1. 1
PROJETO FOLHAS
Identificação: Donizete Gonçalves da Cruz
Professor: Disciplina: Matemática
Série: 3a série – Ensino Médio
Faixa etária do aluno: 15 anos e acima.
Unidade Temática: Geometria Analítica – Estudo da circunferência no plano.
Título: Qual Matemática está presente no resgate do barco?
Relacionando com conteúdos de:
Matemática.( ) L. Port./Literat. ( ) Geogr. ( ) Hist. ( )
Arte ( ) Filos. ( ) Sociologia( ) LEM ( )
Biol. (X) Ed. Física ( ) Química ( ) Física ( X )
Palavras Chaves: Geometria Analítica, Circunferência, Mediatriz, Circunferência Abdominal,
sinal UHF e VHF.
1. – Problema
Um grupo de pessoas sai num barco para um passeio e por motivos desconhecidos o
barco se perde e o grupo fica à deriva em alto mar. O grupo possui apenas um aparelho de
rádio, que emite somente sinal UHF (ultra-alto freqüência), impossibilitando a comunicação
verbal. Em terra organiza-se uma equipe de resgate, que segue em um avião que, além do
tempo limitado para o sobrevôo, possui somente um rádio com capacidade para captar sinais
emitidos do barco, também em UHF. Mas não existe, na equipe de resgate, nenhum
profissional especializado no exercício de resgate. Há porém, um professor de Matemática
que, utilizando-se do conhecimento matemático contribuiu para que o resgate fosse
concretizado. Na sua opinião, como isso ocorreu?
Desenvolvimento Teórico.
1. – Situação cultural
“Em certas regiões africanas, os
pescadores secam os peixes que
conseguiram apanhar dispondo-os
em volta de uma fogueira. E para que
todos se aqueçam por igual,
procuram colocá-los ao longo de uma
curva, todos à mesma distância do
fogo”. (MACHADO, 1988, p. 116)
Fonte: (MACHADO, 1988, p. 116)

2. 2
1.2– Manifestação da natureza e objetos do cotidiano
Temos contato com objetos do cotidiano e fenômenos naturais que nos lembram
circunferências.
A figura ao lado, que representa
um fenômeno natural −
manifestação da natureza −, é
passível de um tratamento
matemático, pois, ao observamos
o movimento que se inicia no olho
de um ciclone, notamos que sua
expressão em forma de
movimento circular se aproxima de
uma circunferência.
Fonte: (ROKUSABURO, Kiyukawa. et. al., Saraiva, 1991, p.90).
Temos contato com objetos do
cotidiano, usados pelas pessoas,
que apresentam formato de uma
circunferência. O movimento dos
ponteiros de um relógio segue um
movimento circular e desenha, em
seu percurso, uma circunferência.
Outros objetos, como moedas e
CDs, muito presentes em nosso
meio, também apresentam o
mesmo formato.
Fonte: (BONGIOVANNI, Vicenzo. et. al., Ática 1997).

3. 3
1.3 - O símbolo Olímpico
Fonte: http://planeta.terra.com.br/arte/mundoantigo/olimpiadas/index.htm
As olimpíadas, o evento esportivo mais importante entre as nações, possui signos que
apresentam similaridades com as circunferências.
O início das Olimpíadas se remonta a cerca de 2500 a.C.. Os gregos, com o objetivo
de honrar a Zeus, realizavam festivais esportivos no santuário de Olímpia, surgindo, então, o
termo “olimpíada”. Tratava-se de um evento de grande importância, pois, além do espírito
esportivo, já expressava uma trégua entre povos em conflito. A partir de 776 a.C. começam
os registros dos nomes dos vencedores das competições. O credenciamento para
participação era destinado, apenas, aos cidadãos livres. Disputavam provas de atletismo,
luta, boxe, corrida de cavalo e pentatlo (que incluía luta, corrida, salto em distância,
arremesso de dardo e de disco). O vencedor era coroado com um ramo de louro (quase de
forma circular, como você pode ver nas figuras acima) depositado sobre sua cabeça.
Na atualidade, em decorrência dos vários veículos de comunicação que realizam a
cobertura dos jogos olímpicos, as pessoas acompanham, atentamente, o desenrolar desse
acontecimento. Durante estes momentos, como que esquecem tantas situações de injustiça
social e violência que chegam até nós através destes mesmos meios de comunicação, e
experimentam uma trégua, uma expectativa de dias melhores. Assim como hoje, também no
passado, nos momentos de trégua, já se refletia sobre a importância e a necessidade da paz
entre os povos, com conseqüências positivas para o desenvolvimento do nosso planeta.
Observe o símbolo atual desse evento que agrega povos e sentimentos.
Qual o significado dos cinco anéis, em
forma de circunferência, entrelaçados,
que compõem o símbolo dos jogos
olímpicos?...............................................
................................................................
................................................................
http://www.terravista.pt/meiapraia/1147/aneis.html
Qual o total de pontos em comum entre as circunferências que compõem o símbolo
olímpico?

4. 4
....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
...................
1.4 – Similaridades e Aproximações
Em tantas situações do dia-a-dia, nos deparamos com rodas ou rotações com
características das figuras relacionadas acima. Qual a característica comum entre tais
figuras? Olhando para os conceitos matemáticos, vê-se que a distância dos pontos extremos
a um ponto central fixo é sempre a mesma. Tais curvas são chamadas de circunferência, o
ponto fixo é o centro e a distância constante é o raio.
2– Considerações Históricas
De início empregada na medição dos campos de cultivo e nas primeiras construções
de edifícios, os avanços na Geometria ocorrem a partir de estudos desenvolvidos pelos
gregos, enfatizando o aperfeiçoamento de trabalhos de medidas de outros povos.
Historicamente, mudanças acontecem e novos conceitos surgem, como por exemplo,
o método de Descartes, que introduz o sistema de coordenadas – que vocês já conhecem - e
o de representar, em forma de curva plana, qualquer equação algébrica de duas incógnitas,
que vocês verão na seqüência deste texto. Dessa forma, Descartes introduz no cenário da
Geometria, a Geometria Analítica. Na concepção cartesiana, a Geometria Analítica,
aplicando o método das coordenadas, estuda os objetos geométricos por meios algébricos.
Vamos, então, ao trabalho!
2.1 −Circunferência − Uma idéia
Vamos imaginar um ponto e supor que ele seja fixo. Nesta situação, podemos admitir
que um conjunto de pontos, em um plano, que eqüidistam (se você não lembra... dicionários
são ferramentas eficientes) do ponto fixo, seja uma circunferência. O ponto fixo é o centro da
circunferência.

5. 5
2.2 − Elementos da circunferência
Considerando-se o contexto acima, é possível ter uma idéia sobre alguns elementos
da circunferência. Faça, agora, um exercício de linguagem matemática e defina estes
elementos, a partir da observação das figuras.
Agora, compare a linguagem de suas definições com a linguagem padrão da Matemática.
Para sua reflexão: procure justificar
O diâmetro é uma corda?
....................................................................................................................................
Todo diâmetro é uma corda?
....................................................................................................................................
Toda corda é um diâmetro?
....................................................................................................................................
Os pontos pertencentes ao diâmetro pertencem à circunferência?
....................................................................................................................................
Os pontos pertencentes à circunferência pertencem ao diâmetro?
....................................................................................................................................
Qual é a sua idéia de arco?
....................................................................................................................................

6. 6
O arco é um segmento de circunferência?
....................................................................................................................................
No seu ponto de vista, a afirmação “O arco possui apenas dois pontos” é falsa ou
verdadeira?
...................................................................................................................................
Os pontos de um arco pertencem também à circunferência?
.....................................................................................................................................................
.........
Circunferência possui lado de dentro e lado de fora? Possui pontos internos e pontos
externos? O que significa, para você, “lado de dentro” e “lado de fora”?
.....................................................................................................................................................
.........
.....................................................................................................................................................
.........
.....................................................................................................................................................
.........
Um segmento que sai do ponto médio da corda e vai a um ponto qualquer da circunferência
pode ser considerado uma flecha?
.....................................................................................................................................................
.........
Dando seqüência ao nosso trabalho, vamos relembrar um conceito importante: lembra
do Teorema de Pitágoras?
No contexto de estudo que envolve circunferências não podemos deixar de abordar a
Equação Reduzida da Circunferência e Equação Geral ou Desenvolvida da Circunferência,
pois as mesmas se revelam importantes para realizarmos operações com ou sobre
elementos da circunferência.
Vejamos:

7. 7
a) Equação Reduzida da Circunferência:
Observe a figura ao lado e procure
interpretá-la, acompanhando os
passos abaixo, para chegar à
construção que se obterá da
“equação reduzida” de uma
circunferência.
Existe circunferência de raio igual a zero? ................................................................................
...................................................................................................................................................
Se você observar com atenção, perceberá que a parte colorida do desenho acima,
transladada da Figura em destaque e interna à circunferência no Plano Cartesiano,
representa um triângulo retângulo. Assim, usando o conhecido Teorema de Pitágoras, tem-
se:
(PC)2 = (AC)2 + (PA)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
r= ( x − a) 2 + ( y − b) 2
(r)2 = ( ( x − a) 2
+ ( x − b) 2 )
2
(elevando-se ao quadrado, ambos os membros)
r = (x - a)2 + (y - b)2

8. 8
No caso de termos o centro da circunferência coincidindo com a origem do plano, a
equação se reduz a x2 + y2 = r2 .
Portanto, Uma circunferência que possui um ponto P: (x,y), um centro C: (a;b) e raio r,
sendo r>0, terá a seguinte equação reduzida:
Para você: um desafio
Utilizando as informações contidas no desenvolvimento deste trabalho, e sabendo que
para obter a equação da circunferência precisamos da coordenada do centro e a medida do
raio, encontre a equação reduzida da circunferência de centro em (-1, 4) e raio de 4 cm. .................
..............................................................................................................................................................................
b) Equação Geral ou Desenvolvida da Circunferência:
Partindo da equação reduzida da circunferência r = (x - a)2 + (y - b)2, e efetuando-se
as operações indicadas, obtém-se uma equação equivalente.
1º) x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
2º) x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 (Esta é a equação geral da circunferência que
apresenta um ponto P(x,y) e centro C(a,b)).
3º) Esta equação é da forma: x2 + y2 +αx +βy + γ = 0
c) Identificação de uma Circunferência:
Para que uma equação do tipo x2 + y2 +αx +βy + γ = 0 represente ou não uma
circunferência, deve apresentar um raio r e um ponto C(a,b).
Tal constatação dá-se do seguinte modo:
Comparando a equação do item 2º com a equação do item 3º, por meio de
desenvolvimentos matemáticos, tem-se:
α
αx = - 2ax ⇒ a = - ;
2
β
βy =- 2by ⇒ b = - ;
2
y = a2 + b2 - r2 ⇒ r2 = a2 + b2 – y ⇒ r = a2 + b2 − y .

9. 9
Agora é com você: diante do estudo feito até agora, e das informações que você já
tem, investigue as respostas para as indagações abaixo:
a) Qual é a equação de circunferência cujo centro é C(-1, 4) e raio de 4 cm.
b) A equação (x – 6)2 + (y+2)2 = 25 representa uma circunferência?
c) Qual é a equação normal, geral ou desenvolvida da circunferência que possui raio de 2 cm
e centro na coordenada (-1, 3)?
3 − APLICAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA NO CONTEXTO CONTEMPORÂNEO
3.1. Articulação com as disciplinas do conhecimento:
Um dos problemas de saúde que mais preocupam nosso tempo é a obesidade. É
possível que você esteja pensando “o que isto tem a ver com nosso tema de estudo”, a
circunferência. Mas você vai ver que há relação, sim: atualmente, está se pesquisando sobre
a eficiência da aplicabilidade da circunferência abdominal (CA), em conjunto com o índice de
massa corporal (IMC em Kg/m2), na avaliação dos riscos que a obesidade acarreta para a
saúde. Pesquisadores procuram validar que a CA juntamente com o IMC são os melhores
indicadores tanto no tratamento quanto na prevenção da obesidade.
Um bom trabalho:
Pesquise em sites, na Internet, revistas, livros e outras produções da área de Biologia,
informações da CA, procurando responder a questão: como se dá a utilização da
circunferência abdominal nas terapias de cura da obesidade e melhoria da qualidade de vida
dos obesos?
3.2. Física
Percebe-se que no enunciado do problema apareceram dois termos (UHF e VHF ),
não muito comuns ao nosso cotidiano. Assim, justifica-se outra pesquisa para buscarmos
respostas e relacionamentos com nosso problema.
a)Investigue sobre a diferença entre sinal UHF e VHF.
b)Realize uma entrevista com um técnico procurando descobrir o mecanismo de
funcionamento de uma estação de rádio.
c)Pesquise sobre a propriedade de funcionamento dos sinais de UHF?
Uma aplicação interessante

10. 10
Observamos, pelo desenho abaixo, a utilização de uma corda na cinemática
Vetorial, estudada em Física. Neste caso, serve para distinguir o deslocamento escalar ( ∆s )
 →
e o deslocamento vetorial  ∆ s  . A corda representa a medida estabelecida pela diferença
 
entre os pontos final e inicial.
Fonte: (ROKUSABURO, Kiyukawa. et. al., Saraiva, 1991, p.16).
Note:
Uma corda, ao ser utilizada como elemento para a solução do problema/localização do
barco, caracteriza-se como uma aplicação do conceito de distância na cinemática vetorial.
Uma sugestão de resolução do desafio
Aqui está uma sugestão para a resolução do nosso problema do navio perdido. Se
você tem outras soluções, com usos diferentes do conhecimento matemático, ou outro
conhecimento, apresente para a turma.
1º) Um ponto B, numa folha de papel, representa o barco à deriva.
2º) Um outro ponto seria o A. Neste ponto, o rádio do avião capta o 1º sinal emitido pelo rádio
do barco.
3º) Traça-se a circunferência de centro em B e que contém o ponto A.
4º) A seguir, visando situar o ponto (B) de onde parte o sinal, o avião se põe a sobrevoar a
região, em movimentos circulares. Nesse processo, ele perde o sinal enviado pelo barco.
Tem-se nesse instante, o ponto C.
5o) No instante em que é restabelecida a captação do sinal, entre o barco e o avião, significa
que a posição deste dista do barco igual distância de AB.
6º) Atendendo exigências técnicas e tempo mínimo, traça-se a corda que une A e C, pontos
pertencentes à circunferência.
6º) Usando-se o conhecimento matemático, construímos a mediatriz, passando pelo B e o
ponto médio de AC.
7º) É evidente que o avião deve seguir pela mediatriz rumo ao centro (B). Seguindo em
direção contrária ao centro, perderá o sinal, sendo necessário reiniciar o processo.

11. 11
Bibliografia:
BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo: Ícone. 13° ed. p. 230
MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria
Francisco Alves, 460p, 1951.
RIVERA, Félix; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.
GENTIL, Nelson et. all. Matemática para o 2º grau. Vol. 3. Ática. 5 ed. São Paulo, 1996.
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o Ensino Médio. Vol. Único. Scipione. 5 ed. São
Paulo, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. Vol. 3. Ática. São Paulo, 1999.
MACHADO, Nilson José. A geometria na sua vida. Ed. Ática. 2003. São Paulo.
LONGEN, Adilson. Coleção Matemática – Uma Atividade Humana. Ensino Médio. Vol. 3,
Editora Base, Curitiba, 2003.
MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto – Geometria Analítica. Vol. 7. Scipione.
São Paulo. 1988.
ROKUSABURO, Kiyukawa; SHIGEKIYO, Carlos Tadashi; KAZUHITO, Yamamoto. Os elos
da Matemática. Saraiva. Vol. 3. 1991. São Paulo.
BONGIOVANNI, Vicenzo. et.. al.. Matemática 2o grau. 1997. Ática. São Paulo.