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La desigualdad es cierta.División con negativos:4 < 124 < 12 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2-2 -2-2 < -6...
Resolver la inecuación.Ejemplo 1:x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuaciónx < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.Enco...
Ejemplo 5:3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.3x + -2x 1 + 4 Resolver.x 5Ejemplo 6:4x + 9 6x - 94x + 9 6x +...
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3. 2x + 3 7x + 1; 22(2) + 3 7(2) + 14 + 3 14 + 17 15 Esto no hace cierta la ecuación.4. 3x - 2 x + 7 ; 13(1) - 2 1 + 73-2 ...
1 x + -9 > 2 x + 6331x + - 2 > 9 + 633-1 x > 153(3) -1 x > 15(3)3-x > 45 (divide por -1 en ambos lados y se invierte el si...
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Desigualdades

  1. 1. Desigualdades por: Dra. Luz M. RiveraUna igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Porejemplo:6 + 4 = 10x + 6 = 10Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llamaecuación. Por ejemplo:x + 6 = 10
  2. 2. Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo dedesigualdad. Los signos de desigualdad son: - no es igual< - menor que> - mayor que - menor o igual que - mayor o igual queUna desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:x+3<7(La punta del signo < siempre señala el menor)Ej. 3 < 4, 4 > 3¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observarpropiedades de las desigualdades. Por ejemplo:1<61+5<6+5¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de unadesigualdad y sigue cierta.Otro ejemplo:2<62 + -9 < 6 + -9Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en amboslados un número negativo.Otro ejemplo con resta:7>47-3>4-3La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
  3. 3. Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en amboslados de la desigualdad:2<82 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto.2+3<8+35 < 11La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos ladosMultiplicación con números positivos:3<73·6<7·6La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en amboslados.Multiplicación con números negativos:4>14 · -2 > 1 · -2-8 > -2 falsoNota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en amboslados de una desigualdad, el signo se invierte:-8 < - 2Ahora, la desigualdad es cierta.División con positivos:3<93 < 9 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3331<3
  4. 4. La desigualdad es cierta.División con negativos:4 < 124 < 12 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2-2 -2-2 < -6 falsoLa desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.-2 > -6Ahora la desigualdad es cierta.En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide unadesigualdad por un número negativo.Ejemplos:Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado essolución.Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]5 + 3<6 [ Simplificar]8<6¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 1111 - 3 88 8¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta lainecuación y podemos concluir que x=11 es una solución.Ejemplos:
  5. 5. Resolver la inecuación.Ejemplo 1:x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuaciónx < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.Encontrar los valores de x.x<3Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7,1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de estainecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de estainecuación es un conjunto infinito.Ejemplo 2:x-9 8x 9+8x 17x es mayor o igual a 17 es la solución.Ejemplo 3:3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,3x < 12 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación33x<4Entonces, x es menor que 4 es la solución.Ejemplo 4:-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se-2x -6 divide ambos lados de la inecuación por -2.-2 -2x 3Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.
  6. 6. Ejemplo 5:3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.3x + -2x 1 + 4 Resolver.x 5Ejemplo 6:4x + 9 6x - 94x + 9 6x + - 94x + -6x -9 + -9-2x -18-2 -2x 9Resolviendo DesigualdadesEjemplo: Resolver x - 3 > 2.x-3>2x + - 3 >2Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.x + -3 + 3 > 2 + 3x+0>5x>5Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta lossignos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades.Ejemplo:2x - 4 3x + 12x + -4 3x + 12x + -3x 4 + 1-x 5x -5
  7. 7. Ejemplo:Resolver -2x -34.-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo-2 -2 de se invierte a .x 17Ejercicios de Práctica:A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.1. x > 3 ; 52. x + 7 2 ; -83. 2x + 3 7x + 1 ; 24. 3x - 2 x + 7 ; 15. 6x 18 ; 3C. Resuelva.1. x + 7 > 92. 2x + 3 x + 63. -6x + 7 x + 94. -6x -725. 1 x - 9 > 2 x + 6336. -6x + 9 < -2x + 87. -2x + 8 12Soluciones:A.1. x > 3 ; 55 > 3 Esto hace cierta la ecuación.2. x + 7 2 ; -8-8 + 7 2-1 2 Esto no hace cierta la ecuación.
  8. 8. 3. 2x + 3 7x + 1; 22(2) + 3 7(2) + 14 + 3 14 + 17 15 Esto no hace cierta la ecuación.4. 3x - 2 x + 7 ; 13(1) - 2 1 + 73-2 1+71 8 Esto hace cierta la ecuación.5. 6x 18 ; 36(3) 1818 18 Esto no hace cierta la ecuación.B. Resuelva.1. x + 7 > 9x + 7 + -7 > 9 + - 7x+0>2x>22. 2x + 3 x + 62x + - x -3 + 6x 33. -6x + 7 x + 9-6x + -x -7 + 9-7x 2-7 -7x -274. -6x -72-6x -72-6 -6x 125. 1 x - 9 > 2 x + 633
  9. 9. 1 x + -9 > 2 x + 6331x + - 2 > 9 + 633-1 x > 153(3) -1 x > 15(3)3-x > 45 (divide por -1 en ambos lados y se invierte el signo)x < -456. - 6x + 9 < - 2x + 8-6x + 2x < -9 + 8-4x < -1-4 -4x>147. -2x + 8 12-2x 12 + -8-2x 4-2 -2x -2

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