1. Chapitre 3 : Théorème de Gauss
Flux d’un champ de vecteurs………………………………………………………………. 31
Notion d’un angle 33
solide………………………………………………………………….... 34
Flux à travers une surface finie du champ créé par une charge ponctuelle………………... 37
Théorème de Gauss………………………………………………………………………... 38
Conséquence du théorème de Gauss………………………………………………………. 41
Forme locale du théorème de Gauss……………………………………………………….
Théorème de Gauss
I- Flux d’un champ de vecteurs
1) Représentation vectorielle d’une surface
Un élément de surface d’aire dS entourant un point M de l’espace, peut être représenté par le
uu
r uu
r r r
vecteur dS tel que : dS = dS.n où n est le vecteur unitaire normal à la surface d’aire dS au
point M.
2) Orientation d’une surface
L’orientation d’une surface est donnée par le sens de la normale qui peut être imposé d’une
façon arbitraire.
a) Cas d’une surface ouverte :
" une surface ouverte possède deux faces s’ouvrant sur l’extérieur "
Soit (C) le contour fermé sur lequel s’appuie la surface ouverte d’aire S (cf.fig.ci-dessous). On
choisit un sens de parcours arbitraire sur ce contour.
r
Le sens de n est donné par la règle de la main droite : On place n n
face positive
les doigts dans le sens de la circulation et le pouce levé indique le
sens du vecteur normal à la surface qui s’appuie sur ce contour.

n
dS
S
M
l’orientation du contour fixe le
sens de la normale à surface
dl
( C)

2. r
* La face qui se trouve du coté de n est par convention une face positive.
r
* La face qui se trouve du coté opposé à n est par convention une face négative
b) Cas d’une surface fermée :
" une surface fermée est une surface qui possède un intérieur et un extérieur "
r
Dans ce cas, il n’y a plus de bord, on convient de définir l’orientation de la normale n vers
l’extérieur de la surface.
3) Définition du flux
Etant donné un champ de
u
r r
vecteurs A uniforme et S une
surface plane orientée parallèle au
ur ur
vecteur A . Le flux noté Φ de A
à travers l’aire S est par
définition :
Φ=A S
Il mesure la quantité de lignes de
champ traversant la surface S.
Si la surface plane S est inclinée et fait un angle θ avec les lignes de champ (cf.fig ci-
dessous).

3. Le flux Φ dans cette configuration est donné par : Φ = A Sn (cf. définition ci-dessus)
Le nombre de lignes interceptées par Sn (projection de la surface S sur un plan normal aux
lignes de champ) est égal aux lignes de champ traversant S.
Soit : Φ = A S cosθ
ur r
On peut donc dire que le flux associé à un champ uniforme s’écrit : Φ=A.S
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface n’est pas plane, on divise la surface considérée
en petits éléments de surface ∆S pouvant être considérés comme plans.
Le flux total à travers la surface S est égal à la somme :
uur uuur uuu
r uuuu
r uur uuur
Φ = A1 . ∆S1 + A 2 . ∆S2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ Ai . ∆Si
i
A la limite, quand ∆S → 0 et i devient infini, cette somme discrète devient une intégrale
continue. On peut donc écrire :
ur uur
Φ= ∫ A . dS : l’intégration (ici double) porte sur la surface S
(S)

4. II- Notion d’angle solide
a) Définition
uu
r
L’angle solide élémentaire, noté dΩ, sous lequel on voit un élément de surface orienté dS
r r
r u
centré sur un point M, à partir d’un point O, est le flux du vecteur
3
= 2
à travers cet
r r
élément de surface.
dS
u
θ
n
M
face positive
r
dΩ
O u
r uu
r
r uu
r dS(M) cosθ uuu r
r r r dS
dΩ = 3
dS(M) = , OM = r = ru et n=
r r2 dS
b) Convention de signe de l’angle solide dΩ
r uu
r π
dΩ > 0 si r rentre du coté négatif de dS (0 < ).
2
uu π
r
dΩ < 0 si r rentre du coté positif de dS (
r < θ < π ).
2
L’angle solide global, sous lequel d’un point O, on voit une surface orientée S, est donné par
l’expression :
dS cosθ
Ω= ∫
(S)
dΩ = ∫
(S) r
2 : l’intégration (ici double) porte sur la surface S

5. III- Flux à travers une surface finie du champ électrostatique créé
par une charge ponctuelle
1) Flux élémentaire
r
Selon la définition du flux élémentaire d’un champ de vecteurs E en un point M :
dS E
θ
M
face positive
r
dΩ
O u
q
u uu
r r
r uu
r q u dS q dS cosθ
dΦ = E(M) dS(M) = 2
= 2
4πε o r 4πε o r
q
L’expression de dΦ peut être écrite sous la forme : dΦ = dΩ , où dΩ est l’angle solide
4πε o
uu
r
sous lequel du point O (où se trouve la charge), on voit l’élément de surface orienté dS .
u
r
2) Flux global de E
r
L’expression de flux global de E est donnée par :
l’intégration (ici double) porte sur la surface S
q dS cosθ q q
Φ=
4πε o ∫
s r
2
=
4πε o ∫ dΩ = 4πε
s o
Ω :
S
Ω l’angle solide sous lequel on voit la surface S
dΩ dS 1
O E1 E2
q
dS 2

6. u
r
1) Flux de E à travers une surface fermée
a) Cas ou la charge
est à l’extérieur de
la surface S
Si la charge q se trouve à
l’extérieur de S, alors le flux
r
de E à travers S est nul.
uu
r r q
En effet : dS1 = dS1 n 1 ⇒ dΦ1 = dΩ1
4πε o
uu
r r q
dS 2 = dS2 n 2 ⇒ dΦ 2 = dΩ 2
4πε o
r uu
r r uu
r
dΦ1 est le flux de E à travers dS et dΦ 2 est le flux de E à travers dS :
1 2
dΦ = dΦ1 + dΦ 2
Du point O, on voit les surfaces dS1 et dS2 de la même façon puisqu’ils correspondent au
même cône. D’après le signe de dΩ , nous avons dΩ1 < 0 et dΩ 2 > 0, c'est-à-dire :
dΩ1 = − dΩ 2 ⇒ dΦ1 = − dΦ 2 et dΦ = dΦ1 + dΦ 2 = 0 .
Le flux résultant à travers la surface S est alors nul : Φ = 0
b) Cas où la charge se trouve à l’intérieur de la surface S.
S E
M θ n
dS
dS1
S1 dΩ
Oq
R=1
q q
dΦ = dΩ ⇒ Φ= Ω
4πε o 4πε o
où Ω est l’angle solide sous lequel, de l’endroit où se trouve la charge, on voit la surface
interne de S. C’est aussi l’angle solide sous lequel, toujours de l’endroit où se trouve la charge
q, on voit une sphère S1 de centre O et de rayon unité. Il vient :

7. r
r uu
r dS(M) cosθ
dΩ = 3
dS(M) = = dS1
r r2
où dS1 est la surface élémentaire de la sphère S1 de rayon unité.
q
D’où : Ω = S1 = 4π , et finalement : Φ= 4π
4πε o
q
Soit : Φ =
εo
IV- Théorème de Gauss
1) Enoncé
r
Le flux du vecteur champ électrostatique E à travers une surface fermée est égal au quotient
par ε o de la somme des charges se trouvant à l’intérieur de cette surface.
Exemple : Soient un ensemble de six charges ponctuelles et une surface fermée S (cf.fg.ci-
r
dessous). Calculons le flux de champ E à travers S.
Sfermée
E
E
q
q 5
6 q
q 1
E E
2
q
3
r uu
r ∑q
Φ = Ñ
∫
S
E.dS = int
εo
r
Le champ E , en tout point sur la surface de Gauss, est créé par toutes les charges de la
distribution; mais dans le calcul du flux on ne tient compte que des charges internes.

8. q +q +q
Φ= 1 2 5
εo
2) Remarques
i/ Le théorème de Gauss peut être appliqué sur toutes les distributions (discrète, linéique,
surfacique ou volumique), qui présentent une symétrie.
ii/ La surface considérée qui est en général une surface fictive s’appelle surface de Gauss.
Cette surface est choisie en fonction du problème considéré.
iii/ Dans le cas de charges ponctuelles, on doit éviter que la surface de Gauss passe sur l’une
des charges. Cette difficulté disparaît dans le cas d’une distribution continue.
V- Conséquences du théorème de Gauss
1) Caractère conservatif du flux du champ électrostatique
a) Notion de tube de champ
Un tube de champ est une surface engendrée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant
sur un contour (courbe) fermé (cf.fig ci-dessous). Pour un champ uniforme, les lignes de
champ sont des droites parallèles. Dans ce cas, un cylindre dont l’axe est parallèle aux lignes
de champ est un tube de champ.
E
E
b) Enoncé
r
Le flux du vecteur champ électrique E à travers une surface fermée ne contenant pas de
r
charges est nul. Dans ce cas, on dit que E est à flux conservatif.
Dans la figure ci-dessous on a représenté un tube de champ et deux sections S1 , S2 de celui-ci.
Le flux à travers la surface S1 est Φ1 , le flux à travers S2 est Φ 2 et le flux à travers la paroi du
tube de champ Slat est Φ lat . E
n1 n2
S1 Slat
nlat
S2

9. D’après le théorèmeme de Gauss : Φ1 + Φ 2 + Φ lat = 0
r
Φ lat = 0 car le champ électrique est tangent en tout point à la surface Slat (le champ E ne
traverse pas la surface latérale).
Soit : Φ1 + Φ 2 = 0 et Φ1 = − Φ 2
A travers une surface fermée, de forme quelconque et ne contenant pas de charges, le flux du
r
vecteur champ électrique E entrant est égale au flux sortant. On dit dans ce cas que le champ
r
E est à flux conservatif.
3) Continuité ou discontinuité du champ à la traversée d’une surface
chargée
La composante tangentielle du champ électrostatique est continue. Par contre, la composante
normale du champ présente une discontinuité à la traversée d’une surface chargée.
ur
Soient σ la densité superficielle de charges et n1 la normale sur S, orientée du milieu  vers
le milieu  (cf.fig.ci-dessous). M1 et N1 sont deux points très proches situés de part et autre de
la surface chargée S.
a) Composantes tangentielles E 1N E1
milieu 1 E1 milieu 
n M2
S M1 E 1T
M1 S
σ N2
M
N1 E 2T
σ
N1 milieu 
E2
E 2N E2
milieu 2
E 1T
M1 M2
N 1
N2
E 2T

10. uuuuuuur uuuuuur
On choisit des points très proches de la surface tels que : M1M 2 = N1 N 2
A la traversée de la surface chargée et au voisinage de cette dernière, nous avons la continuité
du potentiel.
V(M1 ) = V(N1 ) et V(M 2 ) = V(N 2 )
ur uuuuuuur
Sachant que : V(M1 ) − V(M 2 ) = E M1 M 2
1T
ur uuuuuur
V(N1 ) − V(N 2 ) = E N1 N 2
2T
r r
On en déduit : E1 T = E 2 T
b) Composantes normales
E 1N
n1
dS 1M
1
milieu
milieu 1 n1 E1 dS 3 n
M dS
σ
M1 dS1
M dS 2 M milieu
charge interne 2
M2 dS2 = σdS
n2 E 2N
charge interne
E2
= σ dS
milieu 2
Le flux du champ à travers un cylindre de bases dS1 et dS2 (cf.fig.ci-dessus) est :
r uu
r r uu
r σ dS
Φ = Φ + Φ + Φ = E (M1 ) dS 1 + E ( M 2 ) dS 2 + Φ 3 =
1 2 3 εo
Φ3 étant le flux à travers la paroi latérale. Lorsqu’on fait tendre M1 et M 2 vers M on a :

11. u
r u
r u
r u
r
E 1 ( M1 ) → E 1 (M) , E 2 ( M 2 ) → E 2 (M) et Φ3 → 0
r uu
r r u
r r u
r r uu
r r u
r r u
r
Φ1 = E 1 dS1 = E 1 dS1 n 1 = E 1 dS1 n et Φ 2 = E 2 dS 2 = E 2 dS2 n 2 = − E 2 dS2 n
De plus dS1 = dS2 = dS , donc on peut écrire en M :
r u
r r u
r σ r r σ ur
E1 n − E 2 n = ou E1 N − E 2 N = n
εo εo
VI- Forme locale du théorème de Gauss
1) Notion de divergence
u
r u
r
On appelle divergence d’un champ de vecteurs A(M) , que l’on note div A , le scalaire :
u
r ∂A x ∂A y ∂A z
div A = + +
∂x ∂y ∂z
Théorème de la divergence
u
r
Le flux d’un champ de vecteurs A(M) à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de
u
r u
r
la divergence de A sur le volume τ intérieur à S. On suppose que les dérivées de A sont
continues.
L’expression mathématique de ce théorème est la suivante :
u uu
r r u
r
Φ= Ñ
∫
(S)
A dS = ∫
(τ)
div A dτ
2) Equation de Poisson
a) Expression de l’équation de Poisson
Dans la figure ci-dessous on a représenté une charge dq placée au point M et une surface
r
fermée dS traversée par des lignes de champ E .
E E
dτ dτ
ρ ρ
M
M
dS dS
dq = ρdτ > 0 dq = ρdτ < 0
les lignes de champ les lignes de champ
divergent convergent
div E > 0 div E < 0

12. r r uu
r dqρ(M) dτ(M)
Le flux du vecteur E à travers la surface dS est : Φ (M) = E(M) dS(M) = =
εo εo
où dτ est le volume intérieur à dS.
Le théorème de la divergence permet d’écrire :
r r ρ(M) dτ(M)
Φ (M) = div E(M) dτ(M) ⇒ div E(M) dτ(M) =
εo
r ρ(M)
soit : div E(M) =
εo
r r uuur ur
Par ailleurs V étant le potentiel associé à E : E(M) = − grad V(M) = − ∇ V(M) .
r uuur ρ(M)
Donc : div E(M) = − div (grad V(M)) =
εo
Finalement cette équation (appelée équation de Poisson) devient :
uuur ρ(M)
div(grad V(M)) + =0
εo
ρ(M) est le défaut ou l’excès de charges par unité de volume au point M.
b) Définition de laplacien
uuur
La quantité div (grad V(M)) est appelée le laplacien de V, notée ∆V.
Dans les trois systèmes de coordonnées, le laplacien a pour expressions :

13. ρ(M)
L’équation de Poisson peut s’écrire : ∆ V(M) + = 0
εo
c) Remarques
i/ Dans une région où il n’y a pas de charges, nous avons ρ = 0 et on obtient alors une
équation appelée équation de Laplace : ∆V = 0
ii/ Sous sa forme locale ou différentielle, le théorème de Gauss relie le champ électrostatique
en un point M à la densité de charges ρ(M) en ce point.