O documento apresenta uma lista de exercícios sobre nivelamento geométrico e trigonométrico. Os exercícios abordam conceitos como declividade, cálculo de cotas, métodos de nivelamento e preenchimento de planilhas de campo.

1. 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
DECLIVIDADE
1- Calcular a declividade para os casos abaixo, sendo que os valores altimétricos referem-
se às cotas dos pontos:
a)
________________________________________________________________________
b)
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2. c)
________________________________________________________________________
d) Calcular a declividade entre os pontos e a declividade média.
e) Calcular a declividade entre os pontos e a declividade média.
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3. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
1 – Para determinar a cota do ponto B, estacionou-se a Estação T otal no ponto A, cuja
cota é conhecida. Sabendo-se que a altura do instrumento era de 1,50m e a altura da
mira de 1,17m. Calcule a cota de B.
Dados:
Cota A = 120,15 m
Distância Inclinada: 52,00 m
Ângulo Zenital: 88° 35’55”
2 – Uma Estação Total foi estacionada aproximadamente no centro de um terreno, e
visaram-se seus 4 cantos. Com os dados da planilha abaixo pede-se as cotas desses 4
cantos, sabendo-se que a altura do Instrumento é 1,55 m e a cota no centro do terreno é
700,000 m.
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4. 3 – A fim de obter a altura de uma torre de alta tensão, estacionou -se um teodolito a 98
metros da torre visando o topo e a base da mesma, obtendo-se respectivamente os
ângulos zenitais Z 1 =88º14’48’’ e Z 2 = 93º30’13’’. Qual a altura da torre?
Dado: altura do aparelho = 1,62m.
4 – A tabela abaixo foi obtida em um nivelamento trigonométrico, pede-se:
a) Calcular as cotas dos pontos B, C, D e E.
b) Fazer um esboço do levantamento.
Cota do ponto A = 125,32 m
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5. LISTA DE EXERCÍCIOS
Entregar até o dia 13/06/2008
1. Explique o conceito de geóide.
2. Comente as diferenças entre superfície de nível real (ou verdadeiro) e superfície de
nível aparente.
3. Qual a definição de cota e altitude?
4. Cite e caracterize as classes de nivelamento definidas pela NBR 13113.
5. Quais são as partes principais de um nível.
6. Cite os 4 métodos de nivelamento geométrico.
7. Indicar nos dois exemplos abaixo de miras os seguintes valores:
1,625m | 1,717m | 1,658m | 2,605m | 1,725m | 2,655 | 1,689 | 1,599 | 2,733 | 2,699
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6. 8. Em um trabalho de nivelamento geométrico a leitura no ponto em ré foi de 2,863,
enquanto que a leitura em vante foi de 4,005. A distância do aparelho até a mira de
ré foi de 25,5m e até vante de 26,2m. Calcule o desnível entre estes dois pontos e
a declividade (em porcentagem) entre os mesmos.
9. Indique os valores dos fios inferior, médio e inferior indicados na visada de ré e de
vante, conforme pode ser visto nas duas figuras abaixo.
Fio Inferior Fio Médio Fio Superior
Visada de Ré
Visada de Vante
10. Determine a elevação de um ponto B, em relação a um ponto A, sabendo-se que: a
elevação do ponto A é de 410,260m; a leitura do fio médio na régua estacionada
em A é de 3,710m; enquanto que a leitura do fio médio na régua estacionada em B
é de 2,820m.
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7. 11. Calcule, pelo método de nivelamento trigonométrico, o desnível entre dois pontos
através dos dados dispostos: Di = 106,55m / Z = 126° 00’ 00” / H i = 1,54m / Hs =
1,65m
12. Dados os valores do nivelamento e contranivelamento entre a RN (altitude igual a
765,236 metros) e o ponto P6 calcular o desnível entre estes pontos e suas
altitudes.
Pontos Dist. Ré Dist. Vante Fio médio
∆h Cota
Visados (metros) (metros) Ré Vante
RN – P1 20,15 21,02 1,845 0,557
P1 – P2 19,88 18,80 1,780 1,895
P2 – P3 20,33 20,15 2,290 2,611
P3 – P4 19,95 20,45 1,799 0,957
P4 – P5 19,56 18,78 2,001 2,303
P5 – P6 20,19 21,52 0,635 3,053
∑= ∑= ∑=
13. Considerando os resultados obtidos no exercício anterior, o contranivelamento do
mesmo trecho apresentou um desnível de 1,453m. Verifique se o levantamento
altimétrico passa pelo teste de tolerância ( t = 15mm * k ).
14. Relembrando o que foi visto nas aulas práticas explique as principais diferenças
dos métodos de nivelamento pelo método das visadas iguais e o método das
visadas extremas.
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8. 15. No método das visada extremas por que é necessário fazer a leitura da mira no
ponto anterior sempre que se muda o aparelho de local?
16. A partir da figura abaixo preencha a planilha de campo e calcule as cotas dos
pontos, considerando a RN tendo cota igual a 100m.
Altura do Vante
Ponto Ré Cota
Instrumento Intermediária Mudança
17. Nos trabalhos para se determinar a profundidade de uma erosão aberta por uma
forte chuva, um engenheiro obteve os seguintes dados abaixo. Calcule a
profundidade da erosão através do método de nivelamento trigonométrico.
Di = 66,85m / Z = 110° 14’ 55” / H i = 1,74m / Hs = 1,65m
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9. 18. A partir da figura abaixo preencha a planilha de campo e calcule as altitudes dos
vértices da propriedade, considerando a RN tendo uma altitude igual a 692,5m.
Ponto Ré Altura do Vante Altitude do
observado instrumento Intermediária Mudança ponto
19. Em um trabalho de nivelamento geométrico foram obtidos os dados visualizados na
figura abaixo. Calcule o desnível entre os dois pontos.
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10. 20. Calcule o desnível a partir da situação mostrada na figura abaixo.
21. Em relação ao nivelamento geométrico, explique o que é:
a) Visada;
b) Lance;
c) Seção;
d) Linha de nivelamento;
e) Circuito de nivelamento;
f) Rede de nivelamento.
22. Quais as diferenças entre nivelamento geométrico simples e composto?
23. Segundo a NBR 13133, qual a classificação dos níveis?
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11. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO
TOPOGRAFIA: NIVELAMENTOS GEOMÉTRICOS
1. Na figura seguinte, referente a um nivelamento geométrico, estão indicados os pontos visados e os
valores das correspondentes niveladas. O nível foi estacionado sucessivamente em A, B e C.
a) Sabendo que a cota do ponto 1 é 269.170 m, determine as cotas dos pontos 2, 3 e 4.
b) Como classifica o nivelamento efectuado no que diz respeito à possibilidade de avaliar o erro
que possa ter sido cometido no trabalho de nivelamento?
1
A
2
B
3
C
4
Estação A: l1= 0.847 m ; l2= 2.876 m
Estação B: l2= 1.160 m ; l3= 3.410 m
Estação C: l3= 1.862 m ; l4= 1.946 m
2. Com o objectivo de determinar a cota de seis pontos C, D, E, F, G e H duma linha de nivelamento,
executou-se um nivelamento geométrico composto apoiado nos pontos K e L, cujas niveladas são
apresentadas na tabela seguinte. São conhecidas as cotas dos pontos K e L sendo, respectivamente, iguais
a 317.620 m e 315.510 m.
a) Calcule as cotas compensadas dos seis pontos referidos.
b) Qual o comprimento da mira utilizada neste trabalho de nivelamento?
Posições da mira Niveladas atrás (m) Niveladas adiante (m)
K 0.913 ____
C 0.747 2.361
D 0.875 3.655
E 2.872 0.941
F 3.737 1.366
G 1.525 0.318
H 0.140 1.411
L ____ 2.873
Exercícios de Topografia Patrícia Lopes e Tiago Domingues 1

12. 3. Considere uma linha de nivelamento geométrico que une os pontos A e B, constituída por quatro
tramos. No trabalho realizado obtiveram-se os seguintes desníveis:
∆HA1= 0.167m; ∆H12= 0.776m; ∆H23= 0.375m; ∆H3B= 0.654m
As cotas dos pontos A e B são previamente conhecidas, sendo CA= 33.670m e CB= 35.640m.
a) Esboce um esquema possível para o nivelamento em causa.
b) Determine o erro de fecho e distribua a sua compensação.
c) Calcule as cotas corrigidas dos pontos intermédios da linha.
4. No esquema anexo, referente a um nivelamento geométrico fechado, estão indicados os pontos
nivelados e as correspondentes niveladas. Determine as cotas dos diversos pontos, impondo que:
a) o primeiro ponto do nivelamento seja o ponto L;
b) a cota de L seja 100.000 metros.
M
7
39
C 1.375 1.
1.4
K 94
98
1.
1.2
20
7
1 .2
F
87
75
1 .4
1.352
L
1.
45
6
86
1 .3
B
A
Niveladas Desníveis
Pontos Atrás Interm. Adiante + - Correcç. Cotas
Exercícios de Topografia Patrícia Lopes e Tiago Domingues 2

13. 5. Foi executado um nivelamento geométrico composto por 3 nivelamentos simples, cujas niveladas são
apresentadas na tabela seguinte. Sabendo que as cotas dos pontos K e B são, respectivamente, 234.273m
e 236.029m, calcule as cotas compensadas de todos os restantes pontos nivelados.
Estações A B J K M R Z
I 1.203  1.875 2.973   
II 3.002    1.794 2.799 1.253
III  1.007    0.797 
Niveladas Desníveis
Pontos Atrás Interm. Adiante + - Correcç. Cotas
6. Complete a seguinte caderneta de nivelamento sabendo que o desnível entre o ponto M e o ponto S é
de – 0.743 m.
NIVELADAS DESNÍVEIS
PONTOS
NIVELADOS Atrás Interm. Adiante + - CORRECÇ. COTAS
M 1,942 67,492
N 1,651
O 2,012 0,872
P 2,752 0,714
Q 1,370 0,845
R
S 3,860
Exercícios de Topografia Patrícia Lopes e Tiago Domingues 3

14. 7. Foi executado um nivelamento geométrico composto por quatro nivelamentos simples, cujas niveladas
são apresentadas na tabela seguinte. Sabendo que a cota do ponto Fonte é 194,100 m e que a diferença de
cotas entre os pontos Eira e Mina é igual a + 0,070 m, calcule as cotas compensadas de todos os pontos
nivelados.
Atenção: Todas as niveladas expressas em metros.
Estação Poste Tanque Fonte Casa Eira Penedo Mina Caixa
1 2,000   2,800   1,499 
2    0,999    2,500
3  0,890 3,102     2,200
4  2,188   0,631 1,980  
NIVELADAS DESNÍVEIS
PONTOS
NIVELADOS Atrás Interm. Adiante + - CORRECÇ. COTAS
Exercícios de Topografia Patrícia Lopes e Tiago Domingues 4

15. 8. Foi executado um nivelamento geométrico composto por três nivelamentos simples, cujas niveladas
são apresentadas na tabela seguinte. Sabendo que o desnível entre os pontos Campo e Rio é igual a
+4.281 e que a cota do ponto Rampa é 243.760 m, calcule as cotas compensadas de todos os restantes
pontos. Comente os resultados que obtiver.
Atenção: Todos os dados expressos em metros.
Estações Rua Campo Ponte Rampa Casa Portão Rio Caixa
I 2.033 3.732 1.522     
II 3.031   1.737 1.426 1.921  
III      3.173 1.688 2.316
NIVELADAS DESNÍVEIS
PONTOS
NIVELADOS Atrás Interm. Adiante + - CORRECÇ. COTAS
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16. TOPOGRAFIA
Exercícios práticos
Nivelamento
1. Para determinação das cotas dos pontos 1 a 7 realizou-se um nivelamento geométrico
fechado nos pontos A e B de cotas 129.356 m e 123.203 m, respectivamente.
a) faça um esquema representando em planta uma possível posição dos pontos
visados e das estações;
b) complete a respectiva caderneta de nivelamento.
Pontos Niveladas Desníveis
Correcções COTAS
visados Atrás Intermédias Adiante + -
A 0.245 129.356
1 1.685
2 1.354
3 0.167 0.987
4 1.893
5 0.324 1.678
6 0.746
7 0.231 1.589
B 2.876 123.203
2. A partir da seguinte série de niveladas:
⎧ A → 1.003
⎪1 → 1.428
⎪ ⎧6 → 0.201
⎪ ⎧4 → 0.583 ⎧5 → 1.626 ⎪
E1 = ⎨2 → 1.654 E 2 = ⎨ E 3 = ⎨ E 4 = ⎨7 → 1.840
⎪3 → 1.348 ⎩5 → 2.309 ⎩6 → 0.542 ⎪ B → 2.032
⎪ ⎩
⎪4 → 0.707
⎩
Cota de A = 93.237 m; Cota de B = 91.047 m.
a) faça um esquema representando em planta uma possível posição relativa dos
pontos visados e das estações
b) calcule e compense a caderneta de nivelamento correspondente.
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17. TOPOGRAFIA Nivelamento
3. Para a determinação das cotas dos pontos 1 a 8 realizou-se um nivelamento fechado em
A conforme o esquema dado. Os valores indicados (em metros) correspondem às leituras
feitas na mira em cada uma das visadas. Calcule as cotas de todos os pontos, sabendo que
a cota de A é 95.423 m.
7 1.0
23 6
E3 2.098 4
0.2 24
98 03 1.0
0.505
1.5 E2
5 0.578
A 1.6
8 7
1.2 8
52
23 3
2.0
E1 1.309
78 2
1.4
1
4. Faça um esquema em planta representativo do nivelamento efectuado na caderneta
seguinte. Calcule e compense a referida caderneta.
Pontos Niveladas Desníveis
Correcções Cotas
visados Atrás Intermédias Adiante + -
1 1.523 100.000
2 1.043 1.634
3 2.403 1.912
4 1.473 0.915
5 2.325 2.321
X 2.678 0.376
6 1.415 1.001
7 1.104 1.010
6 0.105 1.511
Y 1.013 1.790
5 1.439 2.950
4 0.662 0.590
3 1.817 2.150
2 1.740 0.945
1 1.631 100.000
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18. TOPOGRAFIA Nivelamento
5. Para determinação das cotas dos pontos A a M realizou-se um nivelamento geométrico.
A cota do ponto A é 89.745 m e a cota do ponto M é 91.431 m.
a) faça um esquema representando em planta uma possível posição dos pontos
visados e das estações;
b) complete a respectiva caderneta de nivelamento.
Pontos Niveladas Desníveis
Correcções Cotas
visados Atrás Intermédias Adiante + -
A 0.428 89.745
B 1.726
C 2.438
0.780
D 1.207
0.992
E 1.872
F 1.784
0.146
A 2.349 1.614
1.231
G 1.749
H 1.224
I 2.552 1.732
J 1.907
L 0.497 1.243
0.867
M 91.431
6. Calcule e compense a caderneta de nivelamento apresentada abaixo. Apresente um
esquema representativo do levantamento que lhe deu origem.
Pontos Niveladas Desníveis
Correcções Cotas
visados Atrás Intermédias Adiante + -
1 0.489 105.633
2 0.683
0.470
3
0.153
4 1.214
0.647
5 2.123
6 0.987
0.248
7
0.193
8 1.428
1.372
9 1.584 105.079
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