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Determinaciondeldiametro

  1. 1. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 Determinación del diámetro de sistemas de tuberías mediante la utilización del Visual Basic para Aplicaciones y el Método de Aproximación de Punto Fijo Nicolás Zaragoza Grifé1 y Julio R. Baeza Pereyra2 RESUMEN Los métodos de aproximaciones sucesivas son requeridos para la solución de problemas complejos eningeniería. Este trabajo muestra el uso del método de Aproximación de Punto Fijo para la determinación deldiámetro de sistemas de tuberías, en flujo turbulento, considerando no solamente las pérdidas primarias, sino tambiénlas menores. Se partió de la ecuación de Colebrook-White y se estableció un sistema de ecuaciones recurrentes. Lasolución de este sistema fue implementada a partir de un algoritmo genérico en Visual Basic para Aplicaciones© yprogramado en MS Excel©, como una fórmula añadida por el usuario. Esto evita el uso del diagrama de Moody, asícomo facilita las labores de diseño mediante el uso de un software de hoja de cálculo ampliamente utilizado. Dichoprograma permite la realización de los cálculos en forma rápida, exacta y sencilla. Así mismo, se presenta como unaalternativa innovadora de solución que construye sobre lo ya conocido en cursos de computación y métodosnuméricos y que puede ser utilizada en los diversos cursos de mecánica de fluidos, hidráulica, termodinámica, etc.,que se imparten en las instituciones de educación superior.Palabras clave: Aproximación de Punto Fijo, Visual Basic para Aplicaciones, Excel, solución de la ecuación deColebrook-White. cálculos relacionados con dimensionamiento de INTRODUCCIÓN parámetros de las tuberías de un sistema hidráulico. Así mismo, en algunos de estos problemas, el hecho En la práctica profesional, es frecuente de encontrar una solución implica el proporcionarenfrentarse a problemas que involucren el realizar soluciones iniciales y recurrir a cálculos repetitivos o1 Técnico Académico del Cuerpo Académico de Construcción, FIUADY2 Profesor Investigador del Cuerpo Académico de Construcción, FIUADY 55
  2. 2. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64métodos gráficos. Tal es el caso de determinar el nomogramas u otra herramienta o softwarediámetro de un sistema de tuberías. Dicho problema matemático.se presenta cuando se conectan dos depósitos, sedescarga el fluido a la atmósfera o a algún sistemapresurizado, etc. En este tipo de problemas, donde la Variables implícitas y el método de Aproximaciónincógnita es el diámetro de la tubería, las de Punto Fijoespecificaciones de diseño conocidas son: el gastoque circula por el sistema, la diferencia entre los Los métodos numéricos pueden aplicarseniveles de las superficies libres de los líquidos en los cuando en una ecuación la variable independientedepósitos, la presión de descarga, las elevaciones, queda implícita, participando en ambos lados de lalongitudes y rugosidades de las tuberías que los igualdad. Un ejemplo de una variable implícita es elconectan, el fluido que circula, los accesorios mostrado en la ecuación 1:hidráulicos utilizados, etc. F(X, Y) = H(X, Y) Ec. 1 Si no se requiriera el auxilio de lacomputadora para encontrar la dimensión de la Donde X es la variable independiente, F y Htubería, se necesitaría suponer valores iniciales del son relaciones funcionales cualesquiera (las cualesfactor de fricción (f) y del diámetro de la tubería (D) y pueden involucrar más variables independientes outilizando el diagrama de Moody, realizar una serie dependientes). En muchos de estos casos esde iteraciones que permitan la convergencia del factor extremadamente difícil, si no imposible, el despejar ladel fricción (Munson, Young y Okishi, 1999). Este variable dependiente (en este caso Y) y formular suproceso de cálculo implica un tiempo considerable, solución en base a la variable independiente (X) depuesto que se requiere la lectura iterativa del manera exclusiva (Chapman, 2000).diagrama de Moody para lograr la convergencia delvalor del factor de fricción. Además, con dichas De entre los métodos numéricos paralecturas se incrementa la posibilidad de errores solucionar ecuaciones, el de Aproximación de Puntonuméricos que repercutiría en el cálculo del diámetro Fijo es uno de los más sencillos. El proceso dede la tubería (García y Morales, 2003). solución de dicho método comienza aislando de una ecuación como la Ec. 1, alguna instancia de la El uso de software matemático es una buena variable independiente que se encuentra implícita (enalternativa inicial para el manejo de problemas de este este caso X). A dicha instancia se le llamará eltipo. García y Morales (2003) presentan una manera “siguiente valor” de la variable (Xi+1), mientras que ladidáctica de implementar el proceso de cálculo del relación funcional que se obtenga de despejar X dediámetro de una tubería, utilizando Mathcad©. En el entre H y F(func) estará expresada en términos deejemplo presentado en dicho trabajo, se describe al valores previos de dicha variable independiente (Xi).menos dos veces todo el proceso necesario para Para este caso, el siguiente valor de la variablecalcular los nuevos valores de D, a partir de implícita está dado por la siguiente relación:suposiciones iniciales para los valores del f y de D.En el referido trabajo, también se manejan dosfórmulas con variables implícitas para calcular f y D, X = func(X , Y ) Ec. 2 i +1 imismas que se resuelven utilizando las capacidadesinternas del MathCad. Lo anterior implica que es necesario despejar una de las instancias de la variable independiente de En este trabajo, se utilizó el método de la Ec. 1, para poder aplicar el método. El algoritmo deAproximación de Punto Fijo (Chapra y Canale, 1998) solución de la relación anterior está dado por elpara resolver las ecuaciones implícitas que siguiente proceso: (1) Inicializar con un valorintervienen en el dimensionamiento de un sistema de tentativo de Xi, (2) Establecer una tolerancia detuberías que conectan a dos depósitos cuya superficie aproximación para detener el proceso, (3) Establecerse encuentra sujeta a la presión atmosférica. El un criterio de paro de proceso, (4) Hacer el cálculo dealgoritmo tanto para la resolución de las ecuaciones Xi+1= func(Xi,Y) hasta llegar a un criterio de paropara el cálculo de D y f, así como el algoritmo general entre Xi+1 y Xi, o si no se llega a dicha tolerancia,de dimensionamiento de la tubería se desarrollaron en emitir mensaje de error, si no, devolver el valor de XVisual Basic Para Aplicaciones (Jacobson, 2002), i+1.utilizando software de hoja de cálculo de uso general.El programa resultante se implementó como una Por su sencillez, dicho método es fácilmentefórmula mas de Excel, eliminando el uso de figuras, programable en cualquier lenguaje, ya sea Fortran,56
  3. 3. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64Pascal, C o Basic, entre otros. Sin embargo, por su ella aparece X como un valor numérico que se tienemisma sencillez, está limitado a que no que proporcionar como el primer tanteo de la función.necesariamente el valor de X converja a un solo En este ejemplo se maneja una variable dependientepunto. Dependiendo del orden de la relación (Y), pero como se ha descrito con anterioridad, sefuncional (func), no necesariamente existirá una sola pueden involucrar más variables. Las constantessolución e inclusive, algunas de estas soluciones no Tolerancia y NumMaxIter son constantes internasserían factibles (ya sean por ser imaginarias o predefinidas ya sea por el usuario o por el sistema enfísicamente imposibles). La figura 1 presenta cómo se el que se programe el algoritmo.programaría una función basada en este método. En Figura 1.- Método de Aproximación de Punto Fijo datos del sistema hidráulico de tuberías son losMetodología para la aplicación del Excel en la siguientes: se tiene una circulación de agua a unadeterminación de diámetros de tuberías de temperatura de 10 ºC (ν 1.307 x 10-6 m /s) delsistemas hidráulicos depósito (1), al depósito (2) a través de una tubería de hierro fundido (coeficiente de rugosidad ε = 0.00026 El desarrollo general de la aplicación del m) de 20 m de longitud con un caudal (Q) igual aExcel será el siguiente: se requiere determinar el 0.020 m/s. El sistema presenta pérdidas secundariasdiámetro de la tubería de un depósito a otro, como se en la entrada de borde esquinado (k1=0.5), en losmuestra en la figura 2, conociendo algunas codos estándares de 90° con rosca (k2=0.9) y en lacaracterísticas geométricas del sistema (zl, z2, L, ε), salida del depósito (k3=1). La figura 2 muestra loscoeficientes para la detección de pérdidas menores de datos iniciales para el proceso de cálculo.los accesorios utilizados (k1, k2, k3), las característicasdel flujo (p1, p2) y del fluido que circula (ν, δ). Los (1) Z1 Elevación 6 codos rectos 2m (2) Z2 L=20 m Figura 2.- Sistema hidráulico de tuberías 57
  4. 4. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 Figura 3.- Datos de Inicio Aplicando la ecuación de la energía entre las con la superficie del depósito inferior, se obtiene lasuperficies libres de los dos depósitos, considerando relación de la ecuación 3 (Streeter, Wylie, Bedford,que el plano horizontal de referencia (PHR) coincide 1999). p1 V12 p V2 n z1 + + = z 2 + 2 + 2 + hf + ∑ hri Ec. 3 γ 2g γ 2g 1 Simplificando la ecuación 3, se llega a la siguiente expresión de la ecuación 4. V12  L n  z = f + ∑k  Ec. 4 1 2g  D 1 i    Proponiendo valores para el coeficiente de Poiseuille; pero se ha dejado para trabajos posterioresfricción (f), se calcula la primera aproximación para el desarrollo de esta variante de cálculo.D. Con este valor de D, se obtendrá el número deReynolds (Re) que se utilizará en la ecuación deColebrook- White, para luego obtener un nuevo valor Función Iterativa para la obtención del diámetrode f. Si el nuevo valor de f coincide con el valor de la tuberíaanterior, el cálculo del diámetro es correcto; en casocontrario, se supondrá otro valor de f y se repetirá el Utilizando la ecuación de continuidad, secálculo hasta lograr la coincidencia de los valores de realizará el proceso para la obtención del valor de f.f. Para ello se debe primero proponer el valor de D inicial (se propondrá un valor 0.2 m), lo que conlleva Cabe aclarar que se debe verificar si el flujo a proponer un valor inicial de f (una aproximaciónen la tubería es turbulento para corroborar la aceptable sería f = 0.02).aplicabilidad de la ecuación de Colebrook-White.(García – Morales, 2003) En caso de que el flujo sea La velocidad del fluido estará dada por lalaminar entonces se deberá utilizar la fórmula de ecuación 5. Sustituyendo dicho valor en la ecuación 4, se obtiene la expresión mostrada en la Ec. 6.58
  5. 5. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 2  4Q  4Q   V1 = Ec. 5  2  L n  2 z =  πD  f + ∑ k  πD Ec. 6 1 2g  D i  i =1  De la ecuación anterior, se selecciona una de otra como la instancia del valor siguiente a obtener.las instancias de D para ser el valor previo para el Esto transforma la ecuación 6 en la 7:método de Aproximación de Punto Fijo, dejando la 2    4Q  D 2     L n  z1 =  i   f + ∑ ki  Ec. 7 2π 2 g  D i + 1 i = 1    de la ecuación 7, despejando Di+1 se obtiene la Ec. 8. 2 8×Q ×f × L D = Ec. 8 i +1 n z1 × D i × π × g − 8 × Q × ∑ k i 4 2 2 i =1 La ecuación 8 ya es susceptible de ser Función Iterativa para la obtención del coeficienteresuelta mediante el método de Aproximación de f del sistemaPunto Fijo. Para ello se establece una tolerancia de0.00001m, manejando un criterio de paro deltaD (que Con el valor de D obtenido con la funcióninvolucra el valor del diámetro obtenido y el diámetro descrita en la figura 4, se calcula el valor de Vanterior) menor a la tolerancia, o en su defecto, si el utilizando la ecuación de continuidad (Eq. 9), senúmero de iteraciones es mayor a 100. La relación obtendrá Re (Eq. 10) y en ese momento se verificarápresentada en la Ec. 8 se toma como la función si los valores de los coeficientes de fricción (f)“func” del algoritmo. Ya con estos datos, se muestra supuestos son correctos, resolviendo la ecuación deel algoritmo de solución para D en la figura 4a. Colebrook-White: 4Q V= Ec. 9 πD 2 VD Re = Ec. 10 ν 1  ε 2.51 1  = −2 log + ×  Ec. 11 f  3.70 D R f   e  Sustituyendo en la ecuación 11 el término ( 1 f ) por Xi y Xi+1, dicha relación se puede expresar de lamanera mostrada en la Ec. 12:  ε 2.51  X i +1 = −2 log + × X i  Ec. 12  3.70D R   e  59
  6. 6. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 La relación funcional de la Ec. 11 también es el diagrama de flujo de la figura 4, la función desusceptible de ser resuelta con el método de aproximación de f queda descrita en la figura 4b.Aproximación de Punto Fijo. Tomando como ejemplo (a) (b) Function AproxPuntoD (D,L,f,Q,Z1,SumK) Function AproxPuntoF (D,Q,ni,epsilon,f) D1 = D X1 = 1/sqrt(f) n = 0 V = 4 * Q / (PiD2) Do Re = VD/ni Di+1 = func(Di,L,f,Q,Z1,SumK) n = 0 Di+1 <> 0 no Do si Xi+1 = funcFdF(D, Xi, Re, epsilon) Aprox = Abs((Di+1- Di)/Di+1) Incrementar(n,1) Xi+1 <> 0 no si Aprox = Abs((Xi+1- Xi)/Xi+1) Aprox < tolerancia OR n > NumMaxIter Incrementar(n,1) Di = Di+1 Aprox < tolerancia OR n > NumMaxIter Until (n > 100) Or (deltaD < tolerancia) Xi = Xi+1 If deltaD > tolerancia Then AproxPuntoD = "El método no converge" Else Until (n > 100) Or AproxPuntoD = Di (deltaD < tolerancia) End If If deltaD > tolerancia Then AproxPuntoF = "El método no converge" Else AproxPuntoF = 1/Xi2 End If Figura 4. Función de convergencia de D (a) y de f (b), usando el Algoritmo de Punto FijoDimensionamiento de la Tubería del Sistema muestran en las figuras 4a (para aproximar el valor de D) y 4b (para aproximar el de f). La figura 5 muestra Con base en la facilidad que proporciona el cómo el proceso de dimensionamiento de la tuberíaExcel para realizar cálculos, fue posible programar del sistema se solucionó, utilizando las funcionestodo el proceso de obtención del valor de D, antes obtenidas.utilizando las funciones cuyos algoritmos se60
  7. 7. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 Function DimensionaTubo(Q,L,D,f,Z,SumaK,ni,epsilon) D1 = D Dn = 0 fi = f n = 0 Do Dn = AproxPuntoD (D1,L,f,Q,Z,SumK) fn = AproxPuntoF (D1,Q,ni,epsilon,f) deltaf = Abs(fn-fi) Incrementar(n,1) D1 = Dn fi = fn Until (n > 100) Or (deltaD < tolerancia) If deltaf > tolerancia Then DimensionaTubo= "Error en función" Else DimensionaTubo= Di End If Figura 5. Función de Dimensionamiento de Tubería, usando las funciones obtenidas previamente. El algoritmo que se muestra en la figura 5 se Una vez programadas en Excel, dichapuede programar en cualquier lenguaje y es función se comporta como si fuese una mas de las queindependiente de las limitaciones de las paqueterías. Excel tiene disponibles. La figura 7 muestra cómoEn Excel, el lenguaje de programación que se utiliza obtener los diámetros de la tubería, para diferenteses Visual Basic para Aplicaciones, que no difiere en valores del Gasto. El dato que varía es el Gasto, lossu sintaxis con la versión 6.0 de Visual Basic, pero demás se muestran parámetros se muestran en laestá especialmente adaptada para la paquetería de figura 3.Microsoft Office© y por consiguiente, el entorno deprogramación está disponible para cualquier producto La figura 8 muestra la gráfica Diámetro-de este paquete. En la figura 6 se muestra el entorno Gasto utilizando los valores de la figura 7(b). Losde programación las funciones anteriores ya resultados que se muestran en dicha gráfica sonprogramadas. iguales a los obtenidos por García y Morales (2003). 61
  8. 8. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 Figura 6.- Entorno de Programación Visual Basic para Aplicaciones en Excel Figura 7.- Utilizando la fórmula de dimensionamiento de tuberías en Excel62
  9. 9. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 Figura 8.- Gráfica Diámetro-Gasto, utilizando la función programada para dimensionamiento de tuberías rápida y precisa la variación del diámetro requerido. CONCLUSIONES Estas variaciones permiten al usuario visualizar la respuesta del sistema a las diferentes situaciones. En la aplicación del Excel en la solución delsistema de tuberías, vale la pena destacar lo siguiente: Cabe resaltar, que sin importar la paqueteríaAdemás de facilitar el proceso de cálculo, el uso del computacional o lenguaje de programación que semétodo de Aproximación de Punto Fijo utilice para resolver este tipo de problemas losimplementado como fórmula de Excel en la solución resultados son muy similares por no decir que sonde problemas que involucran variables implícitas; idénticos; la metodología aquí expuesta permiteintegra lo visto en cursos tales como Programación y mostrar en profundidad todos y cada uno de losMétodos numéricos con lo presentado en cursos de procesos involucrados en la resolución del problemaHidráulica, Mecánica de Fluidos, Termodinámica, de una manera clara y precisa. Algunas herramientasetc. de carácter matemático puro podrían dejar algunas partes del proceso de resolución del problema como Se tiene la posibilidad de uso del Excel por “cajas negras”, al hacer uso de sus funcionesel estudiante, para el planteamiento y solución de constitutivas.problemas similares, en los cuales las incógnitasvarían. Esto es, debido a que el Excel es un sistema Adicionalmente, el algoritmo para lade hoja de cálculo de uso generalizado y además solución del problema presentado en este trabajoprogramable, en el cual el usuario puede desarrollar la puede ser desarrollado en otros lenguajes desolución a los problemas planteados, ya sea mediante programación, tales como C, Pascal o Fortran, asífórmulas de celdas del sistema, mediante la como en otras paqueterías matemáticas tales comoprogramación de macros en Visual Basic para Mathlab©, Mathcad© o Maple©, entre otros. CabeAplicaciones o elaborando fórmulas para la hoja de aclarar que el algoritmo de Aproximación de Puntocálculo. Fijo no es el único disponible para solucionar dicho problema, pero es posible programar otros algoritmos Cuando varían las condiciones del sistema, de solución más eficientes que el utilizado en estecomo serían los gastos, las rugosidades, las cargas, las trabajo e integrarlos a Excel, de la misma manera queviscosidades, etc., es posible determinar en forma el anterior. 63
  10. 10. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64 BIBLIOGRAFÍAChapman, Stephen J. (2000), “Fortran 90/95 for Scientists and Engineers”, McGraw-Hill, ISBN 0070119384.Chapra, S.C. y Canale, R.P., (1998). “Métodos Numéricos para Ingenieros con Programación y Software deAplicaciones”. Tercera edición, México. McGraw-Hill. ISBN 970-10-20008-1.García Sosa, Jorge, Morales Burgos, Armando (2003), “Determinación del diámetro en sistemas de tuberíasutilizando Mathcad”, Ingeniería, Vol. 7, num. 1. ISSN: 1665-529XJacobson, Reed, 2002, “Microsoft® Excel 2002 Visual Basic® for Applications Step by Step”,McGrawHill/Microsoft Press, ISBN 0-7356-1359-1,Munson B.R., Young D.F., Okishi T.H. (1999). “Fundamentos de mecánica de fluidos”. 1a. edición, Limusa-Wiley.México.Streeter V.L., Wylie E.B., Bedford K.W. (1999). “Mecánica de fluidos”. Novena edición. MeGraw-Hill,Colombia.64

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