Transformaciones lineales
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Transformaciones lineales Transformaciones lineales Document Transcript

  • Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 1Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile• Las transformaciones lineales intervienen en muchas situacionesen Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra sepueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven paraaproximar localmente funciones, por ejemplo.• Sean V , W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo KUna función T de V en W transforma vectores de V en vectores de W.Impondremos condiciones para que T preserve las operaciones desuma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que seaequivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en Vcomo las imágenes en W . 2 1
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile T V W • T(u) •u •v • T(v) • u+v • T(u) + T(v) • au •T(u+v) • T(au) • aT(u) 3Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Definición: Sean V , W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K T : V → W es una transformación lineal de V en W si: 1) ∀u, v ∈ V , T (u + v ) = T (u ) + T (v ) 2) ∀a ∈ K , ∀v ∈ V , T (av ) = aT (v )Observaciones: 1) Es usual denotar con los mismos símbolos +y ⋅ (símbolo que se omite) la suma y el producto por escalar definidos sobre los espacios vectoriales V y W como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes. 2) T también se llama aplicación lineal. 4 2
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile 3) T es transformación lineal ⇔ ∀a, b ∈ K , ∀u , v ∈ V , T (au + bv ) = aT (u ) + bT (v ) 4) Transformaciones lineales preservan combinaciones lineales. Esto es: Sea T :V → W transformación lineal. Entonces, para ai ∈ K , vi ∈V , i = 1,2,..., n T (a1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n ) = a1T (v1 ) + a 2 T (v 2 ) + ... + a n T (v n ) Se cumple que: Si V , W son espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T :V → W una transformación lineal. Entonces: 1)T ( 0V ) = 0W 2)T ( −v ) = −T ( v ) , ∀v ∈V 3)T ( v − w) = T ( v ) − T ( w) , ∀v, w ∈ V 5Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileAlgunas transformaciones lineales: 1) T : V → W , T ( v ) = 0W , ∀v ∈ V Transformación lineal Nula . 2) T : V → V , T ( v ) = cv, ∀v ∈ V , con c ∈ K , c fijo. En particular, si c =1: IV : V → V , IV ( v ) = v, ∀v ∈ V Transformación lineal Identidad . 3) Sea A ∈ M m×n (R) Entonces T : Rn → R m , T ( v ) = Av es transformación lineal. Transformación determinada por la matriz A (El producto matricial Av está definido si los vectores se colocan como vectores columnas). 6 3
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile No son transformaciones lineales: 1) La función determinante det : M n ( K ) → K ya que: det ( A + B ) ≠ det A + det B, det ( kA) = k det A ≠ k det A, n para n >1 2) Si V es un espacio vectorial sobre K y v0 ∈ V , v0 ≠ 0V , la función traslación por el vector v0 definida por T ( v ) = v + v0 ∀v ∈ V ya que T ( 0 V ) = v 0 ≠ 0V 7Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileKERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEALDefinición:Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , con T : V → Wuna transformación lineal 1) El kernel de T denotado KerT es el conjunto KerT = {v ∈ V / T (v ) = 0 W } (También se le llama núcleo y se anota Nu T ) 2) La imagen de denotada Im T , es el conjunto: ImT ={w∈W / w = T ( v) , para algun v ∈V } 8 4
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile T V W • • • ImT • Ker T • 0• ••• • • • 0 • • • • 9Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileSe cumple:1) KerT es un subespacio vectorial de V . La nulidad de T , es la dimensión del kernel de T . Se anota: n (T )2) Im T es un subespacio vectorial de W . El rango de T es la dimensión de la imagen de T . Se anota: r (T )3) Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K con dim V < ∞. Sea T :V → W una transformación lineal. Entonces: dim ( KerT ) + dim ( Im T ) = dim V 10 5
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile TRANSFORMACIONES LINEALES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS. Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , y T :V → W una transformación lineal. Entonces: 1) T es inyectiva ⇔ KerT = {0V } 2) T es sobreyectiva ⇔ ImT = W 3) T es biyectiva ⇔ KerT = {0 } , Im T = W V 11Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileSean V ,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , con dim V = n, dim W = mSea T : V → W una transformación lineal. Entonces: 1) T es inyectiva ⇔ r (T ) = n 2) T es sobreyectiva ⇔ r (T ) = m Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K , y T : V → W una transformación lineal. Entonces:{v1 , v 2 ,..., v n } genera a V ⇒ {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,..., T ( vn )} genera a Im T . O sea:Si {v1 , v 2 ,..., v n } es una base de V , entonces Im T = {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,..., T ( vn )} 12 6
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileSean V ,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K .Sean {v1, v2 ,...,vn } una base de V y {w1 , w2 ,..., wn } ⊂ W un conjunto de n vectores arbitrariosEntonces existe una única transformación lineal T :V → Wtal que T (v i ) = w i , i = 1,2,..., nO sea: una transformación lineal queda completamentedeterminada por sus imágenes en una base del dominio. 13Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileLa composición de transformaciones lineales es transformación lineal.Esto es:Si T : U → V , S : V → W son dos transformaciones linealesentonces S T : U → W es transformación lineal. Sea T : V → W una transformación lineal, con V, W espacios vectoriales sobre K 1) T es invertible ⇔ existe T −1 : W → V / T −1 T = IV , T T −1 = IW Si T es invertible se dice que es un isomorfismo 2) T : V → W transformación lineal invertible ⇒ T −1 : W → V es transformación lineal. ( ) −1 3) T −1 =T 14 7
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Si T : V → W es un isomorfismo, se dice que los dos espacios vectoriales V y W son isomorfos o que V es isomorfo a W y se anota V ≅ W. Si dos espacios vectoriales son isomorfos no significa que sean iguales, pero toda propiedad relacionada con la estructura de espacio vectorial que posea uno de ellos se transfiere al otro a través del isomorfismo.Se cumple que:Dos espacios vectoriales finito dimensionales son isomorfos si ysolo si tienen la misma dimensión. Esto es, V ,W espacios vectoriales de dimensión finita: V ≅ W ⇔ dim V = dim W 15Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileVALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOSINTRODUCCIÓNLos conceptos de valores propios y de vectores propios detransformaciones lineales o de matrices que estudiaremos son deimportancia en: aplicaciones de matemáticas, como : • diagonalización de matrices • rotación de ejes coordenados • soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 16 8
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile otras disciplinas, como: • economía • biología • física • mecánicaEn esta parte, las matrices serán cuadradas y las funciones seránoperadores lineales, esto es, transformaciones lineales de un espaciovectorial en si mismo 17Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileDefinición:1) Sea A ∈ M n ( K ), K = R o C λ∈R o C se llama valor propio de A , si: ∃ v ∈ R n o Cn , v ≠ 0 , tal que Av = λv. Cada vector v, v ≠ 0, que satisface Av = λv, se llama vector propio de A, asociado al valor propio λ.2) Sean V espacio vectorial sobre un cuerpo K y T : V → V una transformación lineal. λ ∈ K se llama valor propio de T , si: ∃ v ∈ V , v ≠ 0V , tal que T ( v ) = λv. Cada vector v∈V, v ≠ 0V que satisface T ( v ) = λ v, se llama vector propio de T , asociado al valor propio λ. 18 9
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Los valores propios también se denominan valores característicos,autovalores o eigenvaloresLos vectores propios también se denominan vectores característicos,autovectores o eigenvectores. Si λ es valor propio de una matriz A, el conjunto Wλ = {v ∈ K n / Av = λv}es subespacio vectorial de K n llamado espacio propio de A asociadoal valor propio λ. (Observar que 0 ∈Wλ , pero 0 no es vector propio de A)Si λ es valor propio de una transformación lineal T, el conjuntoW = {v ∈ V / T (v) = λv} es subespacio vectorial de V llamado espacio propio λde T asociado al valor propio λ. (Observar que 0 ∈ W , pero 0 no es vector propio de T) λ 19Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Sea A ∈ M n ( K ) . Entonces: λ es valor propio de A ⇔ Av = λv , con v ≠ 0K n ⇔ Av = ( λ I n ) v , con v ≠ 0K n ( I n identidad de orden n) ⇔ ( A − λ I n ) v = 0K , v ≠ 0K n n ⇔ det ( A − λ I n ) = 0 a11 − λ a12 … a1n ⇔ a21 a22 − λ … a2 n = 0, con A = ( aij ) an1 an 2 … ann − λ Los valores λ que satisfacen esta ecuación, son los valores propios de A. 20 10
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Sea T : V → V transformación lineal. Entonces: λ ∈ K es valor propio de T ⇔ ∃ v ∈V , v ≠ 0V , T ( v ) = λv ⇔ ∃ v ∈ V , v ≠ 0V , (T − λ IV )( v ) = 0V IV identidad en V ⇔ v ∈ Ker (T − λ IV ) , v ≠ 0V ⇔ Ker (T − λ IV ) ≠ {0V }Así, los vectores propios de T asociados al valor propio λ, son losvectores no nulos del kernel de la transformación lineal T - λIV . 21Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZDefinición:Sea A ∈ M n ( K )La matriz característica de A es la matriz A − λ In .El polinomio característico de A es el polinomio pA ( λ ) = det ( A − λ I n )La ecuación característica de A es la ecuación pA ( λ ) = det ( A − λ I n ) = 0 22 11
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Sean A = ( aij ) ∈ M n ( K ) y p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) el polinomio característico de A. Entonces:1) p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) es un polinomio de grado n. pA ( λ ) = c0 + c1λ + c2 λ 2 + ... + cn−1λ n−1 + cn λ n2) Los valores propios de la matriz A son las raíces de la ecuación característica de A, esto es: λ∈K es un valor propio de A si y sólo si p A ( λ ) = det ( A − λ I n ) = 0 23Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile3) Para determinar los valores propios de A, debemos encontrar lasraíces de su ecuación característica p A ( λ ) = 0, ecuación de grado nque tiene n raíces reales y/o complejas, de manera que A tiene a lo másn valores propios.Dada A ∈ M n ( C ) , entonces A tiene exactamente n valores propios, nonecesariamente distintos entre sí.Una matriz real, esto es, todos sus elementos son reales, es tal quesu ecuación característica podría no tener raíces reales sinocomplejas. 24 12
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile4) Sean λ1 , λ2 ,..., λn todos los valores propios de la matriz A. Entonces: • La suma de los valores propios de la matriz A es igual a su traza: λ1 + λ2 + ... + λn = trA, con trA = a11 + a22 + ... + ann • El producto de los valores propios de la matriz A es igual al determinante de A : λ1 ⋅ λ2 ⋅ ... ⋅ λn = det A5) A es matriz no invertible (singular) ⇔ λ =0 es valor propio de A Basta considerar: λ = 0 es valor propio de A ⇔ det A = 0 ⇔ A es no invertible o singular 25Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile 6) Algunos autores definen el polinomio característico de A en la forma: pA ( λ ) = det ( λ I n − A) Ambas definiciones difieren a lo más en el signo, pues det ( A − λ I n ) = ( −1) det ( λ I n − A ) n La ecuación característica queda igual. 26 13
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile POLINOMIO CARACTERISTICO.ECUACION CARACTERISTICA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V espacio vectorial de dimensión n y T : V → V unatransformación lineal. Sean A = [T ] , A = [T ] las matrices asociadas aT respecto de dos bases ordenadas distintas B, B de V . B B Entonces: det ( A − λ I n ) = det ( A − λ I n ) Así, el polinomio det ( A − λ I n ) = det ([T ]B − λ I n ) depende sólo del operador lineal T y no depende de la base ordenada B. El hecho de que un cambio de base no afecta a este polinomio nos permite definir el polinomio característico de una transformación lineal. 27Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileSean V un espacio vectorial de dimensión n, B una base ordenada deV y T : V → V una transformación lineal.Se llama polinomio característico del operador lineal T , al polinomio: pT ( λ ) = det ([T ]B − λ I n ) Se tiene que: grado pT ( λ ) = n = dimV λ ∈ K es valor propio de T ⇔ λ es cero del polinomio característico de T . Los valores propios de la transformación lineal T dependen de T y no dependen de la base escogida para representarla. 28 14
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Sean: V espacio vectorial sobre un cuerpo K , dim V = n, T :V → V transformación lineal y A = [T ]B , la matriz representativa de T relativa a alguna base B de V . Entonces: λ ∈ K , λ es valor propio de T ⇔ λ es valor propio de A. Se cumple que. 1) Si A es matriz cuadrada, entonces pA ( A) = O donde pA ( A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + ... + an An si p A ( x ) = a0 + a1x + a2 x + ... + an x 2 n 2) Si T : V → V es transformación lineal, entonces p (T ) = 0 T donde pT (T ) = a0 I + a1T + a2T 2 + ... + anT n si pT ( x ) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn 29Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileMATRICES SIMILARESDefinición:Sean A , B matrices de orden n.B se dice similar ( o semejante ) a A si existe matriz P de orden n,invertible, tal que: B = P −1 AP1) La similaridad es una relación de equivalencia, en el conjunto M n ( K ) , esto es: • A es similar a A. • Si B es similar a A, entonces A es similar a B. • Si A es similar a B y B es similar a C , entonces A es similar a C ( Por el segundo punto, podemos decir que A y B son similares ). 30 15
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile2) Como: B = P −1 AP ⇔ PB = AP, 1)entonces: A y B son semejantes ⇔ existe P matriz invertible de orden n tal que: PB = AP. La ventaja de esta equivalencia es que sólo se requiere conocer que P es invertible y no calcularla. 3) Sean A, B matrices de orden n, 1)similares entonces: A y B tiene el mismo polinomio característico y los mismos valores propios. 4) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K , de dimensión finita n, y sean A, A dos matrices n × n sobre K . Entonces: A, A son similares si y solo si A, A representan a la misma transformación lineal T :V → V relativo a bases diferentes de V . 31Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileDIAGONALIZACION Para A matriz cuadrada, nos interesa saber si existe una matriz similar a A, que sea diagonal. Si T : V → V es una transformación lineal, con V espacio vectorial, nos interesa saber si existe una base de V de modo que la matriz asociada a T en esa base sea matriz diagonal. Mostraremos que esto no siempre es posible y determinaremos condiciones para que lo sea. 32 16
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile ¿Pero, por qué interesa que estas matrices sean diagonales?Recordemos que una matriz diagonal D = ( d ij ) de orden nes tal que todos los elementos de D fuera de la diagonal principal sonceros:  11    d 0 … 0 D= 0 d 22 … 0      0   0 … d nn  Se puede anotar: D = diag ( d11 , d 22 ,..., d nn )Cumple con lo siguiente: 1) Si es otra matriz diagonal entonces D = diag ( d 11 , d 22 ,..., d nn ) DD también es matriz diagonal de orden n, y el producto es: DD = diag ( d11d 11 , d 22 d 22 ,..., dnn d nn ) 33Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile 2) det D = d11d 22 ...d nn det D k = d 1k1 d 2k2 ...d nkn , donde k ( D k = diag d11 , d 22 ,..., d nn k k ) 3) D es invertible si y solo si dii ≠ 0, para todo i = 1, 2,..., n Más aún, en este caso: D−1 = diag (1/ d11 ,1/ d 22 ,...,1/ d nn ) 4) Los valores propios de la matriz diagonal D son los elementos de la diagonal principal. 34 17
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileMATRIZ DIAGONALIZABLEDefinición:Sea A matriz de orden n.Se dice que A diagonalizable si es similar a una matriz diagonal.1) Diagonalizar una matriz A consiste en encontrar una matriz diagonal similar a la matriz A. En tal caso, también se dice que A se puede diagonalizar.2) Si A es diagonalizable, entonces existe D matriz diagonal de orden n tal que A y D son similares. Esto es: existe matriz P de orden n invertible tal que P − 1 AP = D Se dice que P diagonaliza a la matriz A. 35Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile3) Si A es diagonalizable, entonces A es similar a una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal, son los valores propios de A. Esto es consecuencia de que si A y D son similares, entonces tienen los mismos valores propios, y si D es matriz diagonal, entonces sus valores propios son sus elementos en la diagonal principal.4) La mayoría de las matrices no son matrices diagonales, pero muchas de ellas se pueden diagonalizar.No toda matriz es diagonalizable, esto es, puede no existir una matrizP tal que P −1 AP sea matriz diagonal. 36 18
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileLa siguiente es una condición necesaria y suficiente para que una matrizsea diagonalizable. Sea A∈ M n ( K ) A es diagonalizable ⇔ A tiene n vectores propios linealmente independientes. En este caso: A es similar a una matriz diagonal D, D = P −1 AP donde D tiene en la diagonal principal los valores propios de A, y P es una matriz cuyas columnas son respectivamente n vectores propios L. I. de A. Esto es, la columna j de P es un vector propio de A, asociado al valor propio λ j , j = 1, 2,..., n 37Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Vectores propios asociados a valores propios distintos, son L.I. Si A tiene n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable. El recíproco de lo anterior no es cierto. Una matriz puede ser diagonalizable y tener valores propios repetidos. 38 19
  • Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileTRANFORMACIÓN LINEAL DIAGONALIZABLE Sean: V un espacio vectorial de dimensión finita n T :V → V una transformación lineal. Sabemos que: T se puede representar mediante muchas matrices diferentes de orden n, una por cada base ordenada en V .En particular, si A1 y A son las representaciones matriciales de T 2respecto a bases B1 y B2 de V , respectivamente, entonces sabemosque A2 = P −1 A1P con P matriz invertible, esto es, A1 y A2son similares, y por tanto, tienen los mismos valores propios.Usamos esto para la definición siguiente. 39Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de ChileDefinición:Sea T :V → V una transformación lineal, con V espacio vectorial dedimensión n. T se dice diagonalizable si existe alguna base B deV , de modo que la representación matricial de T en dicha base,es una matriz diagonal. Se dice que la base B diagonaliza al operador T. Sea T : V → V una transformación lineal tal que dimV = n Entonces: T es diagonalizable si y solo si existe una base B de V de vectores propios de T . Además, si D es la matriz diagonal, entonces los elementos de la diagonal principal de D son los valores propios de T . 40 20