Unidad3 metodo simplex

UNIDAD 3
"PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO SIMPLEX"
OBJETIVO:
EL ALUMNO APLICARÁ EL MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER
PROBLEMAS EN TODO TIPO DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
PROGRAMACION LINEAL MÉTODO SIMPLEX
Los problemas reales de programación lineal generalmente tienen variables de
decisión y muchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos
gráficamente. Se usan algoritmos tales como el simplex. El método simplex es un
procedimiento iterativo que progresivamente permite obtener una solución óptima
para los problemas de programación lineal. Existen numerosos programas tanto
para computadoras centrales como para personales. Aunque el método simplex es
especialmente útil en problemas de gran escala (resueltos con una computadora),
en seguida se practicará en el caso del mismo problema que fue resuelto
gráficamente en el ejemplo sobre la empresa química “Chemical”. Procedimiento
general del simplex
1. Establézcase la tabla inicial de simples. Formular la función objetivo y las
restricciones e introducir las variables de decisión, variable en la solución,
valor en solución (LD), C (contribución de la variable), Z (costo de introducir
la variable), C – Z (contribución neta de la variable).
2. Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo
más grande en el renglón inferior (C - Z). Esta se convierte en la nueva
variable de la solución.
3. Selecciónese el renglón pivote. Éste es el renglón con la razón más
pequeña del valor LD dividido por el valor de la columna pivote. Úsense
sólo números positivos. Esto identifica la variable que deja la solución.
4. Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección del
renglón y la columna pivotes.
5. Conviértase al elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor
del renglón pivote entre el valor pivote. Métase este renglón en una tabla
nueva.
6. Genérense los demás renglones de la nueva tabla con ceros en la columna
pivote. Esto se hace multiplicando el nuevo renglón (del paso 5) por el
negativo del elemento en la columna pivote. El resultado será sumado al
antiguo renglón. Introdúzcase este renglón revisado en la nueva tabla, y

continúese este procedimiento en cada renglón de la sección central de la
tabla.
7. Prueba de optimización. Calcúlense los valores de Z y C – Z. Los valores
de Z de cada columna son (elementos de la columna) ( C ). Si todos los
valores de C – Z son ≤ 0, la solución es óptima. Léanse los valores de las
variables en la solución de la columna de LD y el valor de la función objetivo
del renglón de Z en la columna de LD. Si la solución no es óptima, regrese
al paso 2.
3.1 TEORIA Y FUNDAMENTOS DEL MÉTODO SIMPLEX
Este método busca la solución, en cada paso, de forma mejorada hasta que no pueda
seguir mejorando dicha solución. Al comienzo el vértice principal es un vértice cualquiera,
hasta que va mejorando, comparándolo con el vértice anterior, en los pasos de la
ecuación.
El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma
su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la
cual f aumenta. Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para
restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes
mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso
de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "="
habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.
Se considera el programa lineal en su forma canónica Máx Z = cX
Sujeto a
Donde A es de orden m por n; cX son vectores renglón y columna
respectivamente con n componentes y b es un vector columna con m
componentes. Se denotan a las columnas de A por a1,a2,...,an con m < n. Se
considera a la matriz A partida en dos matrices, una B con m vectores linealmente
independientes y otra n con n-m vectores linealmente dependientes:
Am,n = (Bm,m Nm,n-m)
La matriz B se le llamará la base y cualquier vector aj en A que no está en B,
puede escribirse como una combinación de los vectores de b. Es decir dado
Este puede escribirse como
donde
i=1,...,m.
Se hace

Por lo que y como B tiene inversa B-1, Yj = B-1 aj
Considerando las restricciones originales del programa lineal
AX = b
Se tiene que
(B|N) (XB/XN) = b
donde
Entonces desarrollando se tiene
BXB+NXN = b
Si se hace uso de la definición de solución básica factible se tiene que
Y la desarrollada anteriormente se convierte en
Que es una solución básica de . El vector se le denomina vector
básico y a , vector no básico. Si se parte el vector de costos o precios unitarios
c en

Se tiene que la función objetivo puede escribirse
porque
3.1.1 ALGEBRA DEL MÉTODO SIMPLEX
Paso 1 Convertir el LP a suma forma estándar.
Paso 2 Encontrar una solución básica factible. Si todas las restricciones son de tipo =<se
pueden usar las variables de holgura si para cada la i.
Paso 3 Si todas las variables no básicas tienen un coeficiente no negativo en la 0, la bfs
actuales óptima. Si hay variables en la 0 con coeficientes negativos, se debe escoger la
que acompañe al coeficiente más negativo en la 0 para entrar a la base. Esta variable se
denomina la variable entrante.
Paso 4 Emplear el pivoteo para hacer que la variable entrante ingrese a la base en la
que restringido su valor. Una vez obtenida la base, volver al paso 3, empleando la forma
canoníca actual.
Solución factible
Una solución basal de (2.3) en el cual todas las variables son no negativas es una
Solución basal factible o bfs. Los siguientes dos teoremas explican la importancia de
concepto de solución basal factible en LP.
Teorema 1 La región factible para cualquier problema de programación lineal es un
conjunto convexo. Además, si un LP tiene solución óptima, el óptimo debe ser un punto
extremo de la región factible. La justificación del Teorema 1 fue discutida intuitivamente
cuando se estudió la resolución grafica de LP de dos variables, además en dos variables
también se vio que el ¶optimo corresponde un punto extremo.
Teorema 2 Para cualquier LP, existe un único punto extremo de la región factible
correspondiente a cada solución basal factible. Además, existe a los menos una bfs
correspondiente a cada punto extremo de la región factible.

Solución básica factible
Siempre se debe incorporar una variable entrante en la que controla su valor máximo.
En el ejemplo, para hacer que x1 sea la variable basal en la 3 se debe emplear
operaciones las elementales para conseguir que x1 tenga coeficiente 1 en dicha la y 0
en las otras las. El procedimiento se denomina pivoteo en la 3. El resultado es que x1
reemplace a s3 como variable básica de la 3. Los pasos a seguir son los siguientes:
Paso 1 Se crea un coeficiente 1 para x1 en la 3 multiplicando la completa por ½. El
resultante de la operación es:
x1 + 0;75x2 + 0;25x3 + 0;5s3 = 4
Paso 2 Se crea un coeficiente 0 para la variables x1 en la 0. Para ello basta multiplicar
por 60 (3.12) y sumarla a la 0 actual:
z + 15x2 ¡ 5x3 + 30s3 = 240
Paso 3 Para fabricar un coeficiente 0 para la variables x1 en la 1 se multiplica por ¡8
(3.12) y se suma a la 1 actual:
¡x3 + s1 ¡ 4s3 = 16
Paso 4 Creamos un coeficiente 0 para la variables x1 en la ¯la 2 multiplicando por ¡4
(3.12) y sumándosela a la ¯la 2 actual:
¡x2 + 0;5x3 + s2 ¡ 2s3 = 4
Debido a que en la 4 no aparece la variable x1, no es necesario aplicar operaciones las
para eliminar x1 de la. Luego, la 4 queda igual que antes:
x2 + s4 = 5
Efectuando todas las medicaciones descritas se completa el Cuadro 3.3.
Las variables basales y no basales en este caso definen los siguientes conjuntos:
BV = fz; s1; s2; x1; s4g NBV = fs3; x2; x3g
Variable entrante:
Se puede comenzar a desarrollar con cualquier variable solo que según la que tome se
realizaran más o menos iteraciones. Se recomienda usar las variables básicas, ya que
estas serán la base en la solución en estos métodos.
Variable saliente
Igualmente se puede comenzar con cualquiera de ellas, aunque se puede dar el
caso corrido de caer en un ciclo repetitivo. Para que no ocurran estos casos de
repetición no se tomaran en cuenta las variables básicas haciendo que siempre
estén en la base. En caso de igualdad de las variables se, en el segundo método,
se tomara las variables artificiales.
3.1.2 VARIABLES BÁSICAS, NO BÁSICAS E INDICADORES
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE.

Recuérdese que el objetivo general del método símplex es obtener una
sucesión de soluciones básicas factibles mejoradas hasta alcanzar la solución
optima.
La solución básica que resulta es la solución de m ecuaciones
[A , I]
SX
X
= b,
en las que n variables no básicas del conjunto de (n + m) elementos de
SX
X
se igualan a cero. Cuando se eliminan estas n variables igualadas a cero queda un
conjunto de m ecuaciones con m incógnitas ( las variables básicas). Este sistema
de ecuaciones se puede denotar por B XB = b, donde el vector de variables básicas
XB =
Bm
B
B
X
X
X

2
1
Se obtiene al eliminar las variables no básicas de
SX
X
y la matriz básica

B =
MNMM
N
N
BBB
BBB
BBB




21
22221
11211
se obtiene al eliminar las columnas correspondientes a los coeficientes de las
variables no básicas de [A , I].
Para resolver B XB = b , ambos lados se multiplicaran por B-1:
B-1 B XB = B-1 b
Como B-1 B = 1, la solución deseada para las variables básicas es XB = B-1 b. Sea
CB el vector obtenido al eliminar los coeficientes de las variables no básicas de [ C
, 0 ] y al reordenar los elementos para que coincidan con los de XB , entonces el
valor de la función objetivo para esta solución básica es.
Z = CB XB = CB B-1 b
Ejemplo Wyndor Glass.
C = 53 , IA =
10023
01020
00101
, b =
18
12
4
X =
2
1
X
X
, XS =
5
4
3
X
X
X
Iteración 0

XB =
5
4
3
X
X
X
, B =
100
010
001
= B-1, así
5
4
3
X
X
X
=
100
010
001
18
12
4
=
18
12
4
CB = 000 así Z = 000
18
12
4
= 0
Iteración 1
XB =
5
2
3
X
X
X
, B =
120
020
001
, B-1 =
110
0
2
1
0
001

Así
5
2
3
X
X
X
=
110
0
2
1
0
001
 18
12
4
=
6
6
4
CB = 050 así Z = 050
6
6
4
= 30
Iteración 2
XB =
1
2
3
X
X
X
, B =
320
020
001
, B-1 =
3
1
3
1
2
1
3
1
3
1
0
00
1



Así
1
2
3
X
X
X
=
3
1
3
1
2
1
3
1
3
1
0
00
1


18
12
4
=
2
6
2
CB = 350 así Z = 350
2
6
2
= 36
FORMA MATRICIAL DEL CONJUNTO DE ECUACIONES ACTUALES
Para el conjunto original de ecuaciones, la forma matricial es
IA
c
0
01 
SX
X
Z
=
b
0
Después de cualquier iteración, XB = B-1 b y Z = CB B-1 b, por lo que el lado derecho
de las ecuaciones se ha convertido en
BX
Z
= 1
0
1 1


B
BCB
b
0
=
bB
bBCB
1
1


Entonces, las operaciones algebraicas en ambos lados del conjunto de
ecuaciones original resultaron equivalentes al premultiplicarlos por esta misma
matriz. Como la forma matricial que se busca
1
0
1 1


B
BCB
IA
c
0
01 
= 11
11
0
1



BAB
BCcABC BB

para el conjunto de ecuaciones después de cualquier iteración es
11
11
0
1



BAB
BCcABC BB
SX
X
Z
=
bB
bBCB
1
1


Tabla inicial y final del símplex en forma matricial
Iteración
Variable
básica
Ec.
núm.
Coeficiente de Lado
DerechoZ
Variables
original
Variable
de holgura
0
Z 0 1 -C 0 0
XB 1-m 0 A I b
Cualquier
a
Z 0 1 CBB-1 A -C CBB-1 CBB-1b
XB 1-m 0 B-1 A B-1 B-1b
3.1.3 MAXIMIZACIÓN Y Minimización
EJEMPLO DE MAXIMIZACIÓN UTILIZANDO EL MÉTODO SIMPLEX
Continuando con el problema anterior los pasos para resolver el problema por el
método simplex son:
1. Expresar el problema en forma estándar
Max 40F + 30S + S1 + S2 + S3

0.4F +0.5S + S1 = 20
0.2S + S2 = 5
0.6F +0.3S +S3 = 21
F,S,S1,S2,S3 >= 0
2. Obtener el renglón z que consiste en convertir al función objetivo en valores
negativos.
Max z = 40F+30S+S1+S2+S3
z = -40F-30S = O
3. Resumir la forma estándar en una tabla simplex
4. Se encuentran las intersecciones de la primera variable (la más negativa) para
determinar el renglón pivote.
En este caso se toma la columna donde se encuentra el -40 y cada uno de los
valores de la solución se divide dentro de los valores de dicha columna,
escogiendo el menor valor y toda esa fila se convertirá en la fila pivote como se
puede observar en la siguiente tabla:
5. Se hacen los cálculos correspondientes
a. La nueva fila pivote es la S3 el objetivo es convertir el valor de 0.6 en 1 para lo
cual se divide toda la fila dentro de 0.6 y se coloca en la nueva tabla.
b. El resto de valores que se encuentran arriba o abajo de 0.6 deben convertirse
en 0. Para este caso se desea convertir el 0.4 en 0 por lo cual se convierte el 0.4
en negativo se multiplica por el valor correspondiente en la nueva fila pivote que
es 1 y se le suma el valor de esa posición en la tabla antigua que en este caso es
0.4 en resumen (-0.4*1+0.4 = 0) y asi sucesivamente con cada una de las filas:

6. Como no se tienen todavía las variables de z en positivo, entonces hay que
repetir los pasos 4 y 5 hasta que todos los valores de z sean positivos:
Como se puede observar en la tabla anterior todos los valores de z son positivos,
lo cual quiere decir se ha llegado a encontrar la solución óptima del problema que
es producir 20 toneladas de aditivo para combustible y 25 toneladas de base para
solvente para obtener una ganancia máxima de $ 1,600*.
* Si observa se obtuvieron los mismos resultados que el método gráfico y
algebraico anteriormente descritos
EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN
Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estandar, que
denotaremos en lo que sigue por:
Min c1x1 + c2x2 + … + cnxn
sa a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xi >= 0, i = 1, 2, …, n y m <= n
Matricialmente escrito como:
Min cTx
sa Ax = b
x >= 0
No existe pérdida de generalidad en asumir que un modelo de PL viene dado en
su forma estándar.
3.1.4 FILAS Y COLUMNAS PIVOTANTES

Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura
que sale de la base
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la
última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la
variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).
En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición
anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se
ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del
proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya
elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En
color azulado).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide
cada término de la última columna (valores solución) por el término
correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean
mayores que cero. En nuestro caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente.
En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero,
entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor
cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura
que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de
las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento
pivote operacional,
3.2 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX
En la solución gráfica observamos que la solución óptima está asociada siempre
con un punto extremo del espacio de soluciones. El método simplex está basado
fundamentalmente en este concepto.

Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio
de soluciones, el método simplex emplea un proceso interativo que principia en un
punto extremo factible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de
un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo.
Existen reglas que rigen la selección del siguiente punto extremo del método
simplex:
1. El siguiente punto extremo debe ser adyacente al actual.
2. La solución no puede regresar nunca a un punto extremo considerado con la
anterioridad.
El algoritmo simplex da inicio en el origen, que suele llamarse solución inicial.
Después se desplaza a un punto extremo adyacente. La elección específica de
uno a otro punto depende de los coeficientes de la función objetivo hasta
encontrar el punto óptimo.
Al aplicar la condición de optimidad a la tabla inicial seleccionamos a Xi como la
variable que entra. En este punto la variable que sale debe ser una de las
variables artificiales.
Los pasos del algoritmo simplex son ( 10 ) :
1. Determinar una solución básica factible inicial.
2. Prueba de optimidad: determinar si la solución básica factible inicial es óptima y
sólo si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos ( >= 0 ). Si es así, el
proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra interacción para obtener la
nueva solución básica factible inicial.
3. Condición de factibilidad.- Para todos los problemas de maximización y
minimización, variable que sale es la variable básica que tiene la razón más
pequeña (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente.
4. Seleccionar las variables de holgura como las variables básicas de inicio.
5. Selecciona una variable que entra de entre las variables no básicas actuales
que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función
objetivo. Si no existe la solución básica es la óptima, si existe pasar al paso
siguiente.
6. Realizar el paso iterativo.
a) Se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable con
el coeficiente negativo que tiene el valor mayor valor absoluto en la ecuación. Se
enmarca la columna correspondiente a este coeficiente y se le da el nombre de
columna pivote.
b) Se determina la variable básica que sale; para esta, se toma cada
coeficiente positivo (>0) de la columna enmarcada, se divide el lado derecho de
cada renglón entre estos coeficientes, se identifica la ecuación con el menor
cociente y se selecciona la variable básica para esta ecuación.
c) Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla
en la forma apropiada de eliminación de Gauss, abajo de la que se tiene. Para
cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se
divide todo el renglón entre el número pivote, entonces

renglón pivote nuevo = renglón pivote antiguo
número pivote
para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de
Gauss para obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica Xj en los otros
renglones, para realizar este cambio se utiliza la siguiente fórmula:
renglón nuevo = renglón antiguo - ( coeficiente de la columna pivote X renglón
pivote nuevo)
cuando el coeficiente es negativo se utiliza la fórmula:
renglón nuevo = renglón antiguo + (coeficiente de la columna pivote X renglón
pivote nuevo)
TABLA SIMPLEX
como se capturaría la solución básica factible inicial en el siguiente ejemplo:
sea:
Maximizar Z = 2X1+4X2
sujeto a:
2X1+ X2<= 230
X1+ 2X2<= 250
X2<= 120
todas las X1,X2>=0
BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z 0 -2 -4 0 0 0 0 0
S1 0 2 1 1 0 0 230 230/1
S2 0 1 2 0 1 0 250 250/2
S3 0 0 1 0 0 1 120 120/1
Seleccione la variable que entra y la variable que sale de la base:
Entra X2 y sale S3, se desarrolla la nueva tabla solución y se continua el proceso
iterativo hasta encontrar la solución optima si es que está existe.
Tabla Optima:

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCIÓN RAZÓN
Z 0 0 0 0 2 0 500
S1 0 0 0 1 -2 3 90
X1 0 1 0 0 1 -2 10
X2 0 0 1 0 0 1 120
Solución: Z = $500
fabricando
X1=10
X2=120
Sobrante de
S1 = 90
Tipo de solución: Optima Múltiple
Solución de problemas en donde la solución continua no sea aplicable
Interpretación de los resultados: Veamos la salida de un modelo que involucra
la planeación de la producción, en donde se desean construir mesas y sillas el
recurso disponible es 30 m2 de madera por semana, 48 horas por semana; la
demanda de las sillas es de 5 unidades y la de mesas de 10 unidades, la utilidad
que se obtiene por las mesas es de $10 y por las sillas de $8, ademas para
construir la mesa se ocupa lo siguiente: 4.5 m2 de madera por unidad, 6 horas por
unidad. Para la silla se ocupan: 1.5 m2 de madera por unidad y 3 horas por cada
unidad fabricada.
Con esta información se desarrolla el modelo siguiente:
Max Z = 10X1+8X2
s.a.
4.5X1+1.5X2 <= 30
6.0X1+3.0X2 <= 48
toda X1,X2 >=0
El reporte final de este modelo es el siguiente (por WinQsb)
Decisión
Variable
Solution
Value
Unit
Cost or
Profit cj
Total
Contributio
n
Reduced
Cost
Basis
Status
Allowable
Min cj
Allowable
Max cj

X1 0 10.0000 0 -6.0000
at
bound
-M 16.0000
X2 16.0000 8.0000 128.0000 0 basic 5.0000 M
Objetive
Functio
n
(Max) = 128.0000
Constrain
t
Left
Hand
Side
Directio
n
Rigth Hand
Side
Slack or
Surplas
Shado
w
Price
Allowable
Min. RHS
Allowable
Max.
RHS
C1 24.0000 <= 30.0000 6.0000 0 24.0000 M
C2 48.0000 <= 48.0000 0 2.6667 0 60.0000
INTERPRETACIÓN DE LA SALIDA:
Información de la Función Objetivo:
Decision Variable (Variable de Decisión): Son las variables que se han definido en
la formulación del problema en este caso representan al producto X1 = mesas y
X2= sillas.
Solution Value (Valor de la solución): Cantidad de mesas y sillas a fabricar, el
problema se resuelve y nos indica que para obtener la mejor solución en términos
de la utilidad, se necesitan fabricar 16 sillas y no fabricar mesas.
Unit Cost or Profit (costo por unidad, Utilidad por unidad): Cantidad de pesos que
vamos a ganar por cada mesa y por cada silla ($10 y $8 respectivamente.
Total Contribution (contribución total): Es la cantidad en pesos que resulta al
multiplicar la utilidad de cada producto por la cantidad que se va a fabricar,
ejemplo al fabricar 16 sillas y multiplicarlo por $/silla 8, la contribución es de
$128.0000, así al sumar la contribución por concepto de las mesas nos arroja una
aportación de $0.0000, esto resulta de hacer la operación de ($/mesa10)
(0mesas)= $0.0000, finalmente la suma de 128.0000+0.0000 = $128.0000, esto es
lo que se conoce como el valor de Objetive Function Max.
Reduced Cost (Costo reducido): esto nos indica el dinero que hemos dejado de
ganar por cada unidad no fabricada. en este caso debemos de aumentar a mas de
$6.0000 la utilidad de la mesa para que sea atractiva la fabricación de mesas.
Basis Status (estado de la base): Indica si la variable es básica o no básica, en
este ejemplo la variable X1 (mesas) resulta ser no básica, esto es que no forma
parte de la solución óptima, la variable X2 (sillas) es una variable básica, ya que
forma parte de la solución.

Allowed Min cj (rango mínimo del cj): esta es la mínima utilidad que puedo obtener
sin que la base actual cambie. (-M)
Allowed Max cj (rango mínimo del cj): esta es la máxima utilidad que puedo
obtener sin que la base actual cambie. (16.0000)
los valores que aparecen son para el producto Mesa.
Interpretación de las Restricciones:
Constraint (Restricción): Son las restricciones que forman parte del problema, se
tienen dos restricciones (C1 y C2) la restricción de la madera y la de horas
hombre.
Left hand side (valor al lado izquierdo): esto nos indica el consumo de recurso, de
30.000 m2 de madera se consumieron 24.000 m2.
Direction (dirección): es la dirección de la restricción (<=,>= o =)
Rigth hand side (valor lado derecho): es el recurso disponible actualmente 30 m2
Slack or Surplas (holguras): nos indican un faltante o bien un sobrante
Shadow Price (precio sombra): nos indica la solución Dual, esto es que el 2.6667
indica que cada hra-hombre se debe ofrecer como mínimo en $/hr 2.6667.
Allowed Min RHS (rango mínimo del bj): esta es la mínima cantidad de recurso
que se debe de mantener sin que la base actual cambie. (0 hrs-hombre)
Allowed Max RHS (rango mínimo del bj): esta es la máxima cantidad de recurso
que se debe de mantener sin que la base actual cambie (60.0000 hrs-hombre)
3.2.1 Restricciones ESTÁNDAR: VARIABLES DE HOLGURA
Para la aplicación del algoritmo Símplex se transforma el modelo
de programación original, formado por restricciones funcionales de desigualdad, en
un modelo de forma estándar, integrado por restricciones de igualdad equivalentes.
Esta conversión se logra con la introducción de variables de holguras y/o superávit.
Variables de holgura. Aplica para las restricciones del tipo (<=), donde el lado
derecho de la desigualdad representa el limite sobre la disponibilidad de un recurso
y el lado izquierdo representa la utilización de ese recurso limitado que hacen las
variables del modelo. Esto quiere decir que una holgura representa la cantidad

disponible del recurso que excede a la utilización que se le da. En la conversión de
este tipo de desigualdad se añade una variable de ajuste (Xi o Hi) para convertirla
en igualdad. Por ejemplo, tenemos la siguiente restricción: 3X1 + 2X2 <= 6, su
equivalente seria, 3X1 + 2X2 + X3 = 6.
3.2.3. RESTRICCIONES NO ESTÁNDAR: VARIABLES ARTIFICIALES Y DE
SUPERÁVIT
Variables artificiales
En los problemas anteriores del método simplex hemos utilizado las variables de
holgura como una solución inicial factible. Sin embargo, si la restricción original es
una ecuación (“=”) o es del tipo ” , ya“ no tenemos una solución factible inicial
preparada.
Por lo que es necesario generar una solución inicial. La idea de utilizar Variables
Artificiales es muy simple. Es necesario sumar una variable no negativa a todas la
ecuaciones que no tengan variables básicas iniciales. Las variables agregadas
desempeñarán la misma función que una variable de holgura. Sin embargo, como
estas variables no tienen un significado físico desde el punto de vista del problema
original ( de aquí el nombre de “artificial”), el procedimiento será valido sólo si
hacemos que estas variables sean cero cuando se llegue a la tabla óptima.
Variables de superávit.
Aplica para las restricciones del tipo (>=), generalmente determinan los
requerimientos mínimos de especificaciones. Es decir, un superávit representa el
exceso minimo del lado izquierdo sobre el requerimiento mínimo de la restricción.
En la conversión de este tipo de desigualdad se resta una variable de ajuste (Xi o
Si) para convertirla en igualdad. Por ejemplo, tenemos la siguiente restricción: X1 +
3X2 >= 5, su equivalente seria, X1 + 3X2 - X3 = 5.
La solución del algoritmo Símplex se puede realizar de forma algebraica o de forma
tabular. Para los fines de este apartado se explicará el desarrollo del algoritmo en
su forma tabular. Antes de iniciar, se deben plantear algunos conceptos importantes:
variables básicas, variables no básicas, solución básica factible, variable de
entrada, variable de salida, iteración, condición de optimalidad (criterio de entrada)
y condición de factibilidad (criterio de salida).
La forma estándar de un problema de programación lineal se compone de m

ecuaciones lineales simultaneas en n incógnitas o variables, donde m es menor que
n (m < n). Este conjunto de variables se puede segmentar en dos grupos: (1) m - n
variables, a las cuales se le asigna un valor cero y (2) las restantes m variables,
cuyos valores se determinan resolviendo las m ecuaciones resultantes. Si la m
ecuaciones conducen a una única solución, estas variables se denominan
variables básicas y las n - m restantes variables se les llaman variables no básicas.
En el inicio de un algoritmo Símplex, se consideran todas las variables de holguras
y ficticias adicionadas en la forma estándar, con valores cero, procedimiento que se
denomina solución básica factible inicial. Se denomina una solución básica factible
si las m variables básicas son no negativas (>= 0). Si cualquiera de estas m
variables es igual a cero se considera un solución BF degenerada. Después se trata
de encontrar otra solución básica factible que mejorará el valor del objetivo, proceso
denominado iteraciones. Para que una variable cero actual se convierta en positiva,
debe eliminarse una de las variables basicas actuales, es decir, volver
esta última no básica a nivel cero. Esto introduce dos conceptos, la variable cero
seleccionada es la variable de entrada y la variable básica eliminada es la variable
de salida.
3.2.3 MÉTODOS DE DOBLE FASE Y DE PENALIZACIÓN
En esencia es igual al método de penalización, en que primero se introducen las
variables artificiales al problema original
Sujeto a
Quedando como
Sujeto a
Donde W es el vector de variables artificiales con componentes .
En la primera fase se resuelve el problema

Sujeto a
La solución óptima de esta fase debe ser . Si al obtener las condiciones de
optimalidad en esta fase, , el problema original no tiene solución.
Supóngase que la primera fase es óptima, y que la base asociada a la tabla
es B. En la segunda fase se aplica el método Simplex para resolver el problema
Min cX
Sujeto a
La solución óptima a esta segunda fase, es la solución óptima al problema
original. Es importante observar que al empezar la segunda fase, todos los
vectores de la base óptima correspondientes a la primera fase permanezcan
unitarios. Empléense operaciones matriciales elementales para restituir todos
aquellos vectores que deben ser unitarios.
3.2.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: MODIFICACIÓN DEL RHS Y DE LOS
COEFICIENTES DEL A FUNCIÓN
1. Revisión del modelo: se hacen los cambios deseados en el modelo que se va
a investigar.
2. Revisión de la tabla simplex final: se emplea la idea fundamental para
determinar los cambios que resultan en la tabla símplex final.
3. Conversión a la forma apropiada: se convierte esta tabla en la forma apropiada
para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario)
eliminación de Gauss.
4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución verificando que
todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del
lado derecho.
5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima (si es factible),
comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0
sigan siendo no negativos.
6. Reoptimización: si esta solución no pasa cualquiera de las pruebas, se puede
obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla actual como

tabla símplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex
primal o el símplex dual.
La rutina interactiva llamada Sensitivity Analysis (análisis de sensibilidad) en el
OR Courseware le permite practicar la aplicación de este procedimiento. Además,
se proporcionará una demostración (bajo el mismo nombre) con otro ejemplo.
A continuación se presentará e la aplicación de este procedimiento a cada una de
las categorías más importantes de cambios al modelo original. Esto incluye, en
parte, la extensión sobre el ejemplo que se introdujo en este trabajo para investigar
cambios en el modelo de la Wyndor Glass Co. De hecho, se comenzará por verificar
individualmente cada uno de los cambios anteriores. Al mismo tiempo, se integrarán
al análisis de sensibilidad algunas de las aplicaciones de la teoría de dualidad.
El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal,
tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del
problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros,
variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el
problema nuevamente.
Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método
Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la
solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada
variación un nuevo problema. En especial nos concentraremos en el análisis de
sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Método Simplex.
TEORÍA
Siguiendo la notación utilizada en la sección dedicada al Método Simplex en
nuestro sitio, éste opera para modelos de Programación Lineal en un formato
estándar.
Min cTx
s.a Ax = b
x >= 0
Donde la tabla final del Método mantiene la siguiente estructura:
 Donde:

 I: Matriz Identidad
 0: Costos reducidos asociados a las variables básicas
 B: Matriz de variables básicas
 D: Matriz de variables no básicas
 b: Lado derecho
 Cb: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables básicas
 Cd: Coeficientes en la función objetivo asociados a las variables no básicas
1. Cambio en el "lado derecho" de las restricciones: Lo que se busca
identificar si las actuales variables básicas se mantienen luego de la modificación
de uno o más parámetros asociados al "lado derecho" del modelo. Si calculamos:
y se cumple , Las mismas variables básicas lo son también de la
nueva solución óptima, calculada con el nuevo . Si lo anterior no se cumple, se
puede aplicar el Método Simplex Dual.
EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber si las actuales
variables básicas óptimas del problema también lo son del mismo problema,
donde los lados derechos corresponde al vector b=(20,30). (Observación: X4 y X5
son variables de holgura de la restricción 1 y 2 respectivamente)
Max 2x1 + 7x2 - 3x3
sa: x1 + 3x2 + 4x3 <= 30
x1 + 4x2 - x3 <= 10
x1,x2,x3 >= 0
X1 X2 X3 X4 X5
0 -1 5 1 -1 20
1 4 -1 0 1 10
0 1 1 0 2 20
Para analizar este escenario debemos calcular el vector de variables básicas y
verificar si todos sus componentes son positivos definidos. Nótese que para esto
necesitamosla matriz B inversa, la cual fácilmente podemos rescatar identificando
los parametros asociados a X4 y X5 (variables de holgura de la restricción 1 y 2
respectivamente) en la tabla final del Método Simplex:
Luego, dado que al menos uno de los coeficientes del nuevo lado derecho tiene un
valor negativo, cambia la actual base óptima. Cabe destacar que ante esta
situación no es necesario resolver el nuevo escenario partiendo de cero, sino lo

que se debe hacer es utilizar la tabla final del simplex del escenario base,
actualizando el lado derecho y valor de la función objetivo.
X1 X2 X3 X4 X5
0 -1 5 1 -1 -10
1 4 -1 0 1 30
0 1 1 0 2 60
Posteriormente, se continua iterando haciendo uso del Método Simplex Dual.
(Ver referencia a la derecha).
2. Inclusión de una nueva variable: Debemos evaluar si la nueva variable es un
aporte significativo a los resultados del modelo original. Luego, para decir si la
actual solución básica es óptima para el nuevo problema, calculamos el costo
reducido de la nueva variable como:
donde k es el índice de la nueva variable y Ak su respectiva
columna en la matriz de coeficientes. Si se cumple que rk>=0 se conserva la
actual solución óptima. En caso contrario, se puede seguir con el Simplex
agregando a la tabla una nueva columna con entradas B-1Ak y rk y tomando
como variable entrante a la nueva base la que acabamos de introducir al
problema.
EJEMPLO: Se desea estudiar la posibilidad de elaborar un nuevo producto con
beneficio neto igual a 8 y que requiere 4, 2 y 5 unidades de los recursos asociados
a cada restricción. Sin resolver nuevamente el problema, ¿Conviene elaborar el
producto?
Max 9x1 + 12x2
sa: 4x1 + 3x2 <= 180
2x1 + 3x2 <= 150
4x1 + 2x2 <= 160
x1,x2 >= 0
X1 X2 X3 X4 X5
1 0 1/2 -1/2 0 15
0 1 -1/3 2/3 0 40
0 0 -4/3 2/3 1 20
0 0 1/2 7/2 0 615
Se debe evaluar rk y determinar si este es >=0.

En este ejemplo rk=1>=0, por lo cual no conviene la incorporación de esta nueva
variable al modelo, es decir, aun cuándo sea incorporada no obtendremos un valor
óptimo que supere el actual V(P)=615. De todas formas mostraremos como se
incluye en la tabla final del Simplex esta modificación de modo que el lector pueda
entender su incorporación cuando es necesario:
X1 X2 X3 X4 X5 XNew
1 0 1/2 -1/2 0 1 15
0 1 -1/3 2/3 0 0 40
0 0 -4/3 2/3 1 1 20
0 0 1/2 7/2 0 1 615
Si el costo reducido de esta nueva variable hubiese sido cero, entonces el nuevo
escenario tendría infinitas soluciones.
3. Cambio en los Coeficientes Función Objetivo: Se busca identificar qué
ocurre con la actual solución óptima del escenario base si se cambian uno o varios
de los coeficientes que definen la función objetivo. La solución óptima actual
también lo será para el nuevo escenario siempre que los nuevos costos reducidos
sean mayores o iguales a cero (notar que también cambia el valor de la función
objetivo en la actual solución óptima). Es decir se debe cumplir que:
En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de la tabla final del modelo original,
con los nuevos costos reducidos y nuevo valor de la actual solución básica.
EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber que sucede si
se modifica los parámetros de la función objetivo, quedando éstos de la siguiente
forma: Z = x1 + 5x2 - 2x3. (X4 y X5 son las variables de holgura de la restricción 1
y 2 respectivamente).

Max 2x1 + 7x2 - 3x3
sa: x1 + 3x2 + 4x3 <= 30
x1 + 4x2 - x3 <= 10
x1,x2,x3 >= 0
X1 X2 X3 X4 X5
0 -1 5 1 -1 20
1 4 -1 0 1 10
0 1 1 0 2 20
Debido a que los cambios en los parámetros de la función objetivo se producen en
más de una variable consideraremos la siguiente fórmula:
Debido a que al menos uno de los costos reducidos de las variables no básicas se
ha vuelto negativo, entonces cambia la actual solución y valor óptimo del problema.
Para incorporar esta modificación en la tabla final del Método Simplex se actualiza
los costos reducidos asociados a las variables no básicas, además del valor óptimo,
quedando como sigue:
X1
X2 X3 X4 X5
0 -1 5 1 -1 20
1 4 -1 0 1 10
0 -1 1 0 1 10

4. Inclusión de una nueva restricción: Para saber si la actual solución y valor
óptimo se mantendrá luego de incorporar una nueva restricción al problema se debe
evaluar la solución actual y verificar si satisface la nueva restricción. En caso
afirmativo, la actual solución también lo será del problema con la nueva restricción,
en caso contrario se incorpora la nueva restricción a la tabla final del Simplex del
escenario base.
EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber que sucede si
se considera una nueva restricción de la forma: 3x1 + 2x2 + 3x3 <= 25.
(Observación: Considerar mismo modelo y tabla final del ejemplo anterior)
Se evalua la solución actual en la restricción: 3*(10) + 2*(0) + 3*(0) <= 25. No
cumple. Por tanto se incorpora esta nueva restricción como fila a la tabla final del
Simplex. Adicionalmente, se agrega X6 como variable de holgura asociada a esta
nueva restricción:
X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 -1 5 1 -1 0 20
1 4 -1 0 1 0 10
3 2 3 0 0 1 25
0 1 1 0 2 0 20
Una alternativa para encontrar el óptimo a través de esta tabla es formar la
identidad (debemos hacer cero el parámetro asociado a X1 en la tercera fila)
multiplicando la fila 2 por -3 y sumando dicho resultado a la fila 3. De esta forma
se obtiene:
X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 -1 5 1 -1 0 20
1 4 -1 0 1 0 10
0 -10 6 0 -3 1 -5
0 1 1 0 2 0 20
APLICACIONES ( EJEMPLOS)
EJEMPLO 1

4 -8 1 0 1/10 -1/100
6 8 0 1 -3/40 1/20
1) R1 1/4 R2
4 -8 1 0
6 8 0 1
1/4(4) = 1
1/4(-8) = -2 1 -2 1/4 0
1/4(4) = 1/4 6 8 0 1
1/4(0) = 0
2) R2 R2-6 R1
1 -2 1/4 0
6 8 0 1
-6(4) = -6 R2-6 R1
-6(-8) = 12 - 6 12 -3/2 0
-6(1/4) = - 3/2 6 8 0 1
-6(0) = 0 0 20 -3/2 1 = R2
A-1
A-1
A-1
=
A-1
R2-6R1 =

1 -2 1/4 0
0 20 -2/3 1
3) R1 1/20 R2
1/20(0) = 0
1/20(20) = 1 1 -2 1/4 0
1/20(-3/2) = -3/40 0 1 -3/40 1/20
1/20(1) = 1/20 R2 = 0 1 -3/40 1/20
4) R1 -2 R2 R1
1 -2 1/4 0
0 1 -3/40 1/20
2(0) = 0
2(1) = 2
2(-3/40) = -3/20
2(1/20) = 1/10
R2 R1
1 -2 1/4 0
0 2 -3/20 1/10
1 0 -1/10 1/10
A-1
A-1
A-1

RESULTADO
4 -8 1 0 1/10 -1/10
6 8 0 1 -3/40 1/20
COMPROBACIÓN
1/10 = 0.1 X 40 = 4
-1/10 = -0.1 X 80 = -8
3/40 = 0.075 X 80 = 6
1/20 = 0.05 X 160 = 8
1/10 -1/10 4 -8 2/5 + 3/5 4/5 - 4/5 1 0
-3/40 1/20 6 8 3/10 - 3/10 3/5 + 2/5 0 1
EJEMPLO 2
8 -12 1 0 1/18 -1/18
10 12 0 1 -5/108 1/27
1) R1 1/8 R2
8 -12 1 0
10 12 0 1
A-1
=
= =
A-1
A-1
=

1/8(8) = 1
1/8(-12) = -3/2 1 -3/2 1/8 0
1/8(1) = 1/8 10 12 0 1
1/8(0) = 0
2) R2 R2-10R1
1 -3/2 1/8 0
10 12 0 1
-10(1) = -10 R2-6 R1
-10(-3/2) = 15 - 10 15 -5/4 0
-10(1/8) = - 5/4 10 12 0 1
-10(0) = 0 0 27 -5/4 1 = R2
1 -3/2 1/8 0
0 27 -5/4 1
3) R1 1/27 R2
1/27(0) = 0
1/27(27) = 1 1 -3/2 1/8 0
1/27(-5/4) = -5/108 0 1 -5/108 1/27
1/27(1) = 1/27 R2 = 0 1 -5/108 1/27
A-1
A-1
R2-10R1 =
A-1
A-1

4) R1 3/2R2 R1
1 -3/2 1/8 0
0 1 -5/108 1/27
3(0) = 0
3/2(1) = 3/2
3/2(-5/108) = -5/72
3/2(1/27) = 1/18
R2 R1
1 3/2 -5/72 1/18
0 -3/2 1/8 0
1 0 -1/18 1/18
RESULTADO
8 -12 1 0 1/18 -1/18
10 12 0 1 -5/108 1/27
COMPROBACIÓN
1/18 = 0.05555555556 X 144 = 8
-1/18 = -0.05555555556 X 216 = -12
5/108 = 0.0462962963 X 216 = 10
1/27 = 0.03703703704 X 324 = 12
A-1
A-1
=

1/18 -1/18 8 -12 4/9 + 5/9 2/3 - 2/3 1 0
-5/108 1/27 10 12 10/27 -10/27 5/9 + 4/9 0 1
MÉTODO SIMPLEX ( APLICACIONES )
*INTERNET
Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y
pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren
procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y
ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B. Durante la
semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad
disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos
productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad
óptima Z?.
La función objetivo es:
Max Z = $10X + $30Y
Las restricciones son:
= =

h maquina A : 4X + 6Y = 12
h máquina B : 8X + 4Y =16
X,Y ≥ 0
Formato simplex
C 10 30 0 0 Valores de solución
Variables de la solución Variables de decisión
X Y S1 S2 (LD)
0 S1 4 6 1 0 12
0 S2 8 4 0 1 16
Z 0 0 0 0 0
C-Z 10 30 0 0 0
Elementos de la tabla simplex.
La parte central de la tabla simplex consta de los coeficientes de las restricciones
de:
4X + 6Y + 1S1 + 0S2 = 12
8X + 4Y + 0S1 + 1S2 =16
Nótese que se ha asignado un uno (1) a la variable de holgura asociada con su
propia restricción, y un cero (0) a la otra variable de holgura
La columna de variables en la solución indica cuáles variables están en la solución
(en este caso, sólo las de hoguera) y la columna de valores solución indica las
cantidades de solución. Los números vienen del lado derecho LD de las
restricciones (en este caso, 12 horas de holgura para la máquina A y 16 horas
para la B)

La C en la esquina superior izquierda encabeza a la vez un renglón y una
columna. Especifican la cantidad de contribución a la función objetivo de cada
unidad de las variables a que se refiere. Esto es, cada unidad de X (limpiador)
contribuye con $10 a las utilidades y cada unidad de Y (pulidor) lo hace con $30.
El tiempo de holgura de la maquina A y B proporciona $0 de contribución tanto de
S1 como de S2.
El renglón de Z en la tabla muestra el costo de oportunidad, o la cantidad de
contribución que debe ser introducida o (producida) por unidad (o por unidad
extra) de la variable en cada columna. Esto se calcula para cada columna
multiplicando los elementos de la columna por la contribución en la columna C y
sumándolos después
Esto es, el valor de Z para la columna X es (4 x 0) + (8 x 0) = 0.
Esto significa que para introducir una unidad de X (limpiador) en la solución, deben
darse cuatro horas de tiempo de holgura en la máquina A, con un costo de $0, y
ocho horas de holgura en la máquina B, también con un costo de $0.
El valor de Z para la columna LD representa la contribución total de las variables
en la solución, debido a que esta solución (inicial) es “producir” 12 horas de
holgura en la máquina A (con $0 de contribución) y 16 horas de holgura en la
máquina B con ($0 de contribución), la utilidad total de esta solución inicial es
cero. El renglón de Z en la solución inicial siempre tiene ceros, pero cambia al
progresar la solución.
Los valores del renglón inferior (C-Z) representan la contribución neta de introducir
una unidad de la columna variable en la solución. En la tabla inicial aparecen
simplemente los coeficientes de la función objetivo seguidos por ceros en las
columnas de las variables de holgura. Es decir, se puede incrementar el valor de
la función objetivo en un total de $10 por cada unidad de X producida y en $30 por
cada unidad de Y producida, y debido a que la holgura no tiene ningún valor
deben introducirse X o Y en esta etapa. Produciendo más holgura obviamente no
se incrementan las utilidades.
Metodología de cálculo
La metodología de solución de los problemas de maximización hace necesario
seleccionar una columna y un renglón pivotes y revisar los valores de la tabla
hasta que en el renglón inferior sean menores o iguales que cero.

- Úsense los pasos del procedimiento simplex –
C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
Variables de decisión
X Y S1 S2 (LD)
0 S1 4 6 1 0 12
0 S2 8 4 0 1 16
Z 0 0 0 0 0
C-Z 10 30 0 0 0
1. Seleccionar una columna y un renglón pivotes
a) La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en el
renglón inferior
C-Z 10 30 0 0 0
En este ejercicio es 30.
b) El renglón pivote es el que tiene la razón más pequeña, del renglón pivote
2
6
12
 (mínimo) 4
4
16

C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
X Y S1 S2 (LD)
0 S1 4 6 1 0 12
0 S2 8 4 0 1 16
Z 0 0 0 0 0

C-Z 10 30 0 0 0
Por lo tanto el renglón 1 es el renglón pivote.
c) El elemento pivote es encerrado en un círculo 6
C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
X Y S1 S2 (LD)
0 S1 4 6 1 0 12
0 S2 8 4 0 1 16
Z 0 0 0 0 0
C-Z 10 30 0 0 0
2. Divídase cada valor del renglón pivote 1 entre el elemento pivote (6) y
colóquense los valores en una nueva tabla.
C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
X Y S1 S2 (LD)
0 Y 2/3 1 1/6 0 2
a) Genérense los otros renglones para la siguiente tabla, de tal manera que
los elementos de la columna pivote sean iguales a cero.
Se empieza con el renglón S2, el cual tiene 4 en la columna de Y. Se
multiplica el nuevo renglón (del paso 2) por el negativo del valor que se

desea convertir (-4), y se suma al anterior renglón de S2. Se multiplica el
nuevo renglón por -4. el resultado se muestra en la siguiente tabla.
X Y S1 S2 (LD)
El renglón del paso 2 se
multiplica por -4
-4(2/3) -4(1) -
4(1/6)
-4(0) -4(2)
Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 -8
Sumarlo al renglón de S2 8 4 0 1 16
Para obtener el nuevo
renglón
16/3 0 .2/3 1 8
El renglón obtenido se introduce a la nueva tabla del paso 2.
C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
X Y S1 S2 (LD)
30 Y 2/3 1 1/6 0 2
0 S2 16/3 0 .2/3 1 8
Z
Si hay más renglones que convertir, debe repetirse este paso en el
siguiente renglón. Dado que ahí no hay más, puede procederse a calcular el
renglón Z y C-Z.
Los valores en el renglón Z son ∑ (elementos de la columna) (C) Elementos
del renglón Z
Para X: Z = 2/3(30) + 16/3(0) = 20
Para Y: Z = 1(30) + 0(0) = 30

Para S1: Z = 1/6(30) – 2/3(30) = 5
Para S2: Z = 0(30) + 1(0) = 0
Para LD: 2(30) + 8(0) = 60
Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente
matriz, se tiene:
C 10 30 0 0 Valores
de
soluciónVariables
de la
solución
X Y S1 S2 (LD)
30 Y 2/3 1 1/6 0 2
0 S2 16/3 0 .2/3 1 8
Z 20 30 5 0 60
C - Z -10 0 -5 0
Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores del renglón inferior
sean ≤ 0. Dado que todos los valores son ≤ 0, ha sido alcanzada la solución
óptima. Las variables en la solución son identificadas por las columnas en la
parte central de la tabla que tienen un 1, y el resto de los valores son cero.
Los valores solución son datos en la columna del lado derecho, como se ve
en la siguiente tabla.
X Y S1 S2 (LD)
- 1 - 0 2
- 0 - 1 8
Z - - - - 60

Por tanto,
X = no está en la solución
Y = 2 unidades
Z = $60
Nótese que la variable de holgura asociada con la restricción 2 también tiene un 1
y ceros, lo cual significa que tiene holgura en la solución y que la restricción no se
agotó. Entonces hay sólo una variable de decisión (no holgura) en la solución (Y) y
una restricción agotada (número 1). Esto concuerda con el teorema fundamental
de programación lineal, que establece que el número de variables de decisión (no
holgura) de la solución siempre será igual a número de restricciones que son
agotadas.
*SALÓN DE CLASES
MAXIMIZAR Z = 3Xe + 2X2 3 2 0
SUJETO A. Xe + 2X1 < 6 2 1 8
-2Xe + X1 < 8 1 2 6
-Xe + 2X1 < 1 -1 1 1
X1 < 2 1 0 2
-Xe > 0, X1 > 0
MAXIMIZAR Z = 3Xe + 2X2 3 2 0 0 0 0
SUJETO A. Xe + 2X1 + X2 < 6 1 2 1 0 0 0
-2Xe + X1 + X3 < 8 2 1 0 1 0 0
-Xe + X1 + X4 < 1 -1 1 0 0 1 0
X1 + X5 < 2 0 1 0 0 0 1
SU INVERSA

MAXIMIZAR Z = 3Xe + 2X2 3 2 0 0 0 0 0
SUJETO A. 1) Xe + 2X1 + X2 < 6 1 2 1 0 0 0 0
2) -2Xe + X1 + X3 < 8 2 1 0 1 0 0 8
3) -Xe + X1 + X4 < 1 -1 1 0 0 1 0 1
4) X1 + X5 < 2 0 1 0 0 0 1 2
FORMA TABULAR
TABLA SIMPLEX 1
Variables Ecu. C o e f i c i e n t e s d e l a s V a r i a b l e s Lado
Básicas Núm. Z Xe X1 X2 X3 X4 X5 Derecho
Z 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0
X2 1 0 1 2 1 0 0 0 6
X3 2 0 2 1 0 0 0 0 8
X4 3 0 -1 1 0 0 1 0 1
X5 4 0 0 1 0 0 0 1 2
TABLA SIMPLEX 2
Z 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0
X2 1 0 1 2 1 0 0 0 6
X3 2 0 2 1 0 0 0 0 8
X4 3 0 -1 1 0 0 1 0 1
RESTRICCIONES
Val. Abs.M.
C.P.

X5 4 0 0 1 0 0 0 1 2
Val. Abs. M. = Valor Absoluto Mayor
C.P. = Columna Pivote
Lado Derecho
C.P.
6 8 1 2
1 2 -1 0
TABLA SIMPLEX 3
Z 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0
X2 1 0 1 2 1 0 0 0 6
X3 2 0 2 1 0 0 0 0 8
X4 3 0 -1 1 0 0 1 0 1
X5 4 0 0 1 0 0 0 1 2 El
RENGLÓN PIVOTE ANTIGUO
REGLA DE
OPTIMIDAD
=
= 6 = 4 = -1 = 2
Se toma el val. abs., más pequeño
pero como como es negativo (-) se
toma el siguente valor más pequeño
El siguente valor abosluto
mas pequeño
RENGLÓN
PIVOTE NUEVO
=
RENGLÓN PIVOTE

NÚM. DE PIVOTE
2 1 0 0 0 0 8
2 2 2 2 2 2 2
TABLA SIMPLEX 4
Z 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0
X2 1 0 1 2 1 0 0 0 6
X3 2 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
X4 3 0 -1 1 0 0 1 0 1
X5 4 0 0 1 0 0 0 1 2
3 ( 1 1/2 0 1/2 0 0 4 ) = 3 3/2 0 3/2 0 0 12
-3 -2 0 0 0 0 0
3 3/2 0 3/2 0 0 12
= = 1 1/2 0 1/2 0 0 4
RENGLÓN O. NUEVO = RENGLÓN ANTIGUO -
COEFICIENTE DE LA
COLUMNA PIVOTE
RENGLÓN PIVOTE
NUEVO
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

0 -1/2 0 3/2 0 0 12
-1 ( 1 1/2 0 1/2 0 0 4 ) = -1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
1 2 1 0 0 0 6
-1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
0 3/2 1 -1/2 0 0 2
-1 ( 1 1/2 0 1/2 0 0 4 ) = 1 1/2 0 1/2 0 0 4
-1 1 0 0 0 1 1
1 1/2 0 1/2 0 0 4
0 3/2 0 1/2 0 0 5
TABLA SIMPLEX 5
Z 0 0 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
X2 1 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
X3 2 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
X4 3 0 0 3/2 0 1/2 0 1 5
X5 4 0 0 1 0 0 0 1 2
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

NÚM. DE PIVOTE
0 3/2 1 -1/2 0 0 2
3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2
1/2 ( 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 ) = 0 1/2 1/3 -1/6 0 0 2/3
0 -1/2 0 3/2 0 0 12
0 1/2 1/3 -1/6 0 0 2/3
0 0 1/3 4/3 0 0 38/3
-3/2 ( 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 ) = 0 -3/2 -1 1/2 0 0 -2
0 -3/2 0 1/2 1 0 5
0 -3/2 -1 1/2 0 0 -2
0 0 -1 1 1 0 3
-1 ( 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 ) = 0 -1 - 2/3 1/3 0 0 -4/3
0 1 0 0 0 1 2
RENGLÓN
PIVOTE NUEVO
=
= = 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

0 -1 - 2/3 1/3 0 0 -4/3
0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
TABLA SIMPLEX 6
Z 0 0 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3
X2 1 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
X3 2 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
X4 3 0 0 0 -1 1 1 0 3
X5 4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
SOLUCIÓN :
Z = 12. 66666667
X2 = 1.333333333
X4 = 3
X5 = 0.6666666667

*MI EMPRESA
X1: Número de tortas de chocolate a preparar.
X2: Número de tortas de vainilla a preparar.
MAXIMIZAR Z = 4 X1 + 3.5 X2 4 3.5
SUJETO A 1/3 X1 + 2/3 X2 < = 8 1/3 2/3
4 X1 + 1 X2 < = 30 4 1
TIEMPO DE
COCCION
HUEVOS PRECIO
CONCHA DE
CHOCOLATE
1/3 hora 4 4.00
CONCHA DE VAINILLA 2/3 hora 1 3.50
TOTAL 8 horas 30
SU INVERSA

MAXIMIZAR Z = 4X1 + 3.5X2 4 3.5 0 0
SUJETO A. 1/3X1 + 2/3X2 +X3 < 8 1/3 2 1 0
4X1 + 1X2 +X4 < 30 4 1 0 1
MAXIMIZAR Z = 4X1 - 3.5X2 4 3.5 0 0 0
SUJETO A. 1) 1/3X1 - 2/3X2 +X3 < 8 1/3 2 1 0 8
2) 4X1 + 1X2 +X4< 30 4 1 0 1 30
FORMA TABULAR
TABLA SIMPLEX 1
Básicas Núm. Z Xe X1 X2 X3 Derecho
Z 0 0 -4 -3.5 0 0 0
X3 2 0 1/3 2 1 0 8
X4 3 0 4 1 0 1 30
TABLA SIMPLEX 2
Z 0 0 -4 -3.5 0 0 0
RESTRICCIONES
Val. Abs.M.
C.P.

X3 2 0 1/3 2 1 0 8
X4 3 0 4 1 0 1 30
Val. Abs. M. = Valor Absoluto Mayor
C.P. = Columna Pivote
Lado Derecho
C.P.
8 30
1/3 4
TABLA SIMPLEX 3
Z 0 0 -4 -3.5 0 0 0
X3 2 0 1/3 2 1 0 8
X4 3 0 4 1 0 1 30
REGLA DE
OPTIMIDAD
=
= 24 = 8.5
RENGLÓN
PIVOTE NUEVO
=
Se toma el Valor Absoluto., más
pequeño
Val. Abs.M.
C.P.
RENGLÓN PIVOTE

NÚM. DE PIVOTE
1/3 2 1 0 8
4 4 4 4 4
TABLA SIMPLEX 4
Z 0 0 -4 -3.5 0 0 0
X3 2 0 1/12 2/4 1/4 0 4
X4 3 0 4 1 0 1 30
-4 ( 1/12 2/4 1/4 0 4 ) = -1/3 -2 -1 0 -1
-4 -3.5 0 0 0
-1/3 -2 -1 0 -1
= = 1/12 2/4 1/4 0 4
RENGLÓN O. NUEVO = RENGLÓN ANTIGUO -
COEFICIENTE DE LA
COLUMNA PIVOTE
RENGLÓN PIVOTE
NUEVO
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

11/3 1.5 -1 0 -1
4 ( 1/12 2/4 1/4 0 4 ) = 1/3 2 1 0 1
-4 1 0 1 30
1/3 2 1 0 1
-11/3 3 1 0 31
TABLA SIMPLEX 5
Z 0 0 11/3 1.5 -1 0 -1
X3 2 0 1/12 2/4 1/4 0 4
X4 3 0 -11/3 3 1 0 31
NÚM. DE PIVOTE
1/12 2/4 1/4 0 4
11/3 11/3 11/3 11/3 11/3
-11/3 ( 1/44 3/22 3/44 0 12/11 ) = -1/12 -2/4 -1/4 0 -4
RENGLÓN
PIVOTE NUEVO
=
= = 1/44 3/22 3/44 0 12/11
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

11/3 1.5 1 0 -1
-1/12 -2/4 -1/4 0 -4
19/6 1 -5/4 0 5
11/3 ( 1/44 3/22 3/44 0 12/11 ) = 1/12 2/4 1/4 0 4
-11/3 3 1 0 31
1/12 2/4 1/4 0 4
25/6 6 5/4 0 35
TABLA SIMPLEX 6
Z 0 0 19/6 1 5/4 0 5
X3 2 0 1/44 3/22 3/44 0 12/11
X4 3 0 25/6 6 5/4 0 35
SOLUCIÓN :
Z = 5
X3 = 1.090909091
X4 = 35
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA
=

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