1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA
APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
PROF. VINICIUS
4. Geometria Analítica Espacial
4.1 Vetores no Espaço
Na Geometria Analítica Plana, estuda-se as relações entre os objetos geométricos no
plano cartesiano ortogonal. Seguindo a mesma metodologia, pode-se estudar as relações
entre os objetos geométricos no espaço, tais como retas, planos, esferas e outras figuras
tridimensionais. O conjunto de técnicas e equações utilizadas para este propósito é
chamado de Geometria Analítica Espacial.
Observação: As noções de segmento orientado, vetor e as definições decorrentes
destas duas na Geometria Analítica Espacial são totalmente análogas as da Geometria
Analítica Plana. A única diferença é que, como o espaço é tridimensional, cada vetor terá
três coordenadas em lugar de duas.
Definição (espaço): O espaço é constituído por três eixos, , e ,
perpendiculares entre si, com mesma origem, a qual constitui o ponto de intersecção. Para
evitar confusão, os números reais associados a são chamados de abscissas, os números
associados a são chamados de ordenadas e os números associados a são chamados
de cotas.

2. Definição (segmento oposto): O segmento oposto a um segmento é o segmento
, ou seja, inverte-se a origem e a extremidade. Logo, se
, então
.
Exemplo: Se e , então
. E o segmento oposto de é o
segmento .
Exercício 4.1: Sejam , e . Calcule os segmentos
opostos dos vetores , e .
Definição (vetor nulo): Vetor nulo é aquele que possui módulo igual a zero.
Definição (vetor oposto): Dado um vetor , o seu oposto é o vetor que contém
todos os segmentos orientados opostos dos segmentos do vetor .
Definição (módulo): Seja um vetor. Chamamos de módulo de o
número .
Exemplo: Se , então .
Exercício 4.2: Sendo e , calcule e .
Definição (vetor unitário): Um vetor é unitário se .
Exemplo: O vetor é um vetor unitário, pois .
Exercício 4.3: Dados e , verifique quais vetores são
unitários e quais não são.

3. Definição (soma de vetores): Dados dois vetores e
, a soma de e é o vetor .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 4.4: Dados , e , calcule
, e .
Definição (diferença de vetores): Dados dois vetores e
, a diferença de e é o vetor .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 4.5: Dados , e , calcule
, e .
Definição (multiplicação por número real): Dado um número real e um vetor
, a multiplicação por número real de por é o vetor
.
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 4.6: Dados , e , calcule
, e .
Definição (base): Assumindo , e podemos
representar qualquer vetor do espaço tridimensional (fazendo uso de soma de vetores e do
produto escalar). Por isto, o conjunto é chamado de base do espaço tridimensional
ou base do .

4. Exemplo: .
4.2 Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto
Definição (produto escalar): Dados dois vetores e
, o produto escalar é o número .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 4.7: Calcular o produto escalar , sendo e
.
Teorema: Dados dois vetores e , sendo o ângulo formado entre eles, então
.
Exemplo: Se e , então , e portanto,
.
Exercício 4.8: Calcular o ângulo entre e , sendo e .
Exercício 4.9: Calcular o módulo dos vetores e , sabendo que e
e o ângulo entre e é de .
Definição (vetores ortogonais): Dois vetores e são ortogonais quando .
Exemplo: Se e , então
, e portanto, e são ortogonais.
Exercício 4.10: Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor .
Observação: o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, pois o produto escalar dele
com qualquer outro vetor sempre resulta em zero.

5. Observação: Uma forma alternativa de constatar que a ortogonalidade está ligada ao
fato de o produto escalar resultar em zero é observar que na expressão
do teorema acima, se , então .
Propriedades do produto escalar:
E1:
E2:
E3:
E4:
E5:
E6:
Definição (produto vetorial): Dados dois vetores e
, o produto vetorial entre e é o vetor ,
onde , e .
Exemplo: Se e , então
.
Observação: O significado geométrico do módulo do produto vetorial de dois
vetores é a área do paralelogramo formado pelos referidos vetores.
Exercício 4.11: Dados os vetores , e ,
calcular: a) ; b) ; c) .

6. Exercício 4.12: Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores
e .
Propriedades do produto vetorial:
V1:
V2:
V3:
V4:
V5: é ortogonal simultaneamente a e a
V6: e
Definição (produto misto): Dados três vetores , e
, o produto misto entre , e é o número
.
Exemplo: Se , e , então
.
Observação: O significado geométrico do módulo do produto misto de três vetores é
que o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores (deste que estes não sejam
colineares), é dado por .
Exercício 4.13: Calcular o produto misto dos vetores , e
.

7. Exercício 4.14: Dados os vetores e , determine o volume do
paralelepípedo definido por , e , onde , e
.
Propriedades do produto misto:
M1:
M2:
M3:
4.3 Projeção
Definição (projeção de um vetor): A projeção de um vetor sobre um vetor é
dada por .
Exemplo: Se e , então
.
Exercício 4.15: Determinar o vetor projeção do vetor na direção de
.
Exercício 4.16: Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo
dos ?
4.4 Estudo da Reta e do Plano
Equações Reduzidas da Reta:

8. Exemplo:
Equação vetorial da reta: Seja o vetor que determina todos os pontos de
uma reta , seja um ponto qualquer de e um vetor que possui mesma
direção de . Então . O vetor é chamado de vetor diretor de .
Exemplo: Partindo de , vamos considerar o ponto , o
ponto e o vetor formado por e , no sentido de , ou seja,
. Como possui mesma direção de , então podemos
tomar na equação vetorial. Logo, a equação vetorial de pode ser escrita como
.
Equações Paramétricas da Reta: .
Exemplo: Partindo da equação vetorial , poderíamos
escrever as equações paramétricas de como .
Equação Simétrica: .
Exemplo: Partindo da equação paramétrica , poderíamos escrever a
equação simétrica .
Observação: Da equação simétrica podemos voltar para a equação reduzida. Por
exemplo, da equação simétrica , podemos isolar em função de e
obter
, e também podemos isolar em função de e obter

9. .
Portanto, , que é exatamente a equação de onde partimos.
Exercício 4.17: Obtenha os quatro tipos de equação da reta para as retas
, , e .
Definição (pontos colineares): Dizemos que três pontos são colineares quando estes
pontos pertencem a mesma reta.
Condição de colinearidade: Três pontos , e
são colineares se .
Exemplo: Os pontos , e são colineares,
pois satisfazem a condição acima.
Exercício 4.18: Mostre que os pontos , e são
colineares.
Condição de paralelismo de retas: Sejam e retas e e
seus respectivos vetores diretores. Então e são paralelas se
.
Exemplo: e são paralelas, pois seus vetores
diretores e satisfazem a condição de paralelismo.
Exercício 4.19: Mostre que as retas e são
paralelas.

10. Condição de coplanaridade de retas: Sejam e retas, e
seus respectivos vetores diretores, um ponto qualquer de e um
ponto qualquer de . Então e são coplanares se .
Exemplo: As retas e são coplanares. De fato,
se considerarmos o vetor diretor de , e o vetor diretor de , ,
e além disso, tomarmos os pontos e , teremos
, e assim, a condição de coplanaridade estará satisfeita.
Exercício 4.20: Mostre que as retas e são
coplanares.
Equação do plano: , onde são as coordenadas de
algum vetor ortogonal a . O vetor é chamado de vetor normal do plano .
Observação: Analisando a equação do plano, nota-se que os coeficientes são
dados diretamente por algum vetor normal ao plano. No entanto, ainda faltará determinar o
coeficiente , que só pode ser obtido substituindo-se um ponto qualquer do plano na
equação. Logo, para formar a equação de um plano no espaço tridimensional, precisa-se de
um vetor normal a este plano e um ponto do plano.
Exemplo:Vamos encontrar a equação de um plano que tem vetor normal
, sendo um ponto deste plano. Como , então a
equação deste plano tem a forma . Para determinar , basta
substituir o ponto na equação. Deste modo temos, , e assim,
. Portanto a equação do plano é .
Exercício 4.21: Encontre a equação do plano que tem vetor normal
e contém o ponto .

11. Observação: Nem sempre o vetor normal é dado para obter a equação do plano. No
entanto, outras informações tais como vetores diretores de retas ou coordenadas de pontos
no plano, por exemplo, podem ajudar na obtenção de um vetor normal. Podemos
convenientemente utilizar a propriedade que diz “o produto vetorial de dois vetores é
simultaneamente ortogonal aos dois vetores” para obter vetores ortogonais ao plano. Isto
pode ser feito através do cálculo do produto vetorial de dois vetores diretores de retas, ou
dois vetores obtidos de pontos no plano, desde que tais vetores não sejam paralelos (pois
neste caso o produto vetorial entre os vetores será zero, e não será possível obter o vetor
normal).
Exercício 4.22: Escreva a equação do plano determinado pelos pontos ,
e .
Exercício 4.23: Determine a equação do plano que contém os pontos e
e é perpendicular ao plano .
Exercício 4.24: Determine a equação do plano que contém o ponto e é
perpendicular aos planos e .
Exercício 4.25: Determine a equação do plano que contém as retas
e .
Exercício 4.26: Determinar a equação do plano que contém o ponto e a
reta .
4.5 Distâncias no Espaço
Distância entre dois pontos: Dados dois pontos e , a
distância entre e é o número .

12. Exercício 4.27: Mostrar que o ponto é eqüidistante dos pontos
e .
Distância entre ponto e reta: Dado um ponto qualquer no espaço e uma reta de
vetor diretor , a distância entre e é pode ser calculada pela fórmula
, onde é algum ponto da reta .
Exercício 4.28: Calcule a distância do ponto à reta .
Distância entre retas paralelas: Dadas duas retas paralelas e , a distância entre e
pode ser calculada por uma das duas fórmulas seguintes: , com ;
ou , onde .
Exercício 4.29: Calcule a distância entre as retas e .
Distância entre retas concorrentes: Por definição, se duas retas e são
concorrentes, logo, .
Exercício 4.30: Calcule a distância entre as retas e .
Distância entre retas reversas: A distância entre duas retas reversas e é calculada
por , onde , , é vetor diretor de e é vetor diretor de .
Exercício 4.31: Calcule a distância entre as retas e .
Distância entre ponto e plano: Dado um ponto qualquer do espaço e
um plano de vetor normal , a distância entre e é calculada através da
fórmula .

13. Exercício 4.32: Calcule a distância do ponto ao plano
.
Distância entre planos: Dados dois planos paralelos e , a distância entre estes
dois planos pode ser calculada através de qualquer uma das duas fórmulas seguintes:
, com ; ou , com .
Exercício 4.33: Determinar a distância entre os planos paralelos
e .
Distância entre reta e plano: Dada uma reta e um plano , a distância de até é
calculada por , onde .
Exercício 4.34: Determine a distância da reta ao plano .
4.6 Esfera
Equação da esfera centrada em com raio :
.
4.7 Superfícies Quádricas
Elipsóide: .
Hiperbolóide de uma folha: ou
ou .

14. Hiperbolóide de duas folhas: ou
ou .
Parabolóide elíptico: ou
ou .
Parabolóide hiperbólico: ou
ou .
Nos exercícios que vão de 4.35 até 4.42, identifique a quádrica representada pela
equação fornecida:
Exercício 4.35:
Exercício 4.36:
Exercício 4.37:
Exercício 4.38:
Exercício 4.39:
Exercício 4.40:
Exercício 4.41:
Exercício 4.42:
Nos exercícios que vão de 4.43 até 4.50, reduza cada uma das equações `forma
canônica e identifique a quádrica:
Exercício 4.43:
Exercício 4.44:

15. Exercício 4.45:
Exercício 4.46:
Exercício 4.47:
Exercício 4.48:
Exercício 4.49:
Exercício 4.50:
3.8 Respostas dos Exercícios
4.1) ; ;
4.2) e
4.3) não é unitário; é unitário.
4.4) ; ;
4.5) ; ;
4.6) ; ; .
4.7)
4.8)
4.9) ;
4.10) Um deles é
4.11) a) ; b) ; c)

16. 4.12)
4.13)
4.14) unidades de volume
4.15)
4.16) unidades de medida
4.17) Se você conseguir voltar para a equação reduzida original, então está correto.
4.18) Basta mostrar que satisfazem a condição de colinearidade.
4.19) Basta mostrar que satisfazem a condição de paralelismo de retas.
4.20) Basta mostrar que satisfazem a condição de coplanaridade de retas.
4.21)
4.22)
4.23)
4.24)
4.25)
4.26)
4.27)
4.28)
4.29)
4.30)

17. 4.31)
4.32)
4.33)
4.34)
4.35) Superfície esférica
4.36) Elipsóide
4.37) Hiperbolóide de uma folha
4.38) Hiperbolóide de duas folhas
4.39) Parabolóide circular
4.40) Parabolóide circular
4.41) Parabolóide hiperbólico
4.42) Parabolóide circular
4.43) , elipsóide
4.44) , hiperbolóide de uma folha
4.45) , hiperbolóide de duas folhas
4.46) , superfície esférica
4.47) , parabolóide circular
4.48) , parabolóide elíptico

18. 4.49) , parabolóide hiperbólico
4.50) , hiperbolóide de uma folha
Vinicius Carvalho Beck, 1º edição, Outubro de 2011