Probabilidades e eventos

MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna
Probabilidade

Noções de Probabilidade Dividindo todos os membros da desigualdade
por n(U), vem:

Experimento determinístico 0 n( A ) n(U)
≤ ≤ ∴ 0 ≤ P( A ) ≤ 1
n(U) n(U) n(U)
Experimentos que ao serem realizados
repetidas vezes em condições consideradas idênticas,
apresentam resultados essencialmente idênticos são Probabilidade de Não Ocorrer Um Evento
denominados experimentos determinísticos.
Sendo A evento complementar do evento A do
espaço amostral U, temos:
Experimento aleatório

Experimentos que ao serem realizados P( A ) + P( A ) = 1
repetidas vezes em condições consideradas idênticas,
apresentam resultados diferentes, não sendo possível
portanto a previsão lógica dos resultados, são Exercícios Resolvidos
denominados experimentos aleatórios (ou casuais).
01) Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15.
Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a
Espaço Amostral probabilidade de ser sorteada uma bola com número
maior ou igual a 11?
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço Espaço amostral U = {1,2,3,...,13,14,15}
amostral por U.
Evento requerido A = {11,12,13,14,15}
(Nºs maiores ou iguais a 11)
Evento
n(A) = 5
É qualquer subconjunto do espaço amostral. n(U) = 15
O conjunto Ø é chamado evento impossível.
O conjunto espaço amostral U é também um n( A) 5 1
evento, chamado de evento certo. p( A) = = = ≅ 33,3%
Os subconjuntos unitários de U são chamados n(U ) 15 3
eventos elementares ou eventos simples.
É certo que também podemos simplificar a idéia de
probabilidade quando as situações estudadas são
Espaço Amostral Eqüiprovável de fácil compreensão:
n º de casos favoráveis 5 1
O espaço amostral de um experimento aleatório p= = = ≅ 33,3%
é chamado eqüiprovável se todos os seus eventos
n º total de casos 15 3
elementares têm a mesma chance de ocorrer

02) Um dado é lançado e observa-se o número da face
Probabilidade voltada para cima. Qual a probabilidade desse número
ser:
Seja U um espaço amostral eqüiprovável e A 2 1
um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do a) menor que 3? p= = ≅ 33,3%
evento A o número P(A) tal que: 6 3
n( A ) 4 2
P( A ) = b) maior ou igual a 3? p = = ≅ 66,6%
n(U) 6 3
onde:
n(A) = número de elementos do evento A. 1 2
n(U) = número de elementos do espaço Observe que P(A) + P(B) = + =1
amostral U. 3 3
Ou seja, como P( A ) + P( A ) = 1 , temos que P( B) = P( A)
Como A é subconjunto de U, decorre que:
0 ≤ n(A) ≤ n(U)
2011
1

Projeto
Probabilidade

Probabilidade da união de eventos 12 8 4 16
p( A ∪ B) = + − = = 0,64 = 64%
25 25 25 25
Se A e B são eventos quaisquer de um
experimento aleatório do mesmo espaço amostral U, b) Qual a probabilidade do nº da bola sorteada ser
então: múltiplo de 5 ou de 7?

n( A U B) = n( A ) + n(B) − n( A I B) 5
Múltiplos de 5 > p ( A) =
25
Dividindo ambos os membros dessa igualdade 3
por n(U), temos: Múltiplos de 7 > p ( B ) =
25
n( A U B) n( A ) n(B) n( A I B)
= + −
n(U) n(U) n(U) n(U) Múltiplos de 5 e 7 > p( A ∩ B) = Ø

Onde concluímos que: 5 3 8
p( A ∪ B) = + = = 0,32 = 32%
P( A U B) = P( A ) + P(B) − P( A I B) 25 25 25

Pode ocorrer que os eventos A e B do Probabilidade Condicional
espaço amostral U não tenham elementos comuns.
Nesse caso, são chamados de eventos mutuamente Denomina-se probabilidade de B
exclusivos ( ou eventos disjuntos ). Quando isso condicionada a A a probabilidade de ocorrência do
ocorre, temos: evento B, sabendo que vai ocorrer ou que já ocorreu o
evento A. Representaremos esse caso por P( B | A )
A IB = { } ⇒ P(A I B) = 0 (lê-se probabilidade de B dado A ).

Logo, se A e B são eventos mutuamente
exclusivos, temos: U B
A
P( A U B) = P( A ) + P(B)

Resumindo:

p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) ⇔ A ∩ B = Ø A∩
ou B
p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B ) ⇔ A ∩ B ≠ Ø Observe que, sabendo que o evento A ocorreu,
então os casos favoráveis à ocorrência do evento B
Exercício Resolvido: estão em A ∩ B.
Temos então:
03) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25.
n( A I B)
Uma bola é extraída ao acaso. P(B | A ) =
n( A )
a) Qual a probabilidade de o nº da bola sorteada ser
múltiplo de 2 ou de 3? Dividindo numerador e denominador do
segundo membro da igualdade por n(U), temos:
12
Múltiplos de 2 > p ( A) = n( A I B)
25 n(U) P( A I B )
P(B | A ) = ==> P(B | A ) =
8 n( A ) P( A )
Múltiplos de 3> p( B ) =
25 n(U)

4 Logo:
Múltiplos de 2 e 3 > p( A ∩ B) =
25 P( A I B ) = P( A ) ⋅ P(B | A )

2011
2

Projeto
Probabilidade

Então, para a ocorrência ao mesmo tempo de 02) (UNI-RIO) – O dispositivo que aciona a abertura do
dois eventos, temos que a probabilidade de ocorrer A e cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove
B é igual à probabilidade de ocorrer A multiplicada pela teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras
probabilidade condicional de B dado A. (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüência de três
algarismos seguidos de duas letras. Qual a
Os eventos A e B são chamados eventos
probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao
independentes ou seja, a ocorrência de um evento não
acaso, abrir o cofre ?
depende da ocorrência do outro, quando vale a
igualdade:
(A) 1 / 7 200 (B) 1 / 1 500
P( A I B) = P( A ) ⋅ P(B) (C) 1 / 2 000 (D) 1 / 720
(E) 1 / 200
Exercícios Resolvidos
03) (UNIRIO-2000) Numa urna existem bolas de
04) Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas
azuis e três vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade de
urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola da urna. A se sortear um número primo ao pegarmos uma única
seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra- bola, aleatoriamente, é de:
se sua cor. Calcular a probabilidade de:
(A) 45% (B) 40% (C) 35%
a) sair uma bola azul e outra vermelha. (D) 30% (E) 25%

04) (UERJ-02) Em uma experiência de fecundação in
vitro, 4 óvulos humanos, quando incubados com 4
suspensões de espermatozóides, todos igualmente
Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a viáveis, geraram 4 embriões, de acordo com a tabela
segunda seja vermelha. A probabilidade de a primeira abaixo.
bola ser azul é 4 , e a probabilidade de a segunda bola
7
sair vermelha é 3 . Assim, a probabilidade de obtermos
7
a sequência: A e V é P = 4 ⋅ 3 = 12
7 7 49

b) saírem duas bolas de cores diferentes. Observe os gráficos:

Temos duas sequências possíveis, com as respectivas
probabilidades:

A e V → P1 = 4 ⋅ 3 = 12 OU V e A → P2 = 3 ⋅ 4 = 12
7 7 49 7 7 49

Assim a probabilidade total é: P = P1 + P2 = 12 + 12 = 24 Considerando a experiência descrita, o gráfico que
49 49 49 indica as probabilidades de os 4 embriões serem do
sexo masculino é o de número:
Exercícios Propostos
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
01) Estudando Genética, os alunos da E.A. Corcovado
construíram o quadro ao lado, em que os quatro 05) (UERJ-06-2ºex) Com o intuito de separar o lixo para
eventos são prováveis. Qual a probabilidade de que fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas
ocorra o evento aa (em que o filho de um casal híbrido dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de
de olhos castanhos teria olhos azuis) ? acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro,
Masc Fem A a plástico, metal, papel e lixo orgânico.
A AA (castanho) Aa (castanho)
A Aa (castanho) aa (azul)

(A) 50% (B) 25% (C) 75%
(D) 10% (E) 20%
2011
3

Projeto
Probabilidade

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas 11) (UERJ)
uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra,
uma garrafa de vidro.
A probabilidade de que ele tenha usado corretamente
pelo menos uma lixeira é igual a:
(A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40%

06) (OBMEP-05) Brasil e Argentina participam de um
campeonato internacional de futebol no qual competem
oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas
quatro partidas, nas quais os adversários são
escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasil
e Argentina se enfrentarem na primeira rodada?
Protéticos e dentistas dizem que a procura por
(A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 dentes postiços não aumentou. Até declinou um
(D) 1/5 (E) 1/4 pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira
de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem
07) (PM-05-1) Pedro brinca com um dado com seus nenhum dente na boca e 80% delas já usam dentadura.
amigos. Ele não gosta do número 3. Se Pedro lançar o Assunto encerrado.
dado duas vezes, a probabilidade de que o número 3 (Adaptado de Veja, outubro/97)
não apareça em nenhum dos lançamentos é de,
aproximadamente: Considere que a população seja de 160 milhões de
habitantes.
(A) 40% (B) 50% (C) 60% (D) 70% Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a
probabilidade de que ele não possua nenhum dente na
08) (PM-04-2) Em certo quartel, a probabilidade de um
boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:
soldado ser torcedor do Flamengo é 0,60 e de gostar de
praticar exercício de tiro é 0,70. As probabilidades
(A) 0,28%; (B) 0,56%; (C) 0,70%; (D) 0,80%.
mínima e máxima de um soldado deste quartel ser
torcedor do Flamengo e, simultaneamente, gostar de
praticar exercícios de tiro, são, respectivamente: 12) Numa urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas
pretas, cada vez que se retira uma delas procede-se da
(A) 10% e 60% (B) 20% e 60% seguinte maneira:
(C) 30% e 60% (D) 40% e 60% − Se a bola for branca: não se repõe esta bola,
porém acrescenta-se 6 outras bolas pretas;
09) (PM-04-2) Um comandante deseja premiar três dos
− Se a bola for preta: repõe-se esta bola
sete soldados mais qualificados de seu quartel,
juntamente com outras 5 bolas brancas.
adotando o critério de sorteio. Todos os soldados
qualificados têm nomes diferentes e João e Pedro estão A probabilidade da SEGUNDA bola retirada desta urna ser
entre eles. A probabilidade de João e Pedro serem dois branca, é:
dos nomes sorteados é de:
(A) 20% (B) 25% (C) 33,333...% (D) 40% (E) 50%
(A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7
13) Uma urna A contém x bolas vermelhas e y bolas
10) (UERJ-99)
brancas. Uma urna B contém z bolas vermelhas e w
bolas brancas. Uma bola é retirada da urna A e
colocada na urna B e, então, uma bola é retirada da
urna B. A probabilidade desse última bola ser vermelha
é:

z +1 x+z
(O Dia, 25/08/98) (A) (B)
z + 1+ w x+y+z+w
Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma
caixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas, a 1  x + xz + zy  1  xy + xz + zy 
(C)   (D)
x + y  z + w +1 
 
probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é:   x + y  z + w +1 

(A) 4 % (B) 16 % (C) 20 % (D) 36 %

2011
4

Projeto
Probabilidade
14) (Enem-2001) Uma empresa de alimentos imprimiu 16) (PUC-RIO-2010) Quatro moedas são lançadas
em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer
tipo:
coroa em uma só moeda?

1 2 1
(A) (B) (C)
8 9 4
1 3
(D) (E)
3 8

17) (PUC-RIO-2011) Jogamos três dados comuns
simultaneamente. Qual a probabilidade de que os três
números sorteados sejam distintos?
1 1 5
(A) (B) (C)
2 36 9
17 5
(D) (E)
36 17

18) (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido
por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B
alcançam um raio de 10km do município, conforme
mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa
avaliar a probabilidade que um morador tem de,
Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de circulando livremente pelo município, encontrar-se na
futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 área de alcance de pelo menos uma das emissoras.
espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de
um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero.
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e
duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%.
de o cliente ganhar o prêmio é (D) 35%. (E) 40%.
(A)1/27. (B) 1/36. (C) 1/54. 19) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo
(D)1/72. (E) 1/108. vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retiram-se três bolas
simultaneamente e de maneira aleatória de dentro desta
15) A figura abaixo representa um alvo de dardos, urna.
composto de três círculos concêntricos de raios r, 2r e
3r. Sabendo que um competidor acertou o alvo, qual é a) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 6?
a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo? b) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 8?
c) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 15?

20) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo 5
bolas pretas e 5 bolas brancas. Retiram-se
simultaneamente e de maneira aleatória 3 bolas de
dentro desta urna.

a) Qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas
sejam brancas?
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 b) Qual a probabilidade de que, entre as bolas retiradas,
(D) 1/9 (E) 4/9 duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta?
2011
5

Projeto
Probabilidade

21) (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,
revista que os pés das mulheres estavam aumentando. uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população
Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das dos países desenvolvidos, será um número mais próximo
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não de
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez 1 7 8
uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, (A) (B) (C)
2 20 25
obtendo o quadro a seguir:
1 3
(D) (E)
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que 5 25
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela
calçar 38,0 é: 23) (ENEM-09) O controle de qualidade de uma
empresa fabricante de telefones celulares aponta que a
probabilidade de um aparelho de determinado modelo
apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja
acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da
loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
4 2
(A) 2 × (0,2%) . (B) 4 × (0,2%) .
2 2
1 1 2 (C) 6 × (0,2%) × (99,8%) . (D) 4 × (0,2%).
(A) (B) (C)
3 5 5
(E) 6 × (0,2%) × (99,8%).
5 5
(D) (E)
7 14 24) (ENEM-09) A população brasileira sabe, pelo menos
intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis
22) (ENEM-09) A população mundial está ficando mais dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.
velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por
de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados essa loteria, especialmente quando o prêmio se
dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada
das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01,
pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
números da coluna da direita representam as faixas Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos,
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar
número entre 10% e 15% da população total nos países
desenvolvidos. apenas cinco das seis dezenas da mega sena,
justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em
comum, do que uma única aposta com nove dezenas,
porque a probabilidade de acertar a quina no segundo
caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
1 1
(A) 1 vez menor (B) 2 vezes menor
2 2
(C) 4 vezes menor (D) 9 vezes menor
(E) 14 vezes menor

25) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Uma fábrica produz
sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e
laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses
sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a
probabilidade de que ambas contenham suco com o
mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1% (B) 18,2%
Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
(C) 27,3% (D) 36,4%

2011
6

Projeto
Probabilidade

26) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Uma máquina contém 31) (UFF-2010-2ºF) Dois dados cúbicos não viciados,
pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, são jogados
sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesa
máquina, uma bola é expelida ao acaso. plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for um
Observe a ilustração: número par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um
número ímpar, Lúcia ganha. Ao perder a primeira
partida, Lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra
favorece Paulo. Seu argumento é o seguinte: dentre os
onze valores possíveis para a soma (os inteiros de 2 a
12), há seis números pares e apenas cinco números
ímpares. Logo, Paulo tem maior probabilidade de
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o ganhar.
menor número de moedas a serem inseridas na
máquina corresponde a: a) Calcule a probabilidade de Lúcia ganhar uma partida.
Justifique sua resposta.
(A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 40
b) Use o item a para verificar se o argumento de Lúcia
27) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Inserindo-se 3 moedas, está correto.
uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina (*) Valor sorteado é o número escrito na face do cubo
libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é oposta à face que está apoiada na mesa.
aproximadamente de:
32) (PUC-2010 – 2ª f)
(A) 0,008 (B) 0,025 Considere o lançamento de três dados comuns.
(C) 0,040 (D) 0,072
a) Qual é a probabilidade de que a soma dos valores
28) (UFRJ-2004-PE) Manoel e Joaquim resolveram sorteados seja igual a 5?
disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada ao
acaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, b) Qual é a probabilidade de que os três números
numeradas de 1 a 999. Se o número sorteado for par, sorteados sejam diferentes?
ganha Manoel; se for ímpar Joaquim ganha. Isto foi
resolvido após muita discussão, pois ambos queriam as 33) (UERJ-2011-2ª FASE) Para a realização de uma
pares. partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz
Se todas as bolas tem a mesma principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que
probabilidade de serem retiradas, identifique quem ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem
tem mais chances de ganhar o jogo. Justifique sua seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto
resposta. de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa
escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os
29) (UFRJ-98-PE) Duzentas bolas pretas e duzentas três para determinar qual deles será o juiz principal.
bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo
que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.
bolas brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de
cada urna. 34) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel
com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao
Determine a probabilidade de que as duas meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.
bolas retiradas sejam de cores distintas.

30) (UFRJ-2009) João criou uma senha de 4 algarismos
para o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi
abrir o cofre, João percebeu que não lembrava mais
qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1,
3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os números
possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida,
tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os
números de sua lista, sem repetir números já testados.
a) Determine quantos números João escreveu.
b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na
12ª tentativa.
2011
7

Projeto
Probabilidade

Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca
o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.
Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos
formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma
dos números que estão nas extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais
desse processo.
Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as
n cartas restantes, não rasgadas, foram guardadas
em uma caixa.
A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-
se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:

Calcule o valor de n.

36) (UERJ-2010-ESP) Uma criança guarda moedas
de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde
e outra amarela. Na caixa amarela, há, exatamente,
A figura correspondente à etapa 3 foi colada em uma 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.
roleta, que após ser girada pode parar, ao acaso, em
apenas oito posições distintas. Uma seta indica o Admita que, após a transferência de n moedas de R$
número correspondente a cada posição, como ilustra a
1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade
figura abaixo.
de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da
caixa amarela seja igual a 50%.

Calcule o valor de n.

37) (UFRJ-2010) Um ponto P é aleatoriamente
selecionado num retângulo S de dimensões 50 cm por
20 cm. Considere, a partir de S, as seguintes regiões:

Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm
João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou com centro no centro de S e
os números indicados pela seta após cada parada.
Região B – círculo de raio 4 cm com centro no centro de
Calcule a probabilidade de a soma desses números S.
ser par.
Suponha que a probabilidade de que o ponto P
35) (UERJ-2009-ESP) pertença a uma região contida em S seja proporcional à
Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas área da região.
divididas em quatro naipes, denominados copas, Determine a probabilidade de que P pertença
espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de simultaneamente às regiões A e B.
cada um deles.
Observe a figura que mostra um desses baralhos, no 38) (UFRJ-2011) Um ponto M é selecionado ao acaso
qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em
são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em
rei. O, que tem M como ponto médio de um de seus lados.

Calcule a probabilidade de que o quadrado assim
construído esteja inteiramente contido no círculo C.

2011
8

Projeto
Probabilidade

39) (PUC-2010 – 2ª f) O diagrama abaixo mostra uma 40) (UNICAMP - 2002) Em Matemática, um número
sala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o herói do natural a é chamado palíndromo se seus algarismos,
jogo, entra na sala por um portão no extremo esquerdo escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número.
da sala e precisa sair pelo portão que está no extremo Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:
direito da sala e que inicialmente está fechado.
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre
1 e 9.999?

b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e
9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja
No corredor entre os dois portões há sete cristais, cada palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que
um com uma cor do arco íris: Vermelho, Laranja, 2%? Justifique sua resposta.
Amarelo, Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partida
as posições dos cristais são sorteadas, com igual GABARITOS
probabilidade para cada uma das ordens possíveis.
Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar 01) B 02) C 03) B 04) A
os sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala há
uma corrente de ar da esquerda para a direita. Assim, 05) C 06) B 07) D 08) C
Isaac pode mover-se facilmente da esquerda para a
direita, mas para mover-se da direita para a esquerda 09) A 10) D 11) C 12) D
ele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada vez
que ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para 13) C 14) C 15) A 16) C
tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se
depois de tocar um cristal ele precisar se mover 18) B 19) a) 1/1140 b) 1/570 c) 1/95
novamente para a esquerda ele precisará gastar outra
carga. 20) a) 1/12 b) 5/12 21) D 22) C

Assim, por exemplo, se num jogo a posição dos cristais 23) C 24) C 25) C 26) C
for:
27) B
Amarelo - Laranja - Índigo - Verde - Violeta - Vermelho –
Azul 28) Joaquim tem mais chances de ganhar o jogo, já que
há 500 bolas com números ímpares e 499 bolas com
então Isaac chegará gratuitamente ao cristal Vermelho, números pares.
gastará uma carga para voltar até Laranja e uma
segunda para voltar até Amarelo. Depois disso ele se 29) 50% 30) a) 24 b) 1/24
moverá gratuitamente até Verde e daí até Azul. Isaac
gastará uma terceira carga para voltar até Índigo e 31) a) 50% b) 50% 32) a) 1/36 b) 5/9
depois se moverá gratuitamente até Violeta e de lá para
o portão de saída, finalmente aberto. Neste exemplo, 33) 1/10 34) 5/8 35) n = 40
para passar pela sala, Isaac gastou três cargas.
16π + 24 3
Considerando agora uma sala com cristais em posições 36) n = 3 37) P = 38) ½
sorteadas, responda: 3000
39) a) 1/7! = 1/5040 b) 6/7! = 1/840 c) 120/7! = 1/42
a) Qual a probabilidade de que Isaac possa passar pela
sala sem gastar nenhuma carga? 40) a) 196 b) 1,96

b) Qual a probabilidade de que Isaac passe pela sala
gastando uma carga para ir de Vermelho até Laranja e
depois não precise gastar mais nenhuma outra carga?

c) Qual a probabilidade de que Isaac precise gastar
exatamente uma carga para passar pela sala?

2011
9

Projeto
Probabilidade

Algumas resoluções: Questão 30)

Questão 8) a) São 4 algarismos distintos. Tem-se que 4! = 24. João
escreveu 24 números.
Fla Tiro b)Solução da Banca:
Olhando-se uma lista qualquer dos 24 números
60 - x x 70 - x possíveis, observe que a probabilidade da senha correta
estar na n-ésima posição não depende de n. Deste
modo a probabilidade de João acertar na 12ª tentativa é
60 – x + x + 70 –x = 100 >> x = 30% igual à probabilidade de João acertar na primeira, que é
1/24
Como x ≥ 0 >> x ≤ 60% Solução mais simples:
Para que João acerte apenas na 12ª tentativa,
Questão 9) obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas
anteriores e acertar a 12ª, logo:
C 5,1 5 1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 1
Resol: = = P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
C 7 ,3 35 7 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13

As cinco são : João Pedro __ ____ ____ ____ ____
1
P=
Questão 19) 24
Há C20,3 = 1140 maneiras de se retirarem 3 bolas da Questão 31)
urna.
a) O espaço amostral desse experimento é o conjunto
a) Soma igual a 6: 1 + 2 + 3 (somente um maneira). A, com 36 elementos:
Logo P(a) = 1/1140.
A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2),
b) Soma igual a 8: 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 (duas (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3,
maneiras). Logo P (b) = 2/1140 = 1/570. 5), (3, 6),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1),
(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,
c) Soma igual a 15: 4), (6, 5), (6, 6) }.
1 + 2 + 12, 1 + 3 + 11, 1 + 4 + 10, 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2
+ 3 + 10, 2 + 4 + 9, O evento “a soma dos valores sorteados é um número
2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6 (doze ímpar” é o conjunto E, com 18 elementos:
maneiras). Logo P (c) = 12/1140 = 1/95.
E = { (1, 2), (1, 4), (1, 6),(2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4),
Questão 20) (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6),(6, 1), (6, 3),
Há C10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da (6, 5) }.
urna.
Logo, a probabilidade de Lúcia ganhar é igual a 18/36 =
C 10 1
a) Tirar três bolas brancas: P (a ) = 5,3 = = 1/2 = 50%.
C10,3 120 12
b) O cálculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lúcia
b) Tirar duas brancas e uma preta: têm a mesma probabilidade de ganhar uma partida.
C ⋅C 50 5 Questão 32)
P(b) = 5, 2 5,1 = = Temos no lançamento de três dados 63 possibilidades.
C10,3 120 12
a) O evento ter soma 5, tem casos : (1,2,2), (2,2,1) ,
Questão 29) Qualquer que seja a cor da bola retirada (1,2,1),(1,1,3),(1,3,1) e (3,1,1) então,
na primeira urna, a chance de se retirar uma bola de cor P= 6/216 = 1/36
diferente da segunda urna é de 100/200.
b) O evento ter todos os números diferentes, vale 6 × 5
Logo: P = ½ = 50% × 4. Logo, P = (6.5.4)/216 = 5/9

2011
10

Projeto
Probabilidade

Questão 33)
A = {x; a2 ; a3 ; a4 ; ...; a10}

9 ⋅8
C9, 2
= 2 ⋅1 =
36 3
1º sorteio: P( x) = =
C10,3 10 ⋅ 9 ⋅ 8 120 10
3 ⋅ 2 ⋅1
1 3 1 Observando-se o triângulo retângulo OLN, tem-se que o
P( xJUÍZ ) = ⋅ = ângulo LÔN mede 60º. Assim, a medida da área do
3 10 10
8π 2
setor circular OMN é cm e a área do triângulo OLN
Questão 34) 3
1 é 2 3 cm .
2
Probabilidade de ocorrer par e par ⇒ P1 =
16 Portanto, a medida da área da região C
Probabilidade de ocorrer ímpar e ímpar ⇒ P2 =
9  8π 
16
é − 2 3  cm2 .
 3 
Probabilidade de ocorrer soma par ⇒ Logo, a medida da área de A∩ B é:
10 5
P1 + P2 = =   8π  2
16 8 16π − 4 3 − 2 3  cm
  
2
Questão 35) Como a medida da área de S é 1000 cm , tem-se que a
16π + 24 3
Número de cartas guardadas na caixa: n probabilidade solicitada é P = .
3000
Probabilidade de retirada de:
- um rei → P(R) = 0,075
- uma carta de copas → P(C) = 0,25 Questão 38)
- um carta de copas ou um rei → P(C ∩ R) = 0,3 A diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro do
- o rei de copas → P(R ∩ C) = P(R) + P(C) – P(R ∪ C) círculo C, ou seja, d = 4. A medida L do lado deste
2
quadrado é, por Pitágoras, 2L = 16 , ou seja, L = 2 2 .
1
P(R ∩ C) = 0,075 + 0,25 − 0,3 = 0,025 =
n
1 1
= ⇒ n = 40
n 40
Questão 36)
1 12 + n
= Para que o quadrado esteja inteiramente contido em C,
2 12 + n + 15 a distância de M ao centro de C deve ser menor do que
→ 12 + n + 15 = 2 (12 + n) → L
→ n + 27 = 24 + 2n → ou igual a . Ou seja, M pertence a um círculo CM de
→ 27 – 24 = 2n – n → 2
→ n=3 L
raio e mesmo centro C.
2
Questão 37)
Por hipótese, a probabilidade de que o ponto P pertença Então a probabilidade pedida é:
a uma região F, contida em S, é dada pela razão entre a
medida da área de F e a medida da área de S.
área (CM ) 2π 1
Assim, a probabilidade de que o ponto P pertença a p= = =
área ( A ∩ B) área (C ) 4π 2
ambas as regiões é dada por:
área ( S )
Seja C a região sombreada na figura abaixo. Então,a
área (A∩B) = 16π – 4 × área (C).

2011
11

Projeto
Probabilidade

Questão 39)

a) Isto só ocorrerá se os cristais estiverem na ordem:

Vermelho - Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo -
Violeta

A probabilidade de isso ocorrer é 1/7! = 1/5040.

b) Isto ocorrerá se as cores:

Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo – Violeta

aparecerem nesta ordem da esquerda para a direita,
com Vermelho em qualquer posição exceto na primeira.
Há, assim, 6 configurações possíveis e a probabilidade
pedida é 6/7! = 1/840.

c) Para formar uma configuração deste tipo, devemos
7
primeiro selecionar um conjunto de posições (há 2 =
128 maneiras de fazer isso).

Primeiro preenchemos as posições do conjunto da
esquerda para a direita com as cores na ordem em que
Isaac deve tocá-las e depois preenchemos as posições
no complemento do conjunto. Isto só *não* funcionará
se as posições do conjunto estiverem todas à esquerda
das posições do complemento (pois neste caso Isaac
não gastaria nenhuma carga), ou seja, para os 8
conjuntos {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ..., {1,2,3,4,5,6,7}.

Assim há 128 - 8 = 120 configurações possíveis, e a
probabilidade pedida é 120/7! = 1/42.

Questão 40)

a) De 1 até 9.999, temos desde palíndromos de 1
algarismo até palíndromos de 4 algarismos.
Assim,
x x x x
ou ou ou

9 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 = 198
Considerando que “entre 1 e 9.999” não devam ser
incluídos os extremos, temos 196 palíndromos.
Resposta: 196

b) “Entre 1 e 9.999” temos 9.997 números.
Assim, a probabilidade pedida é:
196
P= ≈ 1,96 %
9.997
Nota: Se interpretássemos o “entre 1 e 9.999” com a
possibilidade da inclusão dos extremos, teríamos:
a) 198 palíndromos.
198 2
b) P = = ≈ 1,98 %.
9.999 101

2011
12

Probabilidades e eventos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Probabilidades e eventos

Similar a Probabilidades e eventos (20)

Más de con_seguir

Más de con_seguir (20)

Último

Último (20)

Probabilidades e eventos