2. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
sentido
A'
a
A
módulo
dirección
FCNM
3. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Vector. Se denota como a ó a . Se define como un segmento orientado
caracterizado por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.
• Un escalar o módulo, a ó a , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
sentido
A'
a
A
módulo
dirección
FCNM.
4. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Suma de vectores.
Regla del polígono
d
a
c d = a +b +c a c
b
b
Regla del paralelogramo
a a
c
c = a +b
b b
FCNM.
5. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.
a
−a
Diferencia de vectores.
a −b
c = a − b ⇒ c = a + (− b )
c
b
b a
Producto de un vector por un escalar.
λa
a λ >1
λa λ <1
λ >0 λ<0
FCNM.
6. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
i) asociativa para la suma : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
ii) conmutativa para la suma : a + b = b + a
iii) elemento neutro para la suma : a + 0 = a
iv) elemento simétrico para la suma : ∀a , ∃b / a + b = b + a = 0, esto es, b = −a
v) asociativa para el producto : λ ( γa ) = ( λγ ) a
vi) distributiva del producto respecto a la suma de escalares : ( λ + γ ) a = λa + γa
vi) distributiva del producto respecto a la suma de vectores : λ ( a + b ) = λa + λb
vii) elemento nulo : λ 0 = 0a = 0
FCNM.
7. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
de a será: a
ua =
a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
a ue
α
Pe ( a ) = a cos α = a cos α
Pe ( a )
FCNM.
8. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
Z Z
pulgar pulgar
k
índice corazón
X i Y
j
corazón índice
Y X
Levógiro (mano izquierda) Dextrógiro (mano derecha)
dextrógiro
Triedro cartesiano
vectores unitarios: i , j , k
FCNM.
9. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas.
Z Z Z
P ( x, y , z ) P( r , ϕ , z ) P ( ρ ,θ , ϕ )
z z θ ρ
Y Y Y
x
ϕ r ϕ
y
X X X
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas
FCNM.
10. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Componentes cartesianas.
Z
Z
a = ax + a y + az
a αz a
k
az α
αx y
ax Y j Y
i
ay
X X
Componentes cartesianas Cosenos directores
a x = PX ( a ) = a cos α x
ax = axi
cos α x = a x / a
a y = PY ( a ) = a cos α y
ay = ay j
cos α y = a y / a
a z = PZ ( a ) = a cos α z
az = az k
cos α z = a z / a
FCNM.
11. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Componentes cartesianas.
ax = axi ay = ay j az = az k
( )
a = a x + a y + a z = a x i + a y j + a z k = a cos α x i + cos α y j + cos α z k
a x = a cos α x a y = a cos α y a z = a cos α z
a
ua = = cos α x i + cos α y j + cos α z k
a
a = a x + a y + a z = (a x , a y , a z )
FCNM.
12. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
a = axi + a y j + az k b = bx i + by j + bz k
a + b = ( a x + bx ) i + ( a y + by ) j + ( a z + bz ) k
a − b = a + (−b ) = ( a x − bx ) i + ( a y − by ) j + ( a z − bz ) k
FCNM.
13. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Producto escalar de dos vectores.
b
α a a ⋅ b = ab cos α
b cos α
Propiedades.
i) conmutativa : a ⋅ b = b ⋅ a
( )
ii) distributiva : c ⋅ a + b = c ⋅ a + c ⋅ b
( ) ( )
iii) asociativa respecto a escalares : ( λa ) ⋅ γb = λγ a ⋅ b
iv) si a , b ≠ 0 y a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b
v) i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1, i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0
vi) a = a = a ⋅ a
vii) Pe ( a ) = a ⋅ ue . En consecuencia, a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k
FCNM.
14. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Producto escalar de dos vectores.
b
α a a ⋅ b = ab cos α
b cos α
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz
Ángulo que forman dos vectores.
a ⋅ b a x bx + a y by + a z bz
cos α = =
ab ab
Fundamentos de Física. FCM.
15. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Producto vectorial de dos vectores.
c = a ×b
Z
• Vector perpendicular al plano determinado por a y b .
c
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
a sobre b
Y • Módulo dado por
b
α c = a × b = ab sen α
a
X
Propiedades.
i) anticonmutativo : a × b = −b × a
ii) no - asociativo : ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c )
iii) asociativo para el producto por un escalar : λa × b = a × λb = λ ( a × b )
iv) distributivo respecto a la suma : c × ( a + b ) = c × a + c × b
v) Si a , b ≠ 0 y a × b = 0 ⇔ a || b
Fundamentos de Física. FCM.
16. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Producto vectorial de dos vectores.
c = a ×b
Z
• Vector perpendicular al plano determinado por a y b .
c
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
a sobre b
Y • Módulo dado por
b
α c = a × b = ab sen α
a
X
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
i j k
a z = ( a y bz − a z by )i + ( a z bx − a xbz ) j + ( a x by − a y bz ) k
a × b = ax ay
bx by bz
FCNM.
17. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Producto mixto de tres vectores.
Z
β
(
)
c ⋅ a × b = abcsenα cos β
a ×b Volumen del paralelepípedo
c b Y formado por los tres vectores
α
a
X
Propiedades.
(
) (
i) cíclica : a ⋅ b × c = c ⋅ a × b = b ⋅ ( c × a ) )
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
cx cy cz
(
)
c ⋅ a × b = ax ay a z = ( a y bz − a z by )c x + ( a z bx − a x bz ) c y + ( a x by − a y bz )c z
bx by bz
FCNM.
18. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.1. Álgebra vectorial
Momento de un vector con respecto a un punto.
MO MO (a) = r × a
M O = ar sen α = ad
a
r
O
d α El momento de un vector con respecto
∆a x ∆a y
i + lím
P lím
∆λ →0 ∆λ aλ →0 ∆λ
∆ un punto
j
no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.
FCNM.
19. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Función vectorial con respecto a un escalar.
a = a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k
a ( λ1 )
∆a = a ( λ2 ) − a ( λ1 )
∆a
a ( λ2 )
∆λ = λ2 − λ1
λ1 = λ ⇒ ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
λ2 = λ + ∆λ
FCNM.
20. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
=
∆λ ∆λ
da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
= lím = lím
dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ
da da
dλ dλ
da
dλ
da
a( λ )
∆a
dλ
∆a
a ( λ + ∆λ )
∆λ
FCM.
21. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
= lím = lím =
dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ
a x ( λ + ∆λ ) − a x ( λ ) a y ( λ + ∆λ ) − a y ( λ )
lím i + lím j =
∆λ →0
∆λ ∆λ →0
∆λ
∆a x ∆a y da x ( λ ) da y ( λ )
= lím i + lím j= i+ j
∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ dλ dλ
FCNM.
22. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
∆a da x ( t ) da y ( t ) da z ( t )
da ( t )
= lím = i+ j+ k
dt ∆t →0 ∆t dt dt dt
∆a da x ( t ) da y ( t ) da z ( t )
da ( t )
= lím = i+ j+ k
dt ∆t →0 ∆t dt dt dt
da
dt
da
dt
da
dt
FCNM.
23. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
i) Derivada de la suma de vectores :
da ( λ ) db ( λ )
[a( λ) + b ( λ) ] =
d
+
dλ dλ dλ
ii) Derivada del producto de una función vectorial por un escalar :
da ( λ )
( λ ) df ( λ )
d
[ f ( λ )a( λ )] = f ( λ )
+a
dλ dλ dλ
iii) Derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales :
[ a ( λ )b ( λ ) ] = da (λ ) b ( λ ) + a ( λ ) db λλ )
(
d λ
dλ d d
iv) Derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales :
[ a ( λ ) × b ( λ ) ] = da (λ ) × b ( λ ) + a ( λ ) × db λλ )
(
d λ
dλ d d
FCNM.
24. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
a ( λ ) = a( λ ) ua ( λ )
da ( λ ) da ( λ ) du a ( λ )
i) En general, = ua ( λ ) + a( λ )
dλ dλ dλ
da ( λ ) da( λ ) da ( λ )
→
ii) Si u a ( λ ) = cte ⇒
= ua ⇔
|| u a
dλ dλ dλ
da ( λ ) du a ( λ ) da ( λ )
iii) Si a ( λ ) = cte ⇒ = a( λ ) ⇔ ⊥u a
dλ dλ dλ
FCNM.
25. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Integral de una función vectorial.
a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
da ( λ )
∫
Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒
λ2
a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
dλ
1
Propiedades.
i) Si a = a ( λ ) y b = b ( λ ) : ∫ ( a + b ) dλ = ∫ adλ + ∫ b dλ
ii) Si k = cte : ∫ kadλ = k ∫ adλ
iii) Si ξ ∈ [ λ1 , λ2 ] :
λ2 ξ λ2
∫λ
1
adλ = ∫ adλ + ∫ adλ
λ1 ξ
→
= cte y ξ = ξ ( λ ) :
iv) Si υ ∫ υ adλ = υ ∫ adλ
∫ υ × adλ = υ × ∫ adλ
∫ ∫
ξυ dλ = υ ξdλ
λ2 λ1
v) ∫λ1
adλ = − ∫ adλ
λ2
FCNM.
26. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
1.2. Cálculo vectorial
Integral de una función vectorial.
a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
da ( λ )
∫
Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒
λ2
a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
dλ
1
Integral en función de las componentes cartesianas.
a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k
∫ a ( λ ) dλ =
( ) (
∫ ax ( λ ) dλ i + ) (
∫ a y ( λ ) dλ j + )
∫ az ( λ ) dλ k
Fundamentos de Física. FCM.