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ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjercicios con caballeraSi dibujamos la transformaci´on del cubo con α=45o y φ=45o...
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proyeccion oblicua y diferentes tipos: proyeccion caballera y gabinete con sus respectivos ejemplos

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proyeccion oblicua

  1. 1. ConceptoTiposProyecci´on OblicuaCam Urquizo Daniel Capa Sixe Jordan Castillo Farf´anGeorge12 de febrero de 2013Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
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  5. 5. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaConceptoLa proyecci´on oblicua es un M´etodo de proyecci´on por el que unobjeto tridimensional se representa mediante la proyecci´on de l´ıneasPARALELAS formando un a´ngulo con el plano del cuadro distintode 90 grados por tener una de sus caras principales paralela alplano del cuadro. As´ı, dado un segmento, bastar´a proyectar lospuntos extremos del segmento mediante l´ıneas proyectantesauxiliares obl´ıcuas, para determinar la proyecci´on sobre la recta.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  6. 6. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaEn una proyecci´on oblicua, el vector de proyecci´on se sueleespecificar a partir de dos ´angulos, φ y α. Se proyecta elpunto (x, y, z) a la posici´on (xp, yp) en el plano de visi´on.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  7. 7. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  8. 8. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaRecordemos que el ´angulo α es dado por el vector que proyecta lalinea desde el objeto original hasta el objeto proyectado en el plano(cuyas medidas pueden ser de 0 a 90 grados), mientras que φ es el´angulo formado entre la l´ınea de proyecci´on oblicua y la l´ıneacontenida en el plano de proyecci´on.xp = x + Lcosφyp = y + LsenφEn funci´on del valor que tome α y la coordenada z del punto quese va a proyectar, el valor de L se puede calcular como:se tienen las siguientes ecuaciones:tanα= ZL ⇒ L= ZtanαCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  9. 9. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaDe luego se reemplaza:xp = x + Zcos(φ)cotg(α)yp = y + Zsen(φ)cotg(α)As´ı tenemos que cualquier punto (X, Y, Z) en coordenadas devista, se transforma en coordenadas de proyecci´on como:1 0 cos(φ)cotg(α) 00 1 sen(φ)cotg(α) 00 0 0 00 0 0 1.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  10. 10. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaLas proyecciones oblicuas se obtienen para valores de L distintos decero, mientras que las proyecciones ortogonales se generan cuandoL = 0 lo cual queda:xp= xyp= yCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  11. 11. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaCuya matriz es:V =1 0 −a 00 1 −b 00 0 0 00 0 0 1.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  12. 12. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivapor proyecci´on ortogonal tenemos que:cosα=a/f ⇒ a=fcosαsenα=b/f ⇒ b=fsenαy la matriz (T) ser´a:T =1 0 −fcosα 00 1 −fsenα 00 0 0 00 0 0 1.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  13. 13. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  14. 14. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaC´omo obtendriamos la matriz de proyecci´on a partir deeste problema?Con los datos:α=26,56o , Yp = Y, Zp=Z/2 ademas:φ=90o porque se forma con el eje X.Se eligio el ´angulo porque seg´un la figura es el doble en la parte zque su proyecci´on Z por lo cual:tan(α)=1/2, donde α = 26.56.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  15. 15. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaSi aplicamos un ejemplo: tenemos la gr´afica con los puntos yqueremos imitar el gr´afico anteriorSu matriz de puntos ser´aV =0 0 06 3 32 2 51 1 1.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  16. 16. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivacomo se proyectar´a en solo en Y hacemos Xp=0 y Zp=0, siendoφ= 90 grados y α = 26.56 gradosEntonces en las ecuaciones son:Xp= x+Lcosφ ⇒ Xp=0Ademas Yp=y+ Lsenφ y L=1/2 (por ser la mitad proyectada)tendremos que:T =0 0 0 00 1 −1/2(sen90) 00 0 0 00 0 0 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  17. 17. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaMultiplicando los puntos:T ∗ V =0 0 0 00 1 −1/2 00 0 0 00 0 0 1∗0 0 06 3 32 2 51 1 1=0 0 05 2 0,50 0 01 1 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  18. 18. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaLos nuevos puntos ser´an:A =(0,5,0)B =(0,2,0)C =(0,0.5,0)si lo graficamos:Pareciera como si lo hubiesemos proyectado en todo el objeto de3D a un objeto linealCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  19. 19. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaEjemploCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  20. 20. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  21. 21. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaDiferencia con proyecci´on paralela con perspectiva1 Proyecci´on Paralela: Consiste en proyectar puntos del espaciocontra el plano de proyecci´on mediante haces de rectassiempre paralelas entre s´ı.2 Proyecci´on Perspectiva: se denomina al sistema derepresentaci´on gr´afico en donde el haz de rayos proyectantesconfluye en un punto (el ojo del observador), proyect´andose laimagen en un plano auxiliar situado entre el objeto arepresentar el punto de vista.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  22. 22. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaParalela Vs perspectiva1 La proyecci´on perspectiva√El tama˜no depende de la distancia. Parece real√Las distancias y los ´angulos no se conservan (en general)√Las l´ıneas paralelas no se representan como paralelas (engeneral)2 La proyecci´on paralela√Es ideal para realizar medidas√Las l´ıneas paralelas siguen siendo paralelas√Los ´angulos no tienen que conservarse√No parece realCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  23. 23. ConceptoTiposClasificaci´onConceptoEjemploDiferencia con proyecci´on paralela con perspectivaEjemplo diferenciaProyecci´on paralela VS Proyecci´on perspectivaCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  24. 24. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosTipos de proyecci´on Obl´ıcua1 Caballera2 Gabinete3 obl´ıcua a´ereaCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  25. 25. ConceptoTiposCaballeragabineteEjercicios1. CaballeraConceptoEs cuando se realiza un dibujo oblicuo con el eje inclinadoutilizando ´angulos de α=45o y φ = 45o´o φ = 30o yest´a representada por s´olo dos coordenadas, X e Y. Mediante estem´etodo todas las dimensiones sobre el eje oblicuo se representanen su verdadero tama˜no. En estos dibujos en general dan unaapariencia un poco desproporcionada, y alargada; distinto a comoes en la realidad, es decir el tercer eje (Z) se mantiene a escala.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  26. 26. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEl ´angulo φ suele ser de 30 o de 45 grados, desplegando una vistade combinaci´on de las partes frontal, lateral y superior (o inferior)de un objeto.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  27. 27. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEl ´angulo α suele tomar aquellos valores para los cuales sutangente vale 1 o 2. Adem´as tenemos, α = 45 grados,obteni´endose las vistas denominadas proyecciones caballeras, en lascuales todas las l´ıneas perpendiculares al plano de proyecci´on seproyectan sin alterar su longitud. Este efecto puede apreciarse en lasiguiente figura:Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  28. 28. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosmatriz de caballeraComo α= 45o y tomando φ = 45o, entonces:1 0 cos(45o)cotg(45o) 00 1 sen(45o)cotg(45o) 00 0 0 00 0 0 1tenemos:=1 0√2200 1√2200 0 0 00 0 0 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  29. 29. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjemplo gr´afico de proyeccion oblicua CaballeraCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  30. 30. ConceptoTiposCaballeragabineteEjercicios2. GabineteConceptoLlamado Punto de vista de alto. Es cuando el eje de profundidadse reduce a tres cuadros de su tama˜no, o a la mitad. Secontrarresta el alargamiento, resultando m´as natural, cuando sehan utilizado ´angulos de α = 63,4o y φ= 30o´o 45o.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  31. 31. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosTambi´en tenemos, α = 63,4o , obteni´endose las vistasdenominadas proyecciones de gabinete, en las cuales las l´ıneasperpendiculares a la superficie de vista se proyectan alterando sulongitud a la mitad. Debido a esta reducci´on, este tipo deproyecciones ofrecen un aspecto m´as realista que las proyeccionescaballera. Puede observarse este efecto a continuaci´on:Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  32. 32. ConceptoTiposCaballeragabineteEjercicioscomo α = 63,4o y φ = 30o1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 00 1 sen(30o)cotg(63,4o) 00 0 0 00 0 0 1Tenemos: 1 0√3400 1 1/4 00 0 0 00 0 0 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  33. 33. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjemplo gr´afico de proyeccion oblicua GabineteCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  34. 34. ConceptoTiposCaballeragabineteEjercicios3. Proyecci´on oblicua a´erea:ConceptoEs una proyecci´on oblicua realizada sobre un dibujo en planta deuna edificaci´on, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar suforma tridimensional. Esta t´ecnica utilizada para representarcuerpos en el espacio, aunque sin utilizar la deformaci´on producidapor la lejan´a de los cuerpos al observador, se le da preferencia a unade las caras del cuerpo la cual aparece horizontal y en verdaderamagnitud, mientras las dem´as est´an deformadas. Generalmente seutilizan ´angulos de 135o entre los ejes XZ e YZ (90o en XY). Engeneral, el eje Z puede adoptar cualquier ´angulo respecto de losotros, pero los ejes XY siempre forman 90o y no se les aplicadeformaci´on. As´ı se suele llamar militar, m´as propiamente dicha, aaquella cuyo ´angulo con los ejes XZ es 120o y entre YZ de 150o.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  35. 35. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  36. 36. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjerciciosTenemos los puntos de un cubo0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1se grafican los puntos en los 3 ejesCam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  37. 37. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjercicios con caballeraSi dibujamos la transformaci´on del cubo con α=45o y φ=45oT.V=1 0 cos(45o)cotg(45o) 00 1 sen(45o)cotg(45o) 00 0 0 00 0 0 1∗0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  38. 38. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosObtenemos:0 1 1 0√2/2√2/2 1 +√2/2 1 +√2/20 0 1 1 1 +√2/2√2/2√2/2 1 +√2/20 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1Graficando los puntos:Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  39. 39. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosEjercicios con GabineteSi dibujamos la transformaci´on del cubo con α=63,4o y φ=30oT.V=1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 00 1 sen(30o)cotg(63,4o) 00 0 0 00 0 0 1∗0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua
  40. 40. ConceptoTiposCaballeragabineteEjerciciosObtenemos:0 1 1 0√3/4√3/4 1 +√3/4 1 +√3/40 0 1 1 5/4 1/4 1/4 5/40 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1Graficando los puntos:A =(0,0,0) E =(√3/4, 5/4, 0)B =(1,0,0) F =(√3/4, 1/4, 0)C =(1,1,0) G =(1+√3/4, 1/4, 0)D =(0,1,0) H =(1+√3/4, 5/4, 0)Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farf´an George Proyecci´on Oblicua

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