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Razones trigonometricas
LAS RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


 las    razones    trigonométricas    se    definen
  comúnmente como el cociente entre dos lados de
  un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.
                         
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS






 La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de
  mayor longitud del triángulo rectángulo.
 El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos
  determinar.
 El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que
  queremos determinar.
funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:

 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del
  cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:




 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud
  del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:


 3) La tangente de un ángulo es la relación
  entre la longitud del cateto opuesto y la del
  adyacente:



 4) La cotangente de un ángulo es la relación
  entre la longitud del cateto adyacente y la del
  opuesto:
funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:

 5) La secante de un ángulo es la relación entre
  la longitud de la hipotenusa y la longitud del
  cateto adyacente:

 6) La cosecante de un ángulo es la relación
  entre la longitud de la hipotenusa y la
  longitud del cateto opuesto:

Representación gráfica
TAREA: N 2
   APLICACIONES DE LAS
FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS
EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS
          COMUNES
EJERCICIOS DE APLICACION
 La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza
  frecuentemente para encontrar la altura de un objeto alto
  de manera indirecta.
 Para resolver un problema de este tipo, mide el ángulo
  desde la horizontal hasta tu recta de visión, cuando veas la
  parte superior o inferior del objeto.
 Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación.
 Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.
EJERCICIO 1
 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen
 b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.





EJERCICIO 2
 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m
 de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en
 ese momento.
EJERCICIO 3
 Un dirigible que está volando a 800 m de altura,
 distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.
 ¿A qué distancia del pueblo se halla?
EJERCICIO 4
 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una
 cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno
 de 70º
EJERCICIO 5
 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde
  un punto del terreno se observa su copa bajo un
  ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un
  ángulo de 60°.
TAREA : N 3
 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
 TRIGONÓMETRICAS EN LA SOLUCION
 DE PROBLEMAS COMUNES
ACTIVIDAD N 1
 CUALES SON LAS CARACTERISTICAS DE LOS TRIANGULOS
    OBLICUANGULOS :
 Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar
  los teoremas del seno y del coseno.
 Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con
  cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:


 1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
 2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
 3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto
 4º. Conociendo los tres lados
TRIANGULOS OBLICUANGULOS :
 1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a
    él


TRIANGULOS OBLICUANGULOS
 2º. Conociendo dos lados y el ángulo
 comprendido
TRIANGULOS OBLICUANGULOS :
 Conociendo dos lados y un ángulo opuesto



 sen B > 1. No hay solución
 sen B = 1 Triángulo rectángulo
 sen B < 1. Una o dos soluciones
Actividad 2:

 Plantea y resuelve 5 problemas de aplicación
  de los teoremas del seno y coseno a
 situaciones de la vida diaria (elabora
 gráficos que expliquen el problema)
Teorema del seno
   En trigonometría, el teorema del seno es una
    relación de proporcionalidad entre las longitudes
    de los lados de un triángulo y los senos de
    los ángulos respectivamente opuestos.
   Teorema del seno
   Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados
    opuestos a los ángulos A, B y C son
    respectivamente a, b, c, entonces

  
Teorema del seno
EJERCICIO 1 :
 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C =
 105°. Determina los restantes elementos
.
Teorema del seno
EJERCICIO 2 :
 Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo,
  donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
ElElteorema delgeneralización del teorema de
   teorema del coseno es una
                              coseno
  Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente,
  en trigonometría.
 El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con
  el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
 Teorema del coseno
 Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados
  respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
El teorema del coseno
EJERCICIO 1 :
 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12
    cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los
    lados.

TEOREMA DE COSENO
EJERCICIO 2
 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12
 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los
 lados.
TEOREMA DE COSENO
EJERCICIO 3 :
TEOREMA DE COSENO
EJERCICIO 3 :
teorema del coseno
EJERCICIO 4 :
 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo
  que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas
  por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS.

 El empleo de las TICS en el área de trigonometría me ha
  permitido un aprendizaje significativo, puesto que es una
  estrategia metodológica muy didáctica ya que permite el
  estudiante aumentar el interés por los temas estudiados y
  disfrutar del manejo del computador, específicamente en el
  empleo del internet , generando un aprendizaje integral
  que promueve en el estudiante una actitud critica y
  positiva.
APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS.


 Para este año lectivo donde comenzamos a implementar la
   nueva metodología, tuve dificultades en el manejo de los
   temas planteados, puesto que considero que falta mayor
   información teórica en la clase para poder desarrollar el
   trabajo práctico, es de aclarar que      en el internet
   encontramos toda clase de información pero se hace
   necesario que la docente de trigonometría brinden la
   información requerida porque es a los docentes a los que
   les podemos preguntar nuestras inquietudes a través del
   dialogo directo.
APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS .

  Considero que los trabajos planteados para realizar en la
   ciudad de Popayán, además de aprender los temas de
   trigonometría ,cumplieron con un objetivo fundamental
   como es el de interesarnos por el lugar donde vivimos, por
   su historia y vemos como de esta manera se pueden
   correlacionar los conceptos teóricos con la práctica y
   además existe la correlación de la trigonometría con otras
   areas también fundamentales como la física, las sociales, la
   artística entre otras y de esta manera desaparece la
   educación tradicional de tiza y tablero donde el estudiante
   es un actor pasivo y se convierte en el autor de su propia
   educación.
FIN
       JESUS DAVID FREIRE CERON 1004
       FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA
       POPAYAN, NOVIEMBRE 26 DE 20011

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  • 2. LAS RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS  las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. 
  • 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS   La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.  El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.  El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
  • 4. funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:  1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:  2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
  • 5. funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:  3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:  4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
  • 6. funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:  5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:  6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: 
  • 8. TAREA: N 2 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
  • 9. EJERCICIOS DE APLICACION  La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para encontrar la altura de un objeto alto de manera indirecta.  Para resolver un problema de este tipo, mide el ángulo desde la horizontal hasta tu recta de visión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto.  Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación.  Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.
  • 10. EJERCICIO 1  De un triángulo rectángulo ABC, se conocen  b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. 
  • 11. EJERCICIO 2  Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
  • 12. EJERCICIO 3  Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
  • 13. EJERCICIO 4  Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
  • 14. EJERCICIO 5  Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
  • 15. TAREA : N 3  APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES
  • 16. ACTIVIDAD N 1  CUALES SON LAS CARACTERISTICAS DE LOS TRIANGULOS OBLICUANGULOS :  Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.  Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:   1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él  2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido  3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto  4º. Conociendo los tres lados
  • 17. TRIANGULOS OBLICUANGULOS :  1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él  
  • 18. TRIANGULOS OBLICUANGULOS  2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
  • 19. TRIANGULOS OBLICUANGULOS :  Conociendo dos lados y un ángulo opuesto  sen B > 1. No hay solución  sen B = 1 Triángulo rectángulo  sen B < 1. Una o dos soluciones
  • 20. Actividad 2:  Plantea y resuelve 5 problemas de aplicación de los teoremas del seno y coseno a situaciones de la vida diaria (elabora gráficos que expliquen el problema)
  • 21. Teorema del seno  En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.  Teorema del seno  Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces 
  • 22. Teorema del seno EJERCICIO 1 :  De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos .
  • 23. Teorema del seno EJERCICIO 2 :  Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
  • 24. ElElteorema delgeneralización del teorema de  teorema del coseno es una coseno Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.  El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:  Teorema del coseno  Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
  • 25. El teorema del coseno EJERCICIO 1 :  Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados. 
  • 26. TEOREMA DE COSENO EJERCICIO 2  Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
  • 29. teorema del coseno EJERCICIO 4 :  El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
  • 30. APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS.  El empleo de las TICS en el área de trigonometría me ha permitido un aprendizaje significativo, puesto que es una estrategia metodológica muy didáctica ya que permite el estudiante aumentar el interés por los temas estudiados y disfrutar del manejo del computador, específicamente en el empleo del internet , generando un aprendizaje integral que promueve en el estudiante una actitud critica y positiva.
  • 31. APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS.  Para este año lectivo donde comenzamos a implementar la nueva metodología, tuve dificultades en el manejo de los temas planteados, puesto que considero que falta mayor información teórica en la clase para poder desarrollar el trabajo práctico, es de aclarar que en el internet encontramos toda clase de información pero se hace necesario que la docente de trigonometría brinden la información requerida porque es a los docentes a los que les podemos preguntar nuestras inquietudes a través del dialogo directo.
  • 32. APORTE INDIVIDUAL SOBRE EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS .  Considero que los trabajos planteados para realizar en la ciudad de Popayán, además de aprender los temas de trigonometría ,cumplieron con un objetivo fundamental como es el de interesarnos por el lugar donde vivimos, por su historia y vemos como de esta manera se pueden correlacionar los conceptos teóricos con la práctica y además existe la correlación de la trigonometría con otras areas también fundamentales como la física, las sociales, la artística entre otras y de esta manera desaparece la educación tradicional de tiza y tablero donde el estudiante es un actor pasivo y se convierte en el autor de su propia educación.
  • 33. FIN  JESUS DAVID FREIRE CERON 1004  FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA  POPAYAN, NOVIEMBRE 26 DE 20011