Cours Systèmes Multivariables @ EPFL, 2011

1. Systèmes discrets linéaires et stationnaires
Solution
k 1
x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k) = ⇥k k0 x (k0 ) + ⇥k l 1
u (l)
⌅ ⇤⇥ ⇧
y (k) = Cx (k) + Du (k) l=k0
R´ponse libre
e ⌅ ⇤⇥ ⇧
R´ponse forc´e
e e
Matrice de transfert et stabilité
⇥
1
Y (z) = C (zI ⇥) + D U (z) = H (z) U (z)
⇤ ⌅
H11 (z) . . . H1r (z) ⇥
⌥ . . Hij (z)
H (z) = ⇧ .
. .
. ⌃ = [Hij (z)] =
det (zI )
Hp1 (z) · · · Hpr (z)
Pˆles zi des Hij solution de: det (zI
o )=0
Valeurs propres vi de solution de: det ( I )=0
zi = vi
Asymptotiquement stable si: |vi | < 1 pour i = 1, . . . , n
Denis Gillet @ EPFL 1

2. Commande d’état
Système x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k + 1)
˜ = ⇥˜ (k) + u (k)
x ˜
à régler y (k) = Cx (k) + Du (k) y (k)
˜ = C x (k) + D˜ (k)
˜ u
Régulateur u (k) = Kx (k) u (k) =
˜ K x (k)
˜
¯
u ¯
y
y (k) u (k)
˜ y (k)
˜
u (k) Système à Système à
+ -
régler avec régler avec
AD & DA u (k) AD & DA y (k)
x (k) x (k)
-
-K ¯
x
x (k)
˜
-K
2

3. Commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Régulateur u (k) = Kx (k)
BF
⌅⇤ ⇥
Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)
fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k)
⇤ ⇥ ⌅
CBF
1
X (z) = (zI BF ) zx (0) = W (z) x (0)
Xi (z) = Wi1 (z) x1 (0) + . . . + Wij (z) xj (0) + . . . + Win (z) xn (0)
Z −1 ⎡Wij ( z ) ⎤ = ∑ ci zik + 2∑ ci* ri k cos ( kω i + ϕ i ) + ∑ ⎡ c1i zik + c2i kzik −1 + …⎤
⎣ ⎦ ⎣
' '
⎦
i i i
La commande d’état ramène l’état à zéro x (k) 0 pour k ⇥
En variables écart, la commande d’état x (k)
˜ 0 ou x (k) x pour k
¯ ⇥
ramène l’état à l’état nominal 3

4. Principe de synthèse de la commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Régulateur u (k) = Kx (k)
BF
⌅⇤ ⇥
Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)
fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k)
⇤ ⇥ ⌅
CBF
det(⇥I ⇥BF ) = det(⇥I ⇥ + K) =
c (⇥) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) =
= ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n = 0
Identification terme à terme dans le cas SIMO (une entrée)
4

5. Double intégrateur (5.1.2)
BF
⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤
Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2
2
en BF = =
y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h
⇤ ⇥ ⌅
CBF
det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) =0
Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j
⌅⌃ ⌥ ⌃ ⌥ ⌃ ⇤ ⌥ ⇧
0 1 h h 2 2
⇥
det + K1 K2 =( 0.8 0.25j) ( 0.8 + 0.25j)
0 0 1 h
⇤ ⌅⇥
h2 h2
1+ 2 K1 h+ 2 K2
det = 2
1.6 + 0.7
hK1 1 + hK2
2
⇥ 2
⇥
h h
2
+ hK2 + K1 2 + K1 hK2 + 1 = 2
1.6 + 0.7
2 2
⇧ ⌅⇤ ⌃ ⇧ ⌅⇤ ⌃
1.6 0.7
K1 = 0.1 h2 = 10 et K2 = 0.35/h = 3.5 pour h = 0.1s 5

6. FT → Modèle d’état (2.5)
Y (z) b0 + b1 z 1
+ b2 z 2
+ . . . + bn z n
H (z) = =
U (z) 1 + a1 z 1+a z
2
2 + ... + a z
n
n
⇥ ⇥
a1 a2 ... an 1 an 1
⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃
⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ .
. .
. ⌃
w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧
⇧ .
.
⌃
⌃ u (k)
⇧ ⌃ ⇧ . ⌃
⇧ .
. .. ⌃ ⇤
⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅
0 ... 0 1 0 0
⌥ ⌦ ⌥ ⌦
w
gw
⇥
y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 ... bn an b0 w (k) + b0 u (k)
⇧ ⌅⇤ ⌃
cT
w
det ( I w) = n
+ a1 n 1
+ a2 n 2
+ . . . + an + an = 0
6

7. Modèle d’état physique → artificiel (A.1.2)
x (k + 1) = x (k) + gu (k) w = Px
Transformation
y (k) = c x (k) + du (k)
T
x = P 1
w
P 1
w (k + 1) = P 1
w (k) + gu (k)
y (k) = cT P 1
w (k) + du (k)
w (k + 1) = P P 1
w (k) + P gu (k)
y (k) = cT P 1
w (k) + du (k)
Quelle matrice de transformation P choisir ?
w (k + 1) = P ⇤⇥ ⇧ w (k) + P g u (k)
⌅ P 1
⌅⇤⇥⇧
? ?
y (k) = cT ⇤⇥ ⇧ w (k) + du (k)
⌅ P 1
?
7

8. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥
eT
1 eT
n
n 1
⇧ ⌃ ⇧ ⌃
⇥ ⇧ eT
⌃
2 ⇧ eT
n
n 2
⌃
G= Ig g ... n 1
g G 1 ⇧ . ⌃
=⇧ P =⇧ . ⌃
. ⌃
⇤ . ⌅
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
eT
n eT I
n
Construction de Pg
⇥ ⇥
1 0 ... 0 eT Ig
1 eT
1 g ... eT
1
n 1
g
⇧
⇧ .. . ⌃ ⇧ T
. ⌃ ⇧ e Ig
⌃
⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ 2 eT
2 g ... eT
2
n 1
g ⌃
⌃
I=G 1
G ⇧ . .. .. ⌃=⇧ . . . ⌃
⇧ . . . .
⇤ . . . 0 ⌃ ⇧ .
⌅ ⇤ . . ⌃
⌅
0 ... 0 1 eT Ig
n eT g
n eT
n
n 1
g
⇥ ⇥
eT
n
n 1
g 1
⇧ T n 2 ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ en g ⌃ ⇧ ⌃
⇧
Pg = ⇧ ⌃=⇧ . ⌃
.
. ⌃ ⇧ .
. ⌃
⇤ . ⌅ ⇤ ⌅
eT Ig
n 0
8

9. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥ ⇥
eT n 1 1 0 ... 0 eT n 1
P 1
n n
⇧ ⌃ ⇧ .. . ⌃ ⇧ ⌃
eT ⇧ . . ⌃ ⇧
n 2
⇧ n ⌃ ⇧ 0 1 . ⌃ ⇧ eT
n
n 2
P 1
⌃
I = PP 1
=⇧ . ⌃P 1
⇧ . ⌃=⇧ . ⌃
⇧ .
.
⌃ ⇧ . .. .. ⌃ ⇤ .
.
⌃
⇤ ⌅ ⇤ . . . 0 ⌅ ⌅
eT I
n 0 ... 0 1 eT P
n
1
Construction de
⇥
⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an
eT n 1
eT n P 1 ⇧ ⌃
⇧
n
⌃ ⇧
n
⌃ ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃
⇧ eT n 2
⌃ ⇧ eT n 1 P 1 ⌃ ⇧ .
. .
.
⌃
P P 1
=⇧
n
. ⌃ P 1
=⇧
n
. ⌃=⇧ 0 1 . .
⌃
⇧ . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ ⌃
⇤ . ⌅ ⇤ . ⌅ ⇧
⇧ .
. ..
⌃
⌃
⇤ . . 0 0 ⌅
eT I
n eT
n P 1
0 ... 0 1 0
⇥
eT
n
n
P 1
= a1 a2 ... an 1 an
9

10. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥
eT
1 eT
n
n 1
⇧ ⌃ ⇧ T n ⌃
⇥ ⇧ eT
2 ⌃ ⇧ en 2
⌃
G= Ig g ... n 1
g G 1
=⇧ . ⌃ P =⇧ . ⌃
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
eT
n eT I
n
w = Px ⇥ ⇥
a1 a2 ... an 1 an 1
⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃
⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ .
. .
. ⌃
w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧
⇧ .
.
⌃
⌃ u (k)
⇧ ⌃ ⇧ . ⌃
⇧ .
. .. ⌃ ⇤
⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅
0 ... 0 1 0 0
⌥ ⌦ ⌥ ⌦
w =P P 1 gw = P g
⇥
y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 . . . bn an b0 w (k) + b0 u (k)
⇧ ⌅⇤ ⌃
cT = cT P 1
w
det ( I w) = det ( I )= n
+ a1 n 1
+ a2 n 2
+ . . . + an + an = 0 10

11. Commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) SIMO
y (k) = Cx (k) + Du (k) =g
Commande u (k) = Kx (k)
x (k + 1) = (⇥ K) x (k) = ⇥BF x (k)
Stabilité en BO det( I )= n
+ a1 n 1
+ . . . + an 1 + an = 0
Stabilité en BF det(⇥I BF ) = ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n =
v.p. imposées
det(⇥I ⇥ + K) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = c (⇥) = 0
Méthode w = Px w (k + 1) = (⇥w wK ) w (k) = ⇥wBF w (k)
constructive ⇥
c (⇥) = c (⇥) = 0 =
det(⇥I ⇥wBF ) = ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n =
⇥
det(⇥I ⇥w + wK
⇥
) = ⇥ + (a1 +
n
K1 ) ⇥n 1
⇥
+ . . . + an 1 + ⇥
Kn 1 ⇥ + (an + Kn )
⇥
Ki = i ai u (k) = K w (k) = K P x (k)
⇤⇥ ⌅
K 11

12. Formule d’Ackermann
⇥
K=KP =⇥
( 1 a1 ) ( 2 a2 ) . . . ( n an ) P
⇥ ⇥
K= 1 2 ... n P+ a1 a2 . . . an P
↵ ⌦
eT nP 1
n
⇤ ⌅
eT
n
n 1
⇥⌥
⌥ eT
n
n 2
K= ... ⌥ . + eT n
1 2 n
⇧ .
. ⌃ n
eT I
n
K = eT
n
n
+ T
1 en
n 1
+ T
2 en
n 2
+ ... + T
n en I
⇥ ⇥
K= eT
n
n
+ 1
n 1
+ 2
n 2
+ ... + nI
↵ ⌦
c( )
⇥
K= 0 0 ... 0 1 G 1
c ( )
⇥ ⇥ 1
K= 0 0 ... 0 1 Ig g ... n 1
g c ( )
12

13. Résumé Commande d’état SIMO
Système à régler x (k + 1) = x (k) + gu (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Commande u (k) = Kx (k)
Système en boucle x (k + 1) = ( gK) x (k) = BF x (k)
fermée (BF)
c (⇥) = det (⇥I bf ) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n )
= ⇥n + 1⇥
n 1
+ . . . ⇥an 1 + n = 0
Formule d’Ackermann
⇥
K = 0 ... 0 1 G 1
c ( )
⇥ ⇥ 1
= 0 ... 0 1 Ig g ... n 1
g c ( )
13

14. Double intégrateur (5.3.1)
BF
⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤
Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2
2
en BF = =
y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h
⇤ ⇥ ⌅
CBF
Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j
det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) = 2
1.6 + 0.7
⇥ ⇥ 1
K= 0 1 Ig g ( ) c
⌅ ⇤ ⇤ ⇧ 1
⇥ h2 2 3h 2
2 ⇥
K= 0 1 2
1.6 + 0.7I
h h
⌅ ⇤ ⇧ ⌃⌅ ⇧2 ⌅ ⇧ ⌅ ⇧⌥
⇥ 1 h 3h2 ⇤2 1 h 1 h 1 0
K= 0 1 h3 1.6 + 0.7
h h2 2 0 1 0 1 0 1
h ⇤ i⌅ ⇧
h h 2
2
0.1 0.4h ⇥ ⇥
K= = h2
0.1 0.35
= K 1 K2
h3 0 0.1 h
14

15. Double intégrateur (5.3.1)
% Modèle discret
h = 0.1;
phi = [ 1 h ;
0 1 ];
g = [ h^2/2 ;
h ];
% Matrice de gouvernabilité
G = [ g phi*g];
% Coefficient du polynôme caractéristique en BF
alpha1 = -1.6;
Code Matlab
alpha2 = 0.7;
% Gain de contre-réaction
K = [0 1] * inv(G) * (phi^2 + alpha1 * phi + alpha2 * eye(2));
% Calcul direct avec Ackermann
L = [0.8+0.25*1i 0.8-0.25*1i];
Kbis = acker(phi,g,L);
15

16. Double intégrateur (5.3.1)
Simulation avec
Simulink
16

17. Double intégrateur (5.3.1)
17