Ejercicios formas onda_fourier

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Ejercicios formas onda_fourier

  1. 1. EJERCICIOS DE FORMAS DE ONDA y DESARROLLOS EN SERIE DE FOURIER. EJERCICIO 1.- Hallar el valor eficaz, Y, de las formas de onda representadas en la figura. RESOLUCIÓN: Los valores eficaces de las tres formas de onda son iguales. Para la segunda forma de onda se tiene que: t y ( t )= Ym x T = Y 3 [ t 2 ∫ ] 3 2 m t d t= Y T 2 m T Y = 1 Y T 2 m T 0 3 2 3 2 T 0 Y = Y m m =0,577 Y 3 EJERCICIO 2.- Hallar el valor medio y el valor eficaz de una onda sinusoidal alternada no simétrica de período 2π.
  2. 2. RESOLUCIÓN: Sea la onda sinusoidal alternada no simétrica de la figura La función de onda vendrá dada por: y ( t )=Y0+Ym x sen ω t El valor medio se obtendrá como: med ∫ π Ymed =Y0 = 1 Y ( 1 Y 0 +Y m x sen t ) dt= 0 π ω π π Y 2 2 2 2 0 El valor eficaz se calcula como: = 1 Y 2 ( Y +Y x sen t ) dt 2 ω 2 0 m 2 0 π π ∫     2 π ω ω ω   - sen 2 t 2     4 t = 1 Y 2 Y 2 +2 Y Y x ( - t ) +Y 2 0 2 2 0 m 0 2 0 π π π cos max   Y 2 = 1  π π 2  2 Y x + 2 2 Y 2 m 2 0 π Y = Y + Y x 2 2 2 m 0 EJERCICIO 3.- Hallar el valor eficaz de la onda representada en la figura. RESOLUCIÓN: Por tratarse de una función discontinua habrá que considerar el valor de dicha función en cada intervalo dentro del período. Así se tiene que: 0 ≤ t ≤ 0,01 s y (t)=1.000 t
  3. 3. 0,01≤ t 0,02 s y (t)=10 0,02 ≤ t ≤ 0,03 s y (t)=0 El valor eficaz vendrá dado por:     ∫ 1.000 t d t + ∫ 10 d t = 1 Y 2   0,03 0,02 0,01 2 2 0,01 0 2     +10 t 1.000 t 3 = 1 Y 0,03 0,02 0,01 2 0,01 0 3 2 2 = 1 Y 2  +10 x 0,01 =44,4 1.000 x 0,01 3 0,03 3  2 2   Y =6,67 EJERCICIO 4.- Calcular los valores medios y eficaces de las siguientes formas de onda, utilizando las correspondien-te definiciones: Onda cuadrada: Onda triangular: Onda rectificada: Onda doblemente rectificada:
  4. 4. RESOLUCIÓN: ONDA CUADRADA La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como: y ( t )=Y x 0 t ω ω π m ≤ ≤ y ( t )=-Y x t 2 ω π ω π m ≤ ≤ la función tiene un período T = 2 π. Valor medio: med ∫ ω ω y ( t ) d t = 1 Y T T 0     2 ∫Y d t - ∫ Y d t   = 1 Y 2 med ω ω 0 π π π π max max Ymed =0 Valor eficaz: = 1 Y 2 2 ∫ ω ω y ( t ) d t T T 0     2 ∫Y d t + ∫ Y d t = 1 Y 2   2 2 2 ω ω 0 π π π π max max Y = Y ( - 0+2 - )=Y 2 2 2 2 max max π π π π Y =Ymax
  5. 5. Factor de amplitud: =1 = Y max max Y F.A.= Y Y max Factor de forma: =1 = Y Y F.F.= Y Y ( doblemente rectificada ) max med max ONDA TRIANGULAR La función de onda, de la onda triangular, puede venir dada por:            ω π ω ω max 0 t π  ≤ ≤ 2 t y ( t )=Y 2            2 - t y ( t )=Y π ω π ω ω  ≤ ≤ 2 2 t 3 max 2 π            π ω π ω ω ≤ ≤ - 4  2 t t 2 y ( t )=Y 2 3 π max cuyo período es de: T = 2 π. Valor medio: med ∫ ω ω y ( t ) d t = 1 Y T T 0 t  - 4 d t 2  ∫  max ∫ max d t + ∫ Y max  2 - t d t + Y ω ω ω      med π ω 2 2 t = 1 Y 2 Y 2 2 3 2 3 2 2 0 ω ω π π π π π π π                                Ymed=0 = 1 Y 2 2 ∫ ω ω Valor eficaz: y ( t ) d t T T 0 t  - 4 d t 2  ∫   max ∫ max d t + ∫ Y max  2 - t d t + Y ω ω ω    2 ω π 2 2 t = 1 Y 2 Y 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 0 ω ω π π π π π π π                                max Y = Y 3
  6. 6. Factor de amplitud: = 3 = Y max max Y / 3 F.A.= Y Y max Factor de forma: =1 15 = Y max / 3 Y / 2 F.F.= Y Y med ( doblemente rectificada ) ′ max ONDA RECTIFICADA La onda rectificada de una onda senoidal se expresa por: y ( t )=Y sen ( t ) 0 t ω max ω ≤ ω ≤ π y ( ω t )=0 π ≤ ω t ≤ 2 π con un período T = 2 π. Valor medio: med ∫ ω ω y ( t ) d t = 1 Y T T 0 = 1 Y Y sen ( t ) d t 2 med ω ω 0 π π ∫ max Y = Y med max π Valor eficaz: = 1 Y 2 2 ∫ ω ω y ( t ) d t T T 0 = 1 Y 2 2 2 ω ω Y sen ( t ) d t 2 0 π π ∫ max 0 2 t - sen 2 t 2 4 Y = Y 2 ω ω π  max  π   Y = Y max 2 Factor de amplitud: = 2 = Y max max Y / 2 F.A.= Y Y max
  7. 7. Factor de forma: =1 57 = Y max / 2 Y / F.F.= Y Y med ′ max π ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA La función de onda será: y (ω t )=Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π con un período T = π. Valor medio: med ∫ ω ω y ( t ) d t = 1 Y T T 0 Y sen ( t ) d t = 1 Y med ω ω 0 π π ∫ max π Y = 2 Ymed max Valor eficaz: = 1 Y 2 2 ∫ ω ω y ( t ) d t T T 0 π ∫ max = 1 Y 2 2 Y sen ( t ) d t 2 ω ω π 0 0 2 - sen 2 t 2 4 Y = Y t ω ω π  max  π   Y = Y max 2 Factor de amplitud: = 2 = Y max max Y / 2 F.A.= Y Y max Factor de forma: =1 11 = Y max / 2 2 Y / F.F.= Y Y med ′ max π
  8. 8. EJERCICIO 5.- Calcular las expresiones del valor medio y el valor eficaz de la onda rectificada de la figura en función de θ. RESOLUCIÓN: Dentro del intervalo correspondiente al período de la forma de onda, se presentan tres intervalos, en dos de los cuales la función es nula y, por tanto, solo en el intervalo θ - π la función es distinta de cero y con un valor de: v (t)=vo sen ( ω t ) El valor medio vendrá dado por la expresión: = 1 V m 0 ω ω ∫ v [- ( t ) ] 2 v sen ( t ) d t 2 π π θ = 1 V m o π θ ω π cos ( 1+ ) V = vo m θ 2 π cos El valor eficaz se obtiene como: = 1 V 2 2 ∫ v sen ( t ) d t 2 2 ω ω 0 π π θ t - sen 2 t 2 4 V = v 2 2 2 o π θ ω ω   π    π θ θ 2 o   + sen 2 2 4 - V = v 2 2 π 2
  9. 9. 1 - + sen 2 π θ θ π 2 V = vo 2 EJERCICIO 6.- Hallar el valor eficaz de una onda completa senoidal rectificada cortada en la mitad de su valor máximo, tal como se indica en la figura. RESOLUCIÓN: Al cortar la onda por la mitad de su valor máximo se obtienen los dos ángulos de corte que definen los intervalos de discontinuidad de la función. Así se tiene que: y (t)=Ym senω t 0,5 Ym= senω t ω t=30° por tanto: = 5 6 1= 2 6 π θ π θ El valor eficaz de la función se expresará como:       5 ∫ Y sen t d t + ∫ 0,5 Y d t + ∫ Y sen t d t = 1 Y 2 2    2 ω ω ω ω ω π  m 5 6 2 m 2 6 6 2 2 m 6 0 π π π π π           - sen 2 t 2 4 5 t + t +o,5 - sen 2 t 2 4 = y t Y 5 6 6 6 2 6 0 2 2 m π π π π π ω ω ω ω ω π Y =0,44 Y m
  10. 10. EJERCICIO 7.- Obtener los desarrollos trigonométricos en términos en series de Fourier de las formas de onda indicadas en el EJERCICIO 4. RESOLUCIÓN: ONDA CUADRADA La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como: y ( t )=Y x 0 t ω ω π m ≤ ≤ y ( t )=-Y x t 2 ω π ω π m ≤ ≤ la función tiene un período T = 2 π. 0 ω ω cos Σ∞ El desarrollo pedido será de la forma: y ( t )= a + an ( n t )+bn sen ( n t ) n = 1 ω = 2 π siendo: ( T , periodo de la funcion ) T CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES: 0 ∫ y ( t ) d t a0=0 Onda simetrica alternada = 1 a T T o Por otro lado se sabe que, por ser una función impar los términos an = 0 y por tener simetría de semionda bn = 0 con n impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno. n ∫ cos ω ω y ( t ) ( n t ) d t = 2 a T T 0     ∫Y ( n t ) d t - ∫ Y ( n t ) d t   = 2 a 2 n ω ω ω ω π 0 π π π max cos max cos [ | - sen n t ] | =0 n _ max n = Y sen t a n 2 0 π π ω π ω π an=0 n ∫ ω ω y ( t ) sen ( n t ) d t = 2 b T T 0     ∫Y sen ( n t ) d t - ∫ Y sen ( n t ) d t   = 2 b 2 n ω ω ω ω π 0 π π π max max
  11. 11. [ 2 | + n t ] = Y - t b max cos cos n | 0 n n π π ω π ω π b = Y n - n + 0+ 2 n - n = Y π [ ] [ 2 - 2 n ] max cos cos cos cos max cos n n π π π π π Ahora bien, teniendo en cuenta que: n 1 2 3 ... n cos n π - 1 1 - 1 ... ( - 1 )n  [   se tiene que: 1 - ( - 1 ) ] = 2 Y 1 - ( - 1 )  n b = 2 Y n n n max max n π π y por tanto: n 1 2 3 ... n [ 1 - ( - 1 )n ] / n 2 / 1 0 2 / 3 ... 2 / nimpar Así pues, = 4 Y 1 b n impar max n π y ( ω t )= Σ∞ 4 Y max 1 El desarrollo buscado será: sen n t n n = 1 ω π Para los primeros armónicos se tiene:   y ( t )= 4 Y sen ω t + 1 ω ω ω sen 5 t + 1 5  sen 7 t ...  7 sen 3 t + 1 3 ω max π para los cuales se verifica que: c0=0 c = 4 Y 1 max 2 π c = 4 Y 3 max 3 2 π c = 4 Y 5 max 5 2 π c = 4 Y 7 max 7 2 π como: +...+ c 2 n Y = c + c 2n 2 2 1 0 por tanto: Y = 0′97 Ymax ONDA TRIANGULAR La función de onda correspondiente a la onda triangular es:
  12. 12.            ω π ω ω max 0 t π  ≤ ≤ 2 t y ( t )=Y 2            2 - t y ( t )=Y π ω π ω ω  ≤ ≤ 2 2 t 3 max 2 π            π ω π ω ω ≤ ≤ - 4  2 t t 2 y ( t )=Y 2 3 π max cuyo período es de: T = 2 π. Como en el caso anterior, se trata de una función alternada simétrica por lo que su valor medio es nulo, es decir, a0 = 0, es una función impar, por lo cual los términos an = 0, y por tener simetría de semionda bn = 0 con n impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES: a0=0 an=0 n ∫ ω ω y ( t ) sen ( n t ) d t = 2 b T T 0  π ∫ ( t ) sen ( n t ) d t + n ω ω ω π π  / 2 /2 b = 1 Y 0 max ( t ) sen ( n t ) d t + / 2 3 /2 + 2 Y sen ( n t ) d t - Y /2 3 /2 /2 ω ω ω π ω ω π π π π max ∫ max ∫  ∫ ( t ) sen ( n t ) d t - ∫ 4 Y sen ( t ) d t  / 2 + Y 2 3 /2 2 3 /2 ω ω ω ω ω π π π π π max max   - sen n 3 2 b = 4 Y n 2 2 max Operando se tiene que:   n sen n n π π π por tanto: π ( n - 1 ) sen n 2 =( - 1 ) n=impar 2 sen n π =0 n= par ( Simetria de semionda ) 2 así, se obtiene: 2 sen n b = 8 Y n 2 2 n π π b = 8 Y 2 max max ( - 1 ) para n=1,3,5,... n ( n - 1 ) n 2 2 π
  13. 13. y ( t )= 8 Y ( - 1 ) 2 n - 1 ω max Σ El desarrollo buscado es: sen n t 2 ω π n 2 n = 1, 3, 5, ...  y ( t )= 8 Y sen t - 1 2 ω ω ω sen 3 t + 1 9  sen 5 t +... ω max Para los primeros armónicos se tiene:   25 π ONDA RECTIFICADA La función de onda se expresa por: y ( t )=Y sen ( t ) 0 t ω max ω ≤ ω ≤ π y ( ω t )=0 π ≤ ω t ≤ 2 π con un período T = 2 π. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES: 0 ∫ ω ω y ( t ) d t = 1 a T T 0 ( 2 ) Y sen t d t= Y 2 0 π 2 = 1 a 0 ω ω π π max ∫ max a = Y 0 max π n ∫ ω cos ω ω y ( t ) n t d t = 2 a T T 0 = 2 a Y sen t n t d t 2 n ω ω ω 0 π π ∫ max cos ( 1+ n ) a = -Yn 2 cos π max n - 1 π ∫ max cos Y sen t t d t=0 = 1 Para n=1 => a 1 ω ω ω π 0 ≥ ∫ max cos Y sen t n t d t = 1 Para n 2 => a π n ω ω ω π 0 pero para n impar se verifica que cos n π = - 1, por tanto, an = 0 para n= 2,4,6,... a = - 2 Y n 2 max n - 1 n ∫ ω ω ω y ( t ) sen n t d t = 2 b T T 0 2 = 1 Para n=1 => b 2 Y sen t d t= Y 0 1 max max ω ω π π∫
  14. 14. ≥ ∫ max Y sen t sen n t d t=0 = 1 Para n 2 => b π n ω ω ω π 0 sen t - 2 Y 1 y ( t )= Y + Y 2 ω max max max cos Σ El desarrollo buscado es: n t n - 1 2 n = 2, 4, 6, ... ω π ω π Para los primeros armónicos se tiene:   2 t + 1 sen t - 2 Y 1  4 t +... y ( ω t )= Y max + Y max max cos ω cos ω  15 3 2 π ω π ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA La función de onda será: y (ω t )=Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π con un período T = π. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES: 0 ∫ y ( ω t ) d ω t Y sen t d t= Y ( 2 ) = 1 a T T 0 = 1 a 0 π 0 ω ω π π max ∫ max n ∫ ω cos ω ω y ( t ) n t d t = 2 a T T 0 π ∫ max cos Y sen t n t d t = 2 a n ω ω ω π 0 π = - 2 a Y max cos n +1 n 2 n - 1 π a = 2 Y 0 max π De la tabla de valores: n 1 2 3 ... n cos n π - 1 1 - ... ( - 1 )n se obtiene: Para n impar => an=0 Para n par => =- 4 1 a Y max n π n 2 - 1 n ∫ ω ω ω y ( t ) sen n t d t = 2 b T T 0
  15. 15. π ∫ max Y sen t sen n t d t=0 = 2 b n ω ω ω π 0 bn=0 y ( t )= 2 Y - 4 Y 1 2 ω cos max max Σ∞ El desarrollo buscado es: n t n - 1 n = 2, 4, 6, ... ω π π Para los primeros armónicos se tiene: y ( t )= 2 Y - 4 Y 1 ω  2 t + 3 ω max max cos  π π 1 cos ω cos ω 6 t +...   4 t + 1 35 15 Ultima revisión: 09/12/01 -  F Bugallo Siegel.

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