Ce cours introduit l'interpolation polynomiale de Lagrange. Il fait partie du module d'analyse numérique donné en Parcours MIP à la FST de Settat, Université Hassan 1er.

1. Analyse numérique
Jaouad DABOUNOU
Département de Mathématiques et Informatique
Interpolation polynomiale
Année universitaire 2014/2015
Université Hassan Premier
Faculté des Sciences et Techniques
Settat

3. Interpolation polynomiale
• Introduction
• Interpolation polynomiale
• Le polynôme de Lagrange
• Le polynôme de Newton
• Algorithme de Neville
• Interpolation par une fonction spline
• Fonctions splines quadratiques
• Fonctions splines cubiques

4. Introduction
Supposons que nous connaissons les valeurs d'une fonction en un nombre
de points x0, x1, ... , xn, mais que nous n'avons pas l'expression
analytique de f.
Pour estimer la valeur de f en un point quelconque x  R, on peut
construire un polynôme P tel que P(xi) = f(xi) pour i=0,1,...,n et utiliser
l'approximation P(x)  f(x).
C'est ce qu'on appelle interpolation polynomiale.

5. Polynôme d’interpolation de Lagrange
Théorème: Etant donnés n+1 points x0, x1, ... , xn, distincts et n+1 réels y0,
y1, ... , yn, , il existe un polynôme PPn(R) et un seul tel que
P(xi) = yi ; i=0,1, ... ,n
)()(
0
xLyxP
n
i
ii


6. Reque:
Les Li vérifient les propriétés suivantes:
Li(xi) = 1
Li(xj) = 0 si i  j
Démonstration : Existence

7. Démonstration :Démonstration : Unicité
si on a deux polynômes P et Q ayant pour les n+1 points (xi , yi)
P(xi) = Q(xi) = yi alors soit R = P – Q, on a :
R(xi) = 0 pour les n+1 nombres distincts xi, i=0,n; or R, comme P et Q est de
degré au maximum égal à n. On en déduit que R = 0.

8. Interpolation polynomiale
Exemple:On considère le tableau des xi etyi:
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi 7,216 7,07 5,246 3,05 2,629
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Points d’interpolation

9. Interpolation polynomiale
Exemple:Le polynôme d'interpolation de Lagrange en ces xi et yi est
P(x) = 0.0348 x4 + 0.2879 x3 - 0.22 x2 - 2.298 x + 5.246
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
3
4
5
6
7
8

10. Interpolation polynomiale
Exemple: On considère la fonction
On peut remarquer que P(xi)= f(xi) pour i=0,4

11. Interpolation polynomiale
Définition : Soit f une fonction définie aux points xi, supposés deux à
deux distincts. On définit les différences divisées par récurrence comme
suit :

12. Interpolation polynomiale
Définition : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction
On considère les points xi = 1, et 2. Les coefficients du polynôme de
Newton sont donnés par :
x
xf
1
)( 
3
5
,
3
4

13. Interpolation polynomiale
Proposition :
Démonstration : Par récurrence.

14. Interpolation polynomiale
Théorème: (Formule de Newton)
Le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn s'exprime dans la
base de Newton comme:
Démonstration : Par récurrence.

15. Calcul de l'erreur
Soit f:[a , b]  R une fonction donnée, on construit le polynôme P(x) qui
interpole les valeurs de f aux points x0, x1, ... , xn (xi  [a , b]), ce qui conduit à yi
= f(xi) pour i = 1, 2, ..., n.
Soit e(x) l'erreur d'interpolation :
e(x) = f(x) - P(x)
Posons Int(x, x0 , x1, ... xn) le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn
et  la fonction
(x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn)
Théorème 1.2. Quelque soit x[a , b], il existe   Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que

16. Algorithme de Neville
Soit P0 l'unique polynôme de degré 0 qui passe par le point (x0,y0). De la même
manière, on construit les polynômes P1, P2, ... Pn.
Soit P01 l'unique polynôme de degré 1 passant par les points (x0,y0) et (x1 , y1).
On définit aussi les polynômes P12, P23, ... P(n-1)n. De proche en proche on arrive
au polynôme de plus grand degré P01...n qui coïncide avec l'unique polynôme
d'interpolation P.

17. Algorithme de Neville
L'algorithme de Neville permet de construire par récurrence les polynômes
Pi(i+1)...(i+m). Soit