Series de Potencia
         Representaci´n de funciones como series de Potencia
                     o
                   ...
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  Indice General
   1    Series de Potencias
          Definici´n 0.1.
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          Teorema 0.1.
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Series de Potencia
  Definici´n 0.1.
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   0.1. Definici´n de una serie de potencias
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   Una ser...
Series de Potencia
  Ejemplo 1


   Ejemplo 1
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Series de Potencia
  Ejemplo 2




   Ejemplo 2
   Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
   ...
Series de Potencia
  Continuaci´n Ejemplo 2
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   Soluci´n
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   Para la serie dada,
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Series de Potencia
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   Soluci´n
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   Para la serie dada,
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Series de Potencia
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   Continuaci´n soluci´n
             o        o
   Por tanto...
Series de Potencia
  Continuaci´n Ejemplo 2
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   Continuaci´n soluci´n
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   Por tant...
Series de Potencia
  Ejemplo 3




   Ejemplo 3
   Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
   ...
Series de Potencia
   Soluci´n Ejemplo 3
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   Soluci´n
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   Para la serie dada,
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Series de Potencia
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   Teorema 0.1.
                                           ∞
   Si la serie de pote...
Series de Potencia
   Teorema 0.2.




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Series de Potencia
   Teorema 0.3.




   Teorema 0.3.
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   Sea           cn (x − a)n una serie de potencias d...
Series de Potencia
   Teorema 0.3.




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Series de Potencia
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Series de Potencia
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   Sea           cn (x − a)n una serie de potencias d...
Series de Potencia
   Definici´n 0.4.
          o




   Definici´n 0.4
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           El n´mero R del caso (3) del ...
Series de Potencia


   Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una
   serie de potencias en x − a
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Series de Potencia
   Ejemplo 4




   Ejemplo 4
   Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie
        ...
Series de Potencia
   Ejemplo 4


   Soluci´n Ejemplo 4
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                    (−3)n x n
   Sea an =          √
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Series de Potencia
   Continuaci´n Ejemplo 4
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   Continuaci´n
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   Sabemos que la serie con...
Series de Potencia
   Continuaci´n Ejemplo 4
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   Continuaci´n
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   Si x = 3 , l...
Series de Potencia
   Ejemplo 5




   Ejemplo 5
   Determine el intervalo de convergencia de la serie
                   ...
Series de Potencia
   Soluci´n Ejemplo 5
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   Soluci´n
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   La serie de potencia dada es

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Series de Potencia
   Continuaci´n soluci´n Ejemplo 5
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   Soluci´n
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   La serie dada ...
Representaci´n de funciones como series de potencias
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   Aprenderemos como representar una funci´n como ...
Representaci´n de funciones como series de potencias
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   Aprenderemos como representar una funci´n como ...
Representaci´n de funciones como series de potencias
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   Ejemplo 1




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Representaci´n de funciones como series de potencias
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   Continuaci´n Ejemplo 1
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   Soluci´n Ejemplo 2
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   Al derivar ambo...
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Series de Taylor y de Maclaurin
   Teorema 5



   Teorema 5
   Si f tiene una representaci´n (desarrollo) en forma de ser...
Series de Taylor y de Maclaurin
   Serie de Taylor




   Ecuaci´n 6
         o

                       ∞
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Series de Taylor y de Maclaurin
   Serie de Maclaurin




   En el caso especial en que a = 0 la serie se transforma en
  ...
Series de Taylor y de Maclaurin
   Teorema 8




   Teorema 8
   Si f (x) = Tn (x) + Rn (x), donde Tn es el polinomio de T...
Series de Taylor y de Maclaurin
   Teorema 9




   Teorema 9 Desigualdad de Taylor
   Si |f n+1 (x)| ≤ M , para |x − a| ≤...
Series de Taylor y de Maclaurin
   Ecuaci´n 10
         o




   Al aplicar los teoremas 8 y 9, suele ser util usar el hec...
Series de Taylor y de Maclaurin
   Ejemplo 1




   Ejemplo 1
   Demuestre que e x es igual a la suma de sus serie de Macl...
Series de Taylor y de Maclaurin
   continuaci´n Ejemplo 1
             o


   Pero de la ecucaci´n 10, tenemos
           ...
Series de Taylor y de Maclaurin




   En particular, si x = 1 en la ecucaci´n 11, obtendremos la siguiente
              ...
Bibliograf´
             ıa




          Leithold, Louis.
          El C´lculo 7 ed. Oxford University Press M´xico. 2009...
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  1. 1. Series de Potencia Representaci´n de funciones como series de Potencia o Series de Taylor Series de Maclaurin Integrantes del Equipo: Arenas P´rez Diana Pamela e Ch´vez M´ndez Erick Gabino a e Otero Palacios Manuel Emilio Struck Aguilar Karina Benem´rita Universidad Aut´noma de Puebla e o 11 de mayo de 2010 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 1 / 44
  2. 2. ´ Indice General 1 Series de Potencias Definici´n 0.1. o Teorema 0.1. Teorema 0.2. Teorema 0.3. Definici´n 0.4. o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 2 / 44
  3. 3. ´ Indice General 1 Series de Potencias Definici´n 0.1. o Teorema 0.1. Teorema 0.2. Teorema 0.3. Definici´n 0.4. o 2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias o Teorema 2 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 2 / 44
  4. 4. ´ Indice General 1 Series de Potencias Definici´n 0.1. o Teorema 0.1. Teorema 0.2. Teorema 0.3. Definici´n 0.4. o 2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias o Teorema 2 3 Series de Taylor y de Maclaurin Teorema 5 Serie de Taylor Serie de Maclaurin Teorema 8 Teorema 9 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 2 / 44
  5. 5. ´ Indice General 1 Series de Potencias Definici´n 0.1. o Teorema 0.1. Teorema 0.2. Teorema 0.3. Definici´n 0.4. o 2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias o Teorema 2 3 Series de Taylor y de Maclaurin Teorema 5 Serie de Taylor Serie de Maclaurin Teorema 8 Teorema 9 4 Bibliograf´ ıa Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 2 / 44
  6. 6. Series de Potencia Definici´n 0.1. o 0.1. Definici´n de una serie de potencias o Una serie de la forma ∞ cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . (1) n=0 se llama serie de potencias en (x − a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencias alrededor de a. Por conveniencia consideramos (x − a)0 = 1, aun cuando x = a Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 3 / 44
  7. 7. Series de Potencia Ejemplo 1 Ejemplo 1 ∞ Considere la serie geom´trica en la que a = 1 y r = x, la cual es e xn. n=0 1 Esta serie converge a la suma si |x| < 1. Por tanto, la serie de 1−x ∞ 1 potencias x n define la funci´n f para la cual f (x) = o y cuyo n=0 1−x dominio es el intervalo abierto (−1, 1). De esta manera se escribe 1 1 + x + x2 + x 3 + · · · + xn + · · · = si |x| < 1 (2) 1−x La serie de potencias (2) puede emplearse para formar otra serie de potencias cuya sumas pueden determinarse. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 4 / 44
  8. 8. Series de Potencia Ejemplo 2 Ejemplo 2 Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es convergente: ∞ 2n x n (−1)n+1 n n=1 n3 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 5 / 44
  9. 9. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 2 o Soluci´n o Para la serie dada, 2n x n 2n+1 x n+1 an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2 n3n (n + 1)3n+1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 6 / 44
  10. 10. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 2 o Soluci´n o Para la serie dada, 2n x n 2n+1 x n+1 an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2 n3n (n + 1)3n+1 De modo que an+1 2n+1 x n+1 n3n l´ ım = l´ ım · n n n→∞ an n→∞ (n + 1)3n+1 2 x 2 n ım |x| = l´ n→∞ 3 n+1 2 = |x| 3 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 6 / 44
  11. 11. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 2 o Continuaci´n soluci´n o o Por tanto, la serie de potencias es absoultamente convergente cuando 2 3 3 |x| < 1, o equivalentemente, cuando |x| < 2 . La serie es divergente cuando |x| > 2 . Cuando 2 |x| = 1, el criterio de la raz´n falla. Cuando 3 3 o 3 x = 2 la serie de potencias dada se convierte en la serie arm´nica o alternante 1 1 1 1 1 − + − + · · · + (−1)n+1 + · · · 1 2 3 4 n la cual es convergente. Cuando x = − 3 se tiene 2 1 1 1 1 1 − − − − − ··· − − ··· 1 2 3 4 n la cual es la negativa de la serie arm´nica, que es divergente. o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 7 / 44
  12. 12. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 2 o Continuaci´n soluci´n o o Por tanto, se concluye que la serie de potencias dada es absolutamente convergente cuando − 3 < x < 2 y es condicionalmente convergente 2 3 cuando x = 3 . Si x ≤ − 3 o x > 2 , la serie es divergente. 2 2 3 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 8 / 44
  13. 13. Series de Potencia Ejemplo 3 Ejemplo 3 Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es convergente: ∞ xn (−1)n+1 n=1 n! Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 Potencia Series 9 / 44
  14. 14. Series de Potencia Soluci´n Ejemplo 3 o Soluci´n o Para la serie dada, xn x n+1 an = y an+1 = n! (n + 1)! de modo que al aplicar el criterio de la raz´n se tiene o an+1 x n+1 n! l´ ım = l´ım · n→∞ an n→∞ (n + 1)! x n 1 = |x| l´ ım n→∞ n + 1 =0 0<1 Por lo tanto, la serie de potencias dada es absolutamente convergente para toda x Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de10 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  15. 15. Series de Potencia Teorema 0.1. Teorema 0.1. ∞ Si la serie de potencias cn x n es convergente para x = x1 (x1 = 0), n=0 entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales |x| < |x1 |. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de11 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  16. 16. Series de Potencia Teorema 0.2. Teorema 0.2. ∞ Si la serie de potencias cn x n es divergente para x = x2 , entonces es n=0 divergente para todos los valores de x para los cuales |x| > |x2 |. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de12 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  17. 17. Series de Potencia Teorema 0.3. Teorema 0.3. ∞ Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y n=0 s´lo una de las siguientes condiciones: o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  18. 18. Series de Potencia Teorema 0.3. Teorema 0.3. ∞ Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y n=0 s´lo una de las siguientes condiciones: o 1 La serie converge s´lo cuando x = 0 o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  19. 19. Series de Potencia Teorema 0.3. Teorema 0.3. ∞ Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y n=0 s´lo una de las siguientes condiciones: o 1 La serie converge s´lo cuando x = 0 o 2 La serie es convergente para todos los valores de x Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  20. 20. Series de Potencia Teorema 0.3. Teorema 0.3. ∞ Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y n=0 s´lo una de las siguientes condiciones: o 1 La serie converge s´lo cuando x = 0 o 2 La serie es convergente para todos los valores de x 3 Existe un n´mero real R > 0 tal que la serie es convergente para u todos los valores de x tales que |x − a| < R y diverge para todos los valores de x tales que |x − a| > R. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  21. 21. Series de Potencia Definici´n 0.4. o Definici´n 0.4 o El n´mero R del caso (3) del teorema 0.3, se denomina radio de u convergencia de la serie de potencias. Por convenci´n, el radio de o convergencia es R = 0; para el caso (1) y R = ∞ para el caso (2). El intervalo de convergencia de una serie de potencias, es el conjunto de todos los x ∈ R para los cuales la serie es convergente. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de14 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  22. 22. Series de Potencia Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias en x − a 1 Aplique el criterio de la raz´n (o en ocasiones el criterio de la ra´ o ız) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absoluatmente para todos los valores de x, y algunas otras convergen s´lo en un n´mero. o u 2 Si R > 0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a − R, a + R) y diverge para |x − a| > R. Verifique la convergencia en los extremos del intervalo (a − R, a + R) mediante los m´todos ya e vistos, por supuesto, ninguna conclusi´n acerca de la convergencia en o los extremos puede inferirse del criterio de la raz´n o del criterio de la o ra´ ız. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de15 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  23. 23. Series de Potencia Ejemplo 4 Ejemplo 4 Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie ∞ (−3)n x n √ n=0 n+1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de16 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  24. 24. Series de Potencia Ejemplo 4 Soluci´n Ejemplo 4 o (−3)n x n Sea an = √ n+1 . Entonces √ an+1 (−3)n+1 x n+1 n+1 = √ · an n+2 (−3)n x n 1 + (1/n) =3 |x| → 3|x| cuando n → ∞ 1 + (2/n) Por la prueba de la raz´n, la serie dada converge si 3|x| < 1 y diverge si o 3|x| > 1. 1 1 Por lo tanto, converge si |x| < 3 y diverge si |x| > 3 . Esto significa que el 1 radio de convergencia es R = 3 . Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de17 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  25. 25. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 4 o Continuaci´n o Sabemos que la serie converge en el intervalo − 1 , 3 , pero ahora 3 1 debemos investigar la convergencia en los puntos extremos de dicho 1 intervalo. Si x = − 3 , la serie viene a ser n ∞ (−3)n − 1 3 ∞ 1 1 1 1 1 √ = √ = √ + √ + √ + √ + ... n=0 n+1 n=0 n+1 1 2 3 4 1 Observamos que es una serie p con p = 2 < 1, por lo tanto diverge. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de18 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  26. 26. Series de Potencia Continuaci´n Ejemplo 4 o Continuaci´n o 1 Si x = 3 , la serie es n ∞ (−3)n 1 3 ∞ (−1)n √ = √ n=0 n+1 n=0 n+1 que converge, seg´n la prueba de la serie alternante. Por lo tanto la serie u de potencias original converge cuando − 1 < x ≤ 1 , y el intervalo de 3 3 convergencia es − 1 , 1 . 3 3 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de19 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  27. 27. Series de Potencia Ejemplo 5 Ejemplo 5 Determine el intervalo de convergencia de la serie ∞ n(x − 2)n n=1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de20 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  28. 28. Series de Potencia Soluci´n Ejemplo 5 o Soluci´n o La serie de potencia dada es (x − 2) + 2(x − 2)2 + . . . + n(x − 2)n + (n + 1)(x − 2)n+1 + . . . Al aplicar el criterio de la raz´n se tiene o an+1 (n + 1)(x − 2)n+1 l´ ım = l´ım n→∞ an n→∞ n(x − 2)n n+1 = |x − 2| l´ ım n→∞ n = |x − 2| Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de21 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  29. 29. Series de Potencia Continuaci´n soluci´n Ejemplo 5 o o Soluci´n o La serie dada ser´ absolutamente convergente si |x − 2| < 1 o, a equivalentemente, −1 < x − 2 < 1, o bien, 1 < x < 3. ∞ Cuando x = 1, la serie (−1)n n, la cual es divergente debido a que n=1 ∞ l´ an = 0. Cuando x = 3 la serie es ım n, la cual es tambi´n divergente e n→∞ n=1 ya que l´ an = 0. Por tanto el intervalo de convergencia es (1, 3). As´ ım ı, n→∞ la serie de potencias dada define una funci´n que tiene el intervalo (1, 3) o como su dominio. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de22 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  30. 30. Representaci´n de funciones como series de potencias o Aprenderemos como representar una funci´n como la suma de una serie de o potencias mediante series geom´tricas, o diferenciando o integrando tales e series. Comenzaremos con la siguiente ecuaci´n: o ∞ 1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . = xn |x| < 1 (3) 1−x n=0 Esta es una serie geom´trica con a = 1 y r = x. Aqu´ la ecuaci´n anterior e ı o expresa la funci´n f (x) = 1/ (1 − x) en forma de una suma de serie de o potencias. Regresar a Soluci´n o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de23 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  31. 31. Representaci´n de funciones como series de potencias o Aprenderemos como representar una funci´n como la suma de una serie de o potencias mediante series geom´tricas, o diferenciando o integrando tales e series. Comenzaremos con la siguiente ecuaci´n: o ∞ 1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . = xn |x| < 1 (3) 1−x n=0 Esta es una serie geom´trica con a = 1 y r = x. Aqu´ la ecuaci´n anterior e ı o expresa la funci´n f (x) = 1/ (1 − x) en forma de una suma de serie de o potencias. Regresar a Soluci´n o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de23 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  32. 32. Representaci´n de funciones como series de potencias o Ejemplo 1 Ejemplo 1 1 Exprese en t´rminos de la suma de una serie de potencias y e (1 + x 2 ) determine el intervalo de convergencia. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de24 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  33. 33. Representaci´n de funciones como series de potencias o Continuaci´n Ejemplo 1 o Soluci´n o Si reemplazamos x con −x 2 en la ecuaci´n (3) o obtendremos ∞ 1 1 n = = −x 2 1 + x2 1 − (−x 2 ) n=0 ∞ = (−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . . . n=0 Ya que es una serie geom´trica, converge cuando −x 2 < 1, esto es e x 2 < 1, o |x| < 1. Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1, 1). Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de25 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  34. 34. Representaci´n de funciones como series de potencias o Continuaci´n Ejemplo 1 o Soluci´n o Si reemplazamos x con −x 2 en la ecuaci´n (3) o obtendremos ∞ 1 1 n = = −x 2 1 + x2 1 − (−x 2 ) n=0 ∞ = (−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . . . n=0 Ya que es una serie geom´trica, converge cuando −x 2 < 1, esto es e x 2 < 1, o |x| < 1. Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1, 1). Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de25 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  35. 35. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Teorema 2 Si la serie de potencias cn (x − a)n tiene el radio de convergencia R > 0, la funci´n f definida por o ∞ 2 f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + · · · = cn (x − a)n n=0 es derivable (y, en consecuencia, continua) en el intervalo a − R, a + R y ∞ f (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . . = ncn (x − a)n−1 (i) n=1 (x − a)2 (x − 3)3 f (x) = C + c0 (x − a) + c1 + c2 + ··· (ii) 2 3 ∞ (x − a)n+1 =C+ cn n=0 n+1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de26 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  36. 36. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Nota 1 Las ecuaciones (i) y (ii) se pueden escribir ∞ ∞ d d cn (x − a)n = [cn (x − a)n ] (iii) dx n=0 n=0 dx ∞ ∞ cn (x − a)n dx = cn (x − a)n dx (iv) n=0 n=0 Para sumas finitas, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, y que la integral de una suma es igual a la suma de sus integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv) afirman que lo mismo es v´lido para a sumas infinitas, siempre y cuando se trate de series de potencias Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de27 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  37. 37. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Nota 2 Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia no cambia cuando se deriva o integra una serie de potencias, esto no significa que el intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie original converja en un punto extremo, mismo en que la serie derivada diverge. Nota 3 La idea de derivar una serie de potencias t´rmino a t´rmino es la base de e e un potente m´todo de soluci´n de ecuaciones diferenciales. e o Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de28 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  38. 38. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Ejemplo 2 Exprese 1/(1 − x)2 en forma de una serie de potencias al derivar la ecuaci´n (3). ¿Cu´l es el radio de convergencia? o a Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de29 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  39. 39. Representaci´n de funciones como series de potencias o Soluci´n Ejemplo 2 o Al derivar ambos lados de la ecucaci´n o ∞ 1 2 3 = 1 + x + x + x + ··· = xn 1−x n=0 obtenemos ∞ 1 = 1 + 2x + 3x 2 + · · · = nx n+1 (1 − x)2 n=0 Si lo deseamos, podemos sustituir n por n + 1 y escribir la respuesta como ∞ 1 = (n + 1)x n (1 − x)2 n=0 Seg´n el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el u mismo que es de la serie original, R = 1. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de30 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  40. 40. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Ejemplo 3 Deduzca una representaci´n de ln(1 − x) en serie de potencias y determine o su radio de convergencia. Soluci´n o La derivada de esta funci´n es 1/(1 − x), excepto por un factor −1. o As´ pues, integraremos ambos lados de la ecucaci´n 3: ı o 1 x2 x3 − ln(1 − x) = dx = C + x + + + ··· 1−x 2 3 ∞ ∞ x n+1 xn =C+ =C+ |x| < 1 n=0 n+1 n=1 n Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de31 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  41. 41. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Continuaci´n Soluci´n o o A fin de hallar el valor de C sea x = 0 en esta ecuaci´n resulta o − ln(1 − 0) = C . Entonces, C = 0 y ∞ x2 x3 x3 xn ln(1 − x) = −x − − − ··· = − + ··· = − |x| < 1 2 3 3 n=1 n El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R = 1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de32 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  42. 42. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Ejemplo 4 Eval´e [1/(1 + x 7 )]dx en serie de potencias. u Soluci´n o El primer paso es expresar el integrando, 1/(1 + x 7 ), como la suma de una serie de potencias. Al igual que en el ejemplo 1, partimos de la ecuacion (3) y reemplazamos x con −x 7 : ∞ 1 1 = = (−x 7 )n 1 + x7 1 − (−x 7 ) n=0 ∞ = (−1)n (x)7n = 1 − x 7 + x 14 − · · · n=0 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de33 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  43. 43. Representaci´n de funciones como series de potencias o Derivaci´n e integraci´n de series de potencias o o Continuaci´n Soluci´n Ejemplo 4 o o Ahora integrando t´rmino a t´rmino: e e ∞ ∞ 1 x 7n+1 dx = (−1)n x 7n dx = C + (−1)n 1 + x7 n=0 n=1 7n + 1 x 8 x 15 x 22 =C +x − + − + ··· 8 15 22 Esta serie converge para | − x 7 | < 1, esto es, cuando |x| < 1 Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de34 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  44. 44. Series de Taylor y de Maclaurin Teorema 5 Teorema 5 Si f tiene una representaci´n (desarrollo) en forma de serie de potencias en o a, esto es, si ∞ f (x) = cn (x − a)n |x − a| < R n=0 los coeficientes est´n expresados por la f´rmula a o f (n) (a) cn = n! Al sustituir esta f´rmula de cn de nuevo en la serie, si f tiene un desarrollo o en serie de potencias en a, ha de ser de la forma: Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de35 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  45. 45. Series de Taylor y de Maclaurin Serie de Taylor Ecuaci´n 6 o ∞ f (n) (a) f (x) = (x − a)n n=0 n! f (a) f (a) f (a) = f (a) + (x − a) + (x − a)2 + (x − a) + · · · 1! 2! 3! La serie de la ecuaci´n 6, se llama serie de Taylor de la funci´n f en a o o (alrededor de a o centrada en a ). Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de36 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  46. 46. Series de Taylor y de Maclaurin Serie de Maclaurin En el caso especial en que a = 0 la serie se transforma en Ecuaci´n 7 o ∞ f (n) (0) n f (0) f (0) 2 f (x) = (x) = f (0) + x+ x + ··· n=0 n! 1! 2! Este caso se da con frecuencia y se le nombra serie de Maclaurin Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de37 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  47. 47. Series de Taylor y de Maclaurin Teorema 8 Teorema 8 Si f (x) = Tn (x) + Rn (x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-´simo e grado de f en a y l´ Rn (x) = 0 ım n→∞ cuando |x − a| < R, entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo |x − a| < R. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de38 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  48. 48. Series de Taylor y de Maclaurin Teorema 9 Teorema 9 Desigualdad de Taylor Si |f n+1 (x)| ≤ M , para |x − a| ≤ d, entonces el residuo Rn (x) de la serie de Taylor satisface la desigualdad M |Rn (x)| ≤ |x − a|n+1 para |x − a| ≤ d (n + 1)! Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de39 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  49. 49. Series de Taylor y de Maclaurin Ecuaci´n 10 o Al aplicar los teoremas 8 y 9, suele ser util usar el hecho siguiente: ´ Ecuaci´n 10 o xn l´ ım =0 para todo n´mero real x u n→∞ n! Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de40 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  50. 50. Series de Taylor y de Maclaurin Ejemplo 1 Ejemplo 1 Demuestre que e x es igual a la suma de sus serie de Maclaurin Soluci´n o Si f (x) = e x , entonces f (n+1) (x) = e x para toda n. Si d es cualquier n´mero positivo |x| ≤ d, entonces |f (n+1) (x)| = e x ≤ e d . De manera que u la desigualdad de Taylor, con a = 0 y M = e d , dice que ed |Rn (x)| ≤ |x|n+1 para |x| ≤ d (n + 1)! Observe que la misma constante M = e d es efectiva para todo valor de n. Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de41 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  51. 51. Series de Taylor y de Maclaurin continuaci´n Ejemplo 1 o Pero de la ecucaci´n 10, tenemos o ed |x|n+1 l´ ım |x|n+1 = e d l´ ım =0 n→∞ (n + 1)! n→∞ (n + 1)! Se sigue del teorema del emparedado que l´ |Rn (x)| = 0 y por lo tanto ım n→∞ l´ Rn (x) = 0 para todos los valores de x. Para el teorema 8, e x es igual ım n→∞ a la suma de sus serie de Maclaurin, es decir, Ecuaci´n 11 o ∞ xn ex = para toda x n=0 n! Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de42 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  52. 52. Series de Taylor y de Maclaurin En particular, si x = 1 en la ecucaci´n 11, obtendremos la siguiente o representaci´n del n´mero e como una suma de serie infinita: o u Ecuaci´n 11 o ∞ 1 1 1 1 ex = = 1 + + + + ··· n=0 n! 1! 2! 3! Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de43 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor
  53. 53. Bibliograf´ ıa Leithold, Louis. El C´lculo 7 ed. Oxford University Press M´xico. 2009. a e Stewart, James. C´lculo Multivariable. Thomson Learning. 2001 a Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de44 / 44 Se e e Series de Potencia de Puebla) o o 11 de mayo de 2010 Taylor

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