1. ´
Capes externe de mathematiques : session 2007
`
Premiere composition
INTRODUCTION
L’objet du probl`me est l’´tude de la suite (sn )n≥1 d´finie par :
e e e
n
1
∀n ≥ 1, sn =
k=1
k2
Dans une premi`re partie, nous nous attacherons a d´montrer, de diff´rentes fa¸ons,
e ` e e c
par des m´thodes ´l´mentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes
e ee
seront consacr´es ` la d´termination de sa limite S par divers moyens. Les parties 5 et
e a e
6 utiliseront la valeur de S pour calculer la somme de certaines s´ries num´riques.
e e
On rappelle que, pour tous entiers m , n v´rifiant m ≤ n , on note [[m, n]] l’intervalle
e
d’entiers
[[m, n]] = {p ∈ Z | m ≤ p ≤ n}
`
PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite
Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie
du programme de Terminale S.
1. Premi`re m´thode
e e
a) D´montrer que, pour tout entier k ≥ 2 , on a la majoration
e
1 1 1
2 ≤ k−1 − k
k
b) En d´duire que la suite (sn )n≥1 est major´e.
e e
c) D´montrer que la suite (sn )n≥1 converge et donner un majorant de sa limite.
e
Dans toute la suite du probl`me, on notera S cette limite.
e
2. Deuxi`me m´thode
e e
On consid`re la suite (tn )n≥1 , d´finie par :
e e
1
∀n ≥ 1, tn = sn +
n
a) D´montrer que les suites (sn )n≥1 et (tn )n≥1 sont adjacentes.
e
b) Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude 10−1 de S.
3. Troisi`me m´thode
e e
Ecrire le texte d’un exercice de niveau terminale S d´montrant, par comparaison a
e `
une int´grale, la convergence de la suite (sn )n≥1 .
e
1

2. `
DEUXIEME PARTIE : Utilisation de polynˆmes
o
1. Soit P ∈ C[X] un polynˆme de degr´ n ≥ 1 : P (X) = a0 +a1 X +a2 X 2 +· · ·+an X n .
o e
n
Rappeler la formule permettant de calculer la somme σ1 = αi = α1 + · · · + αn
i=1
des racines de P en fonction de ses coefficients ak , k ∈ [[0, n]].
2. a) Soient p ∈ N et ϕ ∈ R . D´montrer l’´galit´
e e e
p
2p+1
sin (2p + 1)ϕ = (−1)k cos2p−2k (ϕ) sin2k+1 (ϕ)
2k+1
k=0
2p+1
o`
u d´signe le coefficient binˆmial pour k ∈ [[0, p]] .
e o
2k+1
b) En d´duire que, pour tout entier p ∈ N et pour tout r´el ϕ ≡ 0[π] , on a
e e
p
2p+1 p−k
2p+1
sin (2p + 1)ϕ = sin (ϕ) (−1)k cotan 2 ϕ
2k+1
k=0
cos ϕ
o` cotan ϕ =
u .
sin ϕ
3. Soit p ∈ N∗ et P ∈ R[X] le polynˆme d´fini par :
o e
p
2p+1
P (X) = (−1)k X p−k
2k+1
k=0
kπ
a) Pour tout entier k ∈ [[1, p]] , on pose γk = cotan 2 2p + 1 . Calculer P (γk )
pour tout k ∈ [[1, p]].
kπ
b) V´rifier que, pour tout k ∈ [[1, p]] , le r´el
e e appartient a l’intervalle
`
2p + 1
]0, π [ . En d´duire que le polynˆme P poss`de p racines distinctes, que l’on
2 e o e
d´terminera.
e
c) En d´duire les ´galit´s :
e e e
p
kπ p(2p − 1)
cotan 2 =
2p + 1 3
k=1
p
1 2p(p + 1)
=
kπ 3
k=1 sin2
2p + 1
2

3. 4. a) D´montrer, pour tout r´el ϕ ∈]0, π [ , les encadrements
e e 2
0 < sin ϕ < ϕ < tan ϕ
b) En d´duire que, pour tout entier p ≥ 1 , on a l’encadrement
e
p
p(2p − 1) (2p + 1)2 1 2p(p + 1)
< 2 <
3 π2 k=1
k 3
π2
c) D´montrer que S =
e .
6
5. Montrer que les suites (un )n≥1 , (vn )n≥1 et (wn )n≥1 d´fines par :
e
n n n
1 1 (−1)k+1
∀n ≥ 1, un = vn = wn =
k=1
(2k)2 k=0
(2k + 1)2 k=1
k2
sont convergentes et d´terminesr les valeurs exactes de leurs limites, respectivement
e
not´es U , V et W.
e
`
TROISIEME PARTIE : Utilisation des int´grales de Wallis
e
Pour tout entier n ∈ N , on pose
π π
2 2n 2 4n (n!)2
In = cos t dt, Jn = t2 cos2n t dt et Kn = Jn
0 0 (2n)!
1. Calculer les int´grales I0 et J0 .
e
2n + 1
2. a) D´montrer que pour tout n ∈ N, on a : In+1 =
e In
2n + 2
(Indication : on pourra penser a une int´gration par parties.)
` e
(2n)! π
b) En d´duire que pour tout n ∈ N, on a : In =
e
4n (n!)2 2
3. Soit n ≥ 1 .
a) D´montrer la relation In = n(2n − 1)Jn−1 − 2n2 Jn
e
π
b) En d´duire que Kn−1 − Kn = 2
e
4n
n
π 1
c) D´montrer la relation
e = J0 − Kn
4
k=1
k2
π
4. a) D´montrer que, pour tout r´el x ∈ [0, π ] , on a : x ≤
e e 2 sin x
2
3

4. b) En d´duire que, pour tout entier n , on a
e
π 2 In π3
0 ≤ Jn ≤ puis 0 ≤ Kn ≤
8(n + 1) 16(n + 1)
c) Retrouver la valeur de S.
`
QUATRIEME PARTIE : Noyau de Dirichlet
Pour tout entier n ≥ 1 , on note Dn le noyau de Dirichlet, d´fini par :
e
n
1
∀x ∈ R, Dn (x) = + cos(kx)
2
k=1
1. D´montrer que, pour tout entier n ≥ 1 et tout r´el x ≡ 0[2π] , on a
e e
1
sin n+ x
1 2
Dn (x) = x
2 sin
2
2. Pour tout entier n ≥ 1 , on note Ln l’int´grale
e
π
Ln = xDn (x) dx
0
π
a) Calculer l’int´grale
e x cos(kx) dx pour tout entier k ≥ 1 .
0
b) En d´duire que
e
n n
π2 1 1
Ln = − 2 + (−1)k 2
4 k k
k=1 k=1
3. On note f le prolongement par continuit´ en 0 de la fonction d´finie sur l’intervalle
e e
]0, π] par : x → x
x .
sin
2
D´montrer que la fonction f est de classe C1 sur l’intervalle [0, π] .
e
4. Soit φ : [0, π] → R une fonction de classe C1 sur [0, π] . D´montrer que
e
π
lim φ(x) sin(λx) dx = 0
λ→+∞ 0
(Indication : on pourra penser a une int´gration par parties.)
` e
5. a) D´montrer que
e lim Ln = 0.
n→+∞
b) Retrouver la valeur de S. (On utilisera la relation entre W et S obtenue a la
`
question 5 de la deuxi`me partie)
e
4

5. `
CINQUIEME PARTIE : Une somme double
L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double
N M
1
lim lim
M →+∞ N →+∞
n=1 m=1
nm(n + m − 1)
N
1
On pose, pour tout entier N ≥ 1, HN =
n=1
n
1. a) D´montrer que pour tout entier N ≥ 1, on a : ln(1 + N ) ≤ HN ≤ 1 + ln(N )
e
HN
b) En d´duire que lim
e =0
N →+∞ N
c) D´montrer que pour tout entier M ≥ 2, on a :
e
M −1 M
Hm 1 HM
=
m(m + 1) m=1 m2 − M
m=1
+∞
Hm
d) En d´duire que la s´rie
e e converge et d´terminer sa limite.
e
m=1
m(m + 1)
2. Pour tous entier N ≥ 1 et pour tout entier m ≥ 2, on pose
N
1
ZN,m =
n=1
n(n + m − 1)
a) D´montrer que pour tout entier m ≥ 2
e
N +m−1
1 1
ZN,m = Hm−1 −
m−1 n
n=N +1
Hm−1
b) En d´duire que
e lim ZN,m =
N →+∞ m−1
3. a) Montrer que pour tout entier N ≥ 1 et pour tout entier M ≥ 2 on a :
N M N M
1 1 ZN,m
= 2 +
n=1 m=1
nm(n + m − 1) n=1 n m=2
m
b) Montrer que
N M M
1 π2 Hm−1
lim = +
N →+∞
n=1 m=1
nm(n + m − 1) 6 m=2
m(m − 1)
5

6. c) En d´duire alors
e
N M
1
lim lim
M →+∞ N →+∞
n=1 m=1
nm(n + m − 1)
`
SIXIEME PARTIE : La fonction Dilogarithme
Pour tout r´el x ∈ [−1, 1[ , on consid`re l’int´grale
e e e
x
ln(1 − t)
Li (x) = − dt
0 t
1. Justifier l’existence de cette int´grale pour tout r´el x ∈ [−1, 1[ .
e e
2. On d´finit la fonction Dilogarithme
e
[−1, 1[ −→ R
Li :
x −→ Li (x)
D´montrer que la fonction Li est prolongeable par continuit´ en 1 . On notera
e e
encore Li ce prolongement par continuit´.
e
3. a) Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[, on a
+∞
xn
Li (x) =
n=1
n2
b) En d´duire la valeur de Li (1).
e
4. a) Pour x ∈]0, 1[ , calculer la d´riv´e de Li (x) + Li (1 − x)
e e
b) D´montrer la relation fonctionnelle
e
π2
∀x ∈]0, 1[, Li (x) + Li (1 − x) = − ln(1 − x) ln(x)
6
+∞
1
5. D´duire de la question pr´c´dente, la valeur de la somme
e e e n 2
n=1
2 n
6. a) Pour tout r´el x ∈] − 1, 1[ , d´montrer la relation
e e
1
Li (x) + Li (−x) = Li (x2 )
2
+∞
(−1)n
b) Retrouver la valeur de la somme
n=1
n2
6

7. 7. a) Pour tout r´el x ∈]0, 1[ , d´montrer la relation
e e
1−x x−1 π2 1+x
Li (x) − Li (−x) + Li − Li = + ln ln(x)
1+x 1+x 4 1−x
+∞√
( 2 − 1)2n+1
b) En d´duire la valeur de la somme
e
n=0
(2n + 1)2
7