INVESTIGACION DE OPERACIONES Programación Lineal
Objetivos del Capítulo <ul><li>Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal. </li></ul><ul><l...
<ul><li>Conceptos de análisis de sensibilidad: </li></ul><ul><li>* Reducción de costos. </li></ul><ul><li>* Rango de optim...
2.1 Introducción a la Programación Lineal <ul><li>Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función...
<ul><li>La importancia de la programación lineal: </li></ul><ul><li>* Ciertos problemas se describen facilmente a través d...
2.2  El problema de la industria de  juguetes “Galaxia”. <ul><li>Galaxia produce dos tipos de juguetes: </li></ul><ul><li>...
<ul><li>Requerimientos de Marketing. </li></ul><ul><li>* La producción total no puede exceder de 800 docenas. </li></ul><u...
<ul><li>Plan común de producción para: </li></ul><ul><li>* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores  </li>...
El gerente siempre buscará un esquema de producción que incrementre las ganancias de su compañía
EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE  UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA
Solución <ul><li>Variables de decisión </li></ul><ul><li>* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por  </li></u...
<ul><li>Modelo de Programación Lineal </li></ul><ul><li>  Max 8X1 + 5X2  (ganancia semanal) </li></ul><ul><li>Sujeto a: </...
2.3 Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal. <ul><li>El conjunto de puntos que satisface todas las  </li></...
<ul><li>USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES,  LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS D...
1200 600 Factible X2 No Factible Horas de Producción 3X1+4X2<=2400 Restricción del total de producción: X1+X2<=800 600 800...
2.4 Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.
600 800 1200 400 600 800 X2 X1 comenzar con una ganancia dada de = $2,000... 2 , Entonces aumente la ganancia... 3, 4, ......
600 800 1200 400 600 800 X2 X1 Se toma un valor cercano al punto óptimo Feasible region Región Factible Región no factible
<ul><li>Resumen de la solución óptima </li></ul><ul><li>Space Rays  = 480 docenas </li></ul><ul><li>Zappers  = 240 docenas...
<ul><li>Soluciones óptimas y puntos extremos. </li></ul><ul><li>* Si un problema de programación lineal tiene una solución...
<ul><li>Solución mediante el método Simplex </li></ul><ul><li>Partamos de la base que el problema a resolver es el siguien...
<ul><li>Restricciones del Algoritmo </li></ul><ul><li>a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo. </li><...
<ul><li>c) Todas las variables deben ser mayores que cero. </li></ul><ul><li>x1 - x2  +  S4   +  a1  = 450 a1= Var artific...
2.5 Análisis de sensibilidad para la solución óptima. <ul><li>¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros ...
2.6   Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo <ul><li>Rango de optimalidad </li></ul><ul><ul><...
   Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima 600 800 1200 X2 X1 Max 8x1 ...
   Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima 600 800 1200 400 600 800 X2 ...
   Cambios Múltìples <ul><li>El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia....
   Regla del 100% <ul><li>Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar c...
<ul><li>   Reducción de costos </li></ul><ul><ul><li>La reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnment...
2.7   Análisis de Sensibilidad del  coeficiente del lado derecho <ul><li>Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una r...
   Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa responder las siguient...
1200 600 X2 Feasible X1 600 800 2x1 + 1x2 <=1200 2x1 + 1x2 <=1350 Puntos   extremos Restricción materiales  (plásticos) Re...
   Interpretación correcta del precio sombra <ul><li>Los costos amortizados:  El precio sombra, es el valor por una unida...
   El rango de factibilidad <ul><li>El conjunto de los coeficientes del lado derecho  entregan el rango para que el mismo...
2.8  Otros cambios para optimizar la función objetivo <ul><li>   La incorporación de una restricción. </li></ul><ul><li>...
2.9   Modelo sin solución óptima <ul><li>No factible:  Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto de factible. </li></...
Infactibilidad Ningún punto se encuentra,  simultáneamente, sobre la línea  la línea   y 1 2 3 1 2 3
Solución No Acotada La región factible Maximizar La función objetivo
2.10 Dieta Marina <ul><li>Un problema de minimización del costo de la dieta: </li></ul><ul><li>Mezcle dos porciones de lo ...
  Variables de decisión: x1 (X2) - -  El cantidad de Texfoods (Calration) se usó en cada porción (cada 2 onzas) . <ul><li>...
La solución gráfica 5 4 2 2 4 5 Región factible Restricción de vitamina D Restricción de vitamina A Restricción de hierro
 Resumen de la solución óptima <ul><li>Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas) </li></ul><ul><li>Producto Calration =...
2.11 Solución para problemas lineales con muchas variables de decisión usando el computador <ul><li>Los paquetes de progra...
 La solución generada por un software de programación lineal incluye: <ul><li>Los valores óptimos de la función objetivo....
WINQSB datos de entrada para el problema de las industrias galaxia Las variables y los nombres de las restricciones  puede...
 
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Programacion lineal

  1. 1. INVESTIGACION DE OPERACIONES Programación Lineal
  2. 2. Objetivos del Capítulo <ul><li>Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal. </li></ul><ul><li>Representación gráfica de un modelo de programación lineal. </li></ul><ul><li>Ventajas del modelo de programación lineal: </li></ul><ul><li>* Obtención de una solución óptima única. </li></ul><ul><li>* Obtención de soluciones alternativas </li></ul><ul><li>* Modelos no acotados. </li></ul><ul><li>* Modelo no factibles. </li></ul><ul><li>. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Conceptos de análisis de sensibilidad: </li></ul><ul><li>* Reducción de costos. </li></ul><ul><li>* Rango de optimalidad. </li></ul><ul><li>* Precios sombra. </li></ul><ul><li>* Rango de factibilidad. </li></ul><ul><li>* Holgura complementaria. </li></ul><ul><li>* Agregar restricciones/variables. </li></ul><ul><li>Obtención de una solución por métodos compu-tacionales: </li></ul><ul><li>* WINQSB </li></ul><ul><li>* EXCEL </li></ul><ul><li>* LINDO </li></ul>
  4. 4. 2.1 Introducción a la Programación Lineal <ul><li>Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. </li></ul><ul><li>Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente: </li></ul><ul><li>* Un conjunto de variables de decisión </li></ul><ul><li>* Una función objetivo </li></ul><ul><li>* Un conjunto de restricciones </li></ul>
  5. 5. <ul><li>La importancia de la programación lineal: </li></ul><ul><li>* Ciertos problemas se describen facilmente a través de la </li></ul><ul><li>programación lineal. </li></ul><ul><li>* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales. </li></ul><ul><li>* La salida generada por el programa que resuelve el modelo de </li></ul><ul><li>programación lineal entrega información útil para responder </li></ul><ul><li>nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”. </li></ul>
  6. 6. 2.2 El problema de la industria de juguetes “Galaxia”. <ul><li>Galaxia produce dos tipos de juguetes: </li></ul><ul><li>* Space Ray </li></ul><ul><li>* Zapper </li></ul><ul><li>Los recursos están limitados a: </li></ul><ul><li>* 1200 libras de plástico especial. </li></ul><ul><li>* 40 horas de producción semanalmente. </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Requerimientos de Marketing. </li></ul><ul><li>* La producción total no puede exceder de 800 docenas. </li></ul><ul><li>* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al </li></ul><ul><li> número de docenas de Zappers por más de 450. </li></ul><ul><li>Requerimientos Tecnológicos. </li></ul><ul><li>* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de </li></ul><ul><li> producción por docena. </li></ul><ul><li>* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción </li></ul><ul><li> por docena. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Plan común de producción para: </li></ul><ul><li>* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores </li></ul><ul><li> ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad </li></ul><ul><li>por docena). </li></ul><ul><li>* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, </li></ul><ul><li> porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por </li></ul><ul><li> docena). </li></ul><ul><li>El plan común de producción consiste en: </li></ul><ul><li>Space Rays = 550 docenas </li></ul><ul><li>Zappers = 100 docenas </li></ul><ul><li>Utilidad = $4900 por semana </li></ul>
  9. 9. El gerente siempre buscará un esquema de producción que incrementre las ganancias de su compañía
  10. 10. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA
  11. 11. Solución <ul><li>Variables de decisión </li></ul><ul><li>* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por </li></ul><ul><li> semana). </li></ul><ul><li>* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por </li></ul><ul><li> semana). </li></ul><ul><li>Función objetivo </li></ul><ul><ul><li>* Maximizar la ganancia semanal. </li></ul></ul>
  12. 12. <ul><li>Modelo de Programación Lineal </li></ul><ul><li> Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) </li></ul><ul><li>Sujeto a: </li></ul><ul><li>2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico) </li></ul><ul><li>3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) </li></ul><ul><li>X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) </li></ul><ul><li>X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) </li></ul><ul><li>X j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos) </li></ul>
  13. 13. 2.3 Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal. <ul><li>El conjunto de puntos que satisface todas las </li></ul><ul><li>restricciones del modelo es llamado: </li></ul>REGION FACTIBLE
  14. 14. <ul><li>USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD. </li></ul>
  15. 15. 1200 600 Factible X2 No Factible Horas de Producción 3X1+4X2<=2400 Restricción del total de producción: X1+X2<=800 600 800 <ul><li>Tipos de puntos de factibilidad </li></ul><ul><ul><li>Punto Inferior </li></ul></ul><ul><ul><li>Punto Medio </li></ul></ul>Punto Extremo X1 The Plastic constraint Restricción del plástico: 2X1+X2<=1200 Restricción del exceso de producción: X1-X2<=450
  16. 16. 2.4 Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.
  17. 17. 600 800 1200 400 600 800 X2 X1 comenzar con una ganancia dada de = $2,000... 2 , Entonces aumente la ganancia... 3, 4, ...y continúe hasta que salga de la región factible Ganancia =$5040 Recalcular la región factible Utilid. = $ 000
  18. 18. 600 800 1200 400 600 800 X2 X1 Se toma un valor cercano al punto óptimo Feasible region Región Factible Región no factible
  19. 19. <ul><li>Resumen de la solución óptima </li></ul><ul><li>Space Rays = 480 docenas </li></ul><ul><li>Zappers = 240 docenas </li></ul><ul><li>Ganancia = $5040 </li></ul><ul><li>* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y </li></ul><ul><li>todas las horas de producción. </li></ul><ul><li>* La producción total son 720 docenas (no 800). </li></ul><ul><li>* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo </li></ul><ul><li> 240 docenas y no por 450. </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Soluciones óptimas y puntos extremos. </li></ul><ul><li>* Si un problema de programación lineal tiene una solución </li></ul><ul><li>óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo. </li></ul><ul><li>Múltiples soluciones óptimas. </li></ul><ul><li>* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la </li></ul><ul><li>función objetivo es una recta paralela a uno de los lados </li></ul><ul><li> de la región factible. </li></ul><ul><li>* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es </li></ul><ul><li> también una solución óptima. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Solución mediante el método Simplex </li></ul><ul><li>Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente: </li></ul><ul><li>Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) </li></ul><ul><li>Sujeto a: </li></ul><ul><li>2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico </li></ul><ul><li>3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción X1 + X2 <= 800 (Limite producción total </li></ul><ul><li>X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso </li></ul><ul><li>X j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos) </li></ul><ul><li>Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir las siguientes restricciones: </li></ul>
  22. 22. <ul><li>Restricciones del Algoritmo </li></ul><ul><li>a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo. </li></ul><ul><li> Para minimizar se debe maximizar (-z). </li></ul><ul><li>b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad. </li></ul><ul><li> 2x1 + X2 + S1 =1200 ;S1 = Var. de holgura </li></ul><ul><li><= 3X1 + 4X2 + S2 = 2400 ;S2 = Var de holgura </li></ul><ul><li> X1 + X2 + S3 = 800 ;S3 = Var de holgura </li></ul><ul><li>(caso ficticio) </li></ul><ul><li>>= 2X1 + x2 >= 100 </li></ul><ul><li> 2X1 + X2 - S4 = 100 ;S4 = Var de exceso </li></ul>
  23. 23. <ul><li>c) Todas las variables deben ser mayores que cero. </li></ul><ul><li>x1 - x2 + S4 + a1 = 450 a1= Var artificial </li></ul><ul><li>Por el hecho de haber agregado una variable artificial se debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy grande y negativo representado por -M. </li></ul><ul><li>Max 8x1 + 5x2 - Ma1 </li></ul>
  24. 24. 2.5 Análisis de sensibilidad para la solución óptima. <ul><li>¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada? </li></ul><ul><li>Posibles razones para responder la pregunta anterior: </li></ul><ul><li>* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores </li></ul><ul><li>estimados. </li></ul><ul><li>* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios. </li></ul><ul><li>* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información </li></ul><ul><li>económica y operacional. </li></ul>
  25. 25. 2.6 Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo <ul><li>Rango de optimalidad </li></ul><ul><ul><li>La solución óptima permanecerá inalterable mientras: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro del rango de optimalidad. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>No hay cambios en ningún otro parámetro. </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>El valor de la función objetivo cambiará si el coeficiente </li></ul></ul><ul><ul><li>multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero. </li></ul></ul>
  26. 26.  Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima 600 800 1200 X2 X1 Max 8x1 + 5x2 Max 4x1 + 5x2 Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2 400 600 800
  27. 27.  Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima 600 800 1200 400 600 800 X2 X1 Max8x1 + 5x2 Max 3.75x1 + 5x2 Max8x1 + 5x2 Max 3.75 x1 + 5x2 Max 10 x1 + 5x2 3.75 10 Rango de optimalidad
  28. 28.  Cambios Múltìples <ul><li>El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia. </li></ul><ul><li>Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%. </li></ul>
  29. 29.  Regla del 100% <ul><li>Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad. </li></ul><ul><li>Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar. </li></ul>
  30. 30. <ul><li> Reducción de costos </li></ul><ul><ul><li>La reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnmente cero) implica que: </li></ul></ul><ul><ul><li>Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior. </li></ul></ul><ul><ul><li>Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará según las variables aumentadas desde la cota inferior. </li></ul></ul><ul><li> Holgura complementaria </li></ul><ul><ul><li>Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0. </li></ul></ul>
  31. 31. 2.7 Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derecho <ul><li>Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una restricción activa cambiará la solución óptima. </li></ul><ul><li>Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima. </li></ul>
  32. 32.  Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa responder las siguientes preguntas : <ul><li>¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad? </li></ul><ul><li>¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida? </li></ul>
  33. 33. 1200 600 X2 Feasible X1 600 800 2x1 + 1x2 <=1200 2x1 + 1x2 <=1350 Puntos extremos Restricción materiales (plásticos) Restricción del tiempo de producción Ganancia máxima= 5040 Nueva restricción materiales (plásticos) Combinación de restricciones en la producción
  34. 34.  Interpretación correcta del precio sombra <ul><li>Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo. </li></ul><ul><li>Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo del coeficiente de la función objetivo. </li></ul>
  35. 35.  El rango de factibilidad <ul><li>El conjunto de los coeficientes del lado derecho entregan el rango para que el mismo conjunto de restricciones determine el punto óptimo. </li></ul><ul><li>Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras permanecen constante; sin embargo, la solución óptima cambiará. </li></ul>
  36. 36. 2.8 Otros cambios para optimizar la función objetivo <ul><li> La incorporación de una restricción. </li></ul><ul><li> La eliminación de una restricción. </li></ul><ul><li> La incorporación de un variable. </li></ul><ul><li> La eliminación de un variable. </li></ul><ul><li> Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes. </li></ul>
  37. 37. 2.9 Modelo sin solución óptima <ul><li>No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto de factible. </li></ul><ul><li>No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente (objetivo a maximizar). </li></ul>
  38. 38. Infactibilidad Ningún punto se encuentra, simultáneamente, sobre la línea la línea y 1 2 3 1 2 3
  39. 39. Solución No Acotada La región factible Maximizar La función objetivo
  40. 40. 2.10 Dieta Marina <ul><li>Un problema de minimización del costo de la dieta: </li></ul><ul><li>Mezcle dos porciones de lo productos: </li></ul><ul><li>Texfoods, Calration. </li></ul><ul><li>Minimice el costo total de la mezcla. </li></ul><ul><li>Mantenga los requerimientos mínimos </li></ul><ul><li>de Vitamina A, Vitamina D, y hierro. </li></ul>
  41. 41. Variables de decisión: x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se usó en cada porción (cada 2 onzas) . <ul><li>El modelo </li></ul><ul><ul><li>minimizar 0.60X1 + 0.50X2 </li></ul></ul><ul><ul><li>sujeto a </li></ul></ul><ul><ul><li> 20X1 + 50X2 100 </li></ul></ul><ul><ul><li> 25X1 + 25X2 100 Vitamina D </li></ul></ul><ul><ul><li> 50X1 + 10X2 100 hierro X1, X2 0 </li></ul></ul>Costo por 2 oz. % Vitamina A por 2 oz . % requerido
  42. 42. La solución gráfica 5 4 2 2 4 5 Región factible Restricción de vitamina D Restricción de vitamina A Restricción de hierro
  43. 43.  Resumen de la solución óptima <ul><li>Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas) </li></ul><ul><li>Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas) </li></ul><ul><li>Costo =$ 2.15 por porción servidar. </li></ul><ul><li>El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no se encuentren en superávit. </li></ul><ul><li>La mezcla provee 155% del requerimiento para Vitamina A. </li></ul>
  44. 44. 2.11 Solución para problemas lineales con muchas variables de decisión usando el computador <ul><li>Los paquetes de programas lineales resuelven grandes modelos lineales. </li></ul><ul><li>La mayoría de los software usan la técnica algebraica llamada algoritmo Simplex. </li></ul><ul><li>Los paquetes incluyen: </li></ul><ul><li>El criterio de la función objetivo (Max o Min). </li></ul><ul><li>El tipo de cada restricción: . </li></ul><ul><li>Los coeficientes reales para el problema. </li></ul>
  45. 45.  La solución generada por un software de programación lineal incluye: <ul><li>Los valores óptimos de la función objetivo. </li></ul><ul><li>Los valores óptimos de las variables de decisión. </li></ul><ul><li>La minimización del costo para los coeficientes de la función objetivo. </li></ul><ul><li>Los rangos de optimización para los coeficientes de la función objetivo. </li></ul><ul><li>La cantidad de holgura o exceso sobre cada restricción. </li></ul><ul><li>Los precios sombra (o dual) para las restricciones. </li></ul><ul><li>Los rangos de factibilidad para el coeficiente del lado derecho. </li></ul>
  46. 46. WINQSB datos de entrada para el problema de las industrias galaxia Las variables y los nombres de las restricciones pueden ser cambiados aquí. Las variables son restringidas a >=0 Ningún límite superior Click para resolver

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