. Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes. Las definiciones de las razones trigonométricas son válidas para éstos ángulos, aunque para algunos no está definido por tener denominador cero. , , , , son cuadrantales
  • 7.  (rad) 0 /2  3/2 2  (grados) 0 90° 180° 270° 360° Sen  0 1 0 -1 0 Cos  1 0 -1 0 1 Tg  0 ND 0 ND 0 Ctg  ND 0 ND 0 ND Sec  1 ND -1 ND 1 Csc  ND 1 ND -1 ND
  • 8. Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, obviamente el, mismo vértice. X Y O A B  
  • 9. PROPIEDAD 1 La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas (n Є Z- {0} ). Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado. PROPIEDAD 2 Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si  y  son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple: vueltasn    360n  rad2 n   CosCos SenSen     CtgCtg TgTg     CscCsc SecSec  
  • 10. Dado los puntos P y P1; Observa que: y Sen r x Cos r x Tan y x Cot y r Sec x r Cs c y             X Y O   P(x;y) r r P1(x;-y)           -y Sen (- ) r x Cos - r x Tan - y y Cot - x r Sec - x r Csc - y               Rs. Ts. Ángulo positivo Rs. Ts. Ángulo negativo
  • 11. De éstas dos igualdades se deduce:           sen (- ) sen cos - cos tan - tan cot - cot sec - sec csc - csc                      X Y O   P(x;y) r r P1(x;-y)
  • 12. 1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el valor de Csc α a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3 2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo signo? a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III 3) El resultado de: Csc270º (Sen90º + cos180º), es: a) 0 b) -1 c) 2 d) -2 4) ¿Son coterminales los ángulos? ) 445º y 85º b) 69º y 429º -17º y 343º d) 735º y 25º 5) El valor de [sen(-30)]3 es: A a) -1/2 b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6
  • 13. UNO MÁS EN LA FAMILIA El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una excepción cuando nació su rimer hijo. Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje: 1+1=3 ANO LUZ El año luz es la distancia que recorre la luz en un año.La luz viaja a 300.000 kilometros por segundo,18.000.000 kilometros por minutos,o 1.080.000.000 kilometros por hora(lo mismo que mi auto),los que mas le guste.En un día recorre 25.920.000.000.