Equações polinomiais

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II Grau
Lista de exercícios de Polinômios e Equações Polinomiais
Coordenador: Turno:Tarde Data:_____/_____
Aluno (a):________________________________________turma______n0:____
Polinômios Exemplo: Verifique se uma das raízes de P(x) = 3x5 – 7x4 +
12x3 - 8x2 + x + 1 é igual a 1.
Denominamos polinômios na variável x e indicamos por
Solução
P(x) a expressão do tipo:
P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ….....+a1.x + a0
 Os números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são
números reis e os coeficientes desse polinômio. Igualdade (identidade de polinômios)
 Seus termos são: Sejam A(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an e
an.xn ;an-1.xn-1 ; an-2.xn-2 ;…..;a1.x;a0 e o termo ao é chamado de B(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–1x + bn, temos que A(x)
termo independente. = B(x) ou A(x) ≡ B(x), se, e somente se,
 n é um número natural a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn e A(k) = B(K), para todo K
complexo.
 A variável x∈ C.
Exemplo: Considere P(x)= x3+4x2- kx+1, onde -3 é uma de
Grau do polinômio. suas raízes. Calcule o valor de k.
Solução
É representado pelo maior expoente da variável x, que
possui coeficiente não-nulo e é indicado por gr(P).
Não se define grau num polinômio nulo.
Exemplo:
A(x) = 3x5 – 7x4 + 12x3 - 8x2 + x + 55 Gr(P) =________ Exemplo: Num polinômio P(x), do 3º grau, onde
P(x) = x3 + mx2 + nx + p, sendo P(1) = P(2) = 0 e
B(x) = x6 – 9x3 + 56x2 + 3 Gr(P) =________ P(3)=30.
Calcule o valor de P(-1).
C(x) = 9x10 – 6x4 + 16 Gr(P) =________ Solução
Devemos levar em consideração que os polinômios A(x) e
B(x) não estão na forma completa. Coloque-os:
A(x) =__________________________________________
B(x) =__________________________________________
Valor Numérico.
Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para x =
k, quando substituímos a variável x pelo número k e efetuamos
as operações indicadas.
Exemplo: Seja P(x) = x3 – 5x2 + 6x – 10, calcule o valor de
P(2)
Solução
Se P(k) = 0, diremos que k é uma raiz de P(x).
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

2. Professor Cristiano Marcell
Divisão de polinômios Dispositivo de Briot-Ruffini.
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) sendo um Exemplo: Divida o polinômio P(x) = 3x³ - 8x² +5x + 6 por x-2.
polinômio não nulo.
Devemos determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que +
satisfaçam as duas condições abaixo:
+
I ) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) +
2 3 -8 5 6
II) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
3 -2 1 8
Chamamos P(x) de dividendo, D(x) de divisor, Q(x) de Resto R(x)
x x x
quociente e R(x) é o resto da divisão.
P(x) é divisível por D(x) se, e somente se, R(x)=0
Exemplo: Determinar o quociente de P(x) =x4 + x3-7x2 + 9x -1
por D(x) = x2 +3x -2. Resposta: 3x² -2x +1 e resto R(x) = 8
Solução Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x +
10 por D(x) = x - 2.
Solução
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio
𝒃
ax+b é igual a 𝑷 − 𝒂 .
Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x +
Divisão de P(x) por um binômio da forma ax+b 10 por D(x) = x - 2.
Exemplo: Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 - 6x2 + 12x + Solução
10 por D(x) = x-2.
Solução
Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se
𝒃
𝑷 −𝒂 .
Exemplo: Determine o valor de m no polinômio P(x) = x³ - 6x²
+ 11x + m seja divisível por x – 3.
Solução
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

3. Professor Cristiano Marcell
Exercícios
14) (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) =
1) O resto da divisão de P(x) = ax3- 2x + 1 por Q(x) = x - 3 é 4. x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:
Nessas condições, o valor de a é: a) R(x) = 2x – 2
b) R(x) = -2x + 4
a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 7 c) R(x) = x + 2
d) R(x) = 4x – 4
2) A divisão do polinômio p(x) = x5 - 2x4 - x + m por q(x) = x - e) R(x) = -x + 4
1 é exata. O valor de m é
15) (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 por x – 2 é:
3) Sejam P(x) = 2x3 – x2 - 2x + 1 e Q(x) = x - a dois a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2
polinômios, com valores de x em IR . Um valor de a para que o
polinômio P(x) seja divisível por Q(x) é 16) (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 –
3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:
a) 1. b) -2. c) - 1/2. d) 2. e) 3.
a) x b) x – 1 c) x2 – 1
3 2 2
4) Se o polinômio x + px + q é divisível pelo polinômio x - d) x2 – 2x + 1 e) x2 – 3x + 3
6x + 5, então p + q vale:
17) (UEM-PR) A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por
a) -1 b) 3 c) 5 d) -4 e) 10 x – 1 oferece o seguinte resultado:
a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2
5) Na divisão do polinômio P(x) = x5 – 10x3 + 6x2 + x – 7 por b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2
D(x) = x(x – 1)(x + 1) encontrou-se como resto o polinômio c) Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16
R(x). Calcule R(1). d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0
e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2
6) Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x) = 2x3 –
ax + 4 18) (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x6 +
4x3 + 3 por x + 1 vale:
7) Qual o valor de m para que o polinômio x3 + 2x2 – 3x + m
ao ser dividido por x + 1, deixe resto 3? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
8) Considere o polinômio P(x) = ax2 + bx + c, onde P(0) = 80, 19) (UFRS) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e
P(20) = 65 e P(60) = 0. Com isso, determine o valor de a. resto 1. O polinômio P(x) é:
9) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é a) x2 + x – 1
divisível por x3 + 3x+2 + 9x + 3, segue que p é igual a b) x2 + x + 1
c) x2 + x
a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. d) x3 – 2x2 + x – 2
e) x3 – 2x2 + x – 1
10) Sabendo-se que A(x) = x3 + ax2 + bx - 6 é divisível por
B(x) = x2 - 3x + 2, calcule a + b. 20) (UFSE) Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g
= x2 – 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a:
11) (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – a) x2 + 1 e x + 1
1 por q(x) = 4x3 +1 é: b) x2 – 1 e x + 1
c) x2 + 1 e x – 1
a) x – 5 b) x – 1 c) x + 5 d) x2 – 1 e -1
d) 4x – 5 e) 4x + 8 e) x2 + 1 e 1
12) (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x 21) (FATEC-SP) Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 +
+ 1 por x2 – x + 2 ? 7x – 2 é Q(x) = x2- 3x + 1, então o outro fator é:
a) x + 1 b) 3x + 2 c) -2x + 3 a) x – 2 b) x + 2 c)-x – 2
d) x – 1 e) x – 2 d) -x + 2 e) x + 1
13) (CEFET-PR) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 22) Determine a e b de forma que, para todo x real e tal que | x |
+16x – 12 por Q(x) = x – 3 é: ≠ 1, se tenha
𝑎
+
𝑏
= 2
2𝑥
𝑥−1 𝑥+1 𝑥 −1
3 2 2
a) x – 3 b) x – x + 1 c) x – 5x + 6
d) x2 – 4x + 4 e) x2 + 4x – 4
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

4. Professor Cristiano Marcell
23) Reduzir a expressão mais simples: Equações Polinomiais.
3 3 3
a

b

c a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ ….....+an–1x+ an = 0, com
a  b a  c  b  c  b  a  c  a  c  b números complexos a0, a1, a2, a3,....., an-1 e an são os coeficientes
desse polinômios e n pertence aos naturais.
24) O retângulo ABCD da figura abaixo tem base igual a x  y
Pode ser escrita na forma fatorada.
. O segmento AF tem medida z . Sabe-se que
x 2  y 2  z 2  3,54 e que x z  y z  x y  0,62 . A área do a0(x – x1). (x – x2). (x – x3). (x – x4)...... (x – xn)=0
quadrado FBCE é Teorema Fundamental da álgebra.
Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n≥1 admite,
a) 2,10 pelo menos, uma raiz complexa..
b) 2,20
c) 2,30 Relações de Girard.
d) 2,40
e) 2,50 I) x1+ x2+ x3=  b
a
𝑥+5 𝑎 𝑏
25) Se a expressão 4𝑥 2 −1 = 2𝑥=1 + 2𝑥−1 , onde a e b são
II) x1. x2+ x2.x3+ x1.x3= c
constantes, é verdadeira para todo número real x · •1/2, então a
o valor de a + b é:
III) x1. x2. x3=  d
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 a
Rascunho
Exemplo: Uma das raízes da equação x3 – 6x2 +11x – 6 = 0 é
igual a 1. Determine as suas outras raízes.
Solução
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

5. Professor Cristiano Marcell
Multiplicidade da raiz de um polinômio 27) Uma das raízes da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0 é 1. As
outras raízes são:
Sabendo-se que 3 é raiz da equação
x7-15x6+94x5-330x4 +765x³-1323x² +1620x- 972 = 0, a) -2 e 2 b) 2 e 4
c) -2 e 3 d) 3 e 4
a) Determine a multiplicidade dessa raiz.
b) Encontre as outras raízes desse polinômio. 28) Se 3 + 2 i é raiz da equação x2 + mx + n = 0 com a e b
números reais, então m + n vale:
Solução
a) 7 b) – 4 c) – 6 d) 19 e) 2
29) Dada a equação polinomial com coeficientes reais
x3 - 5x2 + 9x - k = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número
complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de k encontrado no item anterior, determine as
outras duas raízes da mesma equação.
30) Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A.
p(x) = x3 - 12x2 + 44x - 48
O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por:
a) {0, 4, 8} b) {2, 4, 6}
c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6}
31) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x3 - 2x2 + x - 2
= 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a
a) 1. b) 2. c) 4. d) 8. e) 9.
32) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo
são dadas pelas raízes do polinômio x3 - 14x2 + 56x - 64.
Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.
33) Uma loja de produtos de beleza construiu sua vitrine em
acrílico, com as dimensões representadas na figura. A equação
matemática do volume desse paralelepípedo, definido quando x
> 4, sendo conhecidos a, b e c, é dada pelo polinômio
P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8. Sabendo que a soma de duas
das raízes do polinômio é igual a 5, pode-se afirmar, a respeito
das raízes, que:
Exercícios
a) nenhuma é real.
26) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – b) são todas iguais e não-nulas.
mx2 + 4x + 3 é igual a -1. Determinar c) somente uma delas é nula.
d) constituem uma progressão aritmética.
a) o valor de m. e) constituem uma progressão geométrica.
b) as raízes de p.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

6. Professor Cristiano Marcell
GABARITO
1 (a)
2 (e)
3 (a)
4 (a)
5 -9
6 10
7 -1
8 -7/480
9 (d)
10 5
11 (b)
12 (c)
13 (d)
14 (d)
15 (d)
16 (d)
17 (a)
18 (c)
19 (e)
20 (d)
21 (a)
22 a=b=1
23 0
24 (c)
25 (c)
26 a) m = 7
b) 3/2; 1 - 2 e 1 + 2
27 (c)
28 (a)
29 a) k = 5
b) 2 - i e 1
30 (b)
31 (e)
32 64 m2
33 (e)
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)