Ball and beam

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
FACULTAD SEDE SOGAMOSO
ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL

Modelamiento y sistema de control para un sistema Ball &
Beam de Viga soportada en el eje central
Danny Mauricio Mesa
Danny3m@hotmail.com
Jairo Hernando Rojas
Jairohrojasp@gmail.com
Especialización en Automatización Industrial
UPTC

Abstract

The ball and beam system is also called ‘balancing a ball on a beam’. It is generally linked to real control
problems such as horizontally stabilizing an airplane during landing and in turbulent airflow. There are
two degrees of freedom in this system. One is the ball rolling up and down the beam, and the other is beam
rotating through its central axis. The aim of the system is to control the position of the ball to a desired
reference point, and reject disturbances such as a push from a finger. The control signal can be derived by
feeding back the position information of the ball. The control voltage signal goes to the DC motor via a
power amplifier，then the torque generated from the motor drives the beam to rotate to the desired angle.
Thus, the ball can be located at the desired position.

Resumen: lazo abierto el sistema es inestable por tanto se
requieren técnicas de control que permitan
El sistema de bola y viga también llamada “pelota estabilizar el sistema.
en equilibrio”. En general se relaciona con
problemas reales de control, tales como estabilizar Hay dos configuraciones para apoyar la viga. Una
horizontalmente un avión durante el aterrizaje y en configuración se muestra en la Figura 1.1, que
el flujo de aire turbulento. Hay dos grados de ilustra que la viga está soportada en el medio, y
libertad en este sistema. Uno de ellos es el gira contra su eje central. La mayoría de estos
balanceo de la bola hacia arriba y abajo de la viga, sistemas utiliza este tipo de configuración. La
y el otro es la viga que gira sobre su eje. El ventaja de este es que es fácil de construir, y el
objetivo del sistema es el control de la posición de modelo matemático es relativamente simple. La
la pelota a un punto de referencia deseado, y otra configuración se muestra en la figura 1.2. La
rechazar perturbaciones tales como el empuje de viga está soportada en ambos lados por dos brazos
un dedo. La señal de control puede ser derivada de nivel. Uno de los brazos de nivel se consumía,
por la realimentación de la información de la y el otro está acoplado al engranaje de salida. La
posición de la bola. La señal de voltaje de control desventaja de esta configuración es una mayor
va al motor de CC a través de un amplificador de consideración de partes mecánicas, y esto puede
potencia, entonces el par generado desde el motor añadir dificultades para derivar un modelo
acciona el haz para girar en el ángulo deseado. Por matemático. La ventaja de este sistema es que
lo tanto, la pelota puede estar situada en la utiliza un motor relativamente pequeño debido al
posición deseada. efecto de apalancamiento.

1. Introducción:

El sistema del "Ball and Beam" consiste de una
viga sostenida por un motor y una bola situada
sobre la viga. Este sistema tiene como propósito
lograr mantener la bola en una posición deseada.
Por tal razón requiere que se controle tanto el
ángulo de la viga como la posición de la bola. En figura 1.1 Viga soportada en el centro



figura 2. Esquema del servomotor

Figura 1.2 Viga soportada en ambos extremos. El par T desarrollado por el motor es proporcional
a la corriente de la armadura, y al flujo magnético
En este documento nos centraremos en el sistema en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a
de Viga soportada en el centro. la corriente del campo. O bien donde Kf es una
constante. El par T se puede escribir entonces

𝑻 = 𝐾 𝑓 𝑖 𝑓 𝐾𝑙 𝑖 𝑎
2. Modelado y Linealización del Sistema como

A continuación se presenta el modelo matemático
del sistema del servo motor y de la viga
Si la corriente del campo es constante , el flujo
también es constante, y el par es directamente
2.1 Modelado del Servomotor

𝑻 = 𝐾𝑖 𝑎
proporcional a la corriente de la armadura, de
modo que
Un Servo es un dispositivo pequeño que tiene un
eje de rendimiento controlado. Este puede ser
llevado a posiciones angulares específicas al Donde K es una constante del par motriz. Nótese
enviar una señal codificada. Con tal de que una que si el signo de la corriente se invierte , también
señal codificada exista en la línea de entrada, el se invierte el signo del par T, lo que se manifiesta
servo mantendrá la posición angular del engranaje. en la inversión del sentido rotación del eje del
Cuando la señala codificada cambia, la posición motor.
angular de los piñones cambia. En la práctica, se
usan servos para posicionar superficies de control Cuando la armadura está girando, se induce en
como el movimiento de palancas, por eso la ella una tensión proporcional al producto del flujo
utilidad de este dispositivo en este estudio. por la velocidad angular. Para un flujo constante,
la tensión inducida eb es directamente

𝑑𝜃
Analizaremos el esquema de un servomotor de cd proporcional a la velocidad angular dt/dθ, o

𝑒 𝑏 = 𝐾𝑏
controlado por armadura, como el que aparece en

𝑑𝑥
la figura 3. En ese mismo esquema tenemos los
siguientes parámetros:

Ra = resistencia de la armadura, en ohmios (Ω) Donde Kb es la constante de fuerza
La = inductancia de la armadura, en henrios (H) contraelectromotriz. La velocidad de un
ia = corriente de la armadura (amperios, A) servomotor de cd controlado por armadura, se
if = corriente del campo (A) controla mediante la tensión de la armadura. La

𝜃 = desplazamiento angular del eje del motor, en 𝑑𝑖 𝑎
ea = tensión aplicada en la armadura, (V) ecuación diferencial del circuito de armadura es

𝐿𝑎 + 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝑒𝑏 = 𝑒𝑎
eb= fuerza contra-electromotriz (V) entonces.

radianes (rad) 𝑑𝑡
T = par desarrollado por el motor, en Newton-
metro (N-m) La corriente de la armadura produce un torque que
J = momento de inercia del motor y carga con

𝑑2 𝜃 𝑑𝜃
se aplica a la inercia y la fricción.

𝐽 + = 𝑇 = 𝐾𝑖 𝑎
referencia al eje del motor, en kg-m2

𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
b = coeficiente de viscosidad del motor, con carga
referida al eje del motor, en N-m/rad/seg



Ahora aplicando la transformada de Laplace a las

𝐾 𝑏 𝑆𝜃(𝑆) = 𝐸 𝑏 (𝑆)
tres ecuaciones anteriores se obtiene:
2.2 modelado de la bola en la viga

(𝐿 𝑎 𝑆 + 𝑅 𝑎 )𝐼 𝑎 (𝑆) + 𝐸 𝑏 (𝑆) = 𝐸 𝑎 (𝑆)
La figura5 describe el modelo de sistema básico

(𝐽𝑆 2 + 𝑏𝑆)𝜃(𝑆) = 𝑇(𝑆) = 𝐾𝐼 𝑎 (𝑆)
del que se deriva el modelo matemático. Esta
derivación consiste en el equilibrio de la fuerza de
la bola y el equilibrio de par de la viga.

𝜃(s) como la salida, se obtiene el siguiente
Considerando al sistema Ea(s) como la entrada y a

diagrama de bloques.

figura 2.1 Diagrama de bloques del modelo del motor

Se notará que es un sistema retroalimentado. El
efecto de la fuerza contraelectromotriz es una figura 2.3 Esquema del sistema de la viga
retroalimentación proporcional a la velocidad del
motor. Reduciendo se tiene que la función de La siguiente ecuación se puede derivar de un
transferencia es:

𝜃(𝑆) 𝐾
análisis de la fuerza de equilibrio, de la bola

= 2 + (𝐿 𝑏 + 𝑅 𝐽)𝑆 2 + (𝑅 𝑏 + 𝐾𝐾 )𝑆
𝐸 𝑎 (𝑆) 𝐿 𝑎 𝐽𝑆
empleando la ley de Newton.

� 𝐹 𝑏 = 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑟 = 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑥̈ + 𝑏1 𝑥̇
𝑎 𝑎 𝑎 𝑏

Si la inductancia del circuito de la armadura es

Donde 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 es la masa de la bola, g es la
pequeña, generalmente se desprecia, por lo que Ec2.2

𝜃(𝑆) 𝐾𝑚
nuestra función de transferencia queda de esta
forma.

𝐸 𝑎 (𝑆) 𝑆(𝑇 𝑚 𝑆 + 1)
aceleración de la gravedad, x es la distancia
entre el centro de la bola y el centro del eje, b1 la
fricción de la bola cuando rueda en el canal de la
Ec 2.1 viga, θ es el ángulo de inclinación de la viga
desde la posición horizontal, Fr representa la
Dónde: fuerza aplicada externamente.

𝐾𝑚 =
𝐾
(𝑅 𝑎 𝑏+𝐾𝐾 𝑏 )
=constante de ganancia del motor. La posición de la bola es igual al ángulo de

𝑇𝑚 =
rotación de la bola gira a través de, α,
𝑅𝑎𝐽
(𝑅 𝑎 𝑏+𝐾𝐾 𝑏 )
multiplicado por el radio de rotación de la bola,
= constante de tiempo del motor.

𝑥 =∝ 𝑋 𝑎1
a1:

Con estos resultados obtenidos, el diagrama de
bloques del servomotor se reduce a: Ec2.3

Donde a1 es la distancia vertical entre el centro
de la bola y el punto de contacto con la viga:

La ecuación de torque de la bola se expresa
como:



� 𝜏 𝑏 = 𝐹𝑟 𝑎1 = 𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝛼̈ 4. Función de transferencia

Donde 𝛼̈ es la aceleración angular de la bola,
Ec 2.4
Para encontrar la función de transferencia del

∑ 𝜏 𝑏 =Es la suma de torques en la bola
𝑋(𝑆) 𝜃(𝑆) 𝑋(𝑆)
sistema se toma la ecuación 2.1 y 3.2

. = = 𝐻(𝑆)
𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 = Es el momento de inercia de la bola, y 𝜃(𝑆) 𝐸 𝑎 (𝑆) 𝐸 𝑎 (𝑆)

𝐾𝑚 𝑔
2 𝐻(𝑆) = .
esta dada por:

𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 = 𝑀 𝑅2 𝑆(𝑇 𝑚 𝑆 + 1) 𝑆(𝐶1 𝑆 + 𝐶2 )
Ec 4.1

5 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑏 Ec 4.2
Ec 2.5

4.1 Espacios de estado
Donde Rb es el radio de la bola.
El modelo representado en espacio de estado

2 𝑅𝑏 2 𝑏1 𝑥̇
De la ecuación 2.2 y 2.5 se obtiene:

�1 + � � � 𝑥̈ + = 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
quedaría de la siguiente manera:

5 𝑎1 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙
Ec 2.6

3. Punto de equilibrio y Linealizacion

Es evidente que el modelo de la ecuación 2.6 es
no lineal. Claramente el punto de equilibrio se
tiene cuando θ es pequeño o tiende a cero (a)

𝜃 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃 … 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜃 ≪ 1)

Por ello, la ecuacion 2.6 puede ser linealizada de

2 𝑅𝑏 2 𝑏1 𝑥̇
la siguiente manera.

�1 + � � � 𝑥̈ + = 𝑔𝜃
5 𝑎1 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙
Ec 3.1 (b)

𝑋(𝑆) 𝑔
Aplicando transformada de Laplace se tiene: figura 4.1. a) espacio de estados no lineal, b) espacio de

=
estados lineal

𝜃(𝑆) 𝐶1 𝑆 2+ 𝐶 𝑆
2
4.2 Definición de parámetros:
Ec 3.2
Se eligieron los siguientes parámetros para
simulación:

2 𝑅𝑏 2
Donde

𝐶1 = �1 + � � �
5 𝑎1
parámetro simbolo unidad valor

𝑏1
1 constante del par motriz K Nm/A 4.91

𝐶2 =
𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙
2 resistencia de la armadura Ra ohms 4.7

3 coeficiente de viscosidad b Nm/(rad/s) 1.5
del motor



4 Constante de fuerza Kb volts/(rad/s) 4.77 5. Discretización del modelo
contraelectromotriz.

5 momento de inercia del J kg*m^2 0.043 Para obtener un modelo digital a partir de uno
motor continuo es deseable que la respuesta transitoria
6 radio de la bola. Rb m 0.01 (respuesta impulso, escalón, nº polos y ceros,..) y
7 momento de inercia de la Jball kg*m^2 0.019 la respuesta frecuencial(margen de fase, ganancia,
bola ...) de ambos sean similares
8 radio de rotación de la a1 m 0.005
bola, a1: Ts=.05;
9 gravedad g m/s^2 9.8 num1=Km;
1 fricción de la bola sobre la b1 Ns/m no den1=[Tm 1 0]

𝑇𝑓 =
0.16
0 viga medibl tf(num1,den1)
e, muy
0.0066𝑆 2 +𝑆
pequeñ Transfer function
o
[NUMd1,DENd1] = 2DM(num1,den1,Ts,'zoh')
Tabla 1. Definicion de parámetros.

Reemplazando estos valores se tiene que: NUMd1 = 0 0.0069 0.0011
DENd1 = 1.0000 -1.0005 0.0005
Km = 0,16
Tm = 0,0066 num2 = g
C1 = 2,6 den2=[C1 0 0]
C2 =0

𝑇𝑓 =
9.8
tf(num2,den2)
2.6𝑆 2
La ecuacion 4.2 se convierte en: Transfer function

[NUMd2,DENd2] = 2DM(num2,den2,Ts,'zoh')

NUMd2 = 0 0.0047 0.0047
DENd2 = 1 -2 1

El espacio de estados de la figura 4.1(b) genera
las siguientes matrices:

A=
figura 5.1. Función de transferencia discreta
0 1 0 0
0 0 3.7 0
0 0 0 1
0 0 0 -151.5

B=

0
0
0
24.2

C=

1 0 0 0
0 0 1 0
Figura 5.2 simulación ante una perturbación del punto
de equilibrio



qué trayectoria se siga, o qué entrada se use. La

[𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 … 𝐴 𝑛−1 𝐵]
6. Analisis de Estabilidad condición para que un sistema sea controlable es

Sea de rango 𝑛, esto significa que debe tener 𝑛
que la matriz
En análisis dinámico de sistemas en el dominio de
la frecuencia, además de emplearse los diagramas
y el criterio de Bode, se utilizan las vectores linealmente independientes
representaciones de las funciones de transferencia
sinusoidales en coordenadas polares que sirven de Por otro lado, un sistema es completamente
base para otros criterios de estabilidad como son observable si cada variable de estado del sistema
el de Nyquist y el de Nichols afecta alguna de las salidas. Un sistema es

[𝐶 𝑇 𝐴 𝑇 𝐶 𝑇 (𝐴 𝑇 )2 𝐶 𝑇 … (𝐴 𝑇 ) 𝑛−1 𝐶 𝑇 ]
observable si puede construirse una matriz de la

tal que el rango de esta sea igual a 𝑛
nu=1.56 forma

de0=[0.017 C1 0 0 0]

gtf=tf(nu,de0) 6.2 Estudio de la controlabilidad y

Transfer function:𝑔𝑡𝑓 =
1.56
observabiliodad del sistema.

0.017𝑆 4 +2.6𝑆 3 Para verificar la controlabilidad, se usa el
comando CTRB de Matlab de la siguiente
nyquist(gtf) manera:
M=ctrb(A,B)
N=Rank(M)
Para determinar el rango, que para este caso
debe ser de 4, ya que hay cuatro vectores LI en
nuestro espacio de estados.

M=ctrb(A,B)

M = 1.0e+007 *

0 0 0 0.0000
Diagrama de Nyquist 0 0 0.0000 -0.0014
0 0.0000 -0.0004 0.0555
margin (gtf) 0.0000 -0.0004 0.0555 -8.4150

n=rank(M)

n= 4

De esta manera concluimos que el sistema es
Controlable.

Para determinar la Observabilidad se utilizan los
comandos
Ob=obsv(A,C)
N=Rank(M)
Diagrama de Bode
Ob=obsv(A,C)
6.1 Controlabilidad y Observabilidad N=Rank(M)

Ob = 1.0e+004 *
La Controlabilidad es la propiedad de llevar un
sistema de cualquier estado inicial al cualquier
estado final en un tiempo finito, no importando 0.0001 0 0 0
0 0 0.0001 0


0 0.0001 0 0 8 Diseño De Controladores
0 0 0 0.0001
0 0 0.0004 0 Para controlar adecuadamente el sistema, se requiere
0 0 0 -0.0152 de un controlador en cascada como el que se muestra
0 0 0 0.0004 en la figura 8, un controlador dedicado al motor y otro
0 0 0 2.2952 para la dinámica total.

N= 4
De esta manera concluimos que el sistema es
Observable.

Figura 8. controlador en cascada
7 Simulación:
8.1 Sintonización PD1

Como se ve en la función de transferencia, esta
relaciona el voltaje de entrada con la posición de la
bola con respecto al eje central, por ende al dar una
variación de voltaje en la entrada del motor, la viga
debe sufrir una inclinación y la bola se debe alejar
de manera exponencial del centro de la viga

(a)
Figura 8.1. Herramienta Tune

Inicialmente se sintonizó PD1 mediante la
herramienta “TUNE” que esta incorporada en la
función PID de Matlab como se muestra en la
figura 8.1, desde allí se puede ajustar el
comportamiento deseado y la interfaz arroja los
valores de controlador automáticamente. Como
se observa, en las figuras 8.2 (a) y (b) los valores
obtenidos son: P = 6.3 ; I = 0.8 y D = 3.8

(b)
figura 7.1.(a) Función de transferencia, (b) simulación
ante una perturbación del punto de equilibrio

Figura 8.2.(a) Sintonización del controlador mediante Matlab
Interfaz de sintonización


Figura 8.3.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab
Figura 8.2.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab
Interfaz de sintonización En la figura 8.4 (Anexo1) se muestra el esquema
completo del sistema con su respectivo lazo de
8.2 Sintonización PD2 control, es de aclarar que ambos controladores
PID fueron ajustados para no sobrepasar el 100%
El controlador abarca toda la dinámica del de salida del actuador. En la figura 8.5 (anexo1)
sistema, tanto el modelo del motor, el controlador (a) se aprecia el comportamiento de la señal de
PD1 y la dinámica de la esfera control del PD2, (b) comportamiento del eje del
motor (Θ)
Para ello también se utilizó esta herramienta de
sintonización que se aprecia en la figura 8.3 a y b 8.3 Controlador discreto
De igual manera que para el control continuo, se
sintonizaron los controladores PD1D y PD2D
utilizando la herramienta de sintonización de
matlab.
La sintonización del controlador PD1D se muestra
en la figura 8.6 (a)y la de PD2D en la figura 8.7 (b)

El modelo de control general discreto se muestra
en la figura 8.8 (anexo1)

Figura 8.3(a) Sintonización del controlador mediante Matlab




10 Conclusiones

• El diseño del controlador PD en cascada
mejora las falencias del PID tradicional,
sintonizado en un solo punto de
funcionamiento de la planta, ya que se
asegura que la respuesta del sistema sea
comparable en todo el rango de
funcionamiento del sistema.

Figura 8.6.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab • Un inconveniente que se presenta a nivel
Interfaz de sintonización mecánico es la fricción entre la bola y la
viga, lo cual hace que aún cuando la viga
esté inclinada la bola sigue pegada, por la
fricción estática, y cuando se vence esa
fricción, entonces el ángulo de
inclinación es muy grande y hace que la
bola vaya rápido hacia el extremo más
bajo. Este es uno de los aspectos más
importantes que se deben tener en cuenta
en trabajos posteriores.

• El controlador PD1 al ser sintonizado
fuera de la dinámica es estable, peroal
incluirse dentro de la dinámica global se
inestabiliza, por lo que es necesario
sintonizarlo dentro de la dinámica
general

Referencias:

Figura 8.7(b) Sintonización del controlador mediante Matlab [1] S. Boyd, L. Ghaoui, E. Feron, and V.
Interfaz de sintonización Balakrishna, Linear Matrix Inequalities
in Systems and Control Theory. Philadelphia, PA:
9 Ceros no Minifase SIAM, 1994.
[2] T. Hu, Z. Lin, W. Jiang, and P. E. Allaire,
Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano “Constrained control design
derecho, se conocen como sistemas de fase [3] Abhilash P M
mínima, o simplemente minifase. Graduate student, Department of Electrical
Engineering
Para este sistema no se presentaron ceros de fase Indian Institute of Technology Madras
minima por lo que no se realizo ningún for magnetic bearing systems,” ASME Journal of
tratamiento Dynamic Systems,
[4]http://www.youtube.com/watch?v=p5umi2X3F
-I
[5] T. Hu and Z. Lin, “On enlarging the basin of
attraction for linear systems



under saturated linear feedback,” Systems and [9] A. Isidori, Nonlinear Control Systems. New
Control Letters, vol. 40, York: Springer Verlag, 1995.
pp. 59–69, 2000.
[6] F. Blanchini, “Set invariance in control - a
survey,” Automatica, vol. 35,
pp. 1747–1767, 1999.
[7] A. D. Mahindrakar and V. Sankaranarayanan,
“ State-constrained stabilization
of beam-balance systems,” International Journal
of Robust and
Nonlinear Control, vol. 18, pp. 333–350, February
2008.
[8] Y. Aoustin and A. M. Formal’sky, “An
original circular ball-and-beam
system: stabilization strategy under saturating
control with large basin
of attraction,” in Proceedings of the European
Control Conference 2007,
(Kos, Greece), pp. 4833–4838, July 2007.



Anexo 1

Figura 8.4 (a) Esquema completo del sistema con su respectivo lazo de control

Figura 8.4 (b) Esquema del controlador en cascada y dinámica del sistema controlado.



Figura 8.5 (anexo1) (a) se aprecia el comportamiento de la señal de control del PD2

figura 8.5 (b) comportamiento del eje del motor (Θ)



Figura 8.8 modelo de control general discreto

Figura 8.9 Comportamiento de la salida digital


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