1. Distribución de Probabilidad
Variables discretas
Álvaro José Flórez
1Escuela de Estadística
Facultad de Ingeniería
Febrero - Junio 2014

2. Introducción
La teoría estadística estudia fenómenos cuyos comportamientos no
pueden ser predeterminados (experimentos aleatorios).
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio se denomina espacio muestral.
En un experimento aleatorio frecuentemente hay más interés por
ciertos valores numéricos que se pueden deducir de los resultados del
experimento que por el espacio muestral. Por ejemplo: Al lanzar dos
dados se puede estar interesado en la suma de los resultados.

3. Variable Aleatoria
Dado un experimento aleatorio con el espacio muestral S, una varible
aleatoria X es una función denida sobre S que asigna a cada
elemento de S un número real.
Ejemplo:
• Suma del resultado del lanzamiento de dos dados,
X : {2, 3, . . . , 11, 12}.
• Tasa de desempleo en el siguiente mes, X = [0, 1]

4. Variable Aleatoria
Una forma de clasicar a las variables aleatorias es según los valores
que toman y se tienen dos tipos:
Variables aleatorias discretas. son aquellas que toman valores en
un conjunto nito o innito enumerable, por lo general los número
naturales.
Variables aleatorias continuas. son aquellas que toman valores en
un intervalo, entendiendo que el conjunto de los número reales es un
intervalo de forma (−∞, ∞).

5. Distribución de probabilidad
Dada una variable aleatoria X, estamos interesados en calcular
probabilidades acerca de los valores que toma. Puesto que cada suceso
tiene una determinada probabilidad de ocurrencia, se puede puede trasladar
dicha probabilidad al valor correspondiente de X.
X es la suma del resultado del lanzamiento de dos dados
P(X = 2) = {(1, 1)} = 1
36
P(X = 3) = {(1, 2), (2, 1)} = 2
36
P(X = 4) = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = 3
36
...
P(X = 11) = {(6, 5), (5, 6)} = 2
36
P(X = 12) = {(6, 6)} = 1
36

6. Distribución de probabilidad
Dada una variable aleatoria X, estamos interesados en calcular
probabilidades acerca de los valores que toma. Puesto que cada suceso
tiene una determinada probabilidad de ocurrencia, se puede puede trasladar
dicha probabilidad al valor correspondiente de X.
X es la suma del resultado del lanzamiento de dos dados
P(X = 2) = {(1, 1)} = 1
36
P(X = 3) = {(1, 2), (2, 1)} = 2
36
P(X = 4) = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = 3
36
...
P(X = 11) = {(6, 5), (5, 6)} = 2
36
P(X = 12) = {(6, 6)} = 1
36
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es la
descripción de las probabilidades asociadas a cada valor posible de X.

7. Distribución de probabilidad
Si una v.a toma valores x1, x2, . . . , xn la regla que asocia a cada
uno de ellos las probabilidades p1, p2, . . . , pn respectivamente, se
denomina función de probabilidad.
X : Suma del resultado del lanzamiento de dos dados.
P(X = x) =
6−|7−x|
36 si x = 2, 3, . . . , 12
0 en otro caso
2 4 6 8 10 12
0.040.060.080.100.120.140.16
Suma del resultado de dos dados
Probabilidad
3 5 7 9 11

8. Distribución de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta (x1, x2, . . . , xn). Se llamará a p(x) ≡
P(X = x) función de probabilidad de la variable aleatoria X, si satisface
las siguientes propiedades:
• p(x) ≥ 0 para todos los valores x de X.
• n
i=1 p(xi) = 1

9. Distribución de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta (x1, x2, . . . , xn). Se llamará a p(x) ≡
P(X = x) función de probabilidad de la variable aleatoria X, si satisface
las siguientes propiedades:
• p(x) ≥ 0 para todos los valores x de X.
• n
i=1 p(xi) = 1
La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la
probabilidad de que X sea menor o igual a un valor especíco de x y está
dada por:
F(x) ≡ P(X ≤ x) =
xi≤x
p(xi)
Se cumple que:
• 0 ≤ F(x) ≤ para cualquier x
• F(xi) ≥ F(xj), si xi ≥ xj
• P(X x) = 1 − F(x)

10. Ejemplos
En un proceso de inspección de elementos fabricados por una
máquina se observan 3 elementos para determinar si se puede
clasicar como correcto o defectuoso. Suponiendo que la probabilidad
de que el elemento sea defectuoso es de 0.05. Sea la variable aleatoria
X el número de piezas que están defectuosas. Determine la función
de probabilidad de X

11. Ejemplos
Suponga que se tiene tres oportunidades para lanzar una moneda
hasta que aparezca una cara. El juego termina en el momento en el
que cae una cara o después de los tres intentos. Si en el primero,
segundo o tercer lanzamiento aparece cara, el jugador recibe $500,
$1000, $2000. Si no cae cara en ninguno de los lanzamientos el
jugador pierde $5000.
Determine la distribución de probabilidad para la ganancia de un
juego.

12. Ejemplos
Suponga que se tiene tres oportunidades para lanzar una moneda
hasta que aparezca una cara. El juego termina en el momento en el
que cae una cara o después de los tres intentos. Si en el primero,
segundo o tercer lanzamiento aparece cara, el jugador recibe $500,
$1000, $2000. Si no cae cara en ninguno de los lanzamientos el
jugador pierde $5000.
Determine la distribución de probabilidad para la ganancia de un
juego.
¾Estaría usted dispuesto a jugar?

13. Ejemplo
Simulación de 100 juegos (100 lanzamientos, cuota $5.000
0 20 40 60 80 100
−40−2002040
partidas
Gananciaenmiles
J. Perdidos 24
J. Ganados 76
¾Como puedo hacer para que el juego sea justo para ambas partes?

14. Valor esperado
La esperanza (Valor esperado) de una variable aleatoria tiene sus
orígenes en los juegos de azar. En este sentido, el valor esperado
representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está
dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas.
Este valor, que representa centralidad, al igual que la varianza, que
describe dispersión, sirven de medidas que resumen una distribución
de probabilidad
La media o valor esperado de una variable discreta X, se denota
como µ o E(X), es:
E(X) =
n
i=1
xip(xi)

15. Ejemplo
Simulación de 100 juegos (100 lanzamientos, cuota $6.000)
0 20 40 60 80 100
−60−40−2002040
partidas
Gananciaenmiles
J. Perdidos 46
J. Ganados 54
Para que un juego sea justo es necesario que E(X) = 0

16. Varianza
La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión
de la distribución de probabilidad de esta.
La varianza de X, se denota como σ2 o V ar(X), es:
V ar(X) =
n
i=1
(xi − E(X))2
p(xi)
Representa la distancia cuadrática promedio a la media. La raíz
cuadrada de la varianza recibe el nombre de desviación estándar.

17. Propiedades
Para cualquier constante a y b se cumple que:
Para la media
• E(aX) = aE(X)
• E(X + b) = E(X) + b
• E(aX + b) = aE(X) + b
Para la varianza
• V ar(aX) = a2V ar(X)
• V ar(X + b) = V ar(X)
• V ar(aX + b) = a2V ar(X)

18. Ejemplo
Una compañía proveedora de productos químicos tiene en existencia
100 libras de un producto que vende a los clientes en lotes de 5 libras.
Sea X = número de lotes que pide un cliente seleccionado al azar y
suponga que X tiene la siguiente función de probabilidad:
X 1 2 3 4
p(X) 0.2 0.4 0.3 0.1
1 Calcule E(X) y V (X)
2 Calcule el número esperado, y la varianza, de libras sobrantes
después que se envía el pedido al cliente.

19. Modelos probabilísticos
Los modelos probabilísticos son usados para modelar el comportamiento de
la población. Por lo general se tienen en cuenta familias de distribuciones
en lugar de distribuciones particulares. Estas familias están totalmente
denidas por uno o más parámetros, que varían ciertas características de
la distribución.
Estos modelos son de gran utilidad para diversos problemas prácticos. La
elección de un modelo para representar un fenómeno de interés debe ser
motivada tanto por la comprensión de la naturaleza del fenómeno, como
por la vericación de la distribución seleccionada a través de la evidencia
empírica.
En el caso discreto algunas de estas distribuciones son: Binomial, Poisson,
Hipergeométrica.

20. Distribuciones de probabilidad
Proceso Bernoulli
Un experimento Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:
• El experimento consiste en n intentos repetidos.
• Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasicarse
como un éxito o como un fracaso.
• La probabilidad de éxito (p), permanece constante para todos
los intentos.
• Los experimentos son independientes. Saber el resultado de
una observación no te indica nada sobre las restantes
observaciones

21. Distribución Binomial
Denición:
Un experimento Bernoulli puede resultar en un éxito con una
probabilidad p y un fracaso con una probabilidad 1 − p. Entonces
la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X,
que determina el número de éxitos en n ensayos independientes, es:
p(x) =
n
x
px
(1 − p)n−x
x = 0, 1, . . . , n
Donde 0 ≤ p ≤ 1.
E(X) = np V (X) = np(1 − p)

22. Distribución Binomial
Fig: Representación gráca
0 2 4 6 8 10
0.00.10.20.30.4
Binomial(N=10,p=0.1)
Número de éxitos
Y
0 2 4 6 8 10
0.000.050.100.150.200.25
Binomial(N=10,p=0.3)
Número de éxitos
Y
0 2 4 6 8 10
0.000.050.100.150.200.25
Binomial(N=10,p=0.5)
Número de éxitos
Y
0 2 4 6 8 10
0.000.050.100.150.200.250.30
Binomial(N=10,p=0.8)
Número de éxitos
Y

23. Ejemplos
Un examen de estadística consta de 5 preguntas cada una de ellas con
cuatro respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno responde
al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las preguntas). ¾Cuál es la
probabilidad de que resuelva bien a 3 o más preguntas?

24. Ejemplos
Un examen de estadística consta de 5 preguntas cada una de ellas con
cuatro respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno responde
al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las preguntas). ¾Cuál es la
probabilidad de que resuelva bien a 3 o más preguntas?
Un catador de vinos arma que el 90 % de las veces puede distinguir entre
un vino no y uno corriente con sólo degustar un sorbo. Para comprobar
su armación, se le aplicará una pequeña prueba: degustar 9 muestras de
vino y decidir en cada caso si se trata de vino no o corriente. El criterio
para aceptar su armación es que si acierta por lo menos en 6 muestras se
aceptará su armación, y en caso contrario se rechazará como falsa.
Determine la probabilidad de si el sujeto no conoce nada de vinos y sólo
está adivinando, logre pasar esa prueba.
Calcule la probabilidad de aun suponiendo que es cierto lo que arma (que
es capaz de acertar el 90 % de las veces), no logre pasar la prueba.

25. Distribución Hipergeométrica
Sea N el número total de objetos en una población nita, de manera tal
que k de éstos es de un tipo y N −k de otros. Si se selecciona una muestra
aleatoria de la población constituida por n objetos de la probabilidad de
que x sea de un tipo exactamente y n − x sea del otro, está dada por la
función de probabilidad hipergeométrica:
p(x) =
k
x
N − k
n − x
N
n
, x = m´ax(0, n + k − N), . . . , m´ın(k, n);
x ≤ k, n − x ≤ N − k, N, n, k enteros positivos. El valor esperado y la
varianza quedan denidos como:
E(X) =
nk
N
V (X) = np(1 − p)
N − n
N − 1

26. Ejemplo
La policía sospecha que en un camión cargado con 40 bultos de arroz
se han camuado paquetes de cocaína. Para conrmar su sospecha,
la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, de
los 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tienen camuadas
cocaína, ¾Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los
bultos de la muestra contenga cocaína?

27. Ejemplo
La policía sospecha que en un camión cargado con 40 bultos de arroz
se han camuado paquetes de cocaína. Para conrmar su sospecha,
la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, de
los 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tienen camuadas
cocaína, ¾Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los
bultos de la muestra contenga cocaína?
Cinco individuos de una población animal se cree está cerca de la
extinción en cierta región, fueron capturados, marcados y liberados
para mezclarse con la población. Después que tuvieron la oportunidad
de mezclarse, se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estos
animales. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región,
¾Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 2 animales
marcados?

28. Distribución Poisson
Distribución muy útil en la que la variable aleatoria representa el
número de eventos independientes que ocurren a una velocidad
constante en el tiempo o espacio. Algunos ejemplos comunes son:
• Número de fallas que presenta una máquina por día
• Número de defectos por metro de cable.
• Cantidad de fracturas por km
2 en la supercie de una caldera.
• Número de hormigas de una cierta especie por m
3 de tierra.

29. Proceso Poisson
Algunas condiciones que se deben cumplir en un proceso poisson son:
• El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo
o región especíco es independiente del número que ocurre en
cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio
disjunto.
• La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un
intervalo de tiempo muy corto o una región pequeña es
proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño
de la región.

30. Distribución Poisson
Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos
aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre
el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria X
tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad:
p(X) =
λx
x!
e−λ
, x = 0, 1, 2, . . .
Para λ 0. La media y la varianza son:
E(X) = λ V (X) = λ

31. Distribución Poisson
Fig: Representación gráca
0 5 10 15 20
0.00.10.20.3
Poisson(λ=1)
Número de eventos por intervalo
Y
0 5 10 15 20
0.000.050.100.150.20
Poisson(λ=3)
Número de eventos por intervalo
Y
0 5 10 15 20
0.000.050.100.15
Poisson(λ=5)
Número de eventos por intervalo
Y
0 5 10 15 20
0.000.020.040.060.080.100.12
Poisson(λ=10)
Número de eventos por intervalo
Y

32. Ejemplo
El número de grietas en un tramo de una autopista que son lo
sucientemente importantes como para requerir reparación sigue una
distribución Poisson con una media de 1.2 grietas por kilometro ¾Cuál
es la probabilidad de que se requiera reparar máximo 2 grietas en un
tramo de 1 kilometro?
¾Cuál es la probabilidad de que en trayecto de 5 kilómetros no se
encuentre ninguna grieta?
Se puede emplear un proceso Poisson para representar la ocurrencia
de cargas estructurales con el tiempo. Suponga que el tiempo
promedio entre ocurrencias de cargas es medio año.
¾Cuántas cargas se espera que ocurran durante dos años?
¾Cuál es la probabilidad de que ocurran más de cinco cargas durante
dos años?

33. Otras distribuciones de probabilidad
Algunas otras distribuciones de probabilidad discretas son:
• Uniforme.
• Geométrica
• Binomial Negativa.
• Multinomial

34. Bibliografía
Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y
métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.
Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.
Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística
aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.