Análisis de Decisiones e Investigación de Operaciones en la UNAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE
AREQUIPA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y
SERVICIOS
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

APUNTES DE CLASE

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2
1. Análisis de Decisiones
2. Árboles de Decisiones
3. Teoría de Juegos y Estrategias
4. Cadenas de Markov
5. Programación Dinámica
6. Teoría de Colas

Realizado por:
Ing. Efraín Rafael Murillo Quispe

AREQUIPA – PERU
2012

Análisis de Decisiones 2

Ing. Efraín Murillo


Introducción
Optimización, - en Ingeniería -, es sinónimo de reducción de
costos, tiempos, y otros recursos; por consiguiente es también
mayor productividad, mejoramiento de la calidad de bienes y
servicios; y de esta forma incrementar el nivel competitivo de
la empresa.
Las Técnicas de Optimización, tiene como base a la
Investigación de Operaciones, Estadística e Informática,
principalmente.
Este conjunto de herramientas, permitirá a la Gerencia, tener
un buen soporte, para una mejor toma de decisiones.
Muchos proyectos, pasan a ser muy –atractivos- luego de una
reingeniería de sus procesos, debido fundamentalmente a la –
optimización- de sus operaciones.
Finalmente, no debemos perder el foco principal de la
aplicación de estas técnicas: -la satisfacción total del
cliente-, precisando que la organización moderna tiene
centrado todos sus esfuerzos en el cliente.



1. Análisis de
Decisiones
Introducción
El análisis de decisión proporciona un soporte cuantitativo a los tomadores de decisiones en todas las áreas tales
como ingenieros, analistas en las oficinas de planificación, agencias publicas, consultores en proyectos de
gerencia, planificadores de procesos de producción, analistas financieros y de economía, expertos en
diagnósticos de soportes medico y tecnológicos e infinidad de otras áreas.
El modelado para la toma de decisiones envuelve a dos partes diferentes, una es el tomador de decisiones y la
otra es el constructor del modelo, conocido como el analista. El analista debe asistir al tomador de decisiones en
el proceso de decidir. Por lo tanto, el analista debe estar equipado con más que un conjunto de métodos
analíticos.
En este capítulo se describe los elementos usados en el análisis de las alternativas de decisión y elección, así
como también las metas y objetivos que guían la toma de decisiones. Se presenta los principales aspectos
relacionados a las preferencias de las alternativas en la toma de decisiones, criterios y modos de elección;
asimismo, se presenta las herramientas de evaluación de riesgo.
El tomador de decisiones busca resultados y debe ser práctico, por ende el pensamiento racional debería
aplicarse a problemas comunes. Sin embargo, en muchas áreas no existen modelos normativos detallados que
sirvan de guía para tomar la mejor acción satisfactoria o la más óptima. En casos como éste, se deberá aceptar el
uso de modelos descriptivos que más bien describen la realidad y explican el comportamiento del modelo según
las variables asociadas a las alternativas sin hacer mención a buenas u óptimas alternativas. En la aplicación de
la racionalidad, la disciplina del análisis cuantitativo o métodos cuantitativos ofrece los principales métodos y
modelos normativos para apoyar a las ciencias que es más bien descriptiva, de esta forma se aplica el
pensamiento racional para que guíe, ayude y automatice la toma de decisiones.
La racionalidad es una de las fuerzas que mueve la conducta y las decisiones, pero no es la única. Existen
hábitos, pasiones, apetitos, sentimientos, etc. que lleva a una conducta no racional en muchas situaciones.



TIPOS DE PROBLEMAS
En el mundo real pueden existir diferentes tipos de problemas que determinan los criterios y la forma como son
tomadas las decisiones, éstas pueden ser clasificadas en: no estructurados, estructurados y semiestructurados
(Simón, 1977).
PROBLEMAS NO ESTRUCTURADOS
En este tipo de decisiones, quien toma la decisión debe establecer los puntos de vista para la definición del
problema y los criterios de evaluación. Estas decisiones no cuentan con un procedimiento definido para
tomarlas, por lo tanto no existe una receta de solución.
PROBLEMAS ESTRUCTURADOS
Son repetitivas, rutinarias y cuentan con un procedimiento definido para tomarlas, de esta forma cada vez que se
presentan no se manejan como si fueran nuevas.
PROBLEMAS SEMIESTRUCTURADOS
En este tipo de decisiones sólo parte del problema tiene una respuesta ya definida proporcionada por un
procedimiento que es aceptado.
En el caso del proceso de toma de decisiones en la administración, éste es mayoritariamente no estructurado en
los niveles gerenciales, debe plantearse y resolver el problema sobre la base de criterios y variables identificadas
en el mismo momento tanto internas como del entorno. Estas decisiones están presentes desde el momento de
planificación y en menor grado hasta en el control como decisiones de carácter correctivo. A medida que se
desciende en los niveles organizacionales los problemas van siendo más estructurados y repetitivos.

COMPONENTES DEL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES
El tomar decisiones considera aspectos externos y propios a la persona que debe decidir, está basado en cinco
componentes básicos:
INFORMACIÓN
Estas se recogen tanto para los aspectos que están a favor como en contra del problema, con el fin de definir sus
limitaciones. Sin embargo, si la información no puede obtenerse, la decisión entonces debe basarse en los datos
disponibles, los cuales caen en la categoría de información general. La información es externa a la persona y por
lo tanto debe ser recolectada de algún lugar. Es el componente que puede tener elementos objetivos como
subjetivo. Sin embargo, como se verá más adelante, para que sea relevante dependerá de las cualidades
cognitivas del decidor.
CONOCIMIENTOS
Si quien toma la decisión tiene conocimientos, ya sea de las circunstancias que rodean el problema o de una
situación similar, entonces estos pueden utilizarse para seleccionar un curso de acción favorable. En caso de
carecer de conocimientos, es necesario buscar consejo en quienes están informados. El conocimiento se genera a
través del proceso y a su vez sirve para éste. Peter Drucker ha destacado al conocimiento como el único recurso
económico de importancia en una sociedad post-capitalista o sociedad del conocimiento.
EXPERIENCIA
Cuando un individuo soluciona un problema en forma particular, ya sea con resultados buenos o malos, esta
experiencia le proporciona información para la solución de un próximo problema similar. Si ha encontrado una
solución aceptable, con mayor razón tenderá a repetirla cuando surja un problema parecido. La experiencia
además es una forma de adquirir conocimiento aludiendo al método inductivo. Si carecemos de experiencia
entonces tendremos que experimentar; pero sólo en el caso en que las consecuencias de un mal experimento no
sean desastrosas (Validación Empírica). En consecuencia los problemas más importantes de índole social como
la administración no pueden solucionarse con experimentos (Validación Lógica).



JUICIO
El juicio o criterio es necesario para combinar la información, los conocimientos, la experiencia y el análisis, con
el fin de seleccionar el curso de acción apropiado. No existen substitutos para el buen juicio, es propio del
individuo y lo hace distintivo.
ANÁLISIS
Es la forma de aunar los componentes anteriores. No puede hablarse de un método en particular para analizar un
problema, debe existir un complemento, pero no un reemplazo de los otros ingredientes. En ausencia de un
método para analizar matemáticamente un problema es posible estudiarlo con otros métodos diferentes. Si estos
otros métodos también fallan, entonces debe confiarse en la intuición.
Thomas L. Saaty que contribuyó con la creación del proceso jerárquico analítico AHP para la toma de decisiones
afirma que de estos componentes se debe distinguir los elementos objetivos y subjetivos en el proceso (Saaty,
1980) (Keeney, 1992). Los criterios o juicios son subjetivos y son los que finalmente respaldan y cuantifican qué
opción es mejor. Estos son independientes de las alternativas y son contrarrestadas con las alternativas. En este
contexto se ocupan atributos para reflejar el criterio del decidor (información subjetiva), así como asociar cada
alternativa con estos atributos (información objetiva). Los pasos generales para el proceso son:
Identificación de componentes (Alternativas para el objetivo a lograr y criterios de selección)
Identificar atributos y asociarlos. (asociar a las alternativas atributos y atributos a los criterios).
Entender y expandir (entender y confrontar las preferencias)
Los pasos son cíclicos e interactivos, los objetivos derivados en las asociaciones pueden ser desglosados en
objetivos más específicos, (Keeney and Raiffa, 1976).
En el modelo descriptivo de Simon del proceso, el individuo debe buscar soluciones que satisfagan los criterios
para cumplir los objetivos, si existen muchas alternativas debe aumentar el número de criterios para disminuir
las alternativas; Si por el contrario, son muy pocas las alternativas, se debe disminuir el número de criterios. El
equilibrio entre criterios y alternativas considerando sus atributos contribuyen a la búsqueda de la opción más
satisfactoria.



VALOR DE LA INFORMACIÓN
Valor de la información es relativo depende de quién, dónde y cuándo lo use, no tiene un valor universal.
El valor normativo de la Información en la toma de decisiones es explicado por economistas y estadísticos
derivado de la teoría de decisiones. La premisa básica es que siempre tenemos un conocimiento preliminar
acerca de la ocurrencia de un hecho o evento que puede ser importante en nuestras decisiones. Cualquier
información adicional puede modificar nuestro punto de vista sobre la ocurrencia del evento y por lo tanto
cambiar nuestras decisiones y la recompensa esperada. Por lo tanto, el valor de una información adicional es la
diferencia en la recompensa esperada obtenido por reducir la incertidumbre acerca del futuro.
INFORMACIÓN SEGÚN EL NIVEL ORGANIZACIONAL
Los requerimientos de información varían de acuerdo al nivel dentro de la organización. Según los tres niveles
administrativos, a medida que se desciende del nivel estratégico al operacional los datos son de origen internos y
más objetivos.

Control operativo: Asegurar que las tareas específicas se lleven a cabo de manera eficaz y eficiente.
Control Administrativo: Asegurar que se obtengan los recursos y se empleen en forma eficaz y eficiente.
Planeación estratégica: Especificación de estrategia, objetivos de la organización y la asignación de recursos
para su ejecución.

USO DE MODELOS
Un modelo es una representación simplificada de una situación empírica. Sus ventajas son una economía en
tiempo y esfuerzo mental, de fácil comprensión y modificación. De esta forma a partir de las conclusiones del
modelo se puede fundamentar las decisiones y acciones. La principal desventaja es que es posible omitir
variables relevantes o bien las relaciones de las variables pueden estar equivocadas lo que puede llevar a
conclusiones en los errores. Por lo tanto, existe una disyuntiva entre la simplificación del modelo sin que se
omita las variables relevantes.
A medida que las decisiones son más complejas se hace más necesario el uso de modelos. Generalmente, las
decisiones simples y repetitivas pueden realizarse en la mente, y quizás de una manera informal e intuitiva. Pero
si el problema es poco frecuente o complejo, se dedicará más tiempo en pensar en él.
Dado que la toma individual de decisiones gerenciales puede no ser un proceso simple, ya que se encuentra
condicionado por metas, variables, características sicológicas, alternativas entre conflictos y marcos de
referencia propios de quién toma las decisiones, los sistemas DSS deben ser diseñados de forma tal que
consideren modelos administrativos descriptivos que expliquen la realidad como modelos administrativos
normativos que guíen y busquen una solución óptima o satisfactoria. Ambos deben brindar un verdadero apoyo a
la toma de decisiones proporcionando diferentes opciones para manejar la información y evaluarla, apoyando los
estilos personales y adicionalmente modificándose conforme las personas aprenden y aclaran sus valores. Los
diseñadores de sistemas de información deben encontrar la forma de construir sistemas de información que



apoyen a la toma de decisiones en la institución como un proceso condicionado por luchas burocráticas, líderes
políticos y la tendencia a adaptar aleatoriamente las soluciones a los problemas Individuales (Cyert y March,
1963).
Los factores relevantes de un modelo son:
Medidas o indicadores: aquella que se utiliza como expresión cuantitativa para reflejar una meta.
Variables de decisión: aquellas se encuentran bajo el control de quien toma la decisión.
Variables Exógenas: aquellas que no se tiene control, pero son importantes en el problema.
Variables Intermedias: variables que relaciona las variables de decisión y variables exógenas con las medidas.
Restricciones o políticas: limitaciones impuestas a las variables y su relación entre ellas.
Los modelos pueden ser simples o complejos de acuerdo a las variables en él.

ENTORNO DE LOS MODELOS DE TOMA DE DECISIONES
En campo de la teoría de decisiones, los modelos se pueden clasificar en 4 distintas categorías dependiendo de la
habilidad de predecir las consecuencias:
Bajo Certidumbre
Se predice con certeza las consecuencias de cada alternativa. Hay una relación causa-efecto (Ejemplo:
Programación lineal, Asignación y transporte). Es más común en las decisiones operacionales.
Bajo Riesgo.
Las consecuencias dependen de algún evento probabilista. Común en las decisiones estratégicas de alto nivel
como la planificación.
Bajo incertidumbre
No existe conocimiento de las probabilidades de los eventos futuros.
Bajo competición
Hay incertidumbre y existe un oponente. (Ejemplo: Ajedrez)

Elementos de los modelos de análisis de decisiones
Las teorías y las técnicas matemáticas que se toman en consideración en el análisis de decisiones se ocupan de
las teorías de elección prescriptivas (acción). Es decir, la cuestión aquí es ver exactamente de qué modo se
comporta un decisor cuando se enfrenta a una elección entre cursos de acción, cuyos resultados están regidos por
el azar o las acciones de los competidores.
El análisis de decisiones es un proceso que le permite al decisor seleccionar una decisión (sólo una) entre un
conjunto de alternativas posibles de decisión, cuando existe incertidumbre con respecto al futuro, con el objetivo
de optimizar el pago (retorno) resultante, en términos de algún tipo de criterio de decisión numérico. Los
elementos de los problemas de análisis de decisiones son los siguientes:
1. Hay un decisor responsable individual. Por ejemplo, el CEO de una compañía que quizás deba
rendir cuentas ante los accionistas.
2. Un número finito de eventos (futuros) posibles, llamados Estados de la Naturaleza, es decir, un
conjunto de escenarios posibles. Las circunstancias en las cuales se toma una decisión se
llaman estados de la naturaleza. Los estados de la naturaleza se identifican y agrupan en el
conjunto S; los miembros se denotan como s. El conjunto S es un grupo de conjuntos
mutuamente excluyentes. Es decir, sólo puede ocurrir un estado de la naturaleza. ¿Qué puede
hacer la naturaleza?



3. Un número finito de alternativas posibles de decisión. Hay una acción a, miembro del conjunto
A, que puede ser adoptada por el decisor. Sólo puede adoptar una. ¿Qué puedo hacer? Una
buena decisión requiere buscar un conjunto más rico de alternativas que las que se presentaron
inicialmente o que las aceptadas tradicionalmente.
Sea breve en la parte de la lógica y la razón de su decisión. Es probable que existan mil cosas
en un automóvil, pero usted no las necesita todas para tomar la decisión. Con media docena es
suficiente.
4. La manera más sencilla de formular el problema de decisión es usando una matriz de
beneficios (tabla). Hay una matriz de beneficios X bien definida, monetaria (y luego de
utilidad) sobre dos conjuntos de dominio dimensionales A y S. Las filas y las columnas se
asignan a las alternativas de decisión posibles y a los estados posibles de la naturaleza,
respectivamente.
Normalmente no es tarea sencilla construir esta matriz; por lo tanto, puede requerir algo de
práctica.

Fuente de errores en la toma de decisiones: La fuente principal de errores en los
problemas de toma de decisiones arriesgadas son las presunciones falsas, no tener una estimación exacta de las
probabilidades, depender de la expectativa, dificultades en medir la función de utilidad, y los errores de
pronóstico.

Considere el siguiente Problema de Decisión de Inversión:



Ejemplo de decisión de inversión:

Los estados de la naturaleza son los estados de la economía durante un año.

Qué hacer frente a las incertidumbres?
Incertidumbre pura y Certidumbre: El dominio de los modelos de análisis de decisiones está entre los
siguientes dos casos extremos, dependiendo del grado de conocimiento que tenemos sobre el resultado de
nuestras acciones, como se muestra a continuación:

Uno de los "polos" de esta escala es determinista, como en el problema del carpintero. El "polo" opuesto es la
incertidumbre pura. Entre estos dos hay problemas con riesgo. La idea principal, aquí, es que para un problema
dado, el grado de certidumbre varía según el gerente, dependiendo de la cantidad de conocimiento que cada
gerente tenga sobre el mismo problema y refleja la solución diferente que cada persona recomienda.
La probabilidad es un instrumento para medir las chances de que un evento ocurra. Cuando se usa probabilidad
se expresa la incertidumbre, el lado determinista tiene una probabilidad de 1 (o cero), mientras que el otro
extremo tiene una probabilidad plana (todas igualmente probables). Por ejemplo, si usted tiene certidumbre de la
ocurrencia (o no ocurrencia) de un evento, usa una probabilidad de uno (o cero). Si usted tiene incertidumbre,
entonces usa la expresión "En realidad no sé", por lo tanto, puede o no ocurrir con una probabilidad del 50%.
Esta es la noción de Bayes de que la evaluación de la probabilidad siempre es subjetiva. Es decir, la probabilidad
siempre depende de cuánto conoce el decisor. Si sabe todo lo que puede saber, la probabilidad pasará a ser 1 o 0.
Existen tipos diferentes de modelos de decisión que ayudan a analizar distintos escenarios, dependiendo de la
cantidad y el grado de conocimiento que tengamos. Los tres tipos más ampliamente utilizados son:
• Decisión tomada con pura incertidumbre,
• Decisión tomada con riesgo,
• Decisión tomada comprando información (empujando el problema hacia el "polo"
determinista)



En las decisiones tomadas con pura incertidumbre, el decisor no tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la
probabilidad de ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza. En estas situaciones, el comportamiento del
decisor se basa puramente en su actitud hacia la incógnita. Algunos de estos comportamientos son los optimistas,
los pesimistas y los de arrepentimiento, entre otros. La persona más optimista que conocí fue sin duda un joven
artista en París quien, sin un franco en el bolsillo, fue a un restaurante elegante y ordenó docenas de ostras, con
la esperanza de encontrar la perla que pagara la cuenta.
Optimista: El vaso está medio lleno.
Pesimista: El vaso está medio vacío.
Gerente: El vaso es el doble de grande de lo necesario.
Observe que esta categoría de problemas (es decir, los problemas con pura incertidumbre) resultan apropiados
sólo para la toma de decisiones en la vida privada. No obstante, la persona pública (es decir, el gerente) tiene que
tener cierto conocimiento de los estados de la naturaleza, para poder predecir las probabilidades de cada estado.
De lo contrario no podrá tomar una buena decisión que sea razonable y defendible.
Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignar una
probabilidad subjetiva a la ocurrencia de cada estado. Y cuando lo hace, el problema se clasifica como toma de
decisiones bajo riesgo.
En muchos casos, el decisor puede necesitar la opinión de un especialista para limitar sus incertidumbres con
respecto a la probabilidad de cada estado de la naturaleza. En tal caso, el decisor puede comprar información
relevante a especialistas, para poder tomar una mejor decisión. El procedimiento para incorporar el
asesoramiento de un experto en las incertidumbres del decisor se conoce como el abordaje de Bayes.
Por ejemplo, en una situación donde se debe tomar una decisión de inversión, se debe responder la siguiente
pregunta: ¿En qué estado estará la economía el año próximo? Supongamos que limitamos las posibilidades a:
Crecimiento (G), Igualdad (S), o Declinación (D); entonces, una representación típica de nuestra incertidumbre
podría ilustrarse de la siguiente manera:



1.1. Toma de decisiones con pura
incertidumbre
Cuando las decisiones se toman con pura incertidumbre, el decisor no tiene conocimiento de los resultados de
ninguno de los estados de la naturaleza y/o es costoso obtener la información necesaria. En tal caso, la decisión
depende meramente del tipo de personalidad que tenga el decisor.

Comportamiento según los tipos de personalidad y la toma de decisiones con pura incertidumbre

Pesimismo, o Conservador (Maximin). Hipótesis de mínima. Las cosas malas siempre me
suceden a mí.



Optimismo, Agresivo (Maximax). Las cosas buenas siempre me suceden a mí.

Coeficiente de Optimismo (Índice de Hurwicz). A mitad de camino: Ni demasiado optimista
ni demasiado pesimista:
a) Elija a entre 0 y 1, 1 significa optimista y 0 significa pesimista,
b) Elija los números más alto y más bajo para cada acción,
c) Multiplique el beneficio más alto (en el sentido de las filas) por α y el más bajo por (1- α ),
d) Opte por el curso de acción que da la suma más alta.
Por ejemplo, para α = 0.7, tenemos:

Mínimo arrepentimiento: (Pérdida de Oportunidad de Savage). Odio las
lamentaciones. Debo minimizar las situaciones deplorables. Mi decisión debe ser tal que valga la pena repetirla.
Sólo debería hacer las cosas que siento que podría repetir con placer.
El arrepentimiento es el beneficio o rédito de la que hubiera sido la mejor decisión, dadas las circunstancias,
menos el beneficio de la decisión tomada concretamente, dadas las circunstancias.
a) Configure una tabla de arrepentimiento: Tome el número más alto de cada una de las columnas
correspondientes a los estados de la naturaleza (por ejemplo, L) y réstele todos los números de dicha
columna, es decir, L - Xi,j.

b) Elija el número máximo de cada acción,
c) Elija el número mínimo en Paso b, y adopte esa acción.

Yo no sé nada: Todos los estados de la naturaleza tienen igual probabilidad. Como yo no sé nada sobre la
naturaleza, todo es igualmente probable (Laplace):
a) Para cada estado de la naturaleza ponga una probabilidad igual (es decir, probabilidad plana),



b) Multiplique cada número por la probabilidad,

c) Añada filas de cursos de acción y complete la columna Beneficio Esperado,
d) Elija el número máximo en Paso c, y adopte ese curso de acción.

1.2. Toma de decisiones con riesgo

Cuando el decisor posee algún conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignarle a la ocurrencia de
cada estado alguna estimación subjetiva de probabilidad. En estos casos, el problema se clasifica como de toma
de decisiones con riesgo. El decisor puede asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados de la naturaleza.
El proceso de toma de decisión con riesgo es el siguiente:
a) Use la información que tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas) sobre el
estado de la naturaleza, p(s);
b) Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de la naturaleza,
X(a,s);
c) Calculamos el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de acción como
R(a) = Sumas de [X(a,s) p(s)];
d) Aceptamos el principio que dice que deberíamos actuar para minimizar (o maximizar) el beneficio esperado;
e) Ejecute la acción que minimice R(a).

Beneficio esperado: El resultado real no será igual al valor esperado. Lo que se obtiene no es lo que se
espera, es decir, las "Grandes Expectativas".
Con cada acción, multiplique la probabilidad y el beneficio y luego sume: Elija el número más grande y adopte
esa acción.



Los estados más probables de la naturaleza: (apropiado para decisiones no repetitivas)
a) Tome el estado de la naturaleza que tiene la probabilidad más alta (rompa los empates arbitrariamente),
b) En esa columna, elija la acción que tiene el mayor beneficio,
En nuestro ejemplo numérico, el Crecimiento tiene una chance del 40%, por eso debemos comprar Acciones.

Pérdida de oportunidad esperada (POE):
a) Configure una matriz de beneficios de la pérdida tomando el número más alto de las columnas
correspondientes a los estados de la naturaleza (digamos, L) y réstele todos los números de esa columna, L -
Xij.

b) Con cada curso de acción, multiplique la probabilidad por la pérdida y luego sume.
c) Elija la acción que tenga la POE más baja.

Cálculo del Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP)
El VEIP nos ayuda a considerar el valor que tienen las personas informadas (por ejemplo, el demonio), que son
las dueñas de la información perfecta. Recuerde que el VEIP = POE.
a) Tome el beneficio máximo de cada estado de la naturaleza,
b) Multiplique cada uno por la probabilidad de que ocurra ese estado de la naturaleza y luego súmelos,

VEIP = 10,4 - Beneficio Esperado = 10.4 - 8.5 = 1.9. Verifique si la PEO = VEIP
Por lo tanto, si la información cuesta más del 1.9% de la inversión no la compre. Por ejemplo, si usted va a
invertir $100.000, el máximo que deberá pagar por la información que compre será de [100.000 * (1.9%)] =
$1,900.



Evaluación del riesgo: ¿Cuán acertada es su decisión?
Considerando nuestro Problema de Decisión de Inversión:

Los estados de la naturaleza son los estados de la economía durante, digamos, un año. El Valor Esperado (es
decir, promedios):

Valor esperado = ∑ x i . P(x i)
Por sí solo no indica adecuadamente que la decisión es de calidad acertada. Se necesita saber la varianza para
tomar una decisión educada. ¿Alguna vez les contaron del dilema del estadístico que medía 1,80 metros y se
ahogó en un arroyo que tenía 90 cm. de profundidad promedio?
En nuestro ejemplo numérico también nos interesa el "riesgo" comparativo entre los cursos de acción
alternativos. Una de las medidas del riesgo en general se expresa como variación, o su raíz cuadrada, llamada
desviación estándar. La variación, o la desviación estándar, son valores numéricos que indican la variabilidad
inherente a la decisión. Si el valor del riesgo es más bajo indica que lo que usted esperaba obtener es más
probable. Por lo tanto, el riesgo también podría usarse para comparar cursos de acción alternativos. Lo que
deseamos es un mayor retorno esperado con menor riesgo. Es por ello que al gerente le preocupa tanto el alto
riesgo.
Varianza: Una medida importante del riesgo es la varianza.

Varianza = ∑( xi – valor esperado)2. P(xi)
La varianza es una medida del riesgo; por lo tanto, cuanto mayor la varianza, mayor el riesgo. La varianza no se
expresa en las mismas unidades que el valor esperado (digamos, en $). En otras palabras, la varianza es difícil de
entender y explicar porque es el término al cuadrado de su cálculo. Este problema puede resolverse trabajando
con la raíz cuadrada de la varianza, llamada desviación estándar.

Desviación estándar = (Varianza) 1/2
Ambas, la varianza y la desviación estándar, proporcionan la misma información; siempre se puede obtener una
de la otra. En otras palabras, el proceso de calcular una desviación estándar siempre involucra el cálculo de una
varianza. Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, siempre se expresa en las mismas
unidades que el valor esperado.
Ahora, la pregunta es "¿qué curso de acción tomar entre uno que tiene un resultado esperado mayor y otro, con
resultado esperado menor pero riesgo mucho mayor?" Para tomar una decisión acertada en estos casos, se puede
usar otra medida de riesgo, conocida como el Coeficiente de Variación. El Coeficiente de Variación (CV.) es el
riesgo relativo con respecto al Valor Esperado, que se define como:
El Coeficiente de Variación (CV.) = (Desviación estándar / Valor esperado)100 %
Observe que el CV. es independiente de la medida de unidad de valor esperado. La inversa de CV (es decir,
1/CV) se llama Relación Señal/Ruido. El coeficiente de variación se usa para representar la relación entre la
desviación estándar y el valor esperado; expresa el riesgo como porcentaje del valor esperado.



Puede calcular la calidad de su decisión usando la calculadora Mean, Standard Deviation, CV Calculator.
La siguiente tabla muestra las mediciones de riesgo calculadas para el Problema de Decisión de Inversión:

De las columnas Evaluación del Riesgo en la tabla se llega a la conclusión de que los Bonos son mucho menos
riesgosos que las Acciones. Es claro que el Depósito está exento de riesgo. Ahora, la última pregunta es: Con
toda la información relevante, ¿qué curso de acción asumir? Todo depende de usted.
(*) Xi p(Xi) Xi.p(Xi) (Xi–valor esperado)^2 (Xi-valor esperado)^2.p(Xi)
15 0.4 6.0 47.61 19.04
7 0.2 1.4 1.21 0.24
3 0.3 0.9 26.01 7.80
-2 0.1 -0.2 102.01 10.20
8.1 37.29

Desviación estándar = 37.29 = 6.10

APLICACIÓN 1.- Cuando la Matriz de Resultados es de Utilidades.
Una empresa textil puede optar por fabricar uno de los dos modelos diferentes de una determinada prenda de
vestir o ambos, pero debido a limitaciones de equipo y utillaje, los costos que supone desarrollar ambos modelos
simultáneamente superan los costos de hacerlo individualmente. Limitaciones en la capacidad productiva hacen
que sea imposible fabricar en ambos modelos tantas unidades como pueda absorber el mercado. Los
departamentos de producción y ventas de la empresa han efectuado las siguientes estimaciones:
a) Los costos por lote (en millones de euros) de los diversos modelos son los siguientes: modelo
económico, 3; modelo de lujo, 4; ambos en el mismo año, 6.
b) Los gastos generales y administrativos fijos son de 2 millones de euros.
c) Los ingresos por ventas por lote (en millones de euros), que dependen de cuál sea la coyuntura
económica el próximo año, son: modelo económico 13, 8 ó 4; modelo de lujo 15, 7 ó 0; ambos 19, 13 ó
5, según que la economía esté en expansión, estabilidad o recesión respectivamente.
1. A la vista de la información anterior determine la alternativa óptima y el beneficio o costo esperado
para la empresa en base a cada uno de los siguientes criterios:
a. Pesimista
b. Optimista
c. Hurwicz (para un índice de optimismo ∝=0.4)
d. Savage
e. Laplace



2. Asumiendo que el departamento de investigación económica estima que las probabilidades de que haya
expansión, estabilidad y recesión son de 0.1, 0.3 y 0.6 respectivamente, qué alternativa sería la óptima?.
3. Cuánto estaría dispuesto a pagar como máximo la empresa por la información perfecta?
4. Ud. En qué alternativa invertiría?

SOLUCIÓN
Matriz de Utilidades (en millones de euros)

Expansión Estabilidad Recesión
Económico 13-3-2=8 8-3-2=3 4-3-2=-1
De lujo 15-4-2=9 7-4-2=1 0-4-2=-6
Ambos 19-6-2=11 13-6-2=5 5-6-2=-3

Parte 1
Respuesta a: Pesimista

Expansión Estabilidad Recesión min
Económico 8 3 -1 -1 max
De lujo 9 1 -6 -6
Ambos 11 5 -3 -3

Decisión óptima: Modelo económico
Utilidad esperada=-1 millones de euros

Respuesta b: Optimista

Expansión Estabilidad Recesión max
Económico 8 3 -1 8
De lujo 9 1 -6 9
Ambos 11 5 -3 11 max

Decisión óptima: Ambos modelos
Utilidad esperada=11 millones de euros

Respuesta c: Hurwicz (para un índice de optimismo ∝=0.4)

Expansión Estabilidad Recesión max Min
Económico 8 3 -1 8 -1
De lujo 9 1 -6 9 -6
Ambos 11 5 -3 11 -3

Utilidades esperadas:
Modelo económico=0.4(8)+0.6(-1)=2.6 max
Modelo de Lujo=0.4(9)+0.6(-6)=0
Ambos modelos=0.4(11)+0.6(-3)=2.6 max



Decisión óptima: Indiferentemente Modelo económico o ambos modelos
Utilidad esperada=2.6 millones de euros
Respuesta d: Savage

Expansión Estabilidad Recesión
Económico 8 3 -1
De lujo 9 1 -6
Ambos 11 5 -3
Mejor
resultado 11 5 -1

Matriz de Arrepentimiento
Expansión Estabilidad Recesión Max
Económico 11-8=3 5-3=2 -1-(-1)=0 3
De lujo 11-9=2 5-1=4 -1-(-6)=5 5
Ambos 11-11=0 5-5=0 -1-(-3)=2 2 min

Arrepentimiento mínimo=2 millones de euros

Respuesta e: Laplace
Probabilidad de cada evento= 100%/3=33.33%
Utilidades esperadas:
Modelo económico=0.3333(8+3-1)=3.3333
Modelo de Lujo=0.3333(9+1-6)=1.3333
Ambos modelos=0.3333(11+5-3)=4.3333 max

Utilidad esperada=4.3333 millones de euros

Parte 2:
Valor esperado:
Modelo económico=0.1(8)+0.3(3)+0.6(-1)=1.1 Max
Modelo de Lujo=0.1(9)+0.3(1)+0.6(-6)=-2.4
Ambos modelos=0.1(11)+0.3(5)+0.6(-3)=0.8

Decisión óptima: Modelo económico
Valor esperado=1.1 millones de euros

Parte 3:
VECIP= 0.1(11)+0.3(5)+0.6(-1)=2
VEIP=2-1.1=0.9 millones de euros

Parte 4:
Depende de cada tomador de decisión

APLICACIÓN 2.- Los directores de la AFP Unión, deben escoger uno de 3 fondos mutuos comparables
en el cual invertir un millón de dólares. El personal del departamento de investigación ha estimado la



recuperación esperada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre,
moderado o excelente de los indicadores económicos del Perú, de la manera siguiente:
INDICE DE RECUPERACION ESPERADA
DESEMPEÑO PROBABILIDAD FONDO 1 FONDO 2 FONDO 3
Pobre 0.2 $ 25 000 $ 15 000 $ 20 000
Moderada 0.6 $ 40 000 $ 30 000 $ 30 000
Excelente 0.2 $ 60 000 $ 80 000 $ 90 000
Se pide:
1. La mejor decisión utilizando el criterio del valor esperado.

Donde VE es el valor esperado del Fondo i
DECISIÓN: Bajo este criterio la mejor decisión es invertir en el Fondo 1 por que tiene el mayor valor
esperado ($ 41000).
2. El valor esperado de la información perfecta.

VECIP = 0.2*25000+0.6*40000+0.2*90000 = 47000
⇒ VEIP = 47000 – 41000 = $ 6000
3. La alternativa de menor riesgo.

Desviación estándar (Fondo 1) = 124000000 = 11135.53





⇒

Por lo tanto la alternativa de menor riesgo de acuerdo al Coeficiente de Variación es el Fondo 1 con
27.16% de riesgo.

4. Asumiendo que se desconoce las probabilidades de ocurrencia de cada estado de la naturaleza,
determine la decisión óptima en base a cada uno de los criterios de la toma de decisiones bajo
incertidumbre (Optimista, Pesimista, Hurwicz para un ∝=0.6, Savage y Laplace).
Optimista

Decisión óptima: Fondo 3, con un valor esperado de $90000
Pesimista

Hurwicz


Savage



Decisión óptima: Fondo 2 ó 3, con una pérdida de oportunidad esperada de $10000
Laplace

Decisión óptima: Fondo 1 ó 2, con un valor esperado de $41666.67

5. Determine el rango de variación del coeficiente ∝, dentro del cual permanece la decisión óptima
encontrada bajo el criterio Hurwicz en el punto 4.

Fondo 3 Vs Fondo 1
90000α+(1- α)20000 = 60000α+(1- α)25000
900000α +20000- 20000α = 60000α+25000-25000α
35000α = 5000
α = 0.142857
Entonces α ≥ 0.142857
Fondo 3 Vs Fondo 2
90000α+(1- α)20000 = 80000α+(1- α)15000
900000α +20000- 20000α = 80000α+15000-15000α
5000α = 5000
α=1
Entonces α≤ 1

Por lo tanto el rango será: 0.142857≤α≤1



APLICACIÓN 3.- Considere la siguiente matriz de pagos (costos):

MATRIZ DE COSTOS

θ1 θ2 θ3 θ4 θ5

a1 15 10 0 − 6 18 
a 2  3 13 7
 8 2
a3  2 5 14 20 − 3
 
a 4  7 18 11 2 0

Si no se conocen probabilidades para la ocurrencia de los estados de la naturaleza, determine la alternativa
óptima para cada uno de los siguientes criterios:
a) Pesimista
b) Hurwicz (Suponga que ∝=0.6)
c) Savage
d) Laplace
e) Qué alternativa elige Ud?
Si se conocen las siguientes probabilidades: 0.3, 0.2, 0.05, 0.35 y 0.1, correspondientes a cada evento
respectivamente; determine:
f) La alternativa óptima bajo el criterio del valor esperado.
g) De las alternativas a1 y a4 ¿Cuál es la de menor riesgo?.

Solución
a) Pesimista:

La mejor alternativa es a2, con un costo de 13.

b) Hurwicz:
VE(a1)= -6(0.6) + 18(0.4)= 3.6
VE(a2)= 2(0.6) + 13(0.4)= 6.4
VE(a3)= -3(0.6) + 20(0.4)= 6.2
VE(a4)= 0(0.6) + 18(0.4)= 7.2

La mejor decisión es a1, con un costo esperado de 3.6.

c) Savage:



Matriz de arrepentimiento:

La mejor decisión es a4, con un costo de oportunidad de 13.

d) Laplace:
probabilidad= 1/5 = 0.2
VE(a1)= 0.2(15 + 10 + 0 - 6 + 18) = 7.4
VE(a2)= 0.2(3 + 13 + 7 + 8 + 2) = 6.6
VE(a3)= 0.2(2 + 5 + 14 + 20 - 3) = 7.6
VE(a4)= 0.2(7 +18 + 11 + 2 + 0) = 7.6

La mejor decisión es a2, con un costo esperado de 6.6

e) Decisión:
En vista de que no me gusta los arrepentimientos, decido por la alternativa que me recomienda Savage,
o sea la a4.

f) Valor esperado:
VE(a1)= 0.3*15 + 0.2*10 + 0.05*0 + 0.35*(-6) + 0.1*18 = 6.2
VE(a2)= 0.3*3 + 0.2*13 + 0.05*7 + 0.35*8 + 0.1*2 = 6.85
VE(a3)= 0.3*2 + 0.2*5 + 0.05*14 + 0.35*20 + 0.1*(-3) = 9
VE(a4)= 0.3*7 + 0.2*18 + 0.05*11 + 0.35*2 + 0.1*0 = 6.95
La mejor decisión es a1, con un costo esperado de 6.2

g) Alternativa de menor riesgo:
Alternativa a1:
Xi p(Xi) Xi.p(Xi) (Xi-valor esperado)^2.p(Xi)
15 0.30 4.5 23.23
10 0.20 2.0 2.89
0 0.05 0.0 1.92
-6 0.35 -2.1 52.094
18 0.10 1.8 13.93
6.2 94.06



Desviación estándar = (94.06)^(1/2)= 9.7, Entonces CV=156%
Alternativa a4:
Xi p(Xi) Xi.p(Xi) (Xi-valor esperado)^2.p(Xi)
7 0.30 2.1 0.00075
18 0.20 3.6 24.4
11 0.05 0.55 0.82
2 0.35 0.7 8.58
0 0.10 0.0 4.83
6.95 38.65

Desviación estándar =(38.65)^(1/2)=6.22, Entonces CV=89%
Por lo tanto la alternativa de menor riesgo es la a4.



APLICACIONES PROPUESTAS:
01.- El Consejo Provincial de Arequipa esta en proceso de decidir si reemplaza su flotilla de vehículos viejos
mediante la adquisición de camiones nuevos a un costo de $ 18 000 cada uno o usados a un costo de $ 10 000
por camión. Alternativamente, puede alquilar camiones por un periodo de 5 años a un costo de $ 2500 al año por
camión nuevo y de $ 1500 anuales por vehículo usado. Después de ese periodo, la compañía adquiere los
camiones que estaban nuevos a $ 10 000 y los que eran usados a $5 000 por vehículo. De la experiencia pasada,
la administración del Consejo sabe que el valor de reventa de los camiones nuevos y usados, depende de su
condición al final de los 5 años:
Valor estimado de reventa de:
Condición Vehículo USADO Vehículo NUEVO
Mala $ 2000 $ 8000
Regular $ 4000 $ 10500
Buena $ 6000 $ 13000

a) Identifique las alternativas de decisión.
b) Identifique los posibles estados/resultados.
c) Construya la matriz de ganancias para cada pareja alternativa-resultado, ignorando el valor temporal del
dinero.

02.- Considere la siguiente matriz de pagos (costos):
θ1 θ2 θ3 θ4 θ5

a1 15 10 0 − 6 17 
a 2  3 14 8 9 2
 
a 3  1 5 14 20 − 3
 
a 4  7 19 10 2 0

No se conocen probabilidades para la ocurrencia de los estados de la naturaleza.
Compare las soluciones obtenidas con cada uno de los criterios siguientes:
h) Pesimista
i) Optimista
j) Hurwicz (Suponga que ∝=0.5)
k) Savage
l) Laplace
m) Si se tiene las siguientes probabilidades: 0.1, 0.1, 0.3, 0.4 y 0.1, correspondientes a cada evento
respectivamente; determine la alternativa óptima bajo el criterio del valor esperado, así como la
alternativa de menor riesgo.

03.- Andrés maneja un pequeño expendio de flores adyacente a uno de sus ocho grandes invernaderos. Se
especializa en el cultivo de crisantemos, que se venden a otros floristas. Sin embargo, los tienen en existencia
para su venta en el pequeño expendio a los clientes de la zona inmediata de mercado. Los crisantemos se venden
a 3.00 dólares por docena y cuestan 2.00 dólares por docena por concepto de cultivo y corte. Los que no se
venden al fin del segundo día después de cortarlos, se venden a 0.75 de dólar por docena a otros floristas de los
mercados de ingresos inferiores. Durante los meses de invierno la demanda de crisantemos es relativamente



constante durante algún tiempo, pero varía de un día a otro. A continuación se da la tabulación de la demanda
reciente:
Evento: demanda Probabilidad del evento
20 docenas 0.05
22 docenas 0.10
24 docenas 0.25
26 docenas 0.30
28 docenas 0.20
30 docenas 0.10
a) Construya la Matriz de rendimientos.
b) Suponiendo que se puede tener en existencia cualquiera de las cantidades demandada, usando el criterio
del valor esperado, ¿cuántas docenas hay que tener en existencia?
c) Si se desconoce la información acerca de las probabilidades de los eventos, ¿cuántas docenas hay que
tener en existencia utilizando los siguientes criterios?:
1) Pesimista
2) Optimista
3) Laplace
4) Hurwicz (para un índice de optimismo ∝=0.6)
5) Savage
d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar como máximo Andrés por la información perfecta?
e) ¿Determine el coeficiente de variación para cada alternativa de decisión, ¿cuál es la alterativa de mayor
riesgo?
f) Para el caso en que la demanda sea 24 docenas, determinar, en cuánto puede aumentar o disminuir la
utilidad estimada por pedir 30 docenas sin que afecte la decisión optima para cada criterio de Hurwicz.

Sugerencia:
Los eventos son que la demanda sea 20, 22, 24, 26, 28 y 30 docenas.
Las alternativas de acción son pedir 20, 22, 24, 26, 28 y 30 docenas.
Para cuantificar la matriz de resultados, utilice el siguiente procedimiento, por ejemplo: si la acción es pedir 26
docenas y la demanda es 22 docena (sobrarán 4 docenas), entonces se tiene:

Utilidad = ventas – costo de adquisición + valor de reventa = 22*3 - 26*2 + 4*0.75 = 17

04.- La demanda semanal de revistas sobre computación e informática está dada por la siguiente distribución
de probabilidad:
x 100 150 200 250 300
p(x) 0.20 0.25 0.30 0.15 0.10
Si una revista no se vende esa misma semana, al final de esta se puede vender a 15 centavos. De otra manera, el
precio de la revista es de 49 centavos. El costo por revista es de 25 centavos para el dueño del puesto de revistas.
Suponiendo que el nivel de pedido se restringe a uno de los niveles de demanda, ¿Cuántas revistas deberán
pedirse para la próxima semana utilizando el criterio del valor esperado?, ¿Cuánto estaría dispuesto el dueño del
negocio a pagar por información adicional (información perfecta)?.


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