ff

1. 1
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL (42)
ESTRUCTURA II SECCION VIRTUAL
“ESTRUCTURAS
ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS”
Prof. Asesor: Bachiller:
Ing. Lorenzo Mantilla Villarroel Orlando C.I. 21.347.424
MATURIN, MAYO DE 2014

2. 2
INDICE
Pag.
INTRODUCCIÓN................................................................................1
DESARROLLO....................................................................................2
1) Definición de Estructuras Estáticamente Indeterminadas..................2
1.1) Estructuras Hiperestáticas Básicas...........................................3
1.2) Grado de Indeterminación Estática (GIE) o Grado de
Hiperestaticidad.....................................................................4
2) Equilibrio......................................................................................6
2.1) Definición de Equilibrio Estático.............................................6
2.2) Definición de Equilibrio Dinámico...........................................7
2.3) Ecuaciones básicas de equilibrio............................................8
2.4) Ecuaciones alternas de equilibrio...........................................9
2.5) Estabilidad y determinación externas...................................10
2.6) Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras
planas..............................................................................10
2.7) Estabilidad y determinación interna.....................................11
2.8) Armaduras.........................................................................11
2.9) Marcos y pórticos...............................................................14
2.10) Sistemas estructurales que combinan elementos tipo
cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.........15
2.11) Aplicación de las ecuaciones de Equilibrio............................16
3) Compatibilidad............................................................................17
4) Relación Fuerza-Desplazamiento..................................................22

3. 3
5) Condiciones a satisfacer en la resolución de Estructuras
Estáticamente Indeterminadas.....................................................29
6) Métodos Generales de Análisis de Estructuras Estáticamente
Indeterminadas...........................................................................30
6.1) Método de flexibilidades en el cálculo de estructuras
estáticamente indeterminadas......................................................31
6.1.a) Pasos en la solución de las Estructuras
Hiperestática aplicando el método de flexibilidades.......37
6.2) Método de rigideces en la solución de Estructuras
indeterminadas.....................................................................40
CONCLUSIÓN...................................................................................45
BIBLIOGRAFIA................................................................................46

4. 4
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

5. 1
INTRODUCCIÓN
Una estructura es cualquier extensión de un medio material sólido, que
esta destinado a soportar alguna acción mecánica aplicada sobre él.
Las estructuras no se construyen solamente para que resistan, sean
estables, mantengan sus formas, soporten la agresión del medio, tengan un
aspecto estético; se construyen también, para que cumplan unas
determinadas finalidades o funciones (soporte, aislamiento, contención,
transmisión de esfuerzos,...) cuya consecución en el tiempo es lo que
condiciona, generalmente, su tipología y las características exigibles a su
comportamiento; como es el caso, específicamente de las Estructuras
Estáticamente Indeterminadas.
Debido a que es muy común encontrarse con este tipo de estructuras, e
el Ingeniero que se enfrenta al diseño de una estructura, debe ir más allá que
a la simple aplicación, por lo que debe conocer la morfología de la
estructura y las causas profundas de su comportamiento, que se pueden
determinar al realizar un análisis de la estructura.
El Análisis de Estructuras es, en un sentido amplio, el conjunto de
métodos y técnicas que permite evaluar, en primer lugar, la vialidad de las
estructuras que se diseñan y en segundo lugar, el grado de satisfacción de
los múltiples criterios de diseño.
Por lo antes expuesto, con la finalidad de conocer más sobre este tema
me propongo a desarrollar los diferentes ítems de este trabajo que
comprende: Definición de estructuras estáticamente indeterminadas,
Equilibrio, Compatibilidad, Relación fuerza-desplazamiento, Condiciones a
satisfacer en la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas,
Métodos generales de análisis de estructura estáticamente indeterminada.

6. 2
1) Definición de Estructuras Estáticamente Indeterminadas
- Son estructuras que necesitan más elementos de los necesarios para
mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero
modifica sus condiciones de funcionamiento estático. Son también llamadas
estructuras hiperestáticas.
- Son aquellas estructuras en las que el número de restricciones de
apoyo o incógnitas de reacciones, es mayor al número de ecuaciones de
equilibrio estático disponibles para su análisis y solución, por tanto el valor
obtenido en la ecuación de grado de hiperestaticidad es mayor que cero.
Fig. 1.- Ejemplo de Estructuras Hiperestáticas

7. 3
Mientras que una estructura es estáticamente determinada si el número
de ecuaciones de equilibrio estático es igual al número de incógnitas
presentes en dicha estructura, a diferencia de que en una estructura
hiperestática, el número de ecuaciones es menor que la cantidad de
incógnitas el sistema es hiperestático y se requerirá de otras ecuaciones
adicionales. Si el número de ecuaciones es mayor que la cantidad de
incógnitas el sistema es inestable y corresponderá a un mecanismo.
Fig. 2.- Estructura Isostática
Fig. 3.- Estructura Hiperestática
1.1) Estructuras Hiperestáticas Básicas
Son estructuras conformadas por un elemento de tipo barra y nodos en
sus extremos, los cuales presentan cierto grado de indeterminación debido a
la cantidad mayor de incógnitas que de ecuaciones de equilibrio. Es la
3 incógnitas (R1, R2, MA)
3 Ecs. ( Fv, FH, M)
3 incógnitas (R1, R2,R3, MA)
3 Ecs. ( Fv, FH, M)

8. 4
estructura hiperestática más simple a partir de la cual se pueden configurar
estructuras más complejas.
1.2) Grado de Indeterminación Estática (GIE) o Grado de
Hiperestaticidad
Es número de fuerzas redundantes de la estructura, es decir, el número
de fuerzas incógnita independientes que no pueden determinarse mediante
las ecuaciones de equilibrio de la estructura, dado que el número de
incógnitas estáticas excede el número total de ecuaciones de equilibrio
disponibles.
El número de fuerzas redundantes no varía para una misma estructura,
aunque sí variará la selección que se haga de éstas de entre todas las fuerzas
incógnitas.
Llamamos:
B = número de barras
N = número de nudos
tb = número de desconexiones totales en extremo de barra
R = número de reacciones
El número total de incógnitas estáticas se obtiene sumando las
incógnitas externas (reacciones) y las incógnitas internas (esfuerzos de
extremo de barra).
Dado que una barra perteneciente a una estructura plana tiene 2
extremos (i,j) y 3 esfuerzos en cada uno de ellos (axil, cortante y flector: Fxi,
Fyi, Mi, Fxj, Fyj, Mj), el número total de incógnitas estáticas será:

9. 5
Número total de incógnitas estáticas: 6B + R
El número total de ecuaciones de equilibrio se obtiene sumando las
ecuaciones de equilibrio en nudo y en barra, que son 3 respectivamente en el
caso de estructuras planas. A éstas hay que sumarle una ecuación por cada
desconexión total en extremo de barra, ya que aporta una condición de
esfuerzo nulo en la dirección de la desconexión.
Número total de ecuaciones de equilibrio: 3N + 3B + Dtb
El GIE se obtiene descontando del número total de incógnitas estáticas
el número de ecuaciones de equilibrio, es decir, mediante la expresión:
GIE = (6B + R) – (3N + 3B + tb) = (3B + R) – (3N + Dtb)
La aplicación de esta expresión implica una modelización previa de la
estructura, separando nudos y barras y asignando a cada extremo de éstas
sus condiciones de vínculo, así como identificando los tipos de apoyo y sus
reacciones asociadas.
Puede utilizarse una variante de esta expresión que no necesita
modelización si se distingue entre nudos libres (NL) y apoyos (A) y se añaden
las desconexiones totales en los apoyos (DtA). Entonces:
3N = 3NL + 3A y R = 3A - DtA
Al sustituir en la expresión del GIE se obtiene esta nueva expresión que
no necesita de modelización previa:
GIE = (3B + R) – (3N + tb)= (3B + 3A- DtA) – (3NL + 3A + Dtb)
GIE = (3B) – (3NL + Dtb+ DtA)
Una estructura es hiperestática cuando el GIE >0. En ese caso el
número de ecuaciones de equilibrio es menor (< ) que el número de
incógnitas estáticas.

10. 6
Una estructura hiperestática tiene infinitas configuraciones
estáticamente admisibles. Será, por lo tanto, estáticamente indeterminada
(para obtener la configuración estática real tendríamos que considerar las
condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento)
Fig. 4.- Estructura Hiperestática o Estáticamente Indeterminada
GIE = (3B) – (3NL + tb + DtA)= 15 –(9+2+2)=2
2) Equilibrio
2.1) Definición de Equilibrio Estático: Decimos que un cuerpo se
encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante
la acción de unas fuerzas externas.
El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las
partes.

11. 7
2.2) Definición de Equilibrio Dinámico: Decimos que un cuerpo se
encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o
vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su
soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y
en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.
El método de equilibrio es un método general de análisis de estructuras,
ya que puede aplicarse también para resolver estructuras isostáticas.
Fig. 5.- (a)Estructura Reticulada. (b) Pieza considerada aislada.
c) Superposición de cargas sobre la pieza y momentos de extremo.

12. 8
Consideremos una estructura reticulada de plano medio como de la
Fig.5.a.- Una pieza genérica de la estructura, tal como la AB, puede
considerarse aisladamente, considerándola como biapoyada, siempre que se
añadan a las cargas que inciden directamente sobre ella los momentos en los
extremos, MAB Y MBA, que el resto de la estructura ejerce sobre ella a través
de los nudos. (ver Fig. 5.b). Es evidente que, conocidos estos momentos de
extremidad, se pueden calcular las leyes de esfuerzos sobre las piezas y el
problema estructural queda resuelto.
2.3) Ecuaciones básicas de equilibrio
Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la
primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y
rotación.
y
Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones
escalares, tres de traslación y tres de rotación.
, estas tres corresponden a tres
posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del
cuerpo y corresponden a tres grados de
libertad de rotación. En total representan seis formas de moverse, seis
grados de libertad para todo cuerpo en el espacio.
Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que
representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y
una rotación:

13. 9
2.4) Ecuaciones alternas de equilibrio
En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones
de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:
a) Una ecuación de traslación y dos momentos:
siempre y cuando se cumpla que los
puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela
a Y.
Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones
estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.
b) Tres ecuaciones de momento:
.
Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y
c no pueden ser colineales.
Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama
de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas
externas aplicadas a ella.
Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las
cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e
infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos,
esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son
proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas.
Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para
el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada
una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta
los apoyos (estabilidad interna).

14. 10
2.5) Estabilidad y determinación externas
La estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número
de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre
y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.
Las ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las
ecuaciones de equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en
las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas),
por ejemplo:
-Caso de reacciones concurrentes
No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el
punto de concurrencia de las reacciones.
_ Caso de reacciones paralelas
No restringen el movimiento perpendicular a ellas.
2.6) Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras
planas
Si # reacciones = # ecuaciones estáticas más ecuaciones de
condición; hay estabilidad.
Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable .
Si # reacciones > # ecuaciones; es estáticamente indeterminado o
hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina
por:
GI externo = # reacciones - # ecuaciones

15. 11
2.7) Estabilidad y determinación interna
Una estructura es determinada internamente si después de conocer las
reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las
ecuaciones de equilibrio.
Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la
estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.
La estabilidad y determinación interna están condicionadas al
cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la
estructura.
Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos:
El método de las secciones y el método de los nudos.
En el método de los nudos se aplican las ecuaciones
(armaduras planas) a cada nudo en sucesión y en el
método de las secciones se aplican las ecuaciones
a cada una de las partes de la estructura y se
obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de
corte trazada adecuadamente.
2.8) Armaduras
Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación,
donde cada uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.
Por cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.
Si n es el número de nudos, m es el número de miembros y r es el
número de reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos:
Número de ecuaciones disponibles: 2 x n

16. 12
número de incógnitas o fuerzas a resolver = m, una fuerza por cada
elemento, note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias
para mantener el equilibrio.
Entonces si:
2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente y
m = 2.n–r representaría la ecuación que define el número de barras mínimas
para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no
suficiente, ya que se debe verificar también la formación de la estructura en
general, por ejemplo al hacer un corte siempre deben existir barras de tal
manera que generen fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte y axial)
y posibles pares de momento resistente.
Si m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada
internamente, r sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la
estabilidad externa ya que sólo estamos analizando determinación interna.
Ejemplos:
1.
Determinación interna:
m = 13 m + r = 2n
n = 8 13 + 3 = 2 x 8 Cumple
r = 3

17. 13
2.
3.
4.
- Estabilidad y determinación total en armaduras
Simplemente se aplica la ecuación:
m = 2 n – r donde r en este caso se considera el número de reacciones
totales consideradas.
Para el ejemplo anterior tenemos:
m = 6 n = 4 r = 4
6 > 8 – 4
GI total es 6 – 4 = 2

18. 14
2.9) Marcos y pórticos
Para el análisis de la determinación y estabilidad internas se usa el
método de las secciones. En este caso cada elemento trabaja como elemento
tipo viga sometido a tres fuerzas internas: Corte, Axial y Momento.
Se inicia partiendo la estructura en varias partes de tal manera que en
cada corte se solucionen las fuerzas internas de cada elemento. En el caso de

19. 15
pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que aíslen
esos anillos.
2.10 Sistemas estructurales que combinan elementos tipo
cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.
Para la determinación interna se recomienda separar la estructura en
sus partes, hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incógnitas
y ecuaciones disponibles.
Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.
La determinación y estabilidad externa se encuentran por los métodos
usados para las otras estructuras.

20. 16
En el análisis externo tenemos:
3 reacciones, 3 ecuaciones estáticas; entonces es estáticamente
determinado y estable. Note que la estructura no necesita de sus reacciones
para mantener su forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.
Internamente, partiendo en las uniones:
Número de incógnitas: 6. Número de ecuaciones: 9-3 de la estática
externa=6.
Estable y estáticamente determinado internamente.
Si una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus
uniones, ésta barra trabaja como cercha y se eliminan dos incógnitas, pero
también sus ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres.
2.11) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio
Determinación de reacciones por proporciones:
Para determinar las reacciones en vigas sometidas a cargas puntuales
podemos aplicar la siguiente regla:
Siempre la reacción de un lado será igual a la carga puntual multiplicada
por la distancia de la carga al apoyo contrario dividido la longitud del
elemento.
Para determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos
que el momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los
apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido por la separación

21. 17
entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al
aplicado externamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de
sumatoria de fuerzas verticales igual a cero.
Estas dos reglas junto con el principio de superposición nos ayudarán
bastante en la determinación de las reacciones en vigas simplemente
apoyadas.
3) Compatibilidad
El método de compatibilidad toma las fuerzas como incógnitas del
problema. Las ecuaciones de equilibrio se escriben en función del las fuerzas
aplicadas y de las reacciones. En una estructura hiperestática, el número de
reacciones o fuerzas internas desconocidas excede el número de ecuaciones
independientes de equilibrio en un número que, como hemos visto, se llama
grado de hiperestatismo. Se selecciona un conjunto de fuerzas incógnita
redundantes (reacciones o internas), se liberan las condiciones de apoyo o de
enlaces correspondientes y se suponen las fuerzas redundantes actuando
sobre la estructura como si esta fuese isostática (Estructura Isostática Base).
Se escribe entonces una ecuación de compatibilidad por cada punto donde se
ha liberado un apoyo o enlace; esta ecuación debe imponer que los
movimientos de la estructura “liberada” sean idénticos a los de la estructura
original. Estas ecuaciones se expresan en función de las incógnitas
hiperestáticas, por lo que se obtiene un sistema de ecuaciones lineales
simultáneas cuya resolución permite determinar aquellas.

22. 18
Fig. 6: Ejemplo de estructura hiperestática
La Estructura de la Fig. 6 está formada por tres muelles lineales de
idéntica rigidez K que soportan una placa rígida. Se pretende determinar la
fuerza que soporta cada muelle si sobre la placa actúa una fuerza P
excéntrica como la dibujada.
Llamemos F1, F2 y F3, a las fuerzas que soportan cada uno de los
muelles. Las dos ecuaciones de equilibrio estático aplicables son:
1.(a) 1.(b)
En este problema se tienen tres incógnitas y solo dos ecuaciones o sea,
que el problema es una vez hiperestático. Se elige como fuerza redundante
F2. En función de ésta, las funciones de equilibrio se pueden reescribir como:
2.(a) 2.(b)

23. 19
La Ecuación adicional necesaria para resolver el problema se obtiene
tomando en cuenta los movimientos de la estructura. Así, el desplazamiento
vertical del punto B en la placa rígida debe ser igual al alargamiento del
muelle 2.
Los dos problemas estáticamente determinados que se deben resolver
se muestran en la Fig. 7
Fig. 7 Planteamiento del método de compatibilidad
Para el primer problema, indicado en la Fig. 7 (a), despejamos de las
ecuaciones de equilibrio F1 y F3 en función de la redundante F2 y se obtiene:
3.(a) 3.(b)

24. 20
Usando las relaciones fuerza-desplazamiento en los muelles 1 y 3 es
posible calcular sus alargamientos y, por consiguiente, los desplazamientos
verticales de los puntos A y C como:
4.(a) 4.(b)
Como la placa horizontal es rígida es posible expresar el desplazamiento
del punto B en función de los desplazamientos A y en C, como se muestra en
la figura 7(c). El desplazamiento en B es claramente el valor medio de los
desplazamientos en A y en C. Esto es:
5.(a)
El segundo problema estáticamente determinado se muestra en la Fig.
7(b). Si la estructura debe quedar bien ajustada al recombinar los dos
problemas estáticamente determinado, el desplazamiento en B en el primer
problema debe ser igual al alargamiento del elemento central en el segundo
problema.
6.(a)

25. 21
Igualando las expresiones obtenida para B en los dos problemas (5.a y
6.a), se tienen:
7.(a)
De donde se obtienen el valor de la incógnita hiperestática F2 = P/3. F1
y F3. Se puede entonces determinar con las ecuaciones (3.a y 3.b) como:
8.(a) 8.(b)
Estas fuerzas verifican las ecuaciones de equilibrio originales. El
alargamiento de cada elemento se puede determinar muy fácilmente con la
fórmula:
9.(a)
Obsérvese que la elección de la fuerza F2 como redundante es
arbitraria. El problema puede resolverse de forma análoga tomando
cualquiera de las otras dos fuerzas como incógnita hiperestática. Nótese

26. 22
también que se ha resuelto el problema mediante la imposición de una sola
ecuación de incompatibilidad, ya que el problema es una vez hiperestático.
4) Relación Fuerza-Desplazamiento
Un papel muy importante en el análisis estructural lo juega la relación
entre las fuerzas y los desplazamientos.
Consideremos un resorte linealmente elástico Fig. 8, sometido a la
acción de una fuerza (A), en este caso de compresión.
Fig. 8.
Como puede observarse bajo la acción (A) el resorte sufre un
desplazamiento (D) y la relación entre (A) y (D) viene expresada por la
ecuación de desplazamiento (3.1) de la siguiente manera:
D= F.A............................................................................(1.0)
Donde:
D= Desplazamiento
A= Acción
F= Flexibilidad del resorte
Según la expresión (3.1) la flexibilidad del resorte (F) se define como el
desplazamiento producido por un valor unitario de la acción (A)
La relación entre a y d también se puede expresar POR:
A = K. D..............................................................................(1.1)

27. 23
Siendo: K = Rigidez del resorte
La rigidez del resorte es la acción necesaria para producir un
desplazamiento unitario.
Si comparamos las ecuaciones (1.0) y (1.1) se puede observar que la
relación existente entre (F) y (K) es inversa, es decir:
En una estructura linealmente elástica sujeta a una sola acción se
pueden aplicar las relaciones (1.0), (1.1), (1.2) de la siguiente manera:
Supongamos una viga simplemente apoyada, Fig. 9.a sometida a acción
de una sola fuerza (A)
El desplazamiento D mostrado en la figura consiste en una traslación
vertical hacia debajo de la viga en el punto donde actúa la fuerza (A) sobre la
viga.
Fig. 9.
y
.............................(1.2)
(a)
(b)
(c)

28. 24
En este caso, el desplazamiento D es causado por la fuerza A y a la vez
se encuentra ubicado en el punto donde actúa dicha fuerza. Fig. 9.a
La flexibilidad (f) es el desplazamiento producido por un valor unitario
de carga Fig. 9.b.
La rigidez (K) es la carga que produce un valor unitario del
desplazamiento Fig 9.c.
En el caso particular de la Fig. 9. , el valor de la flexibilidad (F) será:
Siendo:
L = longitud de la viga
EI = Rigidez a la flexión y el valor de la rigidez (K), sera:
Es conveniente observar que la flexibilidad (F) tiene y unidades de
longitud entre unidades de fuerza y la rigidez (K) tiene unidades de fuerza
entre unidades de longitud.
Consideremos el caso de la Fig. 10.a., a donde la viga continua está
sometida a la acción de un par A1 y dos fuerzas verticales A2 y A3.
(a)
(b)

29. 25
FIG. 10.
La Fig. 10.b representa la elástica producida por las cargas que actúan
sobre la viga. Los desplazamientos D1, D2; D3 se consideran positivos por
tener los mismos sentidos de sus acciones correspondientes.
Utilizando el principio de superposición de efectos, cada uno de los
desplazamientos de la Fig. 10.b puede expresarse como la suma de los
desplazamientos producidos por las cargas A1, A2, A3 actuando por separado.
Por ejemplo:
D1 = D11, D12, D13
Siendo D11 el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A1
D12 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A2 y D13 es
el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A3.
De la misma manera:
D2 = D21+D22+D23
D3 = D31+D32+D33
Como se puede observar el primer subíndice corresponde al punto
donde se efectúa el desplazamiento y el segundo subíndice corresponde a la
carga bajo la cual se efectúa el desplazamiento.
(c)
(d)(d)
(e)

30. 26
Por ejemplo: D21 es el desplazamiento producido en el punto (2) y
causado por la carga A1, siendo el punto (2) correspondiente al punto de
aplicación de A2.
Cada uno de los desplazamientos:
D11; D12; D13
D21;D22;D23
D31;D32;D33
Son desplazamientos causados por una de las cargas, así por ejemplo
D23 es un desplazamiento causado por A3 solamente y es igual a A3
multiplicado por cierto coeficiente (F) en este caso F23.
Al expresar los desplazamientos en términos de carga:
D1 = F11A1+F12A2+F13A3
D2 = F21A1+F22A2+F23A3 ……………………………………….(1.3)
D3 = F31A1+F32A2+F33A3
La expresión F11A1 representa al desplazamiento D11.
Los coeficientes F21A1 representan al desplazamiento D21 y así
sucesivamente.
Los coeficientes que multiplican a las acciones reciben el nombre de
coeficiente de flexibilidades, así por ejemplo: F11 es un coeficiente de
flexibilidad que representa el desplazamiento correspondiente a la acción A1 y
causado por un valor unitario de A1.
Al considerar el caso inverso, es decir, en lugar de expresar los
desplazamientos en función de las acciones se expresan las acciones en
función de los desplazamientos.
Tomemos la misma viga de la Fig. 10. sometida a la acción de A1, A2 y
A3. Fig. 11.

31. 27
Fig.11
Sobre la viga continua de la Fig. 11.a actúan un par de momento A1, la
carga vertical A2 y la Carga Vertical A3. Dichas acciones se toman positivas en
las direcciones y sentidos mostrados en la Fig.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

32. 28
La elástica producida bajo la acción de las cargas que actúan sobre la
viga está representada en la Fig. 11.b donde los desplazamientos A1, A2 y A3.
La Fig. 11.c.-, representa la viga con un desplazamiento unitario (en
este caso rotación) correspondiente A1 y los desplazamientos
correspondientes A2 y A3 son nulos. Para obtener estos desplazamientos en la
viga se requiere de restricciones artificiales adecuadas. Estas restricciones
están representadas en la Fig. 11.c.- por las restricción de rotación en A1
después de hacer rotar la viga una cantidad igual a la unidad en A1 y los
apoyos artificiales colocados en A2 y A3.
Las acciones de restricción desarrolladas por estos apoyos artificiales
son de coeficiente de rigidez (K)
Por ejemplo, K11 es la acción correspondiente a A1 y causada por una
rotación unitaria en A1 en tanto que los desplazamientos correspondientes a
A2 y A3 se mantienen nulos.
Cada coeficiente de rigidez es una reacción para la estructura fija y
tiene la misma dirección y sentido de la acción correspondiente.
Si el sentido real de una de las rigideces es opuesto al asumido, el
coeficiente tendrá un valor negativo una vez calculado
En lugar de expresar los desplazamientos en términos de las acciones
como se hizo en la ecuación 10, se pueden escribir las ecuaciones de acción
en función de los desplazamientos, por ejemplo:
A1 = K11D1 + K12D2+K13D3
A2 = K21D1 + K22D2+K23D3
A3 = K31D1 + K32D2+K33D3
Donde K11; K21; K31.......y etc. son los coeficientes de rigidez.
El coeficiente de rigidez representa una acción debida a un
desplazamiento unitario.

33. 29
5) Condiciones a satisfacer en la resolución de Estructuras
Estáticamente Indeterminadas
Las condiciones que, en principio, debe satisfacer todo análisis
estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad teniendo en cuenta el
comportamiento tenso-deformacional de los materiales. Generalmente, las
condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-deformacionales de los
materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden
adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente,
siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las condiciones
de ductilidad apropiadas.
Las estructuras deben satisfacer cuatro criterios básicos:
Funcionalidad: toda estructura debe servir para aquello para lo
que ha sido concebida.
Seguridad: toda estructura debe soportar las cargas a las que
se ve sometida durante su vida útil.
Economía: toda estructura debe construirse aprovechando los
recursos materiales disponibles.
Estética: toda estructura debe tener una apariencia exterior
adecuada.

34. 30
6) Métodos Generales de Análisis de Estructuras
Estáticamente indeterminadas
Existen dos métodos generales para a analizar las estructuras
indeterminadas:
Si se analiza la estructura desde el punto de vista de la estática,
aplicaremos el método de flexibilidades y si analizamos la estructura desde el
punto de vista de la cinemática, aplicaremos el método de las rigideces.
En el método de flexibilidades, las incógnitas son las fuerzas
redundantes cuya presencia indica el grado de hiperestaticidad de la
estructura.
El sistema de ecuaciones a resolver está constituido por las ecuaciones
de compatibilidad de los desplazamientos. Debe introducirse la compatibilidad
en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas puesto que las
ecuaciones de equilibrio solas, no son suficientes para resolver el problema.
En el método de rigideces las incógnitas son los desplazamientos de las
juntas que son tantos como gados de indeterminación cinemática tenga la
estructura. El sistema de ecuaciones está constituido por las ecuaciones de
equilibrio.
Estos métodos son aplicables a toda clase de estructura y la formulación
de los dos métodos se hace mediante álgebra matricial lo cual permite
plantear el problema de una forma ideal para programación en una
computadora digital.
Debe también comprenderse que los métodos de flexibilidades y de
rigideces pueden organizarse hasta formar un procedimiento altamente
sistematizado para el análisis de una estructura. Los métodos pueden

35. 31
aplicarse a estructuras de cualquier grado de dificultad una vez comprendidos
los conceptos básicos del procedimiento.
6.1) Método de flexibilidades en el cálculo de estructuras
estáticamente indeterminadas
Este método se basa en la indeterminación estática de la estructura. Las
incógnitas son las redundantes estáticas, siendo el grado de hiperestaticidad
de la estructura equivalente al número de redundantes estáticas. El método
de flexibilidades puede utilizarse para analizar cualquier estructura
estáticamente indeterminada.
Se asume que el material de la estructura es linealmente elástico, los
desplazamientos deben ser pequeños comparados con las dimensiones
geométricas de los miembros y que es válido el principio de superposición de
los efectos.
Los cambios de temperatura y los desplazamientos de los apoyos
producen esfuerzos en las estructuras hiperestáticas que deben ser tomadas
en cuenta.
Para explicar el método se considera el caso de la viga empotrada
apoyada (AB) sometida a la acción de una carga uniforme (w), Fig. 12.a.
Fig. 12.a

36. 32
La viga de la Fig. (12.a), es estáticamente indeterminada de primer
grado. Se observa que está sometida a la acción de una carga
uniformemente repartida (w), por lo tanto disponemos de dos ecuaciones de
la estática y la viga tiene tres componentes de reacción: el momento, la
reacción vertical en el empotramiento (A) y la reacción vertical en el rodillo
(B). El momento en el apoyo A(MA) se tomará como la redundante estática
aunque existen otras posibilidades.
Fig. 12.b
La Fig. (12.b), representa la viga simplemente apoyada sometida a la
acción de la carga uniformemente distribuida (w) y el momento en el apoyo
A(MA).
Aplicando el principio de la superposición de efectos se somete la viga
primero a la acción de la carga uniformemente repartida (w), (Fig.12.c) y
luego a la acción de la redundante (MA), Fig. (12.d).
Fig. 12.c
Fig. 12.d
Fig. 12.e

37. 33
La rotación en A bajo la acción de la carga uniformemente repartida (w)
está dado por la expresión:
La viga real, se supone que no tienen rotaciones en el apoyo (A) ya que
el empotramiento se lo impide, esto hace que en el apoyo (A) bajo la
condición del momento (MA) debe haber una rotación igual en módulo
pero de sentido contrario, que hace anular la rotación total y cuya expresión
será:
Igualando las dos expresiones obtenemos:
Expresa la condición de rotación en el apoyo (A) siendo ésta nula en el
empotramiento.
Una ecuación de este tipo se llama ecuación de compatibilidad por
cuanto expresa una condición relacionada con los desplazamientos de la
estructura. También se puede llamar ecuación de superposición de
efectos.
de donde
La ecuación

38. 34
Si el número de redundantes estáticas es mayor que la unidad, el
procedimiento utilizado en el ejemplo anterior debe organizarse introduciendo
una rotación más generalizada.
Si se considera el caso de una viga donde se tiene dos redundantes
estáticas . Fig. 13.a.
Estas redundantes pueden ser escogidas de diferentes formas. Las Figs.
(13.b), (13.c), (13.d) y (13.e) , muestran cuatro posibilidades para la
escogencia de las redundantes estáticas con su correspondiente estructura
libre.
Fig.13.-
Se tomaron como redundantes el momento en C y la reacción vertical
en B.
En la Fig. 13.c de tomaron como redundantes el momento en C y el
momento flexionante interno en B, por consiguiente la estructura libre no
(13.a)
(13.b)
(13.c)
(13.d)
(13.e)

39. 35
tiene restricción rotacional en C como tampoco la restricción de flexión en B,
por cuanto se introdujo en el punto B una articulación lisa.
La estructura libre mostrada en la Fig. (13.d) se obtiene tomando como
redundante estática la reacción vertical en B y el momento en B.
La estructura libre mostrada en la Fig. (13.e) se obtiene tomando como
redundantes la reacción vertical en A y B.
Para analizar la viga de la Fig. (13.a) tomaremos como acciones
redundantes las reacciones verticales en los apoyos A y B las cuales se
denominan R1 y R2.
Estas cargas (R1 y R2) producen los desplazamientos en la estructura
libre que llamamos D1 y D2.
Las direcciones positivas de los desplazamientos deben ser siempre las
mismas que las direcciones positivas de las redundantes a las cuales
corresponden los desplazamientos. Como se asume que las redundantes
serán positivas cuando están dirigidas hacia arriba, los desplazamientos
también serán positivos hacia arriba.
Fig.14.-
(a)
(b)
(c)
(d)

40. 36
Los coeficientes de flexibilidad se obtienen aplicando valores unitarios a
los redundantes R1 y R2 en la estructura libre.
Para la condición R1= 1 (Fig. 14.c), el coeficiente de flexibilidad F11 es
el desplazamiento correspondiente R1 y debido a un valor unitario de R1 y el
coeficiente F21 es el desplazamiento correspondiente a R2 y debido a un valor
unitario de R1
Para la condición R2= 1 (Fig. 14.c), el coeficiente de flexibilidad F12 es
el desplazamiento correspondiente R1 y debido a un valor unitario de R2 y el
coeficiente F22 es el desplazamiento correspondiente a R2 y debido a un valor
unitario de R2.
Como los desplazamientos en los apoyos A y B son nulos en la realidad
se pueden escribir las ecuaciones de compatibilidad que serán dos, una para
el apoyo A y otra para el apoyo B:
D1+F11.R1+F12.R1=0……………………………………………………..(1.4)
D2+F21.R1+F22.R2=0
La primera de estas ecuaciones indica el desplazamiento total en A
compuesto de tres partes:
1. El desplazamiento debido a las cargas reales D
2. El desplazamiento debido a R1 : (F11.R1)
3. El desplazamiento producido por R2: (F12.R2)

41. 37
6.1.a) Pasos en la solución de las Estructuras Hiperestáticas
aplicando el método de flexibilidades
1) Escoger una estructura isostática y estable.
2) En base a la estructura isostática, las redundantes serán las incógnitas
seleccionadas (Estructura Primaria)
3) Resolver la condición cero o sea, para la estructura isostática hallar los
desplazamientos en la dirección de los redundantes con las cargas
dadas, obteniéndose de esta manera la matriz D
4) Resolver las condiciones unitarias, es decir para la estructura isostática
con una carga R1=1 hallar los desplazamientos en la dirección de las
redundantes. Estos desplazamientos serán los coeficientes de
flexibilidad F .
5) Repetir el procedimiento para las (n) redundantes.
6) Plantear la ecuación de compatibilidad de las deformaciones en la
misma localización y dirección de las redundantes.
Siendo:
D = matriz de los desplazamientos
F = matriz de flexibilidades
R = matriz de las redundantes
D + F R = 0…………………………………………………(1.5 )
Ecuación que se utiliza cuando existen desplazamientos en algún punto
de la estructura real son nulos.
D + F R = DR ............................................(1.6)
Ecuación que se utiliza cuando existen desplazamientos en algún punto
de la estructura real.

42. 38
7) Conocidas las redundantes (R1, R2, ......Rn) se pueden conocer los
desplazamiento o las fuerzas en cualquier punto aplicando la siguiente
fórmula:
A = A0 + Au R ............................................(1.7)
Siendo:
A = matriz de acciones correspondiente al sistema real.
A0 = matriz de acciones correspondiente al sistema en la condición
cero.
Au = matriz de acción correspondiente a la condición unitaria
Siendo: n = numero de redundantes
P = numero de casos de carga
Para “n” redundantes y un caso de carga.
R nx1 = - F -1
nx1 D nx1
Para “n” redundantes y “p” casos de carga:
R nx1 = - F -1
nx1 D nx1
Cuando se tienen además de las cargas externas los efectos de
temperatura, errores de fabricación y asentamientos de los apoyos, las
ecuaciones de compatibilidad se amplían.
Dp = Matriz de desplazamientos inducidos por las cargas externas en
la condición cero y en la dirección de las redundantes.i
Dr = Matriz de desplazamientos inducidos por cambio diferencial de
temperatura en la estructura isostática (Flexión por temperatura).
DE = Matriz de desplazamiento en el sentido de las redundantes
inducidos por errores de fabricación en la estructura isostática.

43. 39
DQ = Matriz de desplazamientos calculada en la dirección de las
redundantes inducidos por movimiento de apoyos que no coinciden en las
redundantes (R)
DR = Matriz de desplazamientos en los apoyos y en el sentido de las
redundancias.
D = Dp + DT + DE +DQ
D nxp= F nxp R nxp DR nxp
R nxp= F -1
nxp DR -D nxp
6.1.a.1) Cálculo de cerchas estáticamente indeterminadas por
el método de flexibilidades
La indeterminación de una cercha puede ser a consecuencia de apoyos
sobrantes o barra sobrantes o ambas cosas a la vez.
Las cerchas son estructuras cerradas y la indeterminación estática
comprende tanto la externa como la interna.
Esta consideración hace que las redundantes estáticas pueden ser
externas o internas o ambas a la vez, buscando siempre que la cercha en
condición isostática o cero sea estable.
Si hay apoyos sobrantes las reacciones externas sobrantes serán
tomadas como redundantes internas. Fig. 15
Siempre que se tome como redundante la fuerza axial en una barra de
la cercha, ésta debe ser cortada en una sección y reemplazada por dos
fuerzas axiales, iguales y opuestas.

44. 40
La ecuación de condición impone que el desplazamiento relativo entre
los dos lados de la sección cortada, en la condición cero y en la condición
unitaria, debe ser nula.
Fig. 15
6.2) Método de rigideces en la solución de estructuras
indeterminadas
Tanto el método de flexibilidades como el método de rigideces
representan dos enfoques diferentes en el análisis de las estructuras.
La diferencia fundamental radica en que el método de flexibilidades
toma como incógnitas a las redundantes estáticas, mientras que el método
de las rigideces toma como incógnitas a a las redundantes cinemáticas.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Definición de las incógnitas, redundantes cinemáticas obteniendo de
esta manera la estructura primaria.
2. Condición cero

45. 41
Restringir la estructura contra cualquier posibilidad de movimiento
dando lugar a una estructura cinemáticamente determinada, la cual se
resuelve aplicando los valores de una tabla obteniéndose de ésta
manera la matriz de fuerzas o momentos R .
3. Condiciones unitarias
Resolver las condiciones unitarias dando valores unitarios a los
desplazamientos para cada una de las redundantes y en la dirección de
las redundantes.
Las fuerzas y momentos inducidos para cada caso serán los coeficientes
de rigidez K .
4. Repetir el procedimiento para (n) redundantes.
5. Plantear la ecuación de equilibrio estático en la misma localización
y dirección de las redundantes:
D = - K -1
R
6. Conocida la matriz D pueden obtenerse por superposición las
acciones A de fuerzas o momentos en cualquier sección de una
estructura.
A = A0 + Au D
Siendo
A = Matriz de acciones en el sistema real
A0 = Matriz de acciones para la condición cero
Au = Matriz de acciones para la condición unitaria
D = Matriz de desplazamientos inducidos por las cargas reales
externas (redundante cinemática)
K = Matriz de raices o matriz correpondiente a fuerzas o
momentos en la condición unitaria y en la misma dirección y localización de
las redundantes.

46. 42
R = Matriz correspondientes a fuerzas o momentos en la
condición cero y en la misma dirección y localización de las redundantes.
En el caso de que las acciones externas, en la misma localización y
dirección de las redundantes sean nulas, las ecuaciones de equilibrio para (n)
redundantes y (p) casos de carga son las siguientes:
R nxp + K nxn D nxp = 0 de donde:
D nxp = - K nxn R nxp
En el caso de las existencias de acciones externas en la misma
localización y dirección de las redundantes RD nxp tenemos:
R nxp + K nxn D nxp = RD nxp
D nxp = + K -1
nxn RD - R nxp
Para un caso de carga, es decir, cuando p= 1 tenemos:
D nx1 = - K -1
nxn R nx1 y la
D nx1 = - K -1
nxn RD - R nx1
Consideremos el caso de una viga empotrada en (A) y apoyada en (B)
de longitud (L) y sometida a la acción de una carga uniformemente
distribuida (w) . Fig 16.a
La viga es cinemáticamente indeterminada de 1er. Grado, si se
desprecia la deformación axial, por cuanto el único desplazamiento posible
será el de la rotación en el apoyo B. Fig .16.b.-

47. 43
Fig. 16.-
La Fig. 16.c.- representa una estructura cinemáticamente determinada
donde los desplazamientos son nulos. Si sobre esa viga actúa una carga
uniformemente distribuida, existe un par de momentos Mb desarrollado en el
apoyo B cuyo valor es el siguiente:
El valor del momento Mb fue tomado de la tabla (3.3) ver anexo.
Las condiciones unitarias para este caso están representadas en la Fig.
16.d, donde al darle un desplazamiento unitario a la rotación en el apoyo B,
obtenemos un valor de momento llamado coeficiente de rigidez

48. 44
Fig.16.d.-
K con un valor de
Siendo: I = momento de inercia
E= módulo de elasticidad
Siendo el momento flector en el apoyo B nulo, la ecuación de equilibrio
estático en el mismo apoyo B será:
Si se desea calcular el resto de las incógnitas como: MA, RVA y RVB
Se aplica la formula de acciones:
A = A0 + Au D

49. 45
CONCLUSIÓN
Estos modelos de análisis, permiten dar un gran paso en el proceso de
análisis de las estructuras, específicamente en las Estructuras Estáticamente
Indeterminadas, a las cuales enfrentaremos como futuros profesionales de la
Ingeniería Civil, obteniendo experiencia y conocimientos cada día en la
práctica del diseño y una plena comprensión del comportamiento de las
estructuras, bien sean, éstas de un simple entramado plano hasta una
estructura tridimensional de formas complejas, por lo que se debe conocer
las técnicas analíticas asociadas a los necesarios cálculos.
Además, estas técnicas habrán de ser utilizadas en el contexto de las
normativas cuya aplicación garantizará la estandarización de los métodos, el
cálculo matemático y el control de los resultados. Este conocimiento
simultaneo de los métodos y técnicas aunado a la normativa que los rige,
debe ser considerado un requisito fundamental para abordar el estudio
correspondiente a la etapa de diseño.
Por lo que es de gran relevancia la capacitación como estudiantes de
ingeniería civil en el uso y comprensión de los modelos matemáticos que
permiten resolver el cálculo estructural y determinar las solicitaciones, debido
a que como futuros Ingenieros Civiles nuestra tarea fundamental es la
concepción y ejecución de obras cuyo objeto son las de servir a la sociedad
de infraestructuras, que le permita resolver los problemas de vivienda, salud,
educación, cultura, deporte y vialidad y todas estas obras requieren de un
esqueleto que les sirva de soporte, conocido con el nombre de Estructura.

50. 46
BIBLIOGRAFÍA
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de análisis. 2da. Edición Reimprimida. Edicions UPC.Barcelona-España.
http://www.uclm.es/area/ing_rural/Trans_const/MetodosAnalisis.pdf
Navarro.U.,C y Castellanos.P., J. (2009).Mecánica de Medios Continuos y
Teoría
de Estructuras. Ingeniería Estructural (2009).1ra. Edición. Universidad
Carlos III de Madrid. España.
Scheuren de G.,Ana (2.011).Estructuras.3ra.Edición. Universidad de los
Andes. Mérida-Venezuela.