1. 1
Animaciones tomadas de: Wikipedia y
http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave
ONDAS
Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera,
Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile
Departamento Física Aplicada. UCLM

2. 2
Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz
de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática
del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.
Ondas transversales: Las oscilaciones
ocurren perpendicularmente a la dirección
de propagación en que se transfiere la
energía de la onda. Así ocurre por ejemplo
en una onda viajera en una cuerda tensa, en
este caso la magnitud que varía es la
distancia desde la posición horizontal de
equilibrio.
Ondas longitudinales: Aquellas en que la
dirección de propagación coincide con la
dirección de vibración. Así el momvimiento
de las partículas del medio es o bien en el
mismo sentido o en sentido opuesto a la
propagación de la onda. Por ejemplo, la
propagación del sonido en un fluido: lo que
cambia en este caso es la presión en el medio.
Vibración
PropagaciónVibraciónPropagación
Algunas ondas transversales, las ondas
electromagnéticas, pueden propagarse en
el vacío. Sin embargo, las ondas
longitudinales se propagan solo en medios
materiales.

3. 3
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
( )tvxfy ⋅±=Ecuación de ondas
Signo +
La onda viaja hacia la derecha
La onda viaja hacia la izquierda
Signo -
Espacio Tiempo
Velocidad
de fase
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
X
Y
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
X
Y
( )tvxfy ⋅−=
( )tvxfy ⋅+=
Forma de onda (perfil) f
Forma de onda (perfil) f
La ecuación de onda describe una onda
viajera si está presente el grupo (x ± v⋅t).
Esta es una condición necesaria. (El
término onda viajera se usa para enfatizar
que nos referimos a ondas que se
propagan en un medio, caso distinto del de
las ondas estacionarias que se
considerarán después.

4. 4
Onda armónica moviéndose hacia la derecha
( )tvxAy ⋅−=
λ
π2
sin
y
x
Ecuación de onda
( )tvxAy ⋅−=
λ
π2
cos
o
ONDAS ARMÓNICAS
Podemos elegir cualquiera de las dos formas
añadiendo una fase inicial ϕ0 al argumento de
la función…
Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. ?
… lo que significa que elegimos el
inicio de tiempos a nuestra conveniencia.
Una cosa más
Siempre que una onda
armónica se propaga en
un medio, cada punto del
mismo describe un
movimiento armónico.
0xx =
Por ejemplo:
Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su
ecuación en forma coseno, entonces ϕ0 = 0 y nos queda
( )2/
2
sin π
λ
π
+⋅−= tvxAy
( ) ( )00
2
cos ϕ
λ
π
+⋅−= tvxty
x
y
2/0 πϕ =
( )0
2
cos ϕ
λ
π
+⋅−= tvxAy
Esto describe exactamente la misma onda
( )tvxAy ⋅−=
λ
π2
cos
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda
usando la ecuación para el seno?
Respuesta:
Recordatorio: ( ) ( ) ( ) φπφπφπφ cos2/sincos2/cossin2/sin =+=+
Perfil de onda en t = 0
y depende sólo del tiempo
0xx =
λ es una distancia

5. 5Dependencia temporal en x = x0
t
y
Perfil de onda para t = t0
y
x
ONDAS ARMÓNICAS / 2
( )0
2
cos ϕ
λ
π
+⋅±= tvxAy
Ec. de onda armónica
(eligiendo forma coseno)
Velocidad de
fase
Espacio Tiempo
Recordatorio: la función coseno
es periódica, verificando que.
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
( ) ( )Ttftf +=
Periodo
( )0
2
cos ϕ
λ
π
+⋅±= tvxAy
Fase
Amplitud
Fase
inicial
Desplazamiento
1tt =
( )10 ,txy
2tt =
( )20 ,txy
T
T
espacio
tiempo
Valle
Cresta
A
-A
( )01,txy
1xx =
( )02 ,txy
2xx =
Puntos en fase
λ
Longitud de onda
Period
λ
Foto instantánea Gráfica posición / tiempo

6. 6
(s)t
π2
π2
(m)x
ONDAS ARMÓNICAS / 3
Ec. de onda armónica
(eligiendo forma coseno)
Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente
de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A.
Longitud de onda λ: distancia entre dos puntos
consecutivos cuya diferencia de fase es 2π. .
Número de ondas k: número de ondas contenido en una
vuelta completa (2π radianes). A veces se le llama número
de ondas angular o número de ondas circular.
m3/2πλ =
1-
m3
3/2
22
===
π
π
λ
π
k
Unidades S.I.: rad/m, pero a
menudo se indica solo m-1
.
1st
onda 2nd
onda 3rd
onda
Periodo T: tiempo que tarda la fase de la
onda armónica en aumentar 2π radianes.
Frequencia f: inversa del periodo.
La frecuencia nos dice el número
de oscilaciones por unidad de
tiempo. Unidades S.I.: s-1
(1 s-1
= 1
Hz).
Frecuencia angular ω: número
de oscilaciones en un intervalo
de fase de 2π radianes.
λ
π2
=k
f
T
2
2
π
π
ω ==
T
f
1
=
La velocidad de fase está dada por
kT
v
ωλ
==
( )0
2
cos ϕ
λ
π
+⋅±= tvxAy
Velocidad de
fase
Espacio Tiempo
Amplitud
Fase
inicial
Desplazamiento
( )0
2
cos ϕ
λ
π
+⋅±= tvxAy
Fase
En función del número de ondas y de la frecuencia
angular, la ecuación de onda se escribe como
( )δω +±= txkAy cosrad/s4
2/
22
===
π
ππ
ω
T
Hz
21
π
==
T
f
s2/π=T

7. 7
Ecuación de onda
( )2
4
4
tvx
y
⋅−+
=
donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x (m)
y (m) t = 0
t = 5
t = 10
EJEMPLOS
Ejemplo 1: pulso viajero
Cada perfil indica la
forma del pulso para
el tiempo señalado.
El pulso se mueve hacia la
derecha (sentido positivo del
eje X) a razón de 0.50 m/s

8. 8
Ecuación de onda
( )
( )2
21
2sen
tx
tx
y
++
+
=
donde x, y están en m, t en s
Gráfica de y en función
del tiempo (instantánea)
Ejemplo 2: pulso viajero
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x (m)
y (m)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t = 0
t = 2
t = 4
Cada perfil indica
la forma del pulso
para el tiempo
señalado.
Escribamos la ecuación de onda de
modo que el grupo x+v·t aparezca
explícitamente
2
2
41
2
2sen






++






+
=
t
x
t
x
y
Este pulso se mueve hacia la
izquierda (sentido negativo
del eje X) a razón de 0.50
m/s. Véase que v⋅t = t/2.
EJEMPLOS / 2

9. 9
Onda armónica ( )txy −= cos
Ejemplo 3: onda armónica viajera
donde x, y están en m, t en s
Comparar con
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
x (m)
y (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 2
t = 1
( )Hzs
2
11 1-
π
==
T
f
s2π=T
m2πλ =
λ
λ
λ
EJEMPLOS / 3
Esta onda se mueve hacia la derecha
(sentido positivo del eje X) con una
velocidad de 1.00 m/s
m/s1
m1
rad/s1
1-
===
k
v
ω
( )δω +±= txkAy cos λ
π2
m1 1-
==k
T
π
ω
2
rad/s1 ==
m1=A m/s1
m2
m2
===
π
πλ
T
v

10. 10
Onda armónica ( ) ( )txtxy −+−= 2sin2cos
Ejemplo 4
donde x, y están en m, t en s
EJEMPLOS / 4
x (m)
y (m)
2=t0=t 4=t
Esta onda se mueve hacia la
derecha (sentido positivo del eje X)
con una velocidad de 0.50 m/s
Número de ondas y frecuencia
rad/s1=ω
( ) ( )tkxtkxy ωω −+−= sincos
-1
m2=k
m
2
π
π
λ ==
k
s2
2
π
ω
π
==T
1-
s
2
11
π
==
T
f
λ
λ
λ
m/s5.0
m2
rad/s1
1-
===
k
v
ω
Velocidad de fase
Comparando A = 1 m, y

11. 11
VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS
µ
T
v =
ρ
B
v =
ρ
Y
v =
LL
AF
Y
/
/
relativotoalargamien
áreadeunidadporfuerza
∆
==
VV
P
B
/volumendevariación
presión
∆
−=−=
Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse.
Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.
Fluidos ρ → densidad del fluido (kg/m3
)
Módulo de compresibilidad
Solidos ρ → densidad del sólido (kg/m3
)
Módulo de Young
Cuerda
tensa
µ → densidad lineal de masa (kg/m) (N)cuerdaladetension=T
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO
( )δω +±= txkAy cos
( ) ( )δωω +±±−=
∂
∂
= txkA
t
y
y sin
( ) yAtxkA
t
y
y cos 22
2
2
ωδωω −=+±−=
∂
∂
=
Velocidad máxima ( ) Ay max
ω =
Aceleración
máxima Ay 2
max
ω−=
Velocidad en gases en función de la temperatura
M
TR
v
γ
=
-1
kg·mol0289.0=M
Aire:
-1-1
·molJ·K314.8=R

12. 12
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA
Cada sección de la cuerda (masa ∆m) oscila
hacia arriba y abajo debido a la energía
transportada por la onda.
Consideremos una onda transversal en una cuerda.
Según la onda se propaga en la cuerda, cada
punto de la misma describe un movimiento
armónico.
x x
m∆
A
A partir de la ecuación de onda, obtenemos para
el elemento ∆m en la posición fija x0
( )φω +±= txkAy cos 0
Puesto que en un punto fijo k.
x0 ie
constante, podemos escribir que
( )δω += tAy cos
Esta es la ecuación del movimiento armónico
descrito por el elemento de masa ∆m. La
frecuencia angular de ese movimiento es ω.
Recordemos que la energía de una masa ∆m
en un movimiento armónico de frecuencia
angular ω y amplitud A está dada por
0x
( )2
2
1
ωAmE ⋅∆=∆
Velocidad máxima
Sea µ la masa de la cuerda
por unidad de longitud ∆x xm ∆⋅=∆ µ
xAE ∆=∆
2
1 22
ωµ
tvx ∆⋅=∆
tvAE ∆=∆
2
1 22
ωµ
Potencia
transmitida
por la onda 2
1 22
vA
t
E
E ωµ=
∆
∆
=
Unidades: Julio/s = watio

13. 13
EL SONIDO
Sistema mecánico vibrante.
Variaciones de densidad en el medio
Frecuencia de vibración característica
(depende del sistema)
Onda mecánica. Transporte de energía
∆P
Mayor amplitud de vibración
Menor amplitud de vibración
A
A

14. 14
330
335
340
345
350
355
360
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura
v (m/s)
T (C)
Figura 1
EL SONIDO / 2
Máximos de presión
Mínimos de presión
ONDAS DE PRESIÓN
La velocidad del sonido
aumenta cuando aumenta
la rigidez del medio.
Sólidos
Líquidos
Gases
Velocidaddelsonido
M
TR
v
γ
=
-1
kg·mol0289.0=M
Aire:
-1-1
·molJ·K314.8=R

15. 15
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS
En el sonido la vibración de las partículas ocurre
en la misma dirección de la transmisión de la
onda: son ondas longitudinales. A la vibración
de las partículas del medio les corresponden
desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo
llamaremos aquí s0:
( ) ( )2/cos, 0 πω +±= txkstxs
En la transmisión del sonido, la masa vibrando
en cada punto será la que corresponda al
volumen elemental ∆V que contiene a dicho
punto, esto es ∆m = ρ ∆V. La energía asociada
con esta vibración es:
A tales desplazamientos les corresponden
variaciones de presión alrededor de un valor
de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas
π/2 rad respecto a ellos
( ) ( )txkptxp cos, 0 ω±=
donde 00 svp ωρ=
22
0
2
1
ωsmE ⋅∆=∆ 22
0
2
1
ωρ sV ⋅∆=
En términos de energía por unidad de volumen
22
0
2
1
ωρ s
V
E
⋅=
∆
∆
Energía movimiento armónico
0p
/ tx

16. 16
INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO
Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una
superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía
por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación
A
E
I

=
Frentes de onda
Rayos
Fuente
t
E
E
∆
∆
=
r∆
t
r
A
V
E
E
∆
∆
∆
∆
=
v
V
E
A
E
I
∆
∆
==

22
0
2
1
ωρ s
V
E
⋅=
∆
∆
00 svp ωρ=
v
p
s 0
0
ωρ
=
V
Vt
E
∆
∆∆
∆
= rA
tV
E
∆
∆∆
∆
=
vA
V
E
∆
∆
=
(transparencia anterior)
(transparencia
anterior)
vsI
2
1 22
0 ωρ=
2
1
2
1 2
02
2
0
v
p
v
v
p
I
ρ
ω
ρ
ρ =





=
0p
/ tx
2/0pprms =
Valor rms (valor eficaz)
2
v
p
I rms
ρ
=

17. 17
NIVELES
• Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel (por
ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad)
• Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia
del mismo tipo.






=
0
10log10
W
W
LW
Potencia de referencia: W0 = 10-12
W)120log10(
10
log10 1210 +=





= −
W
W
LW
Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente






=
0
10log10
I
I
LI
Intensidad de referencia: I0 = 10-12
w/m2
• Umbral de audición: 10-12
w/m2
(0 dB)
• Umbral de dolor: 1 w/m2
(120 dB)
Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente
)120log10(
10
log10 1210 +=





= −
I
I
LI
Nivel de presión sonora: Recepción del sonido de una fuente
Pa102referenciadepresión 5−
⋅=refp








=








=
refref p
p
p
p
L rmsrms
P 10
2
10 log20log10
(definido en términos del cociente de presiones al cuadrado porque la
intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la presión sonora)

18. 18






=
0
10log10
I
I
LI






=
0
102
2
log10
I
I
L I
2log10log10 10
0
10 +





=
I
I
dB33log10
0
10 +=+





= IL
I
I
NIVELES: EJEMPLO
a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?
b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?
Se dobla la intensidad






=
0
1010
10
log10
I
I
L I
10log10log10 10
0
10 +





=
I
I
dB1010log10
0
10 +=+





= IL
I
I
Se multiplica por 10 la intensidad

19. 19
Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que
esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno
respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el
movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la
frecuencia es menor.
EFECTO DOPPLER
Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor
Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de
tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por
la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es
mayor que la frecuencia de emisión.
Fuente alejándose del receptor
Sucesivas ondas emitidas en
intervalos de tiempo iguales

20. 20
EFECTO DOPPLER (2)
s
s
r f
uv
v
f
±
=
v → velocidad de la onda
fr → frecuencia que mide el receptor
fs → frecuencia de la fuente
Subíndice s (fuente)
Subíndice r (receptor)
Alejamiento: signo +
Acercamiento: signo −
us → velocidad de la fuente
Ejemplo. Un tren pasa por una estación a
una velocidad de 90 km por hora. La
frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz.
¿Qué frecuencia percibirá una persona en
el andén de la estación cuando el tren se
acerca y cuando el tren se aleja?
Suponemos que la velocidad del sonido es
de 340 m/s.
m/s25km/h90 ==v
rf
sf
su
rf ′
Hz8.14241320
25340
340
=
−
=rfAcercándose
Hz6.12291320
25340
340
=
+
=′rfAlejándose

21. 21Galaxia de Andrómeda
Galaxia de Pegaso
EFECTO DOPPLER (3)
El desplazamiento al rojo

22. 22
ONDAS ESTACIONARIAS
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes
y frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.
Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de
la forma (k x -ω t).
Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga
hacia la derecha (→) en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo
derecho y da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda (←). Su combinación puede
formar ondas estacionarias.
Onda incidente, direccion (→): )cos(1 tkxAy ω−=
Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia π radianes (se invierte).
Onda reflejada, direccion (←): )cos(2 πω ++= tkxAy
T
fk
π
πω
λ
π 2
2
2
===
)cos(sin)sin(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy ωπωπωπω +−=+−+=++=
)cos(1 tkxAy ω−=
)cos(2 tkxAy ω+−=
tkxAtkxA ωω sinsincoscos +=
tkxAtkxA ωω sinsincoscos +−=
tkxAtkxAtkxAyyy ωπωω sinsin2)cos()cos(21 =+++−=+=
Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de
amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero
no del tiempo, pues el grupo kx-ωt no aparece. No es una onda viajera.

23. 23
Como los extremos de la cuerda están fijos, la
amplitud de vibración de tales puntos debe ser
nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes
condiciones se deben verificar en todo momento:
¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas
estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y
número de ondas?
NO!
00sin20
===
Ay x
0sin2 ===
kLAy Lx
π
λ
π
nL =
2
2
λ
nL =
La igualdad L = nλ/2 significa que sólo aparecerán
ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L
sea un múltiplo entero de media longitud de onda.
µ
T
L
n
fn
2
=
n
L
n
2
=λ
ONDAS ESTACIONARIAS / 2
tkxAyyy ωsinsin221 =+=
,...3,2,1=nπnkL =
Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que
n
L
n
2
=λ
L
v
nfn
2
=
A partir de la relación entre frecuencia y longitud de
onda f = v/λ, donde v es la velocidad de propagación,
n
n
v
f
λ
=
µ
T
v =La velocidad es ...3,2,1=n
n = 1 → f1 frecuencia fundamental
n > 1 → fn armónicos superiores
Nod0Nodo Nodo Nodo Nodo
Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo
Ejemplo:
4o
armónico
n = 4
n+1 nodos
n antinodos

24. 24
Onda estacionaria en una cuerda
7th
ARMÓNICO
Pesas para
tensar la cuerda
n = 1 → f1
Frecuencia
fundamental
n = 2 → f2
2º
armónico
n = 3 → f3
3er
armónico
ONDAS ESTACIONARIAS / 3

25. 25
ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO
Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud
dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 5⋅10-3
kg/m.
n
n
v
f
λ
=
µ
T
v =
m5.1
4
322
4 =
⋅
===
n
L
n λλ
4o
armónico n = 4 → de L = nλ/2 se obtiene
a) Calcular la tensión de la cuerda
m/s605.14044 =⋅=⋅= λfv
N1860105 232
=⋅⋅=⋅= −
vT µ
b) La
amplitud de
los antinodos es
( )4sinsin2 == ntxkAy nnn ω
3.25 cm. Escribir la
ecuación de este armónico
de la onda estacionaria
1-
4
4 m
5.1
22 π
λ
π
==k
rad/s802 ππω == nn f
cm25.32 =A
(cm)80sin
5.1
2
sin25.3 txy π
π
⋅=
c) Calcular la frecuencia fundamental.
1
1
λ
v
f =
m6
1
32
1 =
⋅
=λ
La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que
Hz10
6
60
1
1 ===
λ
v
f (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f4 = 4 f1)