1. 1) Suma de Riemann
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los
métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos
finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen
la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del
punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los
subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve
para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método
es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas
toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro
de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El
problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un
margen de error muy grande.
Consideremos lo siguiente:
una función
donde D es un subconjunto de los números reales
I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

2. Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre
I con la partición P se define como
donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la
izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada
suma trapezoidal.
De esta manera se define la integral definida:
, de la partición:
P = {[a, x1), [x1, x2), ... [xn-1, b]}
Tales que: a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
2) Propiedades de la integral definida.
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que
ayudaran a evaluarlas con más facilidad.
1. donde c es una constante.
2. Si y son integrables en y es una constante, entonces las siguientes
propiedades son verdaderas:

3. (Se puede generalizar para más de dos funciones).
3. Si está definida para entonces
4. Si es integrable en entonces
5. Propiedad de Aditividad del intervalo:
Si es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por y entonces
Demostración de las propiedades enunciadas.
Conservación de desigualdades.

4. Si es integrable y no negativa en el intervalo cerrado entonces
Demostración: Si entonces representa el área bajo la curva de
de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área.
(También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son
positivas).
Si y son integrables en el intervalo cerrado con f para todo
en entonces
Demostración: Si podemos asegurar que y le podemos
aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aquí
y de esta manera .
Supongamos que y son constantes tales que para . Se
dice que está acotada arriba por y acotada abajo por , la gráfica que entre la recta
y la recta . Podemos enunciar el siguiente teorema:
Si es integrable y para entonces:
.
Si es continua y y son los valores mínimos y máximos de la misma
en el intervalo gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la
gráfica de es mayor que el área del rectángulo con altura y menor que la del
rectángulo con altura .
En general dado que podemos asegurar, por la propiedad anterior
que:

5. Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta
.
3) Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades.
Ejemplos:
a)
b)

6. Luego:
Por el Teorema
Entonces:
Por tanto:
4) Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y
superior:
Mediante suma inferior:
a.

7. La función es creciente en para los rectángulos
inscritos tomamos:
Como:

8. Suma superior:
1. La función es creciente en .

9. Por tanto para los rectángulos circunscritos tomamos:
Luego

10. Por lo que
5) Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de
sustitución y cambios de variables.
Calcule las siguientes integrales definidas:
a.

11. Cambio de variable
b.

13. 6) Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.
Teorema de Valor Medio para Integrales
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces existe en
´este un punto α tal que se
verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: considere
mos una fusión f tal que f(x) ≥
0, para todos los valores de x en el intervalo [a, b].
Entonces
es el ´área de la región limitada por la curva con ecuación
, el eje x y
las rectas con ecuaciones x = a, x = b
Debido a la propiedad que establece que existe numero α en [ a,b] tal
que el área del rectángulo a Q
S b, cuya altura es f(α) y que tiene ancho de (b − a) unidades, es
igual al ´área de la región a P
R b. El valor de α no es necesariamente único

14. NOTA
Profesor El orden de la investigación no es la misma del orden que usted
envío.
Gracias.!