1. Квантовые алгоритмы:
возможности и ограничения.
Лекция 4: Полиномиальная эквивалентность числа
квантовых и классических запросов.
Коммуникационная сложность
М. Вялый
Вычислительный центр
им. А.А.Дородницына
Российской Академии наук
Санкт-Петербург, 2011
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 1 / 24

2. План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальной
эквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 2 / 24

3. Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентности
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O deg(f )6 .
Определение
deg(f ) наименьшая степень такого многочлена p(x), что
1
|p(x) − f (x)| < для всех x.
3
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24

4. Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентности
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O deg(f )6 .
Определение
deg(f ) наименьшая степень такого многочлена p(x), что
1
|p(x) − f (x)| < для всех x.
3
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24

5. Формулировка
Теорема о полиномиальной эквивалентности
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Нижняя оценка квантовой сложности через степень приближения
Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).
Поэтому достаточно доказать, что D(f ) = O deg(f )6 .
Определение
deg(f ) наименьшая степень такого многочлена p(x), что
1
|p(x) − f (x)| < для всех x.
3
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 3 / 24

6. Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → {0, 1}, S ⊆ {1, 2, . . . , n}.
b-сертификат (b ∈ {0, 1})
Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x,
согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S.
Сертификатная сложность
Cx (f ) длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x.
C (f ) = max Cx (f ), C (1) (f ) = max Cx (f ), C (0) (f ) = max Cx (f ).
x x:f (x)=1 x:f (x)=0
Пример: дизъюнкция
C (1) (OR) = 1; C (0) (OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24

7. Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → {0, 1}, S ⊆ {1, 2, . . . , n}.
b-сертификат (b ∈ {0, 1})
Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x,
согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S.
Сертификатная сложность
Cx (f ) длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x.
C (f ) = max Cx (f ), C (1) (f ) = max Cx (f ), C (0) (f ) = max Cx (f ).
x x:f (x)=1 x:f (x)=0
Пример: дизъюнкция
C (1) (OR) = 1; C (0) (OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24

8. Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → {0, 1}, S ⊆ {1, 2, . . . , n}.
b-сертификат (b ∈ {0, 1})
Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x,
согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S.
Сертификатная сложность
Cx (f ) длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x.
C (f ) = max Cx (f ), C (1) (f ) = max Cx (f ), C (0) (f ) = max Cx (f ).
x x:f (x)=1 x:f (x)=0
Пример: дизъюнкция
C (1) (OR) = 1; C (0) (OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24

9. Сертификаты
Частичное присваивание значений переменных
C : S → {0, 1}, S ⊆ {1, 2, . . . , n}.
b-сертификат (b ∈ {0, 1})
Такое частичное присваивание C , что f (x) = b для всех x,
согласованных с C , т. е. xi = C (i) при i ∈ S.
Сертификатная сложность
Cx (f ) длина наименьшего f (x)-сертификата, согласованного с x.
C (f ) = max Cx (f ), C (1) (f ) = max Cx (f ), C (0) (f ) = max Cx (f ).
x x:f (x)=1 x:f (x)=0
Пример: дизъюнкция
C (1) (OR) = 1; C (0) (OR) = C (OR) = n.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 4 / 24

10. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

11. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

12. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

13. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

14. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

15. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

16. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

17. Жадный алгоритм детерминированного вычисления f
1 Строим частичное присваивание, начиная с пустого.
2 Повторить не более t раз:
1 выбрать совместимый с текущим присваиванием 1-сертификат C ;
2 если такого нет, закончить работу с ответом 0;
3 запросить значения переменных из C (какие еще неизвестны);
4 если полученные значения согласованы с C , закончить работу с
результатом 1.
3 Выбрать любой y , согласованный с с текущими значениями
переменных и выдать ответ f (y ).
Вопрос
Количество запросов в алгоритме не более C (1) (f )t. При каких t
алгоритм работает корректно?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 5 / 24

18. Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристический
вектор χ(S) (χk (S) = 1 ⇔ k ∈ S).
Определение
Блочная чувствительность bsx (f ) функции f в точке x равна такому
максимальному b, что существует набор из b попарно
непересекающихся подмножеств B1 , . . . , Bb , для которых
f (x) = f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx (f ).
Утверждение
Жадный алгоритм работает корректно при t bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24

19. Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристический
вектор χ(S) (χk (S) = 1 ⇔ k ∈ S).
Определение
Блочная чувствительность bsx (f ) функции f в точке x равна такому
максимальному b, что существует набор из b попарно
непересекающихся подмножеств B1 , . . . , Bb , для которых
f (x) = f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx (f ).
Утверждение
Жадный алгоритм работает корректно при t bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24

20. Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристический
вектор χ(S) (χk (S) = 1 ⇔ k ∈ S).
Определение
Блочная чувствительность bsx (f ) функции f в точке x равна такому
максимальному b, что существует набор из b попарно
непересекающихся подмножеств B1 , . . . , Bb , для которых
f (x) = f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx (f ).
Утверждение
Жадный алгоритм работает корректно при t bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24

21. Блочная чувствительность
Отождествляем множество S ⊆ [1, . . . , n] и его характеристический
вектор χ(S) (χk (S) = 1 ⇔ k ∈ S).
Определение
Блочная чувствительность bsx (f ) функции f в точке x равна такому
максимальному b, что существует набор из b попарно
непересекающихся подмножеств B1 , . . . , Bb , для которых
f (x) = f (x ⊕ Bi ).
Блочная чувствительность bs(f ) функции f равна maxx bsx (f ).
Утверждение
Жадный алгоритм работает корректно при t bs(f ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 6 / 24

22. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

23. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

24. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

25. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

26. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

27. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

28. Анализ алгоритма
Ошибка возможна только на последнем шаге.
В этом случае алгоритм запросил сертификаты C1 , . . . , Ct и
существуют y , y , согласованные со всеми известными
значениями x и такие, что f (y ) = 0, f (y ) = 1.
Пусть Bj множество переменных, по которым различаются Cj и
y , а Bt+1 = y ⊕ y .
Bj = ∅ по построению (f (y ) = 0, y = y ).
Если r ∈ Bj , то xr = yr = Cj (r ).
При k > j сертификат Ck согласован со всеми известными к
этому времени значениями x, поэтому r ∈ Bj ⇒ r ∈ Bk , т. е.
/
Bj ∩ Bk = ∅.
Поэтому bsy (f ) t + 1 и утверждение доказано.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 7 / 24

29. Что дальше?
Доказано
D(f ) bs(f )C (1) (f ).
Лемма 1
C (1) (f ) C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6deg(f )2 .
Получим из лемм и оценки deg(f ) 2Q1/3 (f )
D(f ) bs(f )3 216deg(f )6 13824Q1/3 (f )6 ,
что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24

30. Что дальше?
Доказано
D(f ) bs(f )C (1) (f ).
Лемма 1
C (1) (f ) C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6deg(f )2 .
Получим из лемм и оценки deg(f ) 2Q1/3 (f )
D(f ) bs(f )3 216deg(f )6 13824Q1/3 (f )6 ,
что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24

31. Что дальше?
Доказано
D(f ) bs(f )C (1) (f ).
Лемма 1
C (1) (f ) C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6deg(f )2 .
Получим из лемм и оценки deg(f ) 2Q1/3 (f )
D(f ) bs(f )3 216deg(f )6 13824Q1/3 (f )6 ,
что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24

32. Что дальше?
Доказано
D(f ) bs(f )C (1) (f ).
Лемма 1
C (1) (f ) C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
Лемма 2 (теорема Нисана – Сегеди)
bs(f ) 6deg(f )2 .
Получим из лемм и оценки deg(f ) 2Q1/3 (f )
D(f ) bs(f )3 216deg(f )6 13824Q1/3 (f )6 ,
что доказывает теорему о полиномиальной эквивалентности.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 8 / 24

33. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

34. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

35. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

36. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

37. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

38. Доказательство леммы 1 (C (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 )
Рассмотрим для некоторого x максимальный набор
чувствительных блоков B1 , . . . , Bb , причем каждый блок выберем
минимальным по включению.
x
Присваивание X : ∪i Bi − {0, 1} является f (x)-сертификатом:
→
если y согласован с X и f (y ) = f (x), то {Bj } ∪ {y ⊕ x} является
системой чувствительных блоков для x.
Размер каждого блока Bj не больше sx⊕Bj (f ) s(f ):
f (x ⊕ Bj ⊕ ek ) = f (x ⊕ Bj ) = f (x) = f (x ⊕ Bj ).
Следовательно, C (f ) sx (f )bsx (f ) s(f )bs(f ) bs(f )2 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 9 / 24

39. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

40. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

41. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

42. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

43. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

44. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

45. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

46. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

47. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

48. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

49. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

50. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

51. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

52. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Пусть
в точке a набор B1 , . . . , Bb достигает bs(f ),
мультилинейный многочлен p(x) степени d приближает f (x),
f (a) = 0 (не ограничивая общности).
Строим многочлен q(y1 , . . . , yb ) подстановками в p(x):
если aj = 0 и j ∈ Bk , то xj := yk ;
если aj = 1 и j ∈ Bk , то xj := 1 − yk ;
в противном случае xj := aj .
Свойства q(y )
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Применим нижнюю оценку степени многочлена через неравенство
Маркова к многочлену q одной переменной, построенному из
˜
симметризации q.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 10 / 24

53. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Свойства q(y ):
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:
1
q sym (y1 , . . . , yb ) = q(yσ(1) , yσ(2) , . . . , yσ(n) ).
b!
σ∈Sb
Многочлен
q (t) = q sym (t, t, . . . , t).
˜
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24

54. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Свойства q(y ):
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:
1
q sym (y1 , . . . , yb ) = q(yσ(1) , yσ(2) , . . . , yσ(n) ).
b!
σ∈Sb
Многочлен
q (t) = q sym (t, t, . . . , t).
˜
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24

55. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Свойства q(y ):
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:
1
q sym (y1 , . . . , yb ) = q(yσ(1) , yσ(2) , . . . , yσ(n) ).
b!
σ∈Sb
Многочлен
q (t) = q sym (t, t, . . . , t).
˜
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24

56. Доказательство леммы 2 (bs(f ) 6deg(f )2 )
Свойства q(y ):
deg q(y ) d , q(y ) — мультилинейный;
−1/3 < q(y ) < 4/3 при y ∈ {0, 1}n ;
|q(0) = p(a)| < 1/3;
q(ej ) = p(a ⊕ Bj ), f (a ⊕ Bj ) = 1, поэтому |q(ej ) − 1| < 1/3.
Симметризация многочлена:
1
q sym (y1 , . . . , yb ) = q(yσ(1) , yσ(2) , . . . , yσ(n) ).
b!
σ∈Sb
Многочлен
q (t) = q sym (t, t, . . . , t).
˜
удовлетворяет условиям теоремы о нижней оценке.
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 11 / 24

57. План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальной
эквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 12 / 24

58. Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ {0, 1}n ; Боб знает y ∈ {0, 1}n .
Цель: вычислить f (x, y ).
Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Их
действия адаптивны (зависят от полученных сообщений).
Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количество
битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y ) для любых
x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24

59. Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ {0, 1}n ; Боб знает y ∈ {0, 1}n .
Цель: вычислить f (x, y ).
Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Их
действия адаптивны (зависят от полученных сообщений).
Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количество
битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y ) для любых
x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24

60. Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ {0, 1}n ; Боб знает y ∈ {0, 1}n .
Цель: вычислить f (x, y ).
Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Их
действия адаптивны (зависят от полученных сообщений).
Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количество
битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y ) для любых
x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24

61. Основная модель коммуникации: детерминированная
x y
Алиса знает x ∈ {0, 1}n ; Боб знает y ∈ {0, 1}n .
Цель: вычислить f (x, y ).
Возможности: Алиса и Боб могут обмениваться сообщениями. Их
действия адаптивны (зависят от полученных сообщений).
Коммуникационная сложность C (f ): наименьшее количество
битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y ) для любых
x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 13 / 24

62. Основная модель: вероятностная, частные генераторы
x, rA y, rA
... A A A
r2 r1 r0 B B B
r 0 r1 r2 ...
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб могут использовать генератор
случайности. У каждого свой.
Вероятностная коммуникационная сложность Rε (f ): наименьшее
количество битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y )
с ошибкой не более ε для любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 14 / 24

63. Основная модель: вероятностная, частные генераторы
x, rA y, rA
... A A A
r2 r1 r0 B B B
r 0 r1 r2 ...
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб могут использовать генератор
случайности. У каждого свой.
Вероятностная коммуникационная сложность Rε (f ): наименьшее
количество битов в протоколе, гарантирующем вычисление f (x, y )
с ошибкой не более ε для любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 14 / 24

64. Основная модель: вероятностная, общий генератор
x, r y, r
r 0 r 1 r2 ...
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют один и тот же генератор
случайности.
Вероятностная коммуникационная сложность с общим
pub
генератором Rε (f ): наименьшее количество битов в протоколе,
гарантирующем вычисление f (x, y ) с ошибкой не более ε для
любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 15 / 24

65. Основная модель: вероятностная, общий генератор
x, r y, r
r 0 r 1 r2 ...
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют один и тот же генератор
случайности.
Вероятностная коммуникационная сложность с общим
pub
генератором Rε (f ): наименьшее количество битов в протоколе,
гарантирующем вычисление f (x, y ) с ошибкой не более ε для
любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 15 / 24

66. Основная модель: квантовая
x y
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют квантовые носители
информации. Обмениваются также квантовыми сообщениями.
Квантовая коммуникационная сложность Qε (f ): наименьшая
длина протокола, гарантирующего вычисление f (x, y ) с ошибкой
не более ε для любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 16 / 24

67. Основная модель: квантовая
x y
Изменения к предыдущему:
Возможности: Алиса и Боб используют квантовые носители
информации. Обмениваются также квантовыми сообщениями.
Квантовая коммуникационная сложность Qε (f ): наименьшая
длина протокола, гарантирующего вычисление f (x, y ) с ошибкой
не более ε для любых x, y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 16 / 24

68. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

69. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

70. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

71. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

72. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

73. Общий случай: передача нескольких кубитов
Обозначение: U[S] оператор U, который действует на
множестве кубитов S, а на остальных как единичный. Если S
первые кубиты, то U[S]|s, t = U|s ⊗ |t .
Упражнение
Напишите в вычислительном базисе матрицу оператора c-NOT[1, 3],
который действует на трех кубитах. Оператор c-NOT это оператор
обратимого копирования: c-NOT : |x, y → |x, x ⊕ y .
Квантовый протокол разбиение {1, 2, . . . , N} = A∪B; ˙
последовательность операторов U1 [S1 ], U2 [S2 ], . . . , U [S ], причем
S1 ⊆ A. В начале A |0, x ; B |0, y .
Множества Sj определяют, какие кубиты пересылаются: чтобы
Алиса могла подействовать на кубит, который у Боба, нужно этот
кубит ей переслать, и наоборот.
Длина протокола количество пересланных кубитов.
Результат измеряется в одном заранее указанном кубите.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 17 / 24

74. Квантовый коммуникационный протокол с передачей по
одному кубиту
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B.
U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.
U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.
Результат определяется измерением кубита сообщения.
Длина протокола .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24

75. Квантовый коммуникационный протокол с передачей по
одному кубиту
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B.
U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.
U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.
Результат определяется измерением кубита сообщения.
Длина протокола .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24

76. Квантовый коммуникационный протокол с передачей по
одному кубиту
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B.
U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.
U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.
Результат определяется измерением кубита сообщения.
Длина протокола .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24

77. Квантовый коммуникационный протокол с передачей по
одному кубиту
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B.
U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.
U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.
Результат определяется измерением кубита сообщения.
Длина протокола .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24

78. Квантовый коммуникационный протокол с передачей по
одному кубиту
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B.
U2k+1 действует на кубиты Алисы и кубит сообщения.
U2k действует на кубиты Боба и кубит сообщения.
Результат определяется измерением кубита сообщения.
Длина протокола .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 18 / 24

79. Передача нескольких кубитов моделируется передачей
одного и того же кубита
Задача
Докажите, что общий протокол можно моделировать протоколом с
передачей лишь одного кубита, длина которого ограничена удвоенной
длиной протокола общего вида.
Указание: перестановка кубитов (тензорных сомножителей)
унитарный оператор.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 19 / 24

80. Квантовая коммуникация с предварительной
сцепленностью
...
|x ...
...
U1 U3 ...
...
|ψ ...
U2 ... U
...
...
|y ...
...
Начальное состояние |x ⊗ |ψ ⊗ |y .
Длина протокола .
Коммуникационная сложность с предварительной сцепленностью
ent
Qε (f ) длина наименьшего протокола вычисления f .
1 ⊗m
Обычно |ψ = √2 (|00 + |11 ) ⊗ |0 (ЭПР-пары), где первый
кубит в сомножителе идет Алисе, а второй Бобу (последний
кубит сообщения).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 20 / 24

81. Соотношения между коммуникационными сложностями
Упражнение
Докажите, что для любой f
ent pub
Qε (f ) Rε (f ) Rε (f ) D(f ) n,
ent
Qε (f ) Qε (f ) Rε (f ).
Вопрос (открытый?)
Верно ли, что для любой f
pub
Qε (f ) Rε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблема
Возможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной и
квантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24

82. Соотношения между коммуникационными сложностями
Упражнение
Докажите, что для любой f
ent pub
Qε (f ) Rε (f ) Rε (f ) D(f ) n,
ent
Qε (f ) Qε (f ) Rε (f ).
Вопрос (открытый?)
Верно ли, что для любой f
pub
Qε (f ) Rε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблема
Возможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной и
квантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24

83. Соотношения между коммуникационными сложностями
Упражнение
Докажите, что для любой f
ent pub
Qε (f ) Rε (f ) Rε (f ) D(f ) n,
ent
Qε (f ) Qε (f ) Rε (f ).
Вопрос (открытый?)
Верно ли, что для любой f
pub
Qε (f ) Rε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблема
Возможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной и
квантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24

84. Соотношения между коммуникационными сложностями
Упражнение
Докажите, что для любой f
ent pub
Qε (f ) Rε (f ) Rε (f ) D(f ) n,
ent
Qε (f ) Qε (f ) Rε (f ).
Вопрос (открытый?)
Верно ли, что для любой f
pub
Qε (f ) Rε (f )?
(Неверно для модели одновременной передачи сообщений.)
Открытая проблема
Возможен ли экспоненциальный разрыв между вероятностной и
квантовой коммуникационными сложностями в основной модели?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 21 / 24

85. План
1 Завершение доказательства теоремы о полиномиальной
эквивалентности
2 Коммуникационная сложность
3 Задача о пересечении множеств
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 22 / 24

86. Функция DISJ: квадратичный разрыв
Определение
DISJ(x, y ) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xj yj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)
Rε (DISJ) = Ω(n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
√
Qε (DISJ) = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24

87. Функция DISJ: квадратичный разрыв
Определение
DISJ(x, y ) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xj yj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)
Rε (DISJ) = Ω(n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
√
Qε (DISJ) = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24

88. Функция DISJ: квадратичный разрыв
Определение
DISJ(x, y ) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xj yj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)
Rε (DISJ) = Ω(n).
Теорема 2 (Buhrman, Cleve, Wigderson ’98)
√
Qε (DISJ) = O( n log n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
√
Qε (DISJ) = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24

89. Функция DISJ: квадратичный разрыв
Определение
DISJ(x, y ) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xj yj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)
Rε (DISJ) = Ω(n).
Теорема 2 (Aaronson, Ambainis ’05)
√
Qε (DISJ) = O( n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
√
Qε (DISJ) = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24

90. Функция DISJ: квадратичный разрыв
Определение
DISJ(x, y ) = 1 ⇔ x ∩ y = ∅ (т. е. xj yj = 0 для любого j).
Теорема 1 (Razborov, ’92)
Rε (DISJ) = Ω(n).
Теорема 2 (Aaronson, Ambainis ’05)
√
Qε (DISJ) = O( n).
Теорема 3 (Razborov, ’02)
√
Qε (DISJ) = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 23 / 24

91. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24

92. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24

93. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24

94. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24

95. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24

96. Квантовый коммуникационный протокол для DISJ
Идея: использовать алгоритм Гровера.
Алиса выполняет шаги алгоритма вычисления дизъюнкции
xj =1 yj .
Вместо запроса к черному ящику она общается с Бобом:
1 Алиса посылает регистр адреса Бобу;
2 Боб применяет оператор фазового запроса Oy : |k → (−1)yk |k и
возвращает регистр Алисе.
Моделирование одного запроса требует передачи O(log n) кубитов.
√
Всего запросов нужно O( n).
Теорема 2 доказана.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 4 Санкт-Петербург, 2011 24 / 24