Matematicas 1

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Libro de Matematicas 1er grado Secundaria Oficial
Ciclo 2014-15 Santillana - libros de texto gratuitos

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Matematicas 1

  1. 1. María Trigueros Gaisman María Dolores Lozano Suárez Mónica Inés Schulmaister Ivonne Ïwiggy Sandoval Cáceres Emanuel Jinich Charney Mercedes Cortés Lascurain E g (U Ü C 3 U G) (D
  2. 2. Nombre del alumno (a) Escuela Grupo Ogerido alumno (a) de secundaria: Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno de la República y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia. Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo. I a? “ S E P _ 8 g SECRETARÍA DE Éfigxgfi EDUCACIÓN PÚBLICA DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA Maestra (o): Consulta los Libros de Texto de Secundaria en línea, en la siguiente dirección electrónica http: //libros. cona1iteg. gob. mx/
  3. 3. "efiperimetroa «¿cuadrrlaterog regirá-veia: - IVISIOHQ’. >< ase mentoïPflQgï s LICES Q ¿I? ‘ajmultrplrcaqronbs eecua [ONS ‘eme r ‘iïáïsïustre? «e Matemáticas _ María Trigueros Gaisman O: ‘ . ' María Dolores Lozano Suárez O ‘ . o , O 47 áriiáïrlo Mónica Inés Selrulmaister .3; Ivonne Twiggy Sandoval cáceres Emanuel Jinich Ghamey 38 Mamadas Cortés Lascurain ‘ Cr tisïtá‘ eiáp nt g ¡»IBLUIJS son ‘¿Wake 5.8335‘ 2,»? Oóïl/ ra ¡d sirena-o m F’ “Ii? l a rirmsrsasraam 0% ífi m e ríe Q0. m 8 “a: 0 de‘? CD É ‘B CD E. racliogggs r = -1 m egïlnfiï- ¿Titán ao Eíecruila ero u de azar resultados e ' pena pen g proporcion rarz, cuadrad ga rea 3 3 rombo ‘l’ m THZQH q Pneantreapdfisrlilasrelacíg
  4. 4. t Tue elaborado en Editorial Santillana ens-J". - Wiki? ” de ¿‘flama wrlebaldo Nava ¡{em 0 D. 9019 - n . Qïficob Coordinación Editorial Ma. del Pilar Vergara Rios Colahoracicn mi evaluaciones tipo PISA (‘b Diana Paloma Diaz Pérez ° Edición Rubén Garcia Madero. Leticia Martinez Ruiz y Laura Milena Valencia Escobar Revisión técnica Ariel Avila Corrección de estilo Pablo Mijares Munoz. Rafael Serrano Pérez Grwas Edición de Realización Gabriela Armlllas Bojorges Edición Digital Miguel Angel Flores Medina Diseño de portada Raymundo Rios Vázquez DISGÜI) de interiores Beatriz Alatriste del castillo y Gil G. Reyes Ortiz ttiagramacixfin Héctor Ovando Jarquln Iconografía Elvia Valadez Pérez Itrtogalla Olivia Vivanco. Thinkstock. Shutterstock. Photostogo. Durga Archivo Digital. Photostock. Latinstock, NASA. Glow Images. Archivo Santillana Ilustración Hector (Nando. Ricardo Rios. Hector Medina. Gerardo Sánchez. Gustavo del Valle. Margarita Palacios. Marcela Gómez (A corazón abierto). carmen Gutiérrez. Kathia Recio Digitalización Maria Eugenia Guevara. Gerardo Hernández La presentación y disposición en conjunto y de cada pagina de obtenida: t son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electronico. incluso el lotocopiado, sin autorización escrita del editor. c 2012 por Maria Trigueros Gaisman, Maria de los Dolores Lozano Suarez. Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval (Jáceres. Emanuel Jinich Clrarney, Maria de las Mercedes Cortés Lascurain D. R. 9 2012 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A de C. V. Avenida Rio Mlxcoac 274. colonia Acacias. C, P. 03240. delegación Benito Juárez, México. D. F. ISBN: 978-607-01-1073-3 Primera edición: abril de 2012 g Primera relmpresión: abril de 2013 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/ Prinled in Medea
  5. 5. O . ‘ i l , .—, . y o ‘x-v‘ e‘ u '. . ("l t , .¡ ‘Í’ . “Ñx d _ l m i) , l r í . . i -- = .—. ¿ y _ y , .. — __ t, _z: l: v ' x . . a _ v‘ J A. . , v 2522;. .1). r. " ; Este libro de texto está destinado a los alumnos de primer grado de secundaria. Está organizado en secuencias de situaciones problemáticas desarrolladas en torno a con- Ü textos de la vida diaria que corresponden a las necesidades de aprendizaje de los ado- ' lescentes mexicanos y que representan para ellos un desafío intelectual. En la sección Palabras al docente se describen las etapas de las secuencias y cómo trabajarlas. ‘e Mediante la organización en secuencias de situaciones problemáticas se intenta que los alumnos enfrenten los nuevos conocimientos matemáticos proporcionándoles sentido y significado. Por medio de la solución de problemas interesantes y preguntas de re- flexión se les motiva a desarrollar las competencias matemáticas (Resolver problemas de manera autónoma, Comunicar información matemática, Validar procedimientos y resultados y Manejar técnicas eficientemente) requeridas para la vida en un ambiente de aprendizaje colaborativo, que les ofrece la oportunidad de incrementar el sentido ‘e, de responsabilidad y las ventajas de compartir con otros sus ideas y conocimientos. La propuesta didáctica de Matemáticas 1 se inscribe en el enfoque por competencias y la resolución de problemas, en el cual los alumnos pueden activar sus saberes e integrar nuevos conocimientos para dar respuesta tanto a problemas en situaciones comunes, como a situaciones complejas de la vida diaria. Ci El trabajo de los alumnos con el libro les permite: o visualizar con claridad el problema o dar un planteamiento adecuado a la situación; 0 seleccionar entre sus conocimientos y habilidades, aquellos que son necesarios para resolver una situación particular; - poner en práctica los conocimientos y habilidades y ajustarlos en función de la "* A situación; ' - prever lo que se necesita para participar en determinada situación; 0 reflexionar, en colaboración con sus compañeros, sobre las nuevas herramientas 0 necesarias para resolver cada situación; 0 tener la posibilidad de trasladar los nuevos aprendizajes de esa experiencia a si- tuaciones y retos nuevos. De esta manera, los alumnos construyen los conocimientos con sentido y significado. jjj; , lo que les permite aplicarlos dentro y fuera de la escuela. El trabajo en equipo es importante porque le ofrece la posibilidad de expresar lus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, asi desarrollas tu actitud de colaboración y la habilidad para argumentar.
  6. 6. Una actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas te permitirá enfrentar situaciones diversas de forma eficiente. El libro que tienes en tus manos tiene el propósito de acompañada en tu curso de Ma- temáticas, del primer grado de secundaria. Esta obra ha sido escrita con la intención de acercarte a las matemáticas mediante el desarrollo de actividades interesantes y de problemas y situaciones cercanos a tu vida cotidiana, de manera que el aprendi- zaje te resulte entretenido y lleno de significado. Las matemáticas constituyen una forma de pensar y de abordar problemas; enten- derlas es fundamental y, por ello, tratamos de ofrecerte muchas opciones para que argumentes, comuniques tus ideas, elabores razonamientos y emplees herramientas matemáticas. Todo ello te dará ocasión para profundizar sobre la manera de pensar en matemáticas y así comprender mejor los conceptos relacionados con la situación o problema que estés trabajando. Resolver problemas requiere dedicación y esfuerzo, por lo que te sugerimos que lleves a cabo un acercamiento con tus compañeros de clase y tu profesor, que incluya momentos de discusión y reflexion tanto individual como grupal en cada uno de los retos planteados. Es importante que aproveches lo que ya conoces, que reflexiones si es útil en esa situación o no lo es, y cuál es la mejor manera de resolverla. Al discutir con tus compañeros y con tu profesor tendrás nuevas oportunidades de reflexionar sobre diferentes maneras de abordar y resolver los problemas, compararlas y tomar decisiones acerca de las ventajas y desventajas de cada una de ellas, cómo se complementan, etc. Asi lograrás profundizar en las ideas y los conceptos matemáticos que se requieren en la solución de los problemas y sobre el papel que tienen las matemáticas en la sociedad. Es importante que te preguntes constantemente si tus argumentos son sólidos, si com- prendes los proporcionados por otros compañeros o por el profesor, y que trates de resolver por ti mismo otros problemas similares, de manera que puedas percatarte de la posibilidad de utilizar tu propio conocimiento y plantear las dudas que aún tienes y discutirlas de nuevo con el profesor. Hemos disfrutado mucho el hecho de escribir este libro y esperamos que tú también goces al utilizarlo y que adquieras sólidos conocimientos matemáticos para que en el futuro puedas ponerlos en práctica en una variedad de contextos. Los autores
  7. 7. ©SANTILLANK Palabras al docente El estudio de las matemáticas busca que los jóvenes desarrollen una manera de pensar que les permita expresar, por medio de las herramientas adquiridas, situaciones que se les presenten en diversos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos de otros, y que sean capaces de utilizar técnicas matemáticas ade- cuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias de situaciones problemáticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre. En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipos o todo el grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una in- vestigación, explicar y justificar razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, entre otros. En la primera etapa se presenta una situación —una actividad, un juego, una imagen o un texto- cuyo propósito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a re- flexionar y encontrar diferentes formas de resolverla. El inicio se complementa con el planteamiento de algunas preguntas para recuperar conocimientos, para meditar so- bre la solución del problema y considerar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabaiarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor manera de trabajo de acuerdo con su plan de clases. En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro trabajo, se propone el pro- ducto que elaborarán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organi- zación de las actividades que deberán realizar. Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades diversas, individuales y colectivas, que permitirán a los estu- diantes ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algo- ritmos, definiciones, etc. Es pertinente intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen procedimientos propios al resolver los problemas. Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en su producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el apartado ¿Cómo vamos’, en el que se propicia la reflexión metacognitiva. Es posible complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o elaborarlos tú mismo? ¿Comprendíste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros? , etcétera. El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos finalizan la confección del producto; se sugiere que lo so- cialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta manera también comunican, argumentan y comparten los conocimientos. Por último, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue? , discuten en grupo varios puntos relacionados con los aprendizajes logrados, el producto, la manera en la que aprendieron y la resolución del problema inicial. Quienes participamos en su elaboración, esperamos que esta obra sea de utilidad para su trabajo docente. Los autores
  8. 8. Dosificación Tu libro, de principio a fin }'lwi'ígz". .xx Mi‘. w‘: _ .2 : xt 8. 9. . Fracciones y decimales Fracciones y decimales enla recta numérica Suma y resta de fracciones Sucesiones literales y fórmulas Construcción de cuadriláteros . Rectas y segmentos del triángulo Reparto proporcional Nociones de probabilidad _ Evaluación tipo PISA » . Criterios de divisibilidad y números primos 82 l. Múltiplos y divisores 88 “a. Suma de fracciones y decimales 98 i. Multiplicación de fracciones 104 . Rectas y ángulos 112 23 .7. Fórmulas de perimetros y áreas 34 de polígonos regulares 118 ‘ '. Grandes y chicos 122 4ll . , . Evaluacion tipo PISA 128 46 su 5a ¿si 68 k 12 Multiplicación de números con decimales 132 División con decimales 138
  9. 9. lÏ) SA FHWLLANA" 19. Ecuaciones de primer grado 2D. Polígonos y sus aplicaciones 21. Áreas y perímetros de polígonos regulares 22. Factores sucesivos de proporcionalidad 23. Predicciones en un experimento aleatorio 24. Diagramas y tablas Evaluación tipo PISA 25. Números con signo 26. Construcción de circulos 27. circunferencia y circulo 28. Proporcionalidad: procedimientos expertos 144 150 158 164 168 174 182 186 194 200 206 29. Factor inverso de proporcionalidad 218 30. Problemas de conteo 216 31. Gráficas Evaluación tipo PISA SHÍÜIIIR Solar 32. Problemas aditivos 33. Notación científica 34. Potenciación y radicación 35. Sucesiones aritmeticas 36. Área y perímetro del círculo 37. Proporcionalidad múltiple Evaluación tipo PISA Fuentes de información 236 242 250 258 264 27ll 276 278
  10. 10. l. I 7arrrtionos y (¡anima/ rss Números y sistemas (ti: numeración _ _ 2. I recibio/ ias y door/ nales un la recta numérica Problemas aditivos 3. Suma y rrsla (lo liar-ciones lílvi Ill ltzziil"! v HHHlIXlÏZLIlÏI e'l" Html. “ 4. Surtcsiories Patronos y ecuaciones 5. litorales y lórrriuias 6. (¡tiristrucirirfin de cuadriláteros m — — — = l ¡guias y cuorixis 7. liz-actas y segmentos del triángulo Piopoirziiirialidad y liiixtiones 8. Remrto ¡noporriona/ Nrxtionos (lo [)l0|)()llZl()Il¿)lllÍa(Í 9. Nzxrinrirs (ic probeitii/ itlad 10. (Iritorins (h: divisibiiirlarl y mima/ os pri/ nos Números y sistemas dr: numeración ll. MiiIlip/ os y divisores Problemas aditivos 12. Suma du Irarrrrinncrs ydrxrirrialrs Problemas "ÏLÍHÍDIÍKÏÜÜVÜS 13. Mir/ Indicación lll. ’ f/ artrrioriis l’ ruinas y cuerpos 14. Rrxrlas y ¿mm/ ns Mcmda 15. fórmulas de ¡xrrlrrictrrys y áreas dt. ‘ ¡xiiygonas rrrggii/ aras Piomirtionalidatf y funciones 16. Grandes y rriiiiras 17. MlIIlÍ/ J/¡(‘atfiófl dr. - núrrieros (‘ora (ltxririiakrs Problemas miiltiplicativos 18. División con decimales Patronos y ecuaciones 19. I (tiras/ rines de primer grado l ¡guias y cuerpos 20. I ‘ui/ ¿riirins ysus apiirwrrirmrss
  11. 11. =ltlr: —lIlII! I.-; "fiar, naomi» sttuir-hlflm-flñu __ i Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. 18-27 i y 2 Representación de números lraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. 2833 3 Resolución y planteamiento de problems que impliquen más de una operación de suma y 3439 4 resta de lracciones. (Jonstmccíón de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaie común de expresiones generales que delinen las reglas de 40-45 5 sucesiones con progresión aritmética o geométrica. de números y de figuras. Explírzción del significado de lórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. 4649 6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del luego de geometria. 50-57 7 Trazo y análisis de las propiedades de lasalttiras. mednas. medetriors y biseclrioes en un triárgulo. 58-65 8 Resolución de problemas de reparto proporcional. 66-71 9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de 7277 lo estrategias en lunción del análisis de resultados posibles. Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2. 3 y 5. Distinción entre números primos 82.87 n y compuestos. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el minimo común múltiple. 88'95 ¡2 y 13 Resolución rie problemas aditivos en los que se mmbinan números lraccionarios y decimales en distintos contextos. empleando los algoritmos convencionales. 96103 14 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números 101M“ 15 lraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos trsualcs. Resolucion de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la 1 1271 17 16 mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Justilicación de las lórmulas de perlmetro y area de polígonos regulares. con apoyo de la “¿J 2] 17 construcción y translornración de liguras. Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor 122427 18 laltante” en diversos contextos. con lactores constantes lraccionarios Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en 132137 19 distintos contextos, utililando el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos 138443 2o contextos, utilizando cl algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la lorma x + a 2 b. ax b. ax + b — c. utilizando las propiedades de la 144449 21 igualdad. oon a, by c números naturales. decimales o lraccionarios. © SJXÍJTILLLYXI Construcción de polígonos regulares a partir de distintas iniormaciones (medida de un lado. del ángulo interno. ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la 150.157 22 y 23 circunlerencia y el poligono inscrito en ella.
  12. 12. Rimini! llllplll’ Miri Medida Proporcionalidad y luncioncs Nrxzioncas (le probabilidad Análisis y representación dc datos 21. Áreas y por/ metros de pol/ gorros regulares 22. lactores strcasivrs (Ir. - prarxmr/ uriallrlarl 23. Í ‘rrxlrrrrtrnrurs en un wrprrrirncnlu alrzlorir: 24. Diagramas y lab/ as Números y sistemas de numeración l ¡miras y rzucrrxrs Medida Proporcionalklad y lunrtionrrs Nociones (le probabilidad Análisis y repruscntarzióri th: ¡latas 25. Números (tun spam; 26. (¡orrslrrrrrrríúri (la rtlrrtulos 27. (¡Ircunlcrrrrirría y rtlrrtrrla 28. l 'mpnrciunalírlarl: prurrrxlirnícrllos expertos 29. laclor ¡rn/ ruso de promrrraria/ rrlarl 30. Problemas de (Yi/ NOU 31. (irá/ iras Problemas aditivos Problemas multiplirzativos Patrones y imitaciones Medida Proporcinrialidarl y luritziones 32. ¡"run/ amas aditivos 33. Nulaciúrr nicht/ tica 34. l ’(1I(. ‘n(? ÍH(T¡Ón y radicación 35. Sucesiones arilrrrélirras 36. Área y ¡xrr/ rmslrr) (lol circula 37. Prnpnrrrioria/ ¡dad múltiple
  13. 13. ulnrzlillnlv»: Pa}: naumrr. ¡Jllillllklflltl-¡Ïñr Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos 158-163 24 regulares. Formulación de (explicaciones sobre el electo de la aplicación sucesiva de lactores 1644 67 25 constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el 1684 73 26 experimento y su registro en una tabla de Irecuencias. Lectura y comunicación de inlormación mediante el uso de tablas de lrecuencia absoluta y 17 4_ 1 81 P7 relativa. . Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, lraccionarios o decimales DOSÍÍÍVOS y negativos. 186‘ 193 28 CDDSIIUCCÍÓD do circulos a partir de dilerentes datos (el radio. una cuerda, tres puntos no 194499 99 alineados. etc. ) o que cumplan condiciones dadas. ' Justificación de la lórmula para calcular la longitud de la circunlerencia y el área del circulo (grálica y algebraicamenle). Explicitación del número rr (Pi) como la razón entre la longitud 200-205 30 de la circunlerencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres. empleando valores enteros o lraccionarios. 206-209 31 Análisis de los electos del laclor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular . 210-215 32 en una reproducción a escala. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de 2167223 33 recursos para verilicar los resultados. Lectura de inlormación representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras luentes. (Jomunicación de inlormaciórl proveniente de estudios 224231 34 sencillos. eligiendo la representación grállca más adecuada. Resolución de problemas que implican el uso de sumasy restas de números enteros. 236-241 35 Uso de la notación cientifica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy 242249 36 grandes o muy pequeñas. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la ralz cuadrada (dilerentes métodos) 250957 37 y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. ‘ Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión 258263 38 aritmética. Uso de las lormulas para calcular el perímetro y el área del circulo en la resolución de 264269 39 problemas Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 270-275 40 © SJWTILLLJI. ‘
  14. 14. de bloque Estas páginas se ilustran con una gran imagen y un texto breve que describe la relación que esta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás en el bloque. Aquí encontrarás los Aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos que desarrollará: al realizar las actividades que sa proponen en los temas. Te invitamos a que, después de trabajar cada bloque, regresas a estas páginas o observa la imagen y encuentra la relación que tiene esta con los contenidos del bloque. o haz una nueva lectura de los Aprendizajes esperados y. junto con tus compañeros y profesor. evalúa los logros obtenidos.
  15. 15. Q O C los temas abordados en cada secuencia se desarrollan en cuatro etapas: 9 J Desarrollo i. » . _.. .,. --. -.. .,. -.. mu“. -. . ,_. .. 0.. .”. .. umdahlufloln ‘¡un! É E Durante esta etapa, realizarás g É Al inicio encontrarás una situación. ya sea un problema, un juego o una acfiviqades individuales y, E E actividad. que deberás analizar a fin de proponer diversas estrategias de cdeïqves’ q“ te awqaÏa" a E E solución. La situación inicial se complementa con preguntas que te harán adqumr nuevos °°"°°""'°"t. °s y E E reflexionar sobre lo que ya sabes y sobre las estrategias que puedes a dïsarftïnar ms “mpetenmas E E definir o aplicar: al mismo tiempo. los cuestionamientos planteados te m ma cas’ E E introducirán en los contenidos que estudiarás en la secuencia. g ¡c5 i. E 9 5 - a "2 En esta última etapa prosentarás E Nuestro trabajo. En este a tus compañeros y profesor E apartado encontrarás el resultado de tu producto E recomendaciones mediante una exposición en 5 especificas para hacer un . . , . el salón, un periódico mural. E detenninado producto a lo . .'L. ._. ... ... .., .;. ‘;L. .Ll- un dibujo o una construcción 5 largo del desarrollo do los aman. .. mu. .. / geométrica. entre otros. E u ‘IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJ sugerencias de las formas en ’ ta. que puedes organizarte — A 4 5;‘ individualmente, en parejas. É’ j en equipo o en grupo- e ‘IT-L indicaciones del material que necesitarás para llevar a cabo el producto.
  16. 16. © SANTILLANA‘ u». - m. .. sun. ..“ m. ¡r run-Arte) t. .- n. ;.. r¡. n.. ,m-, . nnvrvvArhn —, ... a.. v¡¡. aar-. .-. wu« “hay yzvwmu-h“ n v" — r an ¿"num n. ..» hayan , “u- . y ¡viga-u! . mm, " h-Innlpnluúbtulnlnlnhnnnbmhhdfiblllob «u una. ¡manana-mua . )I>Q)5U4¡m-l0m lfl! IGF‘LJw)I{nry-I%‘ z vtsrnn. s-msmnnn: n wn. » altar-nave‘ uva-ona ¡r4 u 1- v: ‘Indian-nun. num. ..- ‘¡un ¡menu n. s. n-—m, «.m, a.. ,. m». ¿mmm lycra/ on‘ Espacio tecnológico [un En este apartado te recomendamos actividades complementarias a las que realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el uso de recursos tecnológicos: Intemet. calculadora, programa de geometria dinámica. entre otros. ¡Cruuúedrúlnot u. .. “una. .. a. una. ..“ 9.». m» FI¡M'O: y -1.. .“ . ., r.». »« m. y. v. m. ilg>f y». .. «m. .. rw mu“. .. y. “ N': «vt a. . . a. “ m, “ n mu: r ‘ n. ... -.. N¡"’ . . -In un‘ «u, r. "¡IJ) w _— p» . ... - m. . -. ¿ar-y u-v-uuumeumnoca-zq-n- manana-nn nmarnuadna-npquapuau-«mn-n . (<lrvm*—lfi 7-. 07"? q». .. ¡w n. ..“ 2.. .”. .. n . . aunq-you» 6 ‘IIIIIIIIIII; unmaaaupoaouo-oaunnum-umacmu-onm . .. . 4a»- rea. » n» r; If. )}(V¡¡1 . .. .w. .-. ... ,;. .mn-. ;u. m1.. a n» > “a. .. ‘IIIIIIIIIIIIIIiIIIIIIIIIIIIIIIII‘ ‘lllllIllllIlllllá ------| Historias de vida Estos recuadros contienen relatos sobre personas y acontecimientos o referencias históricas asociados con el contenido de las actividades. ¿Cómo vamos? En diferentes momentos del desarrollo de los temas encontrarás este apartado que te permitirá hacer un alto en el mino y evaluar tus avances acerca de lo que has aprendido y del desarrollo del producto. u t. ‘ flh<fw4b u. ¡er y: ww. . ylllllllllll‘ Prncvhdbnhnnúflúüo aoqqopumun-n-meu-a-nuuv- . ¡‘Icrrn-vubl‘ y ¡hr-yn nm un. .. una)". hnr: v—o4(n mua-ru vRrI n: .. uwmsmnwm-u- n. ¡mar 1. n 4.0-, > n. ) saw-nova. - nuv- h)» un. .." zw" mln a» mm m. t. .. a u. - mw» 1.. “nrvvu s. «un. ar srvuar unan ¡tra _ yu, gran». m, rmuo n ¡"mame Ijtumïrunvrnn Lrlcvan, rr-nr ¿u vrnnruhu-r-we- ‘ti’ lí(>1«vi p, » m. .. .4.-. ... a. n. ’ )nl . . y; rv1u: ¡vrmn,1m"v¡naur. rw. ..» hu llnv-¡Aavvv fIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII‘ IIIIIIIIIIIIIIIIIIN Presentación de nuestro trabajo En este apartado encontrarás recomendaciones para compartir los resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar lo que aprendiste. el resultado de tu producto, las dificultades a las que te enfrentaste y la forma en que las resolviste. tanto en lo individual corno en lo colectivo, el apartado ¿cómo nos íueïte ofrece una útil guia. --| Glosario ïe ofrece la definición de palabras o expresiones importantes. relacionadas con el tema que se aborda en la secuencia.
  17. 17. © SANTILLANA‘ cua-. ... .- l-i-Nvvtonü-¡rrlnqmél ¡‘un u, irfaverr>"‘iá . - rerál)lvlll"lbtruflwwl zrlnvmol! .. .-z m. ¡manu-Quintanas- l u. ..“ . ;. ,,. ;.. ¡.. ... e . ... .. PnHAJIr-rhc-xu rmnrO-Inildmnuln! ‘-lÁ'-UI)e¡‘1oh‘Íí! J ¡un num-won. v-Vv- . -. ¡(Iv ¡»w-An wbwnwu . ..». “mu. vyawb ¡’v fvw! ‘ , «u. .. hprvvu n. «me. ara-up. A—: I ‘nz-mr . ¡raul-x J. u, ’ -. -m. ... v.; .w .4“ a. ’ aaa-av >bv¡'. al q. ‘U un. )r| -t—h¡nh)ih< 1ra lvnym> un emma». .. I-ehwa‘ Invirmfi . ... ..r. n: n u. » y. 4I)PVI ¡un lenhllfi-¡mgipll . «aman» n. .. tine-e“ a: plHVhl‘5vIlPvñ. pJ r mag-n. m . ._u—wu. v.r>, n.. —.«. . ¡Irún ¡un han“. ob‘! m. v. .." v; m. » n: .. .-n. Hnhhip nr 7111-‘ manu-u». .. guynüamúh) ordluuwrnau)anwqflhuann w. Á| |I¡ÜÍ'ÜLQ4'—H1XHÍI'LM‘ nun. nazcan) ütgr-t-avwlur-úh I-¡vn mu“. É .2. v-— ‘ÉL’ HÜÚÏÜÜCÜOUÜÑO moon-uu-Amu-uue-na-ea-nnuu-ú lle n-eunqnnuuauuu-nunua-nmm-un-úr renuevan-human . mu. " pull)’ v- pe. .. y .0.» u» u-r 114m): m. .. m un. «un ¡una llaman‘ w. au>-mn. -.n 7h Anna“ m. ..‘ zivunjgvvhwuwyvrn. y nammyvov-my-n a-w- mu» Dvrl ¡’bmw —__: _ unum-ncmheora . ... .. o. ... ..s. u‘. .., .. n _wl‘lvv: wur-. rnerlnlï(< . .l alnmriq. .. _¿. ,,. ,.. _,L. .,. . ngub¡nnlnwsh‘n. lvinvalih -. r,»«. .«mu, .i. u:<. i fyun-aunayh-mmnr; x-Jhuxn-«Mr-¡yyvuw . a->. ¿u. ..«. «;mm. l. . vfinf-v-«¡FAPPII A, .u. ..¡. ..—-iuu. u« wI¡_¡nv-(—Av& ym“; uh-I-muh-u-Knnrnnvnbu y: uuu-ar flllIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII Evaluacion tipo PISA En este apartado te proponemos diferentes actividades para que eiercites tus habilidades. desarrollos nuevas estrategias y refuerces los procedimientos de resolución de problemas que trabaiaste en la secuencia. (n. ".. ... ... ... ... ... ... ... ... ... un. ... ... ... ... ... ... .. ‘IIIIOIIIIIIIIIIIIIIIIII‘ Ó Tareas I ‘IIIIIIIIIIIIIIIIIII; I ¿Cómo nos fué? En esta sección. al final de cada leccion. se plantean preguntas para reflexionar acerca de los temas cubiertos para que continues la adquisición de los conocimientos descritos en el Contenido de la lección y pongas en práctica los aprendizajes esperados. ¡n . .| Evaluación tipo PISA En esta sección al final de cada bloque. encontrarás una evaluación escrita que fue diseñada con el modelo PISA (Programa lntemacional de Evaluación de Estudiantes). Aquí se plantean simaciones en contextos muy cercanos a tu vida cotidiana para que puedas poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes. » r wz- nun-w z; r-w -. (wa-rumana en 2 x541 ama-nu. v» r4». o. e r. o: mm: 2;- Í'l. ¿ r‘. ¡”una u «u 7 C rau- m. ” h, “ Ia-n-annrannounvflwu ñhuencnnnenwueaunonnuuu 'IIJVJJV¡WJ>U au. a. ¡me «un unan-uno «asuma-when» wnuuannmanmmmnma hfllñlhUwwl “¡QUÉ! {num r 4a. ; ¡“su ¡"n y; '. (r“. I‘m>. r.r-»lIr-: n: lv. nfl-llküïüfl. x HONG! J, 4» u ¡vrvfir mu: y u; ny» v, r4 y xom- —s m- tun‘, _. . run mu. ..“ . .. y ui mii-nm- ¿HJBNÑCÜK CIGNÜ) ¡mm ¡’PL . . un rx 1- ; huA-UnaInIb-nwwhonñu earn-nun- ¡—una-anun- unan-mm manu“. p; u-‘Ífi we ‘Jabdprïpí . - >I': A_")n ¿"fu-ns y, » . u'. rv'4I'J'. l'4i. w‘íu‘ lewlnqnmmoennenu-nmoyún axnvauulneuwevnulm wanna-em ¿mmm-n r. "nanny «. vw. ‘ u rav. ) 2 a n . ‘¿. _- 1 u cu: ¡amaba . n. .. l’ a ¡ri-. .. n. lmvzn v, "aaa-i '. l”'r*-. . . .p -r.
  18. 18. ‘ a’ _r. . 1 Ï l‘ i“ 4': í . ‘í V1 "L! ‘ágil Es)
  19. 19. Bloque 1 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que: - Conviertas números fraccionarios a decimales y viceversa. 0 Conozcas y utilices las convenciones para represen- tar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. e Representes sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. Dados los resultados de las experiencias aleatorias al jugar con dados dependen del número de caras que tengan. En la actualidad. además de los dados cúbicos. existen otros lormados por romboides y triángulos. que pueden tener más y menos caras. La imagen se relaciona con el contenido de la secuencia 9.
  20. 20. Fracciones y decimales Contenido (Ionversión de lracciones decimales y no decimales a su escultura decimal y viceversa. Analiza la obra de arte Victoria y Martín visitaron un museo de arte moderno. Uno de los cuadros que les llamó la atención estaba hecho con mosaicos de colores y se muestra en la figura. Victoria le comentó a Martín que el cuadro sería estupendo para el problema de ma- temáticas que la maestra Lolita les había dejado de tarea. Entre los dos decidieron copiarlo e incluirlo en su tarea junto con las siguientes preguntas: 0 ¿Qué fracción del cuadro está pintada de cada color? 0 Si el área del cuadro fuera de l m3, ¿cuál es el área que está pintada de cada color escrita como un número decimal? 0 ¿Cómo se comparan las dos cantidades que encontraste como respuesta a las preguntas anteriores? Nuestro trab-ajo En parejas, en una hoja cuadriculada, diseñarán un cuadro como el que Victoria y Martín vieron en el museo. Deben utilizar mínimo cuatro colores diferentes en una cuadrícula de 10 por 10, en la que cada cuadrado representará un mosaico. aneacron o Además de diseñar su obra de arte, deberán responder las preguntas que Victoria y Martín hicieron para su propio cuadro y justificar por escrito cómo las resolvieron. ° Al final, pondrán su obra junto a las de sus compañeros en las paredes del salón y retarán a otro equipo a encontrar Ia respuesta a las preguntas. 3 usemos fracciones g Antes de comenzar a trabajar en el proyecto resuelve. junto con dos compañeros, las f; siguientes actividades. Trabajen en su cuaderno. 8 fracción irreducible. Es aquella fracción 0 Escriban una fracción que represente el área de uno de los cuadrados en los que cuyo numerador y está dividido el cuadro que vieron Victoria y Martín. - denominador ya no se 0 ¿Cuántos mosaicos amarillos tiene el cuadro? É pueden dlVÍdlT entre 0 Encuentren una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos . _._r un mismo número. amarillos. l‘ ¡’empm g g g a ¿Podrían escribir esa fracción de otra manera? Encuentren la fracción irreducible É ' 6 ' 7 ‘ 3 ' que sea equivalente a la que encontraron, (D 0 ¿Qué son las fracciones equivalentes? Escriban un procedimiento para encontrar este tipo de fracciones.
  21. 21. Escriban una fracción equivalente a í y representen las dos fracciones mediante un dibujo en el cuaderno. 4 ¿Recuerdan cómo buscar fracciones equivalentes o una unidad común entre ellas? Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor. Las fracciones equivalentes parecen distintas porque tienen diferente numerador y denominador, pero si multi- plican o dividen el numerador y el denominador por el mismo número descubren su equivalencia. Como recordarán, las fracciones equivalentes se irtilizan en la solución de distintos tipos de problemas. Por ejemplo: = % H Algunas fracciones equivalentes de interés Continúa trabajando con el mismo equipo y en el cuaderno resuelvan estas actividades. Dadas las siguientes fracciones: É; i; g; L. 2 4 5 25 0 Escriban una fracción equivalente a cada una cuyo denominador sea 10, cuando esto sea posible. ¿Para qué fracciones se puede? ¿Para cuáles no? o Escriban una fracción equivalente a cada una con denominador 100. o Completen la siguiente tabla con las fracciones equivalentes que encontraron cuyos denominadores son 10 o 100. Escriban como fracción y con letra sus respuestas. Observen el ejemplo. Fracciones equivalentes. con ÍWCNOHES equivalentes con Fracciones _ 'lEll0l"lIl3llCI‘ l. ) iieiioiiiizailoi iii’) Un entero con cinco decimos, 3 í yaque%= %=l% Á 4 2 5 . _7_ 25 g o ¿En todos los casos pudieron encontrar una fracción equivalente con denominador 10 y 100? (3 ° ¿Esto sucede con cualquier fracción? Justifiquen su respuesta. Comparen con otros compañeros su tabla y el procedimiento que siguieron para com- pletarla. Validen los procedimientos y. en grupo, elijan el más adecuado. I
  22. 22. 3 Z Regresen al cuadro que encontraron Victoria y Martin y respondan. 0 ¿Cuántos mosaicos rojos tiene el cuadro? Encuentren una tracción que re- presente la parte del cuadro ocupada por mosaicos rojos. Él 0 Escriban esa fracción de otra manera y encuentren la fracción que ya no se puede reducir, que sea equivalente a la que encontraron. IÏI 0 ¿Cuántos mosaicos blancos tiene el cuadro? Encuentren una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos blancos. "— ÜÜ 0 Escriban una fracción equivalente a ella ‘Í Encuentren la fracción irreducible que sea equivalente a la que encontraron. IÏI 0 ¿Cuántos mosaicos azules tiene el cuadro? Encuentren una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos azules. ‘ÏI 0 ¿Podrían escribir esa fracción de otra manera? í ¿Por qué? 0 Escriban, utilizando fracciones, el procedimiento que siguieron para encontrar la fracción del cuadro que está ocupada por cada color. ¿Cómo podrían saber si res- pondieron de manera correcta? Discutan y escriban su argumento en palabras para compararlo y discutirlo con los de otros equipos del grupo y con su profesor. í Reúnete con un compañero. o En una hoja cuadriculada tracen un cuadrado de 10 por 10 cuadrados. Eli- ¡an los colores que desean utilizar en su diseño. Recuerden que deben ser al menos cuatro diferentes para dibujar su mosaico. - construyan una tabla en la que en la primera columna escriban el nombre de cada uno de los colores que emplearon, en la segunda el número de cuadrados correspondientes a cada color en su cuadro y en Ia tercera una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por los mosaicos de ese color. Si es posible escriban esa fracción como la menor equivalente a Ia que encontraron para cada color.
  23. 23. Q ísiLL De fracciones a decimales Responde las siguientes preguntas. Después con todo el grupo y el profesor compa- ren y discutan sus respuestas. 0 ¿Cuál es una fracción equivalente a % que tiene denominador 10? Escribe el núme- ro resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número en forma decimal? ¿Cómo lo harías? o ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a É que tenga denominador 10? ¿por qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a É que tenga denominador 100? Escribe el número resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número de manera deci- mal? ¿Cómo lo harías? o ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a É que tenga denominador 10? ¿por qué? ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a g que tenga denominador 100? ¿por qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a á que tenga denominador 1000? Escribe el número resultante con palabras. ¿Podrias escribir ese número de manera decimal? ¿Cómo lo harías? 0 ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a ¿que tenga denominador 10? ¿por qué? ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a %que tenga denominador 100? ¿por qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a ¿que tenga denominador 1000? Escribe el número resultante con palabras. ¿Podrias escribir ese número de manera decimal? ¿Cómo lo harias? 0 Con base en lo que has hecho en las actividades anteriores, escribe el procedimien- to que seguirías para escribir íïé en forma decimal. o Aplica tu procedimiento para escribir % en forma decimal. o ¿Es útil tu procedimiento para escribir L en forma decimal? ¿Por qué? 6
  24. 24. Historias de vida Simon Stevin, ingeniero belga, introdujo en el Renacimiento el uso de los deci- males en Europa. Aunque los árabes conocían estos números, no los usaban en todos sus cálculos. La notación que usaba Stevin era diferente a Ia que usamos en la actualidad, el utilizaba un círculo antes de cada dígito en la parte decimal de un número. Su notación le permitía hacer operaciones con ellos. La obra de arte en el museo Reúnete con un compañero para hacer las siguientes actividades. o Si el área del cuadro que eligieron Victoria y Martín fuera de 1 m7, ¿cuál es el área que está pintada de amarillo escrita como un número decimal? o Añadan una columna a la tabla que hicieron y anoten en ella el número decimal que corresponde al área que está pintada de cada uno de los colores en la pintura. Reúnete con tu compañero. 0 consideren que su cuadro de mosaicos tiene un área de 1 m9. Añadan una columna a la tabla que habian construido. v Escriban en esa tabla el área que ocupa cada uno de los colores en su diseño como número decimal. De decimales a fracciones De manera individual, realiza las siguientes actividades: 0 Escribe los siguientes números con letras: 0.3, 0.45, 0.435, 0.05, 0.22. o A partir de lo que escribiste, encuentra en cada caso una fracción equivalente con denominador 10, 100, 1000. o ¿Hay alguna relación entre el número de digitos y el número de ceros en el denomi- nador del número que utilizaste para escribir cada uno de los números como una fracción? Descríbela o En los casos que sea posible, escribe cada fracción como una fracción equivalente á É que tenga un denominador menor. Q Q l: Q Q ¡:1 IE El El ¡:1
  25. 25. ©SANTILLANA' O En un mural hecho con pequeños mosaicos de l mmï, el área ocupada por mosai- cos de color dorado es de 0.4236 del área total. ¿Cuál es la fracción del área total que ocupan los mosaicos dorados? En las actividades anteriores desarrollaste un método para convertir números decima- les en fracciones. Escribe el método que seguiste. Las fracciones y los decimales Como has podido constatar, los decimales y las fracciones representan el mismo número. Pero, hay algunas fracciones para las que la estrategia que has desarrollado no fun- ciona. Trabaja las actividades siguientes y responde. O Usa la estrategia para encontrar un decimal que represente la fracción ¿Qué observas? Considera a la fracción como un cociente, por ejemplo á- como 1 entre 3. ¿Qué ob servas cuando haces la división? Si utilizas el número decimal no es posible usar todas las cifras que resultan de la división, conviene entonces omitir algunas, es decir “truncarlo", en este caso se po- drla utilizar 0.33 o si requieres de mayor precisión 0.333. ¿Cuál número utilizarías si desearas menor precisión? Utiliza este procedimiento para convertir las siguientes fracciones en números decimales: 4 3 1 :3 .13 . ._ 9 ll . 2 — . 7 ¿Qué notas? ¿Cuántos decimales se obtienen? ¿Observas algún patrón en esos núme- ros decimales? ¿Cómo truncarías cada uno de estos números? A estos números se les conoce como números periódicos. Explica por qué piensas que se les llama así. Cuando deseamos utilizar los decimales equivalentes a los números periódicos es necesario truncarlos y utilizar un número que tenga aproximadamente el mismo va- lor. En los números anteriores, observaste que % = 0.2857l4285714.. . Los pun- tos suspensivos se utilizan para indicar que las cifras siguientes son las que apare- cieron antes en el mismo orden. Si deseamos operar con el decimal equivalente a % es imposible, pero podemos utilizar el número 0.286 que es una aproximación en la que redondeamos los dígitos 57 por 60.
  26. 26. 3 Z Decimales exactos y periódicos Reúnete con un compañero para trabajar las actividades siguientes, utilizando lo que han aprendido hasta aquí. Cuando todo el grupo haya terminado, comenten en clase y con el maestro sus resultados y lleguen a conclusiones para disipar cualquier duda que aún persista. o Conviertan los siguientes números a fracciones: o 3. 46= : | o 2.785= : ] o 2.06= : | o 4.11 = ;I: :| o 1.007= o 5.9O3= : I Como has podido ver en actividades anteriores, todo número decimal tiene su repre- sentación como fracción. ¿Sucede lo mismo con las fracciones, es decir, todas tienen una representación como número decimal? Al convertir una fracción a número decimal, podemos obtener un número decimal exacto, pero como has visto antes, no siempre pasa esto, es decir, al dividir el numera- dor entre el denominador, el residuo no siempre es cero, podrias seguir dividiendo in- finitamente y nunca obtendrfas como residuo cero. Por ejemplo, á = 0.3333333. . ., es un número decimal periódico. Convierte las siguientes fracciones a números decimales y determina cuáles son exactos y cuáles, periódicos. . 2:3 . 31:3 . ¿i743 5 25 10o . ¿:3 . ¿:3 . ï=3 3 34 4o . 3:: . 177:: . g — 0 Describan en un párrafo el procedimiento que siguieron para hacer las conversiones anteriores. ¿Qué diferencias observas entre los números periódicos? ¿Todos siguen el mismo patrón? Comenta lo anterior con un compañero y juntos obtengan una conclusión acerca de lo realizado. Entre los números decimales periódicos existen dos tipos: los periódicos puros y los periódicos mixtos. 20 Por ejemplo, g- = y i; la cifra o grupo de cifras que se repite, empieza inmediatamente después del punto decimal. 23 7 En cambio, ñ = 1916666.. .. y ñ = O.58333.. ., son periódicos mixtos, porque la cifra o grupo de cifras que se repite no empieza inmediatamente después del punto. Para identificar que un número decimal es perigdico, _se señalan con una linea el periodo o cifras que se repiten, por ejemplo, 1.916, 0.60. = 0.606060.. ., son periódicos puros, porque
  27. 27. De los números de la página anterior, indica cuáles son periódicos puros y cuáles son mixtos. ¿Existirá alguna forma de convertir un número decimal periódico a fracción? Comén- talo con tus compañeros y con el maestro. l Realiza estas actividades: l. Escribe las siguientes fracciones como decimales. Determina cuáles son exactos y cuáles son periódicos puros o mixtos. í_ É_ ¿‘a-e b) 8- ï_ i- 1573 ‘”2o‘ el%= m 0%: 2. Escribe los siguientes números decimales como fracciones; a) 0.65 = b) 0.552 = ÜiÜ c) 0.1234 — d) 0,28 = e) 0.7862 — ÜiÜ ÜiÜ 3 f) 0.317 :1 3 3. Escribe las siguientes fracciones como números con decimales. Usa trunca- miento y aproximación si es necesario. B _ 2 _ E_ a) 5 —e b) 2 —e 0120- M _ E _ fi _ d) 45 ‘í “nwí " 75 ‘ K 4. Escribe los siguientes números decimales como fracciones: a) 1.24 = b) 25.367 = c) 48.006 = d) 7.0002 = e) 123.0026 = l) 3.015 = o "‘1—' 06 10000 E! 5. Une las fracciones con . 15 O2 la representación decimal 3 á y correspondiente: ‘ 2' 00001 g ° g 0.15 @ 2 lo 0.8125
  28. 28. 3 3 6. Gonzalo respondió 35 preguntas de un cuestionario de 50 preguntas. ' a) Escribe una fracción que describa la cantidad de preguntas correctas que tuvo Gonzalo del total del examen. Él b) Si responder el cuestionario completo valla un punto, ¿qué calificación, escrita como un número decimal, obtuvo Gonzalo? 7. Laura sale de su casa a las 4:30 p. m. y llega a casa de su prima a las 4:50 p. m. al ¿Cuánto tiempo tardó? b) ¿Qué fracción de una hora tardó Laura en llegar a casa de su prima? IÏI 8. Flor y Cris jugaban un juego que trataba de comparar números. Querían que los números fueran difíciles para su contrincante para poder ganar. a) Flor preguntó a Cris: ¿Cuál número es más grande 0.83 o %? ¿Qué debe responder Cris para no perder? b) Escribe dos maneras de comparar estos dos números. Espacio tecnológico En la página Disfruta de las matemáticas: wwwdisfrutalasmatematicacom/ numeros/ convirtiendo-fracciones-decimales. html y wwwdisfrutalasmaternaticascom/ numeros/ conviniendo-decimales-fraccioneshtml encontrarás más información acerca de la conversión de números decimales a fracción y viceversa. Y para practicar más ejercicios de este tipo, visita la página: wwwdisfrutalasmatematicasoom/ ejercicios/ printphmw:1880&ID=12036 De periódico a fracción Todos los números decimales tienen su representación como fracción. Si el número decimal es periódico puro, la fracción equivalente tiene como numera- dor el número dado sin el punto decimal, menos la parte entera; y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo. En el siguiente ejemplo, el numerador es igual a 160 (que son las cifras sin el punto decimal), menos l (que es la parte entera) y, como el periodo tiene dos cifras, el de- nominador es igual a 99. -_3=@= ï m)‘ 99 99 33
  29. 29. ©SANTILLANK Si el número decimal es periódico mixto, la fracción tiene como numerador el número dado sin el punto, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódi- cas; y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. En el ejemplo, el numerador es igual a 238 (que son las cifras sin el punto decimal) menos 23 (que es la parte entera, seguida de la cifra que no forma parte del periodo) y el denominador, 90 (formado por un nueve, que son las cifras del periodo, y un cero, que son las cifras decimales que no forman parte del periodo). - - _ a : fi : Q 2.38 — 238 90 9o 18 Utiliza la calculadora para comprobar que las fracciones de los ejemplos equivalen a los números decimales correspondientes. 0 Reúnete con un compañero y conviertan los números decimales a fracción. ° 4.08333 = v 0.732 = o 1.273 = o 31041636 = Comparen sus resultados con otros compañeros. En caso de que existan diferencias, validen sus resultados con el maestro. Presentación de nuestro trabajo Con tus compañeros de grupo monten la exposición de sus diseños con mosaicos. o El maestro decidirá con cuál de los diseños deberá trabajar cada pareja. 0 Con tu pareja, utiliza lo que has aprendido para encontrar la fracción del diseño que su maestro les asignó, y que corresponde a cada color empleado en él. 0 También calculen el decimal que corresponde a la parte del área del mismo diseño. 6 Discutan con los compañeros que hicieron el diseño sus estrategias y sus resultados. 0 Elijan el diseño dela exposición que les parece más bonito. 33 o ¿Cómo se compara tu diseño con los de tus compañeros? 0 ¿Qué tan fácil te resultó encontrar la fracción que representa el número de mosaicos de cada color en el diseño de tus compañeros? ° ¿Qué tan fácil te resultó encontrar en decimales el área que ocupan los rnosai- cos de cada color en el diseño de tus compañeros? o Busca otro ejemplo en el que las matemáticas se usen en el arte. No tiene necesariamente que ser la pintura.
  30. 30. Planeaapwcirr Fracciones y decimales en la recta numérica Contenido Representación de números lraccionariosy decimales en la recta numérica a partir de distintas informacio- nes, analizando las convenciones de esta representación. La herencia El señor Rodriguez, un famoso matemático, utili- zó esta disciplina en su testamento, donde se in- clufa la forma en que deseaba que se repartieran sus bienes entre algunos familiares. Este señor ' Amlaobflnal-Ilz. 0-06 del total- decidió que se distribuyeran como se muestra, a la izquierda, en una hoja de su testamento. Deseoqueeltotaldemlsblenesse repartodelamanerangtnenoe: v Amlmetaclattdlnlis pam. . ¿mmm cum’ 1% wm v ¿Cómo puedes determinar la parte de la herencia que le correspondió a Bertha? v ¿A quién le tocó la mayor cantidad de la herencia? ¿Cómo lo sabes? o Amuummm¿_¡°qu, mw_ v ¿Qué necesitas para ordenar a los here- deros de mayor a menor de acuerdo con v Aminuonobexmmipam. la cantidad de la herencia que recibirá 3 cada uno? ° Amt han. Jimena, 0.55 del hotel. Reúnete con un compañero, discutan cómo podrian comparar fracciones y decima- les y escriban un párrafo en el que describan su estrategia. v Discutan también si los siguientes argumentos son verdaderos o falsos. Proporcio- nen argumentos claros: 0.58 es mayor que 0.6 porque 58 es mayor que 6. % es más grande que % porque un cuarto es más grande que un quinto. v Comparen su estrategia y sus argumentos con los de otros compañeros. Si son dis- tintos, identifiquen las diferencias y decidan cuál estrategia sería más fácil de usar. v Despues de trabajar esta secuencia, regresen a revisar su estrategia y modifíquenla utilizando lo aprendido durante la misma. En esta ocasión, jugarán a localizar números en la recta numérica. v Forma un grupo de cuatro integrantes y hagan dos equipos de dos jugado- res cada uno. Necesitan: v 4 hojas de papel cuadriculada v l regla para trazar las rectas A lo largo de las actividades encontrarán las instrucciones del juego y algunas ideas que les ayudarán a realizarlo mejor.
  31. 31. ; ÉïlLL La recta numérica Para saber a quién de los herederos del señor Rodriguez le correspondió la mayor parte de los bienes, podemos comparar las cantidades en una recta numérica. Realiza con dos compañeros las actividades y así sabrás quién recibió mayor herencia. Gracias a tus cursos anteriores sabes que la recta numérica es una representación que resulta muy útil para ubicar números, compararlos y hacer operaciones con ellos. v ¿Recuerdas cómo construir una recta numérica? Coméntalo con tus compañeros. Traza en el cuaderno una recta numérica. Coloca el cero en su extremo izquierdo. v Ubica algunos números enteros en ella. ¿Cómo lo haces? ¿Qué debes hacer para que la distancia entre dos números enteros sea la misma? v ¿cómo localizas fracciones en la recta numérica? ¿Y números decimales? Observa la ilustración que se presenta de la recta numérica. En ella la diferencia entre dos números consecutivos es de una unidad. ¿Por qué es importante que la distancia entre dos enteros consecutivos en la recta numérica sea la misma? o 1 2 Para trabajar la representación de fracciones en la recta numérica, resuelvan las actividades. Tres amigos cortaron tiras de listón del mismo tamaño para hacer moños. Alberto cortó su listón en 4 pedazos iguales y empleó 3; Bertha lo cortó en 5 pedazos y utilizó 3 y Carlos lo cortó en 8 pedazos y usó 6. v Escriban como fracción la cantidad de listón que utilizó cada niño. I: I ¡:1 carlos- I; ' 3 v Representen en la siguiente recta numérica las fracciones anteriores. Alberto: Bertha? ‘:1 o 1 v ¿Cuál de las fracciones es mayor? ¿Cuál es menor? ¿Cómo lo saben? v Representen en el cuaderno, en una recta numérica, las fracciones é y Antes de hacerlo, comenten cómo deben dividir la recta numérica para representar las fracciones de la ma- nera más adecuada. consideren que algunas fracciones son mayores que la unidad. Despues respondan. v De las fracciones que representaron, ¿cuál es mayor? ¿Cuál es menor? v ¿Entre las fracciones anteriores hay algunas equivalentes? Si la respuesta es sí, ¿cuáles son? v ¿como pueden argumentar lo anterior a partir de la representación en la recta numérica? Representen en la recta numérica anterior una fracción que esté entre i y i. 5 4 v Reflexionen. ¿Siempre se podrá representar una fracción entre dos fracciones dadas? comparen su recta numérica y sus respuestas con las de otros compañeros. v Representen en el cuaderno, en una recta numérica, las tres cantidades fraccionarias que se re- partieron en la herencia del señor Rodriguez. v ¿Cuál de los herederos recibió mayor cantidad de Ia herencia? conserven esta recta numérica porque la usarán más adelante. ion-a‘ lll
  32. 32. 3 3 comparación de fracciones Reúnanse en equipos para trabajar en las siguientes actividades. v Escriban en el cuaderno cómo se pueden comparar fracciones a partir de la repre- sentación en la recta numérica y ordénenlas de menor a mayor. Después resuel- van el problema. Los señores Díaz, López y Pérez compararon la parte de su sueldo que utilizan para pagar los servicios de renta, luz, agua y teléfono de sus casas. El señor Díaz utiliza la mitad de su sueldo, el señor López usa % partes y el señor Pérez gasta % partes. v Representen las fracciones en una recta numérica. v ¿Cuál de los tres señores gasta mayor parte de su sueldo en estos pagos? O O ¿Cuál paga la menor parte? Ordenen las fracciones que representan los gastos de los señores de mayor a menor. comparen su trabajo con los de otros compañeros y valídenlo con el profesor. La recta numérica es una herramienta muy útil para comparar fracciones. Al repre- sentar fracciones en la recta numérica, las fracciones mayores quedan a la derecha, es decir, la fracción más lejana a la derecha del cero, es mayor. En una recta numé- rica dos fracciones equivalentes ocupan el mismo punto. Una propiedad importante de los números fraccionarios Al realizar el juego con la recta numérica, cuantos más turnos dura el juego, ¿cómo van quedando las fracciones? ¿Qué tan fácil es ubicarlas en la recta numérica? Si pudieras en cada turno ampliar la recta de manera que en cada extremo quedaran las fracciones dadas, algo como lo que se muestra en las siguientes rectas, ¿que con- vendría hacer para encontrar de forma más sencilla una fracción entre ellas? Escribe sobre la segunda recta tres fracciones que se coloquen entre % y i. 6 v ¿Cuántas veces podrias repetir este procedimiento? ¿Por qué? v ¿Es posible encontrar siempre una fracción entre dos fracciones cualesquiera? Justifica tu respuesta. Compara tus respuestas y estrategias con las de un compañero. Reúnanse con su equipo y tracen una representación de la recta numérica. Deter- minen la longitud que les conviene elegir para marcar en ella los números enteros. El equipo l localiza dos fracciones en la recta. El equipo 2 localiza, en esta recta, una fracción que esté entre las dos dadas. Después, el equipo 1 marca una fracción entre la que colocaron sus compañeros y una de las que estaban al principio. Esta actividad se repite durante cinco turnos de cada equipo. Para cada fracción, deben justificar su ubicación; si es correcta, se gana un punto. v ¿Cuál equipo logró más puntos? ¿Por qué?
  33. 33. © SANTILLANA’ Comparación de decimales Reúnanse en equipo para resolver las siguientes actividades. Ahora van a representar números decimales en la recta numérica. Las siguientes cantidades representan la calificación que obtuvieron algunos alumnos en una evaluación de Matemáticas. Pedro 8.35, Luis 8.5, Ana 9.40, Elena 8.3, Laura 9.8, Joel 7.8, Pilar 8.15 v Representen en la siguiente recta numérica las calificaciones. Comenten cómo di- vidir la recta numérica para representar los números de la manera más adecuada. 0 v ¿Cual de las calificaciones es mayor? ¿Cuál es menor? v ¿Qué relación hay entre el orden de los números decimales y su representación en la recta numérica? Representen en la recta numérica anterior un número decimal entre 8.5 y 8.35. v Reflexionen. ¿Siempre se podrá representar un número decimal entre dos números dados? Ahora retomemos el problema de la herencia. Trabajen en el cuaderno. v Reúnete con tu equipo y conviertan las cantidades fraccionarias que les correspon- dieron a Claudia, Carlos y Roberto a números con decimales. v De los números decimales que aparecen en la repartición de la herencia, ¿cuál es mayor? ¿cómo lo sabes? v ¿Qué parte de la herencia le correspondió a Bertha? Escriban el resultado como fracción y como número decimal. v Tracen una recta numérica y ubiquen todos los números con decimales de la heren- cia. Ordenen los números decimales de mayor a menor. v Por último, ¿a quien le tocó más parte de la herencia, a Jimena o a Roberto? v Cuando convierten á en número decimal, ¿qué notan? ¿Cuántos decimales obtie- nen? ¿Por qué sucedeesto? Cuando esto ocurre. para'dlstinguir este tipo de núrne- ros llamados periódicos, se decidió escribir una rayita sobre el número que se repite infinidad de veces: 0.33. En la práctica utilizamos 0.33 para representar de manera . 1 . , aproximada a 3, pues aunque no es exacto, evitamos operar con numeros que se repiten muchas veces. 1 , . . . , . v ¿Es E un numero periódico? Si es asi, ¿cómo lo representanan? Escriban en el cuaderno otras dos fracciones que al convertirlas a número decimal el resultado sea un número periódico. Representen, en el cuaderno, en una recta numérica, las cantidades de la tabla. Después, respondan en su cuaderno. En una secundaria se hizo un censo para saber cuántas mujeres habla en relación 6 con el total de alumnos de cada salón. La maestra que tomó los datos de los grupos A 1-° B 7 anotó los resultados utilizando números decimales y la maestra que tomó los datos de los grupos B anotó los resultados con fracciones. Los resultados aparecen en la tabla. 2.° A 0.45 v ¿En cuál salón hay más niñas en comparación con el total de alumnos, es decir, qué 3 1 cantidad representada es mayor? 3° B ‘í ¿En cuál salón son menos mujeres en comparación con el total de alumnos? ¿Hay salones que tienen el mismo número de mujeres y hombres? ¿Cuáles? 3p A 3 v Ordenen las cantidades de mayor a menor. 4 comparen su recta numérica y sus respuestas con las de otros equipos. En caso de 3.° B 0.5 que haya diferencias, validen sus respuestas en grupo con la ayuda del profesor.
  34. 34. Espacio © SANTILLANA’ tecnológico En la siguiente di- rección encontrarás actividades sobre la ubicación de fraccio- nes y decimales en la recta numérica. www. telesecun - daria. dgme. sep. gob. mx/ interacti- vos/1_primero/1_ Matematicas/ l m_ b0l_t02_s01_inte- ractivo/ indexhtml Reúnanse con su equipo y tracen otra representación de la recta numérica. 0 Repitan el procedimiento del primer juego, pero ahora, utilicen marcas en la representación de la recta que indiquen decimales en lugar de fracciones. Por cada acierto, el equipo correspondiente obtiene un punto. 0 Escriban en el cuaderno la estrategia para encontrar los números decimales que siguieron en el juego. 0 ¿Cuál equipo ganó esta vez? ¿Cuál equipo gana si suman el total de puntos ob- tenidos en esta parte del juego con los que consiguieron en la parte anterior? 0 ¿De qué manera ha contribuido el juego para practicar la representación de números en la recta numérica? Las fracciones y los números con decimales Lee nuevamente la información del problema de la herencia del señor Rodriguez y convierte en fracciones los números decimales. e E E 0 Comenta con el grupo y con el profesor la estrategia que seguiste. 0 Ubica las fracciones anteriores en la misma recta numérica donde representaste las fracciones de los otros herederos e incluye la correspondiente a Bertha. Después, compárala con la recta que hiciste utilizando números con decimales. v En esta representación, ¿encuentras las mismas respuestas dadas a las preguntas para el problema de la herencia que habias hallado antes? ¿Por qué? 0 ¿Hubo algunos a quienes les haya tocado la misma parte de la herencia? ¿Cómo lo sabes? 0 ¿A quién le tocó una parte mayor de la herencia? ¿A quién le correspondió menos? ¿Por qué? ¿Las fracciones pueden interpretarse como un cociente entre dos números enteros? En la actividad anterior empleaste esta idea para convenir las fracciones en números deci- males. ¿Pueden los números decimales convertirse en fracciones? Para hacer esta con- versión utilizamos las ventajas que nos ofrece el uso de un sistema numérico decimal. 0 Si entre dos fracciones dadas se encuentra siempre otra fracción, ¿se podria decir lo mismo de los números con decimales? ¿Por qué? 0 Escribe un ejemplo que demuestre tu respuesta, ya sea afirmativa o negativa. A lo largo de las actividades hemos aprendido que entre dos números fraccionarios y entre dos números con decimales siempre puedes escribir otro número fraccionario o con decimales. A esta propiedad se le conoce como densidad de los números deci- males y fraccionarios. 0 Escribe en el cuaderno la relación que existe entre las fracciones y los números con decimales. o Comparte tus ideas con tus compañeros y profesor.
  35. 35. ©SANT| L1ANA' Repitan el juego de la recta numérica. o Esta vez localicen cualquier número: entero, fracción o con decimales. Con- tará medio punto cuando se elija un entero, un punto cuando se escoja un número con decimales y dos cuando se trate de una fracción. v Al final, escriban la estrategia que siguieron para realizar esta parte del juego. Dibujen otra recta numérica y localicen en ella todos los números que utilizaron en los tres juegos. Escriban una explicación de por qué los números quedan en ese orden y compártanla con la clase. - ¿Cuál equipo logró obtener más puntos en las tres partes del juego suma- das? ¿Podrian haber continuado el juego con más turnos? ¿Cuántos? ¿Qué diferencias hay entre localizar enteros, fracciones y decimales? Expliquen sus respuestas. P” esuelve en el cuaderno. l. Localiza en una representación de la recta numérica los números 1.4, 0.53, 0.225 y 3.56. 2. Escribe el número que falta en estas expresiones y localiza los números en una representación de la recta numérica. . _: i: j. _: ¿Zé iïfi a) 4 0.75 m 0.25 , > 2 13.5 a) 18 e) 7 3. Escribe los números 3.116, 5.46, 35.68, 54.23 y 343.256 como fracciones. 4. Escribe un número decimal entre 1.0001 y 1.002 y otro entre 1.00011 y 1.00012. Presentación de nuestro trabajo Historias de vida Coloquen en el pirrón las rectas numéricas de todos los equipos, junto con las puntuaciones de cada uno de ellos. Los chinos, los egipcios y los babilonios usaron fracciones para hacer cálculos, en especial para solucionar problemas de reparto, de medida de terrenos en la construcción o en la agricultura. Los griegos, en cambio, usaban las fracciones para denotar relaciones entre cantidades en sus estudios de geometría, pero no las consideraban números con los que se pudiera operar. o Imagina que tienes que explicar a tu hermano que está en 5.“ grado de pri- maria cómo convertir fracciones en decimales, ¿cómo lo harias? ¿Qué dirias si tuvieras que explicarle cómo convertir decimales en fracciones? Escribe tu explicación. o Escribe, a partir del trabajo que has realizado, tres situaciones en las que con- viene expresar los números como fracciones y tres en las que es mejor utilizar números decimales. 6 Señalen cuáles equipos obtuvieron más puntos. o Comparen las estrategias que usaron todos los equi- pos. Comenten cuál les parece mejor. o Empleen las mejores reglas y apliquenlas para jugar algunas rondas más.
  36. 36. Bloque l ©SANTILLANA' ‘ Contenido ltemlticlón y planteamiento de problemas que impliquen más «le tina operacñn (le suma y ¡esta de fracciones. Impuntualidad en la fábrica El director de personal de una fábrica de textiles, está muy preocupado por la impun- tualidad de sus trabajadores, dicha fábrica está conformada por tres plantas (A, B, y C). En las tablas siguientes se muestra la fracción de los empleados que llega con retraso al mes en las tres plantas industriales. Reúnete con un compañero, analicen las tablas y respondan las preguntas que se encuentran a continuación. Planta A I I | I I I cojro i cojml I L1 2”3”2”¿"7 Life a 5 añfiñfiazïszsz 0 ¿En cuál planta hay más trabajadores con retraso en el mes de julio? 0 ¿En cuál planta hay menos trabajadores con retraso en el mes de enero? 0 Argumenten sus respuestas. ues .0. "o- En equipos, van a realizar tres encurastas. La primera será a 20 compañeros de su grupo; la segunda a 15 compañeros de otro grupo, y la tercera, a 10 conoci- dos sobre sus preferencias de comida, de deportes. o de otras actividades. Cada encuesta debe incluir seis preguntas sobre el tema que hayan elegido. Por ejem- plo, pueden preguntar a sus compañeros: ¿te gustan los chocolates? ¿Te gustan los chicles? , entre otras. Sus compañeros responderán sí o no a las preguntas. ° Deberán calcular las preferencias de sus compañeros y con esos datos escribir un reporte a manera de noticia para un periódico local. Durante la secuencia habrá información sobre los cálculos que deben realizar.
  37. 37. ©SANTILLANA' Recetas de cocina En las recetas de cocina con frecuencia aparecen las fracciones. Con un compañero discute las estrategias de solución y realicen las siguientes actividades. O Una receta para preparar pavo requiere á cucharita de pimienta entera, %de cu- charita de pimienta negra y % de cucharita de pimienta roja. ¿Cuanta pimienta en total necesita esta receta? . ¿Cuanta más pimienta negra que pimienta entera lleva la receta? Para hacer un pastel, Teresa necesita gde taza de harina blanca, É de taza de ha- rina integral y % de taza de harina de maiz. ¿Cuanta harina en total requiere Teresa? . ¿Cuanta más harina de maíz que harina blanca requiere el pastel de Teresa? La receta de mi abuelita para hacer helado de chocolate dice que se necesitan É de litro de chocolate negro, í de litro de chocolate amargo ¿ de litro de chocola- ' 3 te blanco. ¿Cuántos litros de chocolate lleva en total el helado? ¿Cuánto más chocolate negro lleva que chocolate blanco? El cereal que le gusta a mi papá contiene 8 á tazas de cacahuates, á de taza de nuez de la India, lgtazas de nuez de castilla yá 5 cantidad de semillas contiene el cereal? de taza de almendra. ¿Qué . ¿Cuántas tazas más de cacahuates contiene que de nuez? Para hacer un pay de frutas necesito comprar á de kg de manzanas, L de kg de 4 3 ás kg de fresas. ¿Cuanta fruta en total necesito comprar? . ¿Cuántos kilogramos de fresas necesitaría comprar para comple- pera, A de kg de uva y 1 tar tres kilos? . ¿Cuántos de pera necesitaria comprar si quisiera completar un kilogramo? Busquen la receta de algún platillo que les agrade y cuyos ingredientes estén ex- presados en fracciones. Redacten en el cuaderno un problema parecido a los que acaban de trabajar e intercámbienlo con otro equipo para que lo resuelva. Ó 3 i: ÏÜ U‘) Q) O
  38. 38. ‘HU Reúnete con tu equipo y escriban las preguntas de la encuesta. Recuerden que debe tener seis preguntas sobre distintas preferencias relacionadas entre sí. o Diseñen la forma que tendrá la encuesta que presentarán a los distintos grupos por entrevistar. o Diseñen, asimismo, una tabla que les permita poner junta la información de cada grupo de personas. La fracción de trabajadores con retraso Antes de iniciar con la aplicación de la encuesta, continuemos trabajando con las tablas de la primera página. Reúnanse en equipos para realizar las actividades. O Redacten en el cuaderno una breve explicación acerca de cómo comparar fraccio nes con distinto denominador. Para calcular la fracción de empleados con retraso que corresponde al primer trimestre del año en la planta A. Karen hizo la operación siguiente: L L L _ _3_ 25 * 25 * 25 ‘ 25 ¿Funciona el procedimiento que siguió Karen para el primer trimestre de las otras dos plantas? ¿Qué procedimiento seguirían en estos casos? Expliquenlo. Antes de realizar las operaciones, intenten calcular de manera estimada en que planta hubo más trabajadores que llegaron tarde durante el primer trimestre. Ahora, resuelvan las operaciones para comprobar sus cálculos; Planta C Planta B L L 41-: ] L L L1; 3*1o*15‘: j 1o*15*5o"| :| ¿Cuántos empleados de Ia planta C llegaron tarde a trabajar durante abril? Argumenten su respuesta. Si consideramos un trimestre en lugar de un mes, ¿que fracción del total de trabajadores E llegó tarde a cada una de las plantas entre enero y marzo? ‘Í; Él | :| l: ll: ll; l Ély IÍ. Y ¿entre abril y junio? |:] , I: ]y| :]. ¿Cómo obtu- vieron el resultado? ¿En cuál de las tres plantas hubo más retardos en el primer trimestre? Calculen en qué planta hubo más trabajadores que llegaron tarde entre abril y junio.
  39. 39. v ¿Cuál es la diferencia entre el trimestre con mayor número de retrasos y aquel en que hubo menor impuntualidad por parte de los empleados en la Planta MIÏ] . ¿Cómo obtuvieron el resultado? Respondan las siguientes preguntas. v ¿Cómo sumaron y restaron fracciones con el mismo denominador? v ¿Qué procedimiento siguieron para sumar y restar fracciones con distinto denomi- nador? v ¿Cómo se pueden utilizar las fracciones equivalentes al sumar y al restar fracciones? / ’ Resuelve estos problemas: l. Graciela salió de compras y gastó 14—5 de su dinero en útiles escolares y É en libros de lectura. ¿Qué parte de su dinero gastó? ¡Í Calcula la parte de dinero que le sobró. ‘Í 2. Sin hacer operaciones escritas. estima el resultado de las siguientes: 3 1 13 1 __ __ _____= L L- .11: 4+4o+3o 5 “35+35 2o Realiza las operaciones para comprobar el resultado de tu estimación. ¡op Durante la clase, intercambien las encuestas con sus compañeros para re- cabar las respuestas. Pueden responder las preguntas de los otros dos gru- pos de personas como tarea. Reunidos en equipo, respondan las siguientes preguntas: v ¿Cuántos de sus compañeros respondieron de manera afirmativa en cada uno de los rubros de su encuesta? ¿A qué fracción del total de sus compañe- ros corresponden esas respuestas afirmativas? v A partir del resultado anterior, ¿qué fracción de sus compañeros respondió negativamente a esas preguntas? v Respondan las mismas preguntas para los otros dos grupos de encuestados. g Is lLL
  40. 40. Espacio tecnológico © SANTILLANA’ En las siguientes li- gas encontrarás acti- vidades relacionadas con la suma y resta de fracciones. Haz los ejerciciosy practi- ca lo que aprendiste. www. telesecun- daria. dgme. sep. gob. mx/ interacti- vos/ l_primero/1_ Matematicas/ lm_ b02_t01_sO1_au- l a d e m e d i o s l presentacion. html Más actividades con fracciones Discute con dos compañeros la solución de las siguientes actividades. En cada caso, escriban las operaciones que permitan encontrar las respuestas. O Los obreros que trabajan en una carretera de 56% km llevan terminados en este L momento 22 5 km. ¿Cuántos km les faltan para terminar la obra? Luis trabajó con su tio para ganar algo de dinero; el lunes trabajó 8 ¡IY horas, el mar- tes trabajó 4 % horas, el miércoles trabajó 7 É horas, el jueves trabajó solo 3 horas y el viernes trabajó 5 % horas. Si por cada hora le pagaron S50, ¿cuánto dinero ganó en la semana? Su papá le pidió a Alfonsoque pintara Ia fachada de su casa durante el fin de semana. El viernes en la tarde pintó 1 á m, el sabado pintó 5% ¿Cuántos metros de la fachada pintó en total? m y el domingo pintó 2 á m. Javier preparó una mezcla con diferentes tipos de café. Utilizó l á kg de café ve- racruzano, 3T kg de café costarricense, 2 á kg de café colombiano y 1 % kg de café brasileño. ¿Qué cantidad de café obtuvo con la mezcla? Un ciclista se prepara para una carrera. Durante su entrenamiento de un dia rece rrió 35% km en la primera hora; en la segunda hora recorrió 28% km y para la tercera hora, 42% km. ¿Cuántos km recorrió en total? En el parque de mi barrio están haciendo un huerto. El jardinero sembró el primer dia % del área de semillas de tomate, el segundo dia sembró % del área de semi- Ilas de zanahoria. ese mismo día, los pájaros se comieron É parte de las semillas que había sembrado. ¿Cuántas semillas quedaron sembradas? ¿Cuánto le falta al jardinero para sembrar el área completa? Comparen sus respuestas con otros. En caso de que existan diferencias. validen sus resultados con el maestro.
  41. 41. ©SANTILLANA' Reúnete con tu equipo para calcular la diferencia entre las respuestas afirma- tivas de cada grupo de personas. v Calculen la fracción del total de personas encuestadas que respondieron de manera afirmativa a cada rubro de la encuesta. v Calculen la diferencia entre las fracciones de los distintos grupos que res- pondieron afirmativamente cada rubro de la encuesta. v Escriban un reporte describiendo estas preferencias como si fuera una noti- cia para el periódico local. Tareas * Resuelve: l. + + ll 2. + ll ello. » gjxr oojm mi“ cojo: ¿[iv Nim I>| i—- coja ¿s'h- ll : í _1__ E4.237+124 7 chlm . 5. El señor Sánchez está colocando cerámica en la cocina de la señora Alvarez. Usará É del total de piezas de cerámica azul, g del total de piezas de cerámica blanca y el resto de las piezas serán negras. ¿Qué parte del piso de la cocina quedará cubierta con cerámica negra? Presentación de nuestro trabajo Presenten su reporte al grupo a manera de noticia. v Discutan con el grupo y el maestro las estrategias que utilizaron para calcular las fracciones de cada grupo, el total de personas y las diferencias entre los grupos. v Proporciona tres ejemplos de situaciones en las que se debe calcular sumas de fracciones y tres en las que es necesario calcular restas de fracciones. v Escribe una explicación sobre la utilidad de las fracciones equivalentes para realizar operaciones de suma y resta de fracciones. v ¿Por qué son útiles las fracciones en el reporte que hiciste de tu encuesta? ¿Qué tan acertado fue el análisis que hicieron de los resultados? v ¿Con cuánta frecuencia aparecen encuestas en los periódicos? ¿Por qué es importante saber interpretarlas?
  42. 42. Bloque l i. ©SANTILLANA' patrón. En el caso de las sucesiones, un patrón es una regla que permite encontrar los térmi- nos de una suce- sión; es también una regularidad. Contenido tbnsliurzción de sucesiones (le mimeros o (le ligtiias a partir de una regla darla en lenguaje común. lormu- lación en lenguaje común de expresiones minerales que (lelirien las reglas de sucesiones con jirogrcsión aritmética u jgeoméliica, (le números y de figuras. Los diseños de Cecilia A Cecilia le gusta diseñar y hacer collares para regalar a sus amigas. Ella lo hace re- gularmente siguiendo un patrón. En esta ocasión, diseñó un collar con flores formadas por botones de colores. Hasta ahora tiene terminados los diseños que se muestran. Para continuar con su trabajo, necesita saber cuántos botones de cada color requiere para sus siguientes diseños. v ¿Cuántos botones amarillos y cuántos verdes utilizó Cecilia en el collar de una flor? ¿Y en el de dos flores? v ¿Cuántos botones necesitará si sigue el mismo patrón para los collares con tres y cuatro flores, respectivamente? ¿Cómo lo sabes? v Dibuja los collares para comprobar tu respuesta. Reúnete con un compañero para realizar la siguiente actividad. v Discutan que estrategias podrian seguir para generar un patrón. Utilicen una de las estrategias que diseñaron y generen un patrón utilizando figuras. v intercambien con otra pareja de compañeros su patrón y traten de adivinar la regla que sigue el patrón que generaron sus compañeros. v Escriban un párrafo en el que describan por qué es importante analizar patrones y encontrar las reglas que siguen. Al terminar de estudiar esta secuencia modifiquen el párrafo, si es necesario, para incluir lo que aprendieron. ‘i es En equipos de tres integrantes diseñarán el CSlñlllpELdCi (l: un: plajxrrrn, asignan- do colores a los cuadritos formando figuras o lineas. Repetirán su diseño para playeras de talla 1, 2, 3 hasta la 40, siguiendo una sucesión de figuras o lineas. v También ayudarán a un grupo de diseñadores a determinar el número de cuadritos que llevará cada playera de acuerdo con la talla. A la izquierda se muestra la playera de talla l. v Presentarán su diseño en una cartulina, que se colocará en la pared del salón de clases, en una exposición a la cual invitarán a compañeros de otros grupos. v Su dibujo debe incluir una fórmula que permita a los visitantes dibujar el patrón de la talla que deseen.
  43. 43. © SANTILLANA’ Sucesiones y patrones Antes de iniciar el diseño de su playera trabajemos nuevamente con los collares de Cecilia. Reúnete con dos compañeros para realizar las actividades siguientes. v Observen el collar de flores que se muestra a la derecha: v Si numeran cada uno de los collares que va elaborando Cecilia a medida que au- menta el número de botones, ¿qué número de collar es este? lo saben? v Si ella quiere hacer un collar con ocho flores, ¿cuántos botones de cada color nece- ¿Cómo sita? Argumenten su respuesta. v Si también quiere hacer un collar con 10 flores, ¿cuántos botones de cada color requerirá? ¿Y si quisiera hacer uno de 15 flores? v Si Cecilia utiliza 26 botones verdes para un collar, ¿cuántas flores tendrá? ¿Qué hi- cieron para calcularlo? Dibujen en el cuaderno tres collares que puede hacer Cecilia siguiendo el patrón. Debajo de cada dibujo, en tres renglones distintos, anoten el número de flores co- rrespondiente al collar, el número de botones amarillos y el número de botones verdes, en ese orden. v Expliquen la regularidad que encuentran en la forma en que cambian los núme- ros de los dos renglones inferiores de acuerdo con el número de flores del collar correspondiente. Hagan una tabla con cinco columnas; en la primera columna escriban el número de collar; en la segunda, el número de flores que llevará cada collar; en otra columna, el número de botones amarillos que se necesitan para cada uno; en la siguiente, el número de botones verdes y en la última, el total de botones que se utiliza en cada collar. Elaboren la tabla para cinco collares. v Encuentren, sin dibujar, el número de botones que se precisan para el collar con 12 flores. ¿Cuántos botones se requieren? v ¿Cómo podría saber Cecilia cuántos botones de cada color necesita para hacer cada collar, siguiendo el mismo patrón, independientemente del número de flores que lleve? v Escriban el procedimiento que siguieron para calcularlo: v ¿Sabes que es una sucesión numérica? ¿Qué caracteristicas tiene? Comparen su procedimiento con los de otros compañeros. Asi como en el caso de los collares de Cecilia, hay otras situaciones en las que se utilizan figuras o números para crear sucesiones siguiendo cierto patrón. Discutan en equipo para encontrar otros ejemplos en los que se puedan identificar sucesiones. sucesión. Conjunto ordenado de térmi- nos que siguen una ley, regularidad o patrón. Desarrollo
  44. 44. Agreguemos números a las sucesiones Trabajen en parejas las siguientes actividades: La sucesión numérica 3, 5, 7, 9.. . corresponde a la de figuras que Cecilia hizo con cerillos para un diseño muy especial de collares. La sucesión de números nos indica el número de cerillos que usó en cada figura y los puntos suspensivos señalan que la sucesión continúa indefinidamente, es decir, que después del 9 vienen otros números que siguen el mismo patrón. v ¿Puedes encontrar el número que debe seguir al 9?, ¿y el número siguiente al ante- rior? ¿Qué hiciste para determinados? ( c _¡ f‘ . _¡ r‘ J .2 k. C p s. c k, 2 k v- 4 — - - 1 2 3 4 Uiiniini. u. «anilla- 3 5 7 9 v ¿Qué figura geométrica identiflcas que se repite en cada diseño? v ¿Cuántos cerillos se necesitan para la figura 5? A cada uno de los elementos que forman una sucesión se les conoce como términos. En el ejemplo anterior, ¿cuál es el primer término? . Compara tu respuesta con tu compañero. En caso de existir diferencias pidan apoyo al profesor. v AI analizar la tabla de arriba, concluimos que se forman dos sucesiones. La primera formada por los números que identifican cada figura, que es la sucesión . La segunda se forma con los datos correspondientes al número de cerillos de cada figura. Esta es . Completen en su cuaderno estas sucesiones hasta la figura número 10. v ¿Cuál es el término que corresponde a la figura 15? ¿Qué hicieron para encontrarlo? v Ahora, dibujen las dos figuras que siguen en esta sucesión: _ C : _l: l: lili v Hagan en el cuaderno una tabla con tres columnas. Determinen los datos que debe incluir cada columna. Una sugerencia es escribir en la primera el número que le corresponde a la figura en la sucesión, en la segunda el número de rectángulos de cada figura y en la tercera el número de cuadrados. ¿Cuántos rectángulos y cuadrados tendrá la décima figura? ¿Habrá alguna manera de saber cuántos rectángulos y cuadrados tendrá cualquier figura de la sucesión? Coméntalo con tus compañeros y tu profesor. ‘-' Comparen y discutan con sus compañeros las estrategias que siguieron. i y 1. Dibujen en el cuaderno las siguientes tres figuras de cada sucesión. Elaboren una tabla como la anterior para cada caso, de tal manera que puedan responder: ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura lO en cada caso? ñ“ l L; Li: 51*. f; il l, l 3 i
  45. 45. g Is iLL , l l ini; i it; Reúnete con tu equipo para trabajar en el diseño de las playeras. v Las playeras que se muestran, corresponden a un mismo diseño, en tallas 1 y 2; comparando una con otra, notarán que el tamaño de los cuadritos de las figuras se mantiene pero aumenta su número y la talla de la playera. v Formen una sucesión para las primeras cuatro tallas y escrfbanla. Ahora, trabajen en el diseño de las otras playeras. ¿Cuántas líneas o figuras usa- rán en la talla 1? ¿Y en la 2? v Hagan una tabla como la de la página anterior y expliquen por escrito cómo se pueden encontrar los distintos términos de la sucesión. sucesiones de números Al igual que con las figuras, en sucesiones numéricas como la que se muestra en la siguiente tabla, ¿qué es lo que debes buscar en los términos que se conocen para encontrar los terminos que siguen? , Este tipo de tabla puede ayudarte a hallar dicho patrón. Analiza la tabla y contesta en el cuaderno. 0 O uclillrn 1, 3 5 7 9 ¿Cómo puedes encontrar los siguientes términos de la sucesión? ¿Qué característica comparten los terminos de la sucesión? ¿Qué relación guarda cada término de la sucesión con el lugar que ocupa? Comén- talo con tus compañeros y describan la regularidad que encuentran. Calcula el doble de cada número de término de la sucesión y al resultado réstale uno. ¿Qué observas? ¿coincide con la regularidad que detectaron? ¿Funcionará para cualquier término de la sucesión? ¿Por qué? ¿Cuál es el termino que ocupa el lugar número 100? Ahora, observa los términos de esta sucesión: 4, 8, 12, 16, 20.. . y elabora en el cua- derno una tabla como la anterior para los primeros 10 términos. O ¿Por qué número debes multiplicar el número de lugar de cada término para ob- tener el término correspondiente? ¿Podrias usar esta operación para determinar cualquier término? ¿Por qué? ¿Qué término corresponde al lugar número 100? AI trabajar con sucesiones que siguen un patrón. al encontrar la riagularidad o regla que las rige, podemos determinar cualquier término o figura de la sucesión. O ¿Qué tiene que hacer Cecilia para encontrar el número de botones que debe colocar en cada collar una vez que decida el número de flores que llevará? Revisa todas las sucesiones de las figuras con las que hemos trabajado; encuentra y escribe en el cuaderno la regla que rige a cada una de ellas. Determina el número de elementos para las figuras 15, 30 y 40 de cada una.
  46. 46. Historias Expresiones matemáticas de vida Observa nuevamente la sucesión 1, 3, 5, 7.. . de la página an- terior. Discute con tus compañeros para hallar dos formas de La sucesión l, 1, 2, 3, 5, 8.. ., llamada de explicar cómo encontrar cada uno de sus términos. Fibonacci, recibe el nombre del matemáti- Con esas ideas escriban en el cuaderno una explicación de co italiano que la creó y descubrió muchos cómo encontrar cualquier término de la sucesión. fenómenos naturales ligados a ella. Por ejemplo, el número de pétalos de distintas v ¿Pueden encontrar una regularidad en la sucesión 3, 7, 11, flores siguen esta sucesión y también los 15.. .? Justifiquen su respuesta. Si tuvieran que encontrar el machos de una colmena tienen un árbol término que corresponde al lugar número 1000, ¿qué harian? genealógico que cumple con esa sucesión. . 7 Existen muchos más casos en la Naturale- ‘Y para los ¡Ugares 230 y 5000" za en los que puedes encontrar este patrón. v En el caso de la sucesión 1, 3, 5, 7.. . ¿qué regularidad en- ° ¡"Ve-Sïlga U" C350 e" el que Se cumpla cuentran? Describan cómo utilizar esta regularidad para en- con dicha sucesión. Comparte lo que encontraste con tu grupo y cuando to- dos hayan presentado su caso, escribe en el cuaderno una conclusión. contrar cualquier término de la sucesión. v Escriban el procedimiento para encontrar el término que ocu- pa el lugar 50. v Para Ia sucesión 4, 8, 12, 16.. .. ¿que regularidad encuentran? Describan cómo utilizar esta regularidad para encontrar cualquier término de la sucesión. v Utilicen la explicación que dieron para encontrar los términos de los lugares 125 y 230, Anótenlos. Tareas Resuelve en tu cuaderno: l. Completa la sucesión 2, 5, 8, 11.. . hasta que tenga diez términos y explica cómo podrías encontrar cualquier término de la sucesión. 2. Laura analizó una sucesión y encontró que “para encontrar cualquier tér- mino de la sucesión se debe multiplicar el lugar que ocupa el término en la sucesión por 3 y quitarle 1". Pedro describió otra sucesión así: "si multiplicas el lugar que ocupa el término de la sucesión por 2 y luego le sumas 5 puedes encontrar cualquier término de la sucesión". Halla los diez primeros térmi- nos de las sucesiones que Laura y Pedro analizaron. 3. Escribe la regla que describe a la sucesión 8, 14, 20, 26, 32.. . y encuentra los términos correspondientes a los lugares 12 y 15. Reúnete con tu equipo para trabajar en las playeras. ¿Cuál es el número de cuadritos para las playeras de talla 25? ¿Qué dificultades han enfrentado al trabajar en el patrón que diseñaron? Fijen una regla para conocer el número de cuadritos para cualquier talla. Decidan la talla de playera que usarán en los dibujos en cartulina que se ex- hibirán en la exposición. Escriban en la cartulina una forma en que se puede encontrar el número de cuadritos de cada color para cualquier talla. á i 0000
  47. 47. ©SANTILLANA' Todas las sucesiones Reúnete con un compañero para revisar las sucesiones de figuras, incluidas las que hicieron en la sección Tareas. Trabajen en el cuaderno. v Expliquen la manera de crear cualquier collar con el diseño de cerillos que Cecilia quiera hacer. v Expliquen la manera de crear las otras sucesiones de figuras con las que trabajaron durante las actividades. v ¿Qué tienen que hacer para construir cada figura de una sucesión? ¿Cuántos ele- mentos tendria la figura número 25 en cada uno de los casos presentados? v inventen una sucesión numérica y escriban cuatro términos. Expliquen a otro equipo qué debe hacer para hallar los números que siguen y pidanle que anote tres más. Háganlo en el cuaderno. v Construyan una sucesión en la cual para generar un término se le sume el nú- mero 6 al término anterior; encuentren sus primeros diez términos. Anótenla en el cuaderno. v Construyan una sucesión en la cual para generar un término se multiplique por 3 el término anterior, y se le sume 5. Encuentren sus primeros diez términos. And tenia en el cuaderno. v Expliquen qué regularidad encuentran en cada una de las sucesiones anteriores. Para cada una de las sucesiones con las que has trabajado en la lección, encontraste una manera de irlas generando, una regularidad o regla general. Utilizándola, puedes encontrar cualquier termino de dicha sucesión. Presentación de nuestro trabajo Presenten sus diseños al grupo y exhíbanlos en las paredes del salón de clases. v Revisen la manera en que realizaron las playeras de los diseñadores. Todas deben coincidir y en caso de que haya diferencia, revisen para detectar errores. v Después, cada equipo revisará el diseño de otro equipo y encontrará la regularidad necesaria para diseñar las tallas 5 y 10 de sus compañeros. LL v ¿Oompartiste con otros equipos tu opinión sobre la manera en la que descri- bieron y formaron la sucesión correspondiente a su diseño? v Escribe una explicación para un compañero, sobre la importancia de la regu- laridad y los patrones para entender y generar las sucesiones. v ¿Cómo puedes determinar la regla que rige a una sucesión? ¿Por qué es valio- so contar con una fórmula o una manera regular de generar los términos de una sucesión? v Describe la regularidad y la manera en que se generaría una sucesión cuyos términos aumentan paulatinamente, y otra en la que aumentan de manera abrupta.
  48. 48. ,, _ o: z i: r 2 ï Contenido l xplicación del signilirtatio (le fórmulas geométricas, al ixinsirlrarar a las literales como números generalcs con los que es posible (xx-trar. El campo de golf Un golfito es una pequeña representación de un campo de golf. Jaime diseñó un hoyo para un golfito como el que se muestra. Un hoyo en el golf es un area cubierta de césped desde donde se golpea con un palo especial una pelota para introducirla en un agujero. Ahora debe calcular la cantidad de alfombra que necesita para cubrir el piso del hoyo y la de madera que se requiere para hacer el borde. v ¿En cuántas figuras descompondrias el hoyo para calcular el material necesario? v ¿Qué fórmula utilizarías para ese cálculo? Justifica tu respuesta. v ¿Cómo calcularfas la cantidad de madera que se requiere? En muchas actividades cotidianas puedes encontrar objetos que están formados me- diante la unión de formas geométricas que conoces. v Reúnete con dos compañeros para hacer una lista de cinco objetos que se puedan formar, como los hoyos del golfito, con este tipo de figuras. v Discutan cómo encontrarían el perímetro, el área o el volumen de este tipo de flgu- ras. Al terminar, coméntenlo en grupo y con el profesor. En parejas, diseñarán un ltoyti ¡Jara un campo (h; gi illilu. v Además del diseño, deben calcular la cantidad de alfombra y de madera que se requiere para el hoyo. v Al final, reunirán todos los diseños para completar un campo de golf. Durante las actividades encontrarán ideas para hacerlo. Las piezas del golfito Antes de empezar a trabajar en el diseño de su campo de golf. en parejas realicen las actividades siguientes. Desarroi lu © SANTILLANA" En la escuela primaria trabajaste en la descomposición de figuras compuestas en figuras conocidas para calcular su área. En estas figuras se muestran las piezas que utilizó Jaime para diseñar el hoyo del golfito.
  49. 49. g Is iLL v Describan una manera de encontrar el perímetro del rectángulo. v ¿Cómo lo calculan si utilizan una fórmula? Si el rectángulo que empleó Jaime mide m de base y nde altura, ¿que fórmula aplica- rian para calcular el perímetro? ¿Y para el área? v ¿Si cambian las letras varia la fórmula? ¿Por qué? v ¿Qué otras figuras utilizó Jaime? v Describan la manera en que calcularían el área y el perímetro de cada una. ¿Describieron diferentes procedimientos en cada figura? ¿Por qué? ¿Utilizarian distintas fórmulas para el cálculo de su área? Argumenten la res- puesta. v Asignen una literal a cada una de las longitudes que necesitan medir y escriban en el cuaderno una fórmula para calcular el área y el perímetro de cada figura. Cuando quieres calcular el área o el perímetro de una figura geométrica determinada utilizas una expresión general, llamada fórmula, la cual funciona para todas las figu- ras semejantes inciependientemente de sus medidas. Si quieres calcular el área de un cuadrado escribes la fórmula A / >< / . ¿Qué significado tiene la letra l en la fórmula? . ¿Es importante cuánto mide el lado en la fórmula? . ¿Por que? . A las letras que titilizamos en expresiones algebraicas se les llama literales y pueden inter- pretarse como números generales con los que es posible hacer operaciones. Una característica importante es que se usa la misma literal para representar magni- tudes iguales y letras distintas cuando estas son diferentes. Por ejemplo, para el área del rectángulo la fórmula A I X lserfa confusa porque no podrías saber cuál es el largo y cuál el ancho. v Calculen la cantidad de alfombra y madera que necesita Jaime para su hoyo del golfito. Tomen en cuenta que cada centímetro del dibujo representa 2 metros de la realidad. v Escriban una fórmula para calcular el área y el perímetro del hoyo completo. l El l ‘mii Í L‘; ¡o Reúnete con tu compañero y diseñen el hoyo para el golfito. v ¿De qué figuras se compone? v Escriban fórmulas para calcular el área y el perímetro del hoyo que diseñaron. Especifiquen qué representan las literales que usaron. Expliquen, además, el significado de cada una de las fórmulas. v Empleen las fórmulas para determinar el área y el perímetro del hoyo. v ¿Cuanta alfombra se requerirá para hacerlo? ¿Y cuánta madera? v ¿Qué dificultades han enfrentado en el diseño del hoyo para el golfito? Sii. ¿a 3: l expresiones gene- rales. Son expre- siones algebraicas en las que se utilizan letras para escribir un patrón o una fórmula que permita calcular una cierta cantidad, como el perímetro o el área, indepen- dientemente del valor especifico de sus dimensiones. literal. Es una letra que aparece en una expresión algebraica.

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