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PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA:
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL




             FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA (FCNM).
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
 un número real y su unidad.
 Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

 Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
 números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
 número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
 sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
 llamada vector.
 Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.


                                  sentido
                                            A'
                                 
                                 a
                           A
                                     módulo
               dirección
                                                                                           FCNM
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial
                                     
 Vector. Se denota como a ó a . Se define como un segmento orientado
 caracterizado por:
 • Un origen o punto de aplicación. Punto A.
                              
 • Un escalar o módulo, a ó a , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
 es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
 • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
 • Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.



                      sentido
                                A'
                    
                    a
              A
                           módulo
  dirección



                                                                                      FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Suma de vectores.

 Regla del polígono
                                                               
                                                              d
        a                                                       
                      c    d = a +b +c           a                    c
                                                           
                                                          b
          b

 Regla del paralelogramo

                                                 
              a                                   a    
                                                    c
                           c = a +b
                                            
              b                              b




                                                                                   FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
 opuestos.                  
                             a
                                     
                                    −a

 Diferencia de vectores.
                                                                     
       a                                                            −b
                                    
                c = a − b ⇒ c = a + (− b )
                                                          c             
                                                                          b
                                                                
           b                                                     a

 Producto de un vector por un escalar.


                             
                            λa
       
       a                          λ >1                  
                                                       λa             λ <1
                                 λ >0                                 λ<0
                                                                                       FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.    Álgebra vectorial

  Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
                                    
i) asociativa para la suma : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
                                    
ii) conmutativa para la suma : a + b = b + a
                                        
iii) elemento neutro para la suma : a + 0 = a
                                                                             
iv) elemento simétrico para la suma : ∀a , ∃b / a + b = b + a = 0, esto es, b = −a
v) asociativa para el producto : λ ( γa ) = ( λγ ) a
                                                  

vi) distributiva del producto respecto a la suma de escalares : ( λ + γ ) a = λa + γa
                                                                                
                                                                                  
vi) distributiva del producto respecto a la suma de vectores : λ ( a + b ) = λa + λb
                                                                               
                            
vii) elemento nulo : λ 0 = 0a = 0




                                                                                         FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
                                       
 de a será:                            a
                                   ua = 
                                    
                                        a

 Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
 vector unitario en dicho sentido.

 Proyección de un vector sobre un eje.


                             
           a                  ue
                   α
                                          Pe ( a ) = a cos α = a cos α
                                                    


                   Pe ( a )
                        




                                                                                        FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
 denominado origen del triedro.
          Z                                      Z

              pulgar                                  pulgar

                                                      
                                                      k
                       índice                                corazón
                                X                i                     Y
                                                          j
         corazón                                 índice
   Y                                      X
       Levógiro (mano izquierda)           Dextrógiro (mano derecha)




                                    dextrógiro
       Triedro cartesiano                                 
                                    vectores unitarios: i , j , k


                                                                                     FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.    Álgebra vectorial


 Sistemas de coordenadas.

         Z                                     Z                                    Z

                 P ( x, y , z )                      P( r , ϕ , z )                        P ( ρ ,θ , ϕ )

                    z                                    z                               θ ρ
                                  Y                                   Y                                     Y
                        x
                                                ϕ   r                                ϕ
             y
X                                     X                                    X
    Coordenadas cartesianas               Coordenadas cilíndricas              Coordenadas esféricas




                                                                                                            FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.     Álgebra vectorial

 Componentes cartesianas.
             Z                             
                                                                    Z
                                        a = ax + a y + az



                                                                           
                     
                     a                                               αz a
                                                                  k
                         az                                             α
                                                                 αx    y
           ax                           Y                             j                         Y
                                                                     i
                
                ay
X                                                      X
                              Componentes cartesianas                Cosenos directores
              
                                a x = PX ( a ) = a cos α x
       ax = axi                            
                                                                         cos α x = a x / a
               
                                a y = PY ( a ) = a cos α y
       ay = ay j                           
                                                                         cos α y = a y / a
              
                                a z = PZ ( a ) = a cos α z
       az = az k                           
                                                                         cos α z = a z / a
                                                                                                  FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.      Álgebra vectorial

 Componentes cartesianas.
                                           
        ax = axi        ay = ay j       az = az k


                                                          (                                      )
                                                                               
        a = a x + a y + a z = a x i + a y j + a z k = a cos α x i + cos α y j + cos α z k


        a x = a cos α x        a y = a cos α y      a z = a cos α z

                                         
       a
   ua =  = cos α x i + cos α y j + cos α z k
     
        a

          
       a = a x + a y + a z = (a x , a y , a z )




                                                                                                        FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.     Álgebra vectorial


Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

                                                     
       a = axi + a y j + az k          b = bx i + by j + bz k

       a + b = ( a x + bx ) i + ( a y + by ) j + ( a z + bz ) k
                                                          

                                                                    
       a − b = a + (−b ) = ( a x − bx ) i + ( a y − by ) j + ( a z − bz ) k




                                                                                                     FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.    Álgebra vectorial

 Producto escalar de dos vectores.

            
            b                                       
                α                  a                a ⋅ b = ab cos α

             b cos α

 Propiedades.
                             
i) conmutativa : a ⋅ b = b ⋅ a
                        (      )
                               
ii) distributiva : c ⋅ a + b = c ⋅ a + c ⋅ b
                                                  ( )        ( )
                                                             
iii) asociativa respecto a escalares : ( λa ) ⋅ γb = λγ a ⋅ b
                               
iv) si a , b ≠ 0 y a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b
                               
v) i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1, i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0
                    
vi) a = a = a ⋅ a
                                                                      
vii) Pe ( a ) = a ⋅ ue . En consecuencia, a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k
                                                                                                FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Producto escalar de dos vectores.

          
          b                                        
              α                a                   a ⋅ b = ab cos α

           b cos α
 Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
                           
                          a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz

 Ángulo que forman dos vectores.
                              
                             a ⋅ b a x bx + a y by + a z bz
                     cos α =      =
                              ab             ab



                                                                         Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.     Álgebra vectorial

 Producto vectorial de dos vectores.
                                                                  
                                                                c = a ×b
           Z
                                                                                           
                                       • Vector perpendicular al plano determinado por a y b      .
               c
                                        • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
                                                                     
                                                              a sobre b
                                Y      • Módulo dado por
                            b                                
            α                                          c = a × b = ab sen α
           a
X

    Propiedades.
                                           
       i) anticonmutativo : a × b = −b × a
                                    
       ii) no - asociativo : ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c )
                                                                            
       iii) asociativo para el producto por un escalar : λa × b = a × λb = λ ( a × b )
                                                   
       iv) distributivo respecto a la suma : c × ( a + b ) = c × a + c × b
                                    
       v) Si a , b ≠ 0 y a × b = 0 ⇔ a || b
                                                                             Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.    Álgebra vectorial

 Producto vectorial de dos vectores.
                                                                  
                                                                c = a ×b
          Z
                                                                                         
                                     • Vector perpendicular al plano determinado por a y b          .
              c
                                      • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
                                                                      
                                                               a sobre b
                              Y      • Módulo dado por
                         b                                   
           α                                           c = a × b = ab sen α
          a
X


 Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
                        
               i     j   k
                         a z = ( a y bz − a z by )i + ( a z bx − a xbz ) j + ( a x by − a y bz ) k
                                                                                             
       a × b = ax   ay
               bx   by   bz

                                                                                                         FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial

 Producto mixto de tres vectores.

           Z

                   β
                                                                               (
                                                                              
                                                                                        )
                                                                            c ⋅ a × b = abcsenα cos β
        
       a ×b                                                               Volumen del paralelepípedo
                       c            b                          Y            formado por los tres vectores
                       α
                   
                   a
  X

   Propiedades.
                           (
                        
                                    )         (
   i) cíclica : a ⋅ b × c = c ⋅ a × b = b ⋅ ( c × a ) )
   Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

               cx              cy       cz
    
       (   
               )
   c ⋅ a × b = ax              ay       a z = ( a y bz − a z by )c x + ( a z bx − a x bz ) c y + ( a x by − a y bz )c z
               bx              by       bz
                                                                                                                     FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.1.   Álgebra vectorial



 Momento de un vector con respecto a un punto.
                                                        
             
             MO                                      MO (a) = r × a

                                                     M O = ar sen α = ad
                            a
                 r
         O
             d           α                 El momento de un vector con respecto
                                       ∆a x         ∆a y 
                                            i + lím
                     P           lím
                                 ∆λ →0 ∆λ      aλ →0 ∆λ
                                                ∆ un punto
                                                          j
                                                       no varía al cambiar el punto
                                           de aplicación del vector sobre la recta
                                           soporte.




                                                                                             FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.   Cálculo vectorial

 Función vectorial con respecto a un escalar.


                                               
 a = a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k
                                                  
                                                  a ( λ1 )
                
  ∆a = a ( λ2 ) − a ( λ1 )
                                                                      
                                                                     ∆a
                                                                                      
                                                                                      a ( λ2 )
  ∆λ = λ2 − λ1 
                                    
  λ1 = λ        ⇒ ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
  λ2 = λ + ∆λ 


                                                                                          FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.       Cálculo vectorial

 Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
                                                                
                   
 ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )              ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
                                                =
                                         ∆λ              ∆λ
                                                       
               da ( λ )         ∆a         a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
                        = lím      = lím
                dλ        ∆λ →0 ∆λ   ∆λ →0         ∆λ
                                                  
       da                                         da
       dλ                                         dλ            
                                                               da
                                                               dλ                 
                                                                                da
  a( λ )
                ∆a
                                                                                 dλ
                                     
                                    ∆a
                 a ( λ + ∆λ )
                 
                                    ∆λ
                                                                                        FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.     Cálculo vectorial

 Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

                                               
       da ( λ )         ∆a         a ( λ + ∆λ ) − a ( λ )
                = lím      = lím                          =
        dλ        ∆λ →0 ∆λ   ∆λ →0         ∆λ


              a x ( λ + ∆λ ) − a x ( λ )          a y ( λ + ∆λ ) − a y ( λ )  
       lím                               i + lím                             j =
                                                                                 
       ∆λ →0
                        ∆λ                   ∆λ →0
                                                               ∆λ               

               ∆a x          ∆a y  da x ( λ )  da y ( λ ) 
       = lím        i + lím        j=           i+           j
         ∆λ →0 ∆λ       ∆λ →0 ∆λ       dλ           dλ


                                                                                           FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.   Cálculo vectorial

 Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.


                               ∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t ) 
                               
              da ( t )
                       = lím      =          i+           j+           k
               dt        ∆t →0 ∆t   dt           dt          dt

                             ∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t ) 
                             
            da ( t )
                     = lím      =          i+           j+           k
             dt        ∆t →0 ∆t   dt           dt          dt
                             
                            da
                            dt          
                                       da
                                       dt               
                                                       da
                                                       dt


                                                                                          FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.   Cálculo vectorial

 Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
 Propiedades.
 i)   Derivada de la suma de vectores :
                                                              
                                                da ( λ ) db ( λ )
                                                  
                        [a( λ) + b ( λ) ] =
                      d             
                                                         +
                     dλ                          dλ          dλ
 ii) Derivada del producto de una función vectorial por un escalar :
                                                      da ( λ ) 
                                                                    ( λ ) df ( λ )
                                                         
                      d
                         [ f ( λ )a( λ )] = f ( λ )
                                   
                                                               +a
                     dλ                                 dλ                  dλ
 iii) Derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales :
                                                                           
                         [ a ( λ )b ( λ ) ] = da (λ ) b ( λ ) + a ( λ ) db λλ )
                                                                             (
                                                
                      d                          λ           
                     dλ                         d                          d
 iv) Derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales :
                                                                                   
                         [ a ( λ ) × b ( λ ) ] = da (λ ) × b ( λ ) + a ( λ ) × db λλ )
                                                                                     (
                                                   
                      d                             λ               
                     dλ                            d                               d

                                                                                               FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.     Cálculo vectorial

 Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
 Algunas consecuencias.

                               a ( λ ) = a( λ ) ua ( λ )
                                               


                             da ( λ ) da ( λ )                    du a ( λ )
                                                                   
       i) En general,                 =          ua ( λ ) + a( λ )
                                                   
                              dλ            dλ                       dλ
                                    da ( λ ) da( λ )              da ( λ ) 
                           →                                       
       ii) Si u a ( λ ) = cte ⇒
               
                                             =          ua ⇔
                                                                           || u a
                                                                                 
                                      dλ         dλ                 dλ
                                   da ( λ )          du a ( λ )      da ( λ ) 
                                                                     
       iii) Si a ( λ ) = cte ⇒              = a( λ )            ⇔               ⊥u a
                                                                                   
                                     dλ                dλ               dλ




                                                                                                      FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.        Cálculo vectorial

 Integral de una función vectorial.                             
                                                    a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
                                                                             
                                 da ( λ ) 
                                   
                                                             ∫
        Dadas a ( λ ) , b ( λ ) /         = b(λ) ⇒ 
              
                                                                           λ2 
                                                   a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
                                   dλ                          
                                                                           1

 Propiedades.
                                                                
       i) Si a = a ( λ ) y b = b ( λ ) : ∫ ( a + b ) dλ = ∫ adλ + ∫ b dλ
                                                          

                                       
       ii) Si k = cte : ∫ kadλ = k ∫ adλ

       iii) Si ξ ∈ [ λ1 , λ2 ] :
                                    λ2         ξ      λ2 
                                   ∫λ
                                    1
                                         adλ = ∫ adλ + ∫ adλ
                                                 λ1     ξ
                   →
               = cte y ξ = ξ ( λ ) :                 
       iv) Si υ                              ∫ υ adλ = υ ∫ adλ
                                                            
                                             ∫ υ × adλ = υ × ∫ adλ
                                                      
                                             ∫          ∫
                                               ξυ dλ = υ ξdλ
              λ2           λ1 
       v)    ∫λ1
                   adλ = − ∫ adλ
                            λ2
                                                                                                   FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

1.2.     Cálculo vectorial

 Integral de una función vectorial.                            
                                                   a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c
                                                                            
                                da ( λ ) 
                                  
                                                            ∫
       Dadas a ( λ ) , b ( λ ) /         = b(λ) ⇒ 
             
                                                                          λ2 
                                                  a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ
                                  dλ                          
                                                                          1



 Integral en función de las componentes cartesianas.
                                                   
       a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k
       


   ∫ a ( λ ) dλ =
     
                     (               ) (
                                       
                         ∫ ax ( λ ) dλ i +                ) (
                                                            
                                             ∫ a y ( λ ) dλ j +                )
                                                                  ∫ az ( λ ) dλ k




                                                                                     Fundamentos de Física. FCM.

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Elementos de algebra vectorial

  • 1. PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA: ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA (FCNM).
  • 2. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión. Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector. Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio. sentido A'  a A módulo dirección FCNM
  • 3. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial  Vector. Se denota como a ó a . Se define como un segmento orientado caracterizado por: • Un origen o punto de aplicación. Punto A.  • Un escalar o módulo, a ó a , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’. • Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha. sentido A'  a A módulo dirección FCNM.
  • 4. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Suma de vectores. Regla del polígono   d a        c d = a +b +c a c   b b Regla del paralelogramo   a a     c c = a +b   b b FCNM.
  • 5. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos.  a  −a Diferencia de vectores.   a  −b     c = a − b ⇒ c = a + (− b )   c  b   b a Producto de un vector por un escalar.  λa  a λ >1  λa λ <1 λ >0 λ<0 FCNM.
  • 6. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.       i) asociativa para la suma : ( a + b ) + c = a + ( b + c )     ii) conmutativa para la suma : a + b = b + a    iii) elemento neutro para la suma : a + 0 = a          iv) elemento simétrico para la suma : ∀a , ∃b / a + b = b + a = 0, esto es, b = −a v) asociativa para el producto : λ ( γa ) = ( λγ ) a   vi) distributiva del producto respecto a la suma de escalares : ( λ + γ ) a = λa + γa       vi) distributiva del producto respecto a la suma de vectores : λ ( a + b ) = λa + λb     vii) elemento nulo : λ 0 = 0a = 0 FCNM.
  • 7. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección   de a será:  a ua =   a Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido. Proyección de un vector sobre un eje.   a ue α Pe ( a ) = a cos α = a cos α   Pe ( a )  FCNM.
  • 8. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro. Z Z pulgar pulgar  k índice  corazón X i  Y j corazón índice Y X Levógiro (mano izquierda) Dextrógiro (mano derecha) dextrógiro Triedro cartesiano    vectores unitarios: i , j , k FCNM.
  • 9. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Sistemas de coordenadas. Z Z Z P ( x, y , z ) P( r , ϕ , z ) P ( ρ ,θ , ϕ ) z z θ ρ Y Y Y x ϕ r ϕ y X X X Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas FCNM.
  • 10. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Componentes cartesianas. Z     Z a = ax + a y + az   a  αz a  k az α  αx  y ax Y  j Y i  ay X X Componentes cartesianas Cosenos directores   a x = PX ( a ) = a cos α x ax = axi  cos α x = a x / a   a y = PY ( a ) = a cos α y ay = ay j  cos α y = a y / a   a z = PZ ( a ) = a cos α z az = az k  cos α z = a z / a FCNM.
  • 11. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Componentes cartesianas.       ax = axi ay = ay j az = az k ( )           a = a x + a y + a z = a x i + a y j + a z k = a cos α x i + cos α y j + cos α z k a x = a cos α x a y = a cos α y a z = a cos α z      a ua =  = cos α x i + cos α y j + cos α z k  a     a = a x + a y + a z = (a x , a y , a z ) FCNM.
  • 12. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.         a = axi + a y j + az k b = bx i + by j + bz k a + b = ( a x + bx ) i + ( a y + by ) j + ( a z + bz ) k             a − b = a + (−b ) = ( a x − bx ) i + ( a y − by ) j + ( a z − bz ) k FCNM.
  • 13. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Producto escalar de dos vectores.  b    α a a ⋅ b = ab cos α b cos α Propiedades.     i) conmutativa : a ⋅ b = b ⋅ a ( )        ii) distributiva : c ⋅ a + b = c ⋅ a + c ⋅ b ( ) ( )     iii) asociativa respecto a escalares : ( λa ) ⋅ γb = λγ a ⋅ b        iv) si a , b ≠ 0 y a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b             v) i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1, i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0    vi) a = a = a ⋅ a          vii) Pe ( a ) = a ⋅ ue . En consecuencia, a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k FCNM.
  • 14. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Producto escalar de dos vectores.  b    α a a ⋅ b = ab cos α b cos α Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.   a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz Ángulo que forman dos vectores.   a ⋅ b a x bx + a y by + a z bz cos α = = ab ab Fundamentos de Física. FCM.
  • 15. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Producto vectorial de dos vectores.    c = a ×b Z    • Vector perpendicular al plano determinado por a y b . c • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar   a sobre b  Y • Módulo dado por b    α c = a × b = ab sen α a X Propiedades.     i) anticonmutativo : a × b = −b × a       ii) no - asociativo : ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c )       iii) asociativo para el producto por un escalar : λa × b = a × λb = λ ( a × b )        iv) distributivo respecto a la suma : c × ( a + b ) = c × a + c × b         v) Si a , b ≠ 0 y a × b = 0 ⇔ a || b Fundamentos de Física. FCM.
  • 16. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Producto vectorial de dos vectores.    c = a ×b Z    • Vector perpendicular al plano determinado por a y b . c • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar   a sobre b  Y • Módulo dado por b    α c = a × b = ab sen α a X Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.    i j k a z = ( a y bz − a z by )i + ( a z bx − a xbz ) j + ( a x by − a y bz ) k      a × b = ax ay bx by bz FCNM.
  • 17. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Producto mixto de tres vectores. Z β (    ) c ⋅ a × b = abcsenα cos β   a ×b   Volumen del paralelepípedo c b Y formado por los tres vectores α  a X Propiedades. (          ) ( i) cíclica : a ⋅ b × c = c ⋅ a × b = b ⋅ ( c × a ) ) Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas. cx cy cz   (  ) c ⋅ a × b = ax ay a z = ( a y bz − a z by )c x + ( a z bx − a x bz ) c y + ( a x by − a y bz )c z bx by bz FCNM.
  • 18. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.1. Álgebra vectorial Momento de un vector con respecto a un punto.      MO MO (a) = r × a  M O = ar sen α = ad  a r O d α El momento de un vector con respecto ∆a x  ∆a y  i + lím P lím ∆λ →0 ∆λ aλ →0 ∆λ ∆ un punto j no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte. FCNM.
  • 19. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Función vectorial con respecto a un escalar.      a = a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k  a ( λ1 )    ∆a = a ( λ2 ) − a ( λ1 )  ∆a  a ( λ2 ) ∆λ = λ2 − λ1      λ1 = λ  ⇒ ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) λ2 = λ + ∆λ  FCNM.
  • 20. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.       ∆a = a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) = ∆λ ∆λ     da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) = lím = lím dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ   da da dλ dλ  da dλ   da a( λ )  ∆a dλ  ∆a a ( λ + ∆λ )  ∆λ FCM.
  • 21. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.     da ( λ ) ∆a a ( λ + ∆λ ) − a ( λ ) = lím = lím = dλ ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ  a x ( λ + ∆λ ) − a x ( λ )    a y ( λ + ∆λ ) − a y ( λ )   lím  i + lím  j =  ∆λ →0  ∆λ  ∆λ →0  ∆λ  ∆a x  ∆a y  da x ( λ )  da y ( λ )  = lím i + lím j= i+ j ∆λ →0 ∆λ ∆λ →0 ∆λ dλ dλ FCNM.
  • 22. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo. ∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t )    da ( t ) = lím = i+ j+ k dt ∆t →0 ∆t dt dt dt ∆a da x ( t )  da y ( t )  da z ( t )    da ( t ) = lím = i+ j+ k dt ∆t →0 ∆t dt dt dt  da dt  da dt  da dt FCNM.
  • 23. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Propiedades. i) Derivada de la suma de vectores :  da ( λ ) db ( λ )  [a( λ) + b ( λ) ] = d   + dλ dλ dλ ii) Derivada del producto de una función vectorial por un escalar : da ( λ )  ( λ ) df ( λ )  d [ f ( λ )a( λ )] = f ( λ )  +a dλ dλ dλ iii) Derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales :  [ a ( λ )b ( λ ) ] = da (λ ) b ( λ ) + a ( λ ) db λλ ) (  d   λ   dλ d d iv) Derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales :  [ a ( λ ) × b ( λ ) ] = da (λ ) × b ( λ ) + a ( λ ) × db λλ ) (  d   λ   dλ d d FCNM.
  • 24. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Algunas consecuencias. a ( λ ) = a( λ ) ua ( λ )   da ( λ ) da ( λ )  du a ( λ )   i) En general, = ua ( λ ) + a( λ )  dλ dλ dλ da ( λ ) da( λ )  da ( λ )  →   ii) Si u a ( λ ) = cte ⇒  = ua ⇔  || u a  dλ dλ dλ da ( λ ) du a ( λ ) da ( λ )     iii) Si a ( λ ) = cte ⇒ = a( λ ) ⇔ ⊥u a  dλ dλ dλ FCNM.
  • 25. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Integral de una función vectorial.   a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c    da ( λ )    ∫ Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒   λ2  a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ dλ   1 Propiedades.      i) Si a = a ( λ ) y b = b ( λ ) : ∫ ( a + b ) dλ = ∫ adλ + ∫ b dλ      ii) Si k = cte : ∫ kadλ = k ∫ adλ iii) Si ξ ∈ [ λ1 , λ2 ] : λ2  ξ  λ2  ∫λ 1 adλ = ∫ adλ + ∫ adλ λ1 ξ →  = cte y ξ = ξ ( λ ) :    iv) Si υ ∫ υ adλ = υ ∫ adλ     ∫ υ × adλ = υ × ∫ adλ   ∫ ∫ ξυ dλ = υ ξdλ λ2  λ1  v) ∫λ1 adλ = − ∫ adλ λ2 FCNM.
  • 26. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. 1.2. Cálculo vectorial Integral de una función vectorial.   a ( λ ) = b ( λ ) dλ + c    da ( λ )    ∫ Dadas a ( λ ) , b ( λ ) / = b(λ) ⇒   λ2  a ( λ2 ) − a ( λ1 ) = ∫λ b ( λ ) dλ dλ   1 Integral en función de las componentes cartesianas.    a ( λ ) = ax ( λ ) i + a y ( λ ) j + az ( λ ) k  ∫ a ( λ ) dλ =  ( ) (  ∫ ax ( λ ) dλ i + ) (  ∫ a y ( λ ) dλ j + ) ∫ az ( λ ) dλ k Fundamentos de Física. FCM.