distribuciones de probabilidad continuas

1. 1
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Nombre:
 Jorge Zambrano
CI: 22.200441
Cabudare, 23 de Noviembre del 2014

2. 2
INTRODUCCIÓN.
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es
similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el
pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario
de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos
naturales.
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la
investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades.
En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución
probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los
diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio
descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.

3. 3
Índice
Distribución gamma………………………………….………….……..Pág. Nº 4
Distribución Exponencial…………………………………….....…..…Pág. Nº 6
Distribución Erlang…………………………………………………….pág. Nº 9
Distribución Weibull…………………………………………………...Pág. Nº 12
Conclusión………………………………………………….…………...Pág. Nº 16
Bibliografías………………………………………………………….…Pág. Nº 17

4. 4
Distribución gamma
Aunque la distribución normal se puede utilizar
para resolver muchos problemas en la ingeniería
y las ciencias, hay numerosas situaciones que
requieren diferentes tipos de funciones de
densidad. Tal es el caso de las distribuciones
gamma y exponencial. Estas distribuciones
juegan un rol fundamental en los problemas de
confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en
instalaciones de servicio, y tiempos de fallas de
partes componentes y sistemas eléctricos.
La distribución gamma deriva su nombre de la conocida función gamma, que se estudia
en muchas áreas de la matemática.
La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos
parámetros y cuya función de densidad para valores es
Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función
gamma es (el factorialde ). En este caso - por ejemplo para
describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución distribución Erlangcon un
parámetro .
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son
Relaciones
El tiempo hasta que el suceso número ocurre en un Proceso de Poisson de
intensidad es una variable aleatoria con distribución gamma. Eso es la suma de
variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro .
Ejemplos
1. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución
de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra
menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada
del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

5. 5
a : Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo
pacientees 0,98.
2. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución
Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
 El tiempo medio de supervivencia.
 Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que
0,1.
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

6. 6
Distribución exponencial
En estadística la distribución exponencial es
una distribución de probabilidad continua con un
parámetro cuya función de densidad es:
Su función de distribución acumulada es:
Donde representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable
aleatoria X con distribución exponencial son:
La distribución exponencial es un caso particular
de distribución gamma con k = 1. Además la suma de
variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable
aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.
Calcular variables aleatorias
Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial por medio de
una variable aleatoria dedistribución uniforme :
O, dado que es también una variable aleatoria con distribución ,
puede utilizarse la versión más eficiente:
Relaciones
La suma de variables aleatorias independientes de distribución exponencial con
parámetro es una variable aleatoria de distribución gamma.
Ejemplos
El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial
con un promedio de falla de miu=2 años
¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho de 10 de tales interruptores, que
funcionan independientemente, fallen despuesde3er año?

7. 2) cierto proceso de manufactura produce pernos que tienen un diametro distribuido
uniformemente entre 1.20 y 1.25 pulgadas ¿que porcentaje de los pernos tendra un
diámetro menor a 1.23 pulgadas?
b) cuanto de los siguientes 1000 pernos producidos se espera tengan un diametro menor
a 1.23 pulgadas?
c)¿ cual es la probabilidad de que el sexto perno producido con un diametro menor a
1.23 pulgadas se encuentre hasta el onceavo perno revisado?
Si el promedio de fallos es 2 años sabemos que
7
E(X)=1/λ
Por lo tanto
2=1/λ
λ=1/2=0.5
las fórmulas de la exponencial es
f(x) = λ*exp(-λ*x)
P(X<=x) = F(x) = 1-exp(-λ*x)
La probabilidad que un interruptor falle
despues de 3 años es
P(X>3) = 1-P(X<=3) =
1-F(3) =
1- ( 1-exp(-0.5*3) ) =
0.2231
Es decir que la probabilidad que un
interruptor falle es p=0.2231
Para calcular la probabilidad que al
menos 8 de 10 fallen despues del 3 año,
necesitamos la distribución binomial
con parametros
n=10
p=0.2231
La fórmula es
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
En este caso
P(X=x) = C(10,x) * 0.2231^x *
0.7769^(10-x)
y debemos calcular
P(X>=8) = P(X=8) + P(X=9)
+P(X=10)
P(X=8) = C(10,8) * 0.2231^8 *
0.7769^(10-8) = 0.0001667
P(X=9) = C(10,9) * 0.2231^9 *
0.7769^(10-9) = 0.0000106
P(X=10) = C(10,10) * 0.2231^10 *
0.7769^(10-10) = 0.000000305
La suma de las probabilidades es
0.000178 y por lo tanto
P(X>=8) = 0.000178
2)
la funciones son
f(x)=1/(b-a) = 1/(1.25-1.20) = 20
F(X)= (x-a)/(b-a) = (x-1.20)/0.05 = 20x-
24
Es decir que
f(x)=20
F(x) = P(X<=x) = 20x-24
a)
Debemos calcular

8. 8
P(X<1.23) = F(1.23)
F(1.23) = 20*1.23-24 = 0.60 --> 60%
b)
El 60% de los pernos tienen menos de
1.23 pulgadas por lo tanto se esperan
entre los siguientes 1000:
1000*0.60 = 600 pernos con diametro
menor a 1.23
c)
Debemos utilizar la distribcuión
binomial negativa cuya fórmula es
P(X=x) = C(x+k-1,k-1) * p^k * (1-p)^x
donde k es el número de ensayos y x el
éxito.
En este caso tenemos que
p=0.60
k=6 <--sexto perno
x=11 <--- onceavo intento
P(X=6,k=11) = C(6+11-1,6-1) *0.6 ^6 *
0.4^11 =
P(X=6,k=11) = C(16,5)*0.6^6*0.4^11
P(X=6,k=11) = 0.0085
La probabilidad buscada es 0.0085

9. 9
Distribución de Erlang
Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función
de densidad para valores es
La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el
parámetro y . Para eso es la distribución exponencial.
Se utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo de espera hasta el suceso
número en un proceso de Poisson.
Esta función recibe su nombre del matemático e ingeniero danés Agner Krarup
Erlang que la introdujo en 1909.
Es una distribución de probabilidad continua con amplia aplicabilidad principalmente
debido a su relación con las distribuciones exponencial y gamma. La distribución de
Erlang fue desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas
que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las estaciones de
conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha sido ampliado para
tener en cuenta los tiempos de espera en los
sistemas de formación de colas en general. La
distribución se utiliza ahora en el campo de los
procesos estocásticos y de biomatemáticas.
La distribución es una distribución continua, que
tiene un valor positivo para todos los números
reales mayores que cero, y viene dada por dos
parámetros: la forma, que es un entero positivo,
y la tasa, que es un número real positivo. La
distribución se define a veces utilizando la
inversa de la tasa parámetro, la escala. Es la
distribución de la suma de las variables
exponenciales independientes con media.
Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la
distribución se simplifica a la distribución
exponencial. La distribución Erlang es un caso
especial de la distribución Gamma, donde el
parámetro de forma es un número entero. En la
distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.
Función de densidad de probabilidad

10. 10
La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es
El parámetro se denomina el parámetro de forma y el parámetro se denomina el
parámetro de velocidad. Una alternativa, pero equivalente, parametrización utiliza el
parámetro de escala que es el recíproco de la tasa de parámetro:
Cuando el parámetro de escala igual a 2, la distribución se simplifica a la distribución
chi-cuadrado con grados de libertad 2k. Por lo tanto, puede ser considerada como una
distribución chi-cuadrado generalizada, incluso para grados de libertad.
Debido a la función factorial en el denominador, la distribución Erlang sólo se define
cuando el parámetro k es un número entero positivo. De hecho, esta distribución se
llama a veces la distribución de Erlang-k. La distribución Gamma generaliza el Erlang
por lo que permite al ser cualquier número real, el uso de la función gamma en lugar de
la función factorial.
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa de la distribución de Erlang es: donde es la
función gamma incompleta más baja. La CDF también se puede expresar como
Aparición
Los tiempos de espera
Los eventos que se producen con independencia de algunos tasa media se modelan con
un proceso de Poisson. Los tiempos de espera entre k instancias del evento se
distribuyen Erlang.
La distribución de Erlang, que mide el tiempo entre las llamadas entrantes, puede ser
utilizado en conjunción con la duración esperada de las llamadas entrantes para producir
información acerca de la carga de tráfico medido en unidades de Erlang. Esto puede ser
usado para determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o retraso, de acuerdo con
diversas suposiciones hechas acerca de si las llamadas bloqueadas se abortan o en cola
hasta que se sirve. El Erlang-B y C fórmulas están todavía en uso todos los días para el
modelado de tráfico para aplicaciones tales como el diseño de los centros de llamadas.
A.K. Erlang trabajó mucho en el modelado de tráfico. Así pues, hay otras dos
distribuciones Erlang, ambos utilizados en el tráfico de modelos:
Distribución de Erlang B: este es el más fácil de los dos, y se puede utilizar, por
ejemplo, en un centro de llamadas para calcular el número de troncos de una necesidad
de realizar una cierta cantidad de tráfico telefónico con un cierto "servicio de destino".
Distribución de Erlang C: esta fórmula es mucho más difícil y es de uso frecuente, por
ejemplo, para calcular la llaman largos tendrán que esperar antes de ser conectado a un
ser humano en un centro de llamadas o situación similar.

11. 11
Procesos estocásticos
Distribuciones relacionadas
 Si, pues, con

 Si y luego
 Si, pues,
 Erlang distribución es un caso especial de tipo 3 de distribución de Pearson
 Si, pues,
 Si y luego
Ejemplos
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.
Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por
cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta
que ocurre el segundo ciclo. a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo
promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la media. Solución: X: Lapso
que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas. k=2l=2
ciclos/100 horas →l=0.02a-) P (m-s <>m+s) = P (29.29b-) P(X > m+2s) = P(X >
241.42) = 1 – P(X £ 241.42) =2.
Encuentre el número de dispositivos n requeridos para A = 60
Erlang y la probabilidad de pérdida de0.001.
Solución
Para E = 0.001, en las tablas puede verse que n = 83 corresponde al valor A de 60.403
Erlang, y n = 82al de A= 59.537.
Por tanto n=83. n Probabilidad de pérdida (E) n 0.000 0.0000 0.000 0.000 0.001 0.002
0.003 0.004 0.005 0.006 01 5 1 5 48.71 59.72 60.95 61.89 62.66 63.33 8 80 51.397
52.687 56.101 57.810 0 0 5 5 8 0 0 49.49 60.60 61.84 62.79 63.57 64.24 8 81 52.204
53.506 56.949 58.673 2 0 5 4 3 1 1 50.27 61.48 62.73 63.69 64.47 65.15 8 82 53.012
54.325 57.798 59.537 7 0 7 3 9 3 2 51.06 62.36 83 53.822 55.146 58.649 60.403 63 2 2
distribución de Weibull
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución
de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió
detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y
aplicada por primera vez porRosin y Rammler (1933) para describir la distribución de

12. 12
los tamaños de determinadas partículas.
La función de densidad de una variable aleatoria con la
distribución de Weibull x es:1
Donde es el parámetro de forma y es
el parámetro de escala de la distribución.
La distribución modela la distribución de fallos (en
sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a
una potencia del tiempo:
 Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece
con el tiempo.
 Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
 Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo
hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada
por:
Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro
de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este
modelo).
La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y
vale:
Propiedades de la distribución Weibull
Su función de distribución de probabilidad es:

13. 13
para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.
La tasa de fallos (hazard) es
La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es2
donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es
En particular, el momento n-ésimo de X es:
Su media y varianza son
y
Mientras que su asimetría y curtosis son
y
Dónde .
Distribuciones relacionadas
La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se
encuentra en la literatura.2 Tiene función de densidad
Para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde es el parámetro de
forma, es el parámetro de escala y , el de localización. Coincide con la

14. habitual cuando θ=0.
La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable
aleatoria X tal que
Sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1.2 De hecho, la distribución
de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la
de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.
La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente
cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad
tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la
densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene
una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene
pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la
densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a
una delta de Dirac soportada en x=λ.
La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución
uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces sigue una
distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular
numéricamente la distribución de manera sencilla.
La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull
distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un
caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este
contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.
14
Ejemplos
Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull
con? = 0.5 y = 0.01 . Calcular:
a. La vida media útil de ese artículo.
b. La variación de la vida útil.
c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.
Solución

15. 15
Conclusión
Para concluir distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos
los resultados posibles que podrían presentarse si se efectuara el experimento.
Las probabilidades que se asocian a cada uno de los valores que toma la variable
aleatoria x constituyen lo que se conoce como DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD,
la cual puede ser representada mediante unafunción matemática, una gráfica o una tabla
de valores. La diferencia consiste en que la función matemática se transforma en una
función probabilística.
Una distribución de probabilidad indica toda lagama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye
una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un
escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos
fenómenos naturales
Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los
resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten
describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y
tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar
diferentes valores) aleatoria x(porque el valor tomado es totalmente al azar).

16. 16
Bibliografía
 http://es.wikipedia.org/
 www.ub.edu/
 www.virtual.unal.edu.co/
 www.ingenieria.unam.mx/
 es.slideshare.net/
 www.material_simulacion.ucv.cl/