1. Бизнес статистикийн үндэс
Сэдэв 4
Хүснэгт, график дүрслэл,
тэдгээрийн хэрэглээ

2. Дэд сэдвүүд

Олон хэмжээст тоон өгөгдлийг хүснэгтлэх ба
диаграмм зурах



Давталттай тархалт: хүснэгт, гистограмм, полигон
Хуримтлагдсан тархалт: хүснэгт, огив
Хоёр хэмжээст тоон өгөгдлийг графикт дүрслэх

3. Дэд сэдвүүд

Олон хэмжээст категорийн өгөгдлийг
хүснэгтлэх ба графикт дүрслэх


Тэгш өнцөгт ба дугуй диаграмм, Pareto диаграмм
Хоёр хэмжээст категорийн өгөгдлийг
хүснэгтлэх ба графикт дүрслэх

Санамсаргүй үзэгдлийн хүснэгт


(үргэлжлэл)
Хоёр талт тэгш өнцөгт диаграмм
Өгөгдлийг илэрхийлэх графикийн төгс байдал
ба энгийн алдаанууд

4. Эдийн засгийн үзэгдлийг
илэрхийлэх аргууд




Үгээр илэрхийлэх
Тоон хүснэгтээр илэрхийлэх
Графикаар илэрхийлэх
Аналитик хэлбэрээр илэрхийлэх

5. Тоон өгөгдлийг хүснэгтлэх ба
графикт дүрслэх
Тоон өгөгдөл
Дараалласан
21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41
41, 24, 32, 26, 27, 27, 30, 24, 38, 21
Давталттай тархалт
Хуримтлагдсан тархалт
O give
120
100
80
60
40
20
0
10
Иш ба Навч
дэлгэц
2 144677
3 028
4 1
Гистограмм
20
30
6
Хүснэгт
Полигон
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
50
Огив
7
5
40
60

6. Тоон өгөгдлийн хүснэгт
Статистик хүснэгт бол тодорхой дэс
дараалал болон холбоо бүхий мөр баганын
систем юм.
Шинж чанараар нь статистик хүснэгтийг
энгийн, бүлэглэсэн, хосолсон гэж ангилдаг.
Хүснэгтэн доторхи нэр нь (баганын нэр)
үзүүлэлтүүдийн
нэр
(үгийг
товчлолгүйгээр) тэдгээрийг хэмжих
нэгжийг агуулдаг.

7. Тоон өгөгдлийн график
Статистик график нь тоон хэмжигдэхүүн

болон тэдгээрийн харьцааг шугам, геометр
дүрс, зураг, эсвэл газар зүйн карт схем
зэргээр дүрслэн үзүүлдэг.
Графикийг

байгуулах
аргаар
нь
диаграмм, кортограмм, каритодиаграмм гэж

8. Тоон өгөгдлийн график
Мэдээллийг дүрслэх хамгийн тархсан арга нь

диаграмм юм. Энэ нь янз бүрийн хэлбэртэй. Үүнд:
Шугаман, цэгэн, хавтгай, эзэлхүүнт, дүрсэн, дугуй.
Диаграммийн хэлбэр нь дүрсэлж буй мэдээллийн
хэлбэр (нэг, эсвэл хэд хэдэн үзүүлэлт, нэг хувьсагч,
хэд хэдэн хувьсагч, тоон эсвэл чанарын үзүүлэлт)
график байгуулах зорилгоос хамаарна.

9. Тоон өгөгдлийн график

Дискрет шинжтэй тархалтын цувааг
графикаар дүрслэн харуулахдаа полигоныг
ашиглана. Интервалын тархалтын цувааг
графикаар
дүрслэн
харуулахдаа
гистограммыг ашиглана. Өсөн нэмэгдэх
шууд болон урвуу давталтуудаар огивыг
байгуулна. Шууд өсөн нэмэгдэх давталтаар
байгуулсан огивыг "төдөөс бага", урвуу
өсөн нэмэгдэх давталтаар байгуулсан
огивыг "төдөөс их" гэж нэрлэнэ.

10. Тоон өгөгдлийг хүснэгтлэх:
Давталттай тархалт

Эмх цэгцгүй өгөгдлийг өсөх дарааллаар эрэмбэл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Далайцыг олох: 58 - 12 = 46

Бүлгийн тоог сонгох: 5 (ихэвчлэн 5-аас 15-ын хооронд)
Бүлгийн интервалыг тооцох (width): 10 (46/5 then round

up)



Бүлгийн хилийг тодорхойлох (limits): 10, 20, 30, 40, 50, 60
Бүлгийн төвийг тооцох: 15, 25, 35, 45, 55
Ажиглалтыг тоолж бүлэглэлт хийх

11. Давталттай тархалт, Харьцангуй давталтын
тархалт ба Хувиарх тархалт
Дараалласан өгөгдөл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Бүлэг
10 ба 20-иос бага
20 ба 30-аас бага
30 ба 40-өөс бага
40 ба 50-иас бага
50 ба 60-аас бага
Нийт
Харьцангуй
Давталт давталт
3
.15
6
.30
5
.25
4
.20
2
.10
20
1
Хувь
15
30
25
20
10
100

12. Тоон өгөгдлийн график:
Гистограмм
Дараалласан өгөгдөл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
y
c
n
u
q
e
r
F
Histogram
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
3
2
0
5
Бүлгийн хил
Баганын
хооронд
зайгүй
4
0
15
25
36
45
Бүлгийн төв
55
More

13. Тоон өгөгдлийн график:
Давталттай полигон
Дараалласан өгөгдөл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
y
c
n
u
q
e
r
F
Polygon
7
6
5
4
3
2
1
0
5
15
25
36
Бүлгийн төв
45
55
More

14. Тоон өгөгдлийг хүснэгтлэх:
Хуримтлагдсан давтамж
Дараалласан өгөгдөл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Бүлэг
10 but under 20
20 but under 30
30 but under 40
40 but under 50
50 but under 60
Харьцангуй
Давталт %
3
9
14
18
20
Хуримтлагдсан
Давталт %
15
45
70
90
100

15. Тоон өгөгдлийн график:
Огив (Хуримтлагдсан % Полигон)
Дараалласан өгөгдөл:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Ogive
100
80
60
40
20
0
10
20
30
40
50
60
Бүлгийн хил (Бүлгийн төв биш)

16. Дискрет тархалтын цуваа
Ìýðãýæëèéí
Àæèë÷äûí òîî
ªñºí íýìýãäýõ äàâòàìæ
çýðýã Õ
Òîîãîîð f
Õóâèàð w
Øóóä Sf
Óðâóó Sfi
1
1
5
1
20
2
3
10
4
19
3
5
25
9
16
4
6
30
15
11
5
3
15
18
5
6
2
15
20
2
Ä¿í
20
100
-
-

19. Хоёр хэмжээст тоон өгөгдлийн
график (Scatter Plot)
Mutual Funds Scatter Plot
40
Total Year to
Date Return
(%)
30
20
10
0
0
10
20
30
Net Asset Values
40

20. Категорийн өгөгдлийн хүснэгт ба
график: Олон хэмжээст өгөгдөл
Категорийн
өгөгдөл
Өгөгдлийг
хүснэгтлэх
Хураангуй хүснэгт
Өгөгдлийн график
Дугуй диаграмм
Тэгш
өнцөгт
диаграмм
Парето
диаграмм

21. Хураангуй хүснэгт
(Хөрөнгө оруулагчийн богц)
Хөрөнгө оруулалтын
категор
Хувьцаа
Бонд
CD
Хадгаламж
Total
Дүн
(мянган $)
46.5
32
15.5
16
110
Категорийн хувьсагчид
Хувь
42.27
29.09
14.09
14.55
100

22. Категорийн өгөгдлийн график:
Олон хэмжээст өгөгдөл
Категорийн өгөгдөл
Өгөгдлийн график
Өгөгдлийг
хүснэгтлэх
Хураангуй хүснэгт
Дугуй диаграмм
CD
S avings
B onds
S toc k s
0
10
20
30
40
50
Тэгш
өнцөгт
диаграмм
Парето диаграмм
45
12 0
40
10 0
35
30
80
25
60
20
15
40
10
20
5
0
0
S toc k s
B ond s
S a vings
CD

23. Дөрвөлжин диаграмм
(Хөрөнгө оруулагчийн богц)
Investor's Portfolio
Savings
CD
Bonds
Stocks
0
10
20
30
Amount in K$
40
50

24. Дугуй диаграмм
(Хөрөнгө оруулагчийн богц)
Хөрөнгө оруулалтын дүн
Хадгаламж
15%
Хувьцаа
42%
CD
14%
Бонд
29%
Хувиудыг
ойролцоогоор
авсан

25. Парето диаграмм
45%
40%
Дөрвөлжин
диаграмм
нь категор
бүрийн
эзлэх хувь
100%
90%
80%
35%
70%
30%
60%
25%
50%
20%
Шулуун
график нь
хуримтлаг
дсан хувь
40%
15%
30%
10%
20%
5%
10%
0%
0%
Stocks
Bonds
Savings
CD

26. Хоёр хэмжээст категорийн
өгөгдлийн хүснэгт ба график

Санамсаргүй үзэгдлийн хүснэгт: хөрөнгө оруулалт мянган
доллараар
Investment
Category
Investor A
Investor B
Investor C
Total
Stocks
Bonds
CD
Savings
46.5
32
15.5
16
55
44
20
28
27.5
19
13.5
7
129
95
49
51
Total
110
147
67
324

27. Хоёр хэмжээст категорийн
өгөгдлийн хүснэгт ба график

Хоёр талт диаграмм
Comparing Investors
S avings
CD
B onds
S toc k s
0
10
Inves tor A
20
30
Inves tor B
40
50
Inves tor C
60

28. Төгс графикийн зарчмууд





Мөн
чанар,
статистик,
хэв
загварыг
тодорхойлохуйц өгөгдлийг илэрхийлэх
Нарийн, тодорхой, үр ашигтай цогц ойлголтыг
дамжуулах
Хамгийн үр ашигтай аргаар хамгийн олон
ойлголтыг өгөх
Гол чухал хэмжигдэхүүнүүдийг хамруулах
Өгөгдлийн тухай үнэнийг өгүүлэх

29. Өгөгдлийг илэрхийлэхэд
гардаг нийтлэг алдаа

Буруу диаграмм хэрэглэх

Бүлгүүдийн
хоорондох
өгөгдлийг
харьцуулахдаа
харьцангуй
хэмжигдэхүүн
хэрэглээгүйтэй холбоотой алдаа

Босоо тэнхлэгийг шахаж харуулах

Босоо тэнхлэгт тэг утгыг харуулахгүй байх

30. “Буруу диаграмм”
Муу танилцуулга
Сайн танилцуулга
Минимум цалин
1960: $1.00
1970: $1.60
Минимум цалин
4
$
2
1980: $3.10
0
1990: $3.80
1960
1970
1980
1990

31. Харьцангуй хэмжигдэхүүнд
суурилаагүй
Муу танилцуулга
Хүлээн авсан
Freq. оюутны тоо
300
200
 Сайн танилцуулга
30 %
Хүлээн авсан
оюутны тоо
20
100
10
0
0
FR SO
JR SR
FR SO JR SR
FR = Freshmen, SO = Sophomore, JR = Junior, SR = Senior

32. Босоо тэнхлэгийг шахах
Муу танилцуулга
200
$
Улирлын
борлуулалт
Сайн танилцуулга

50
100
$
25
0
Улирлын
борлуулалт
0
Q1 Q2
Q3 Q4
Q1
Q2
Q3 Q4

33. Босоо тэнхлэгт тэг утга аваагүй
Муу танилцуулга
45
$
Сарын
борлуулалт
42
39
 Сайн танилцуулга
45
42
39
$
Сарын
борлуулалт
36
36
J F M A M J
Эхний 6 сарын борлуулалтыг
дүрслэв
0
J F M A M J

34. Нэг хувьсагчтай графикууд
1. Дугуй диаграмм
Үндэсний орлого
6%
6%
8%
12%
68%
Хөлсний
ажилчдын
цалин
Корпорацийн
ашиг
Өмч
эзэмшигчийн
орлого
Хүүгийн
орлого
Түрээсийн
орлого

35. 2. Баганан диаграмм

36. 3. Хугацааны диаграмм

37. Шалтгаан үр дагаврын
урвуу хамаарал
Цагдаагийн тоо нэмэгдсэнээр гэмт хэргийн тоо өссөн үү?
Гэмт хэргийн тоо өссөнөөр цагдаагийн тоо нэмэгдсэн үү?

38. Орхигдсон хувьсагчтай график
Гэрт тамхилагчдын тоо тогтмол байхад өвчний эрсдэл нэмэгдэж
байна. Энэ нь орхигдсон функц болох тамхи татах тоо нь их
болж байгаатай холбоотой нэмэгдэж байж болох юм.

39. Квантиль
Бие даасан ажиглалтын утгууд нь /дискрет
тархалт нь, i-р квартиль, j-р децил ба k-р
перцентиль нь дарааллаж байршина/ дараах
хамааралтай дискрет тархалттай байна
Qi =
i(n + 1)
th observation in the distribution, i = 1, 2, 3
4
j(n + 1)
th observation in the distribution, j = 1, 2, ,9
10
k(n + 1)
Pk =
th observation in the distribution, k = 1, 2,  ,99
100
Dj =

40. Квартиль
7 хоногт телевиз үзэх давтамж (цаг):
25 41 27 32 43 66 35 31 15 5
34 26 32 38 16 30 38 30 20 21
Дээрх өгөгдлийг дарааллуулж бичвэл:
5 15 16 20 21 25 26 27 30 30
31 32 32 34 35 37 38 41 43 66

41. Квартиль
1(20 + 1)
Q1 =
th observation in the distribution
4
= 5.25th observation in the distribution
= 5th obs. + 0.25{6th obs. - 5th obs.}
= 21 + 0.25{25 - 21} = 22.0 Hours

42. Квартиль
2(20 + 1)
Q2 =
th observation in the distribution
4
= 10.50 th observation in the distribution
= 10 th obs. + 0.50{11th obs. - 10th obs.}
= 30 + 0.50{31 - 30} = 30.5 Hours

43. Квартиль

44. Inter-quartile Range (IQR)
Inter-quartile range = 3rd quartile – 1st Quartile
Q3 - Q1
IQR is independent of outliers

45. Inter-quartile Range
X
minimum
25%
12
Q1
Median
(Q2)
25%
30
Q3
25%
45
57
Inter-quartile Range (IQR)
= 57 – 30 = 27
X
maximum
25%
70

46. Five Number Summary
The weekly TV viewing times (in hours).
25
34
41 27
26 32
32
38
43 66
16 30
35
38
31 15
30 20
5
21
The array of the above data is given below:
5
15 16 20 21 25 26 27 30 30
31 32 32 34 35 37 38 41 43 66

47. Five Number Summary
LOCATION of Q1 ;
1(20 + 1)
4
th obs. in the data = 5.25th obs.
VALUE of Q1 ; 5th obs. + 0.25{6th obs. - 5th obs.} = 21 + 0.25{25 - 21} = 22.0 Hrs
LOCATION of Q 2 ;
VALUE of Q2
2(20 + 1)
4
th obs. in the data = 10.50 th obs.
;10 th obs. + 0.50{11th obs. - 10th obs.} = 30 + 0.50{31 - 30} = 30.5 Hrs
LOCATION of Q 3 ;
3(20 + 1)
4
th obs. in the data = 15.75th obs.
VALUE of Q 3 ; 15th obs + 0.75 {16th obs - 15th obs} = 35 + 0.75{37 - 35} = 36.5 Hrs
Minimum value=5.0
Maximum value=66.0

48. Box and Whisker Diagram
A box and whisker diagram or box-plot is a
graphical mean for displaying the five number
summary of a set of data. In a box-plot the first
quartile is placed at the lower hinge and the
third quartile is placed at the upper hinge. The
median is placed in between these two hinges.
The two lines emanating from the box are
called whiskers. The box and whisker diagram
was introduced by Professor Jhon W. Tukey.

49. Construction of Box-Plot Max
Valu
1.
2.
3.
4.
Start the box from Q1 and end at
Q3
Within the box draw a line to
represent Q2
Draw lower whisker to Min. Value
up to Q1
Draw upper Whisker from Q3 up
to Max. Value
e
Q3
Q2
Q1
Min
Value

50. 70
Construction of Box-Plot
1.
2.
3.
4.
Q1=22.0 Q3=36.5
Q2=30.5
Minimum Value=5.0
Maximum Value=66.0
60
50
40
30
20

51. 70
Interpretation of Box-Plot
Box-Whisker Plot is useful to identify
60
•Maximum and Minimum Values in the data
•Median of the data
50
•IQR=Q3-Q1,
Lengthy box indicates more variability in the data
•Shape of the data From Position of line within box
Line At the center of the box----Symmetrical
skewed
Line above center of the box----Negatively
Line below center of the box----Positively Skewed
•Detection of Outliers in the data
40
30
20

52. Outliers
An outlier is the values that falls well outside the overall
pattern of the data. It might be
•
•
•
the result of a measurement or recording error,
a member from a different population,
simply an unusual extreme value.
An extreme value needs not to be an outliers; it might,
instead, be an indication of skewness.

53. Inner and Outer Fences
If
Q1=22.0
Q3=36.5
Q2=30.5
Lower Inner Fence = Q1 − 1.5( IQR ) = 0.25
Inner Fences : 
Upper Inner Fence = Q 3 + 1.5( IQR ) = 58.25
Lower Outer Fence = Q1 − 3( IQR ) = −21.5
Outer Fences : 
Upper Outer Fence = Q 3 + 3( IQR ) = 80.0

54. 80
Identification of the Outliers
70
1. The values that lie within inner
fences are normal values
2. The values that lie outside inner
fences but inside outer fences
are
possible/suspected/mild
outliers
3. The values that lie outside outer
fences are sure outliers
60
Only
66 is a
mild
outlier
Plot each suspected outliers with an asterisk
and each sure outliers with an hollow dot.
50
40
30
20
10
0
*

55. Uses of Box and Whisker Diagram
Box plots are
especially suitable for
comparing two or more
data sets. In such a
situation the box plots
are constructed on the
same scale.
Male
Female

56. Standardized Variable




A variable that has mean “0” and Variance “1” is
called standardized variable
Values of standardized variable are called standard
scores
Values of standard variable i.e standard scores are
unit-less
Construction
Variable − Mean of Variable
Z=
Standard Deviation of Variable

57. Standardized Variable
X
( X − X )2
3
25
-1.3624 1.8561
6
4
-0.5450 0.2970
Z
(Z − Z ) 2
11
9
0.81741 0.6682
12
16
1.0899
32
54
0
1.1879
4.009
Variable Z has mean “0” and
X
2
Sx
∑X
=
=
32
=8
4
n
54
=
=13.5
4
Z=
X− X X−8
=
Sx
3.67
∑Z
Z =
2
Sz
=0
n
4.009
=
≅1
4
variance “1” so Z is a standard
variable.
X − X 11 − 8
Z=
=
= 0.8174
3.67
Standard Score at X=11 is Sx

58. The Empirical Rule
68.26%
X ± 1S contains about 68.26% of values
X
X ± 1S
X ± 2S contains about 95.45% of values
95.45%
X ± 2S
99.73%
X ± 3S
X ± 3S contains about 99.73% of values

59. Measures of
Skewness
A distribution in which the values
equidistant from the centre have
equal frequencies is defined to be
symmetrical and any departure from
symmetry is called skewness.
1. Length of Right Tail = Length of Left
Tail
2. Mean = Median = Mode
3. Sk=0
a) Sk=(Mean-Mode)/SD
b) Sk=(Q3-2Q2+Q1)/(Q3-Q1)

60. Measures of Skewness
A distribution is positively skewed, if the
observations tend to concentrate more at
the lower end of the possible values of the
variable than the upper end. A positively
skewed frequency curve has a longer tail
on the right hand side
1. Length of Right Tail > Length of Left
Tail
2. Mean > Median > Mode
3. SK>0

61. Measures of Skewness
A distribution is negatively skewed, if
the observations tend to concentrate
more at the upper end of the possible
values of the variable than the lower
end. A negatively skewed frequency
curve has a longer tail on the left side.
1. Length of Right Tail < Length of Left
Tail
2. Mean < Median < Mode
3. SK< 0

62. Measures of Kurtosis
•
•
•
The Kurtosis is the degree of peakedness or flatness of a
unimodal (single humped) distribution,
When the values of a variable are highly concentrated around
the mode, the peak of the curve becomes relatively high; the
curve is Leptokurtic.
When the values of a variable have low concentration
around the mode, the peak of the curve becomes relatively
flat;curve is Platykurtic.
A curve, which is neither very peaked nor very flat-toped, it
is taken as a basis for comparison, is called
Mesokurtic/Normal.

63. Measures of
Kurtosis

64. Measures of Kurtosis
Coefficient of Kurtosis=
n ∑ ( X-X )
4
2 2
 ( X-X ) 
∑

1. If Coefficient of Kurtosis > 3 ----------------- Leptokurtic.
2. If Coefficient of Kurtosis = 3 ----------------- Mesokurtic.
3. If Coefficient of Kurtosis < 3 ----------------- is Platykurtic.

65. Histograms and Bar Charts
To help students distinguish
the
histogram from the simple bar chart,
for the data here is the example from
page 39 of the Histograms Chapter
(Chapter 3) which also mentions the
advantage of the histogram for larger
data sets.

66. Histogram, Box Plot, and CDF
To compare and contrast these three
basic exploratory charts, here is the
example from page 83 of Chapter 4
on Landmark Summaries.

67. Probability Trees
Probability is less
mysterious to
students when
there is a visual
framework, as
shown here in the
example from page
144 of Chapter 6.

68. Bivariate Data Examples
Relationships and regression are powerful
business concepts. Here are a couple of the
examples from Chapter 11 on Bivariate
Data (pages 295 and 308).

69. Magazine Ads and Multiple Regression
The cost of advertising can be explained,
in part, by magazine characteristics such
as audience size and income level in this
example that is used to illustrate the
power of multiple regression in business,
from Chapter 12.

70. Excel Guide
The Excel Guide goes step-by-step
through, chapter by chapter, to show
students how Excel can be used to obtain
statistical results. Here is the scatterplot
example from page 82 of the Excel Guide.

71. Сэдвийн дүгнэлт
• Тоон өгөгдлийг цэгцлэх
– Дараалласан тархалт ба иш-навч дэлгэц
• Олон хэмжээст тоон өгөгдлийн хүснэгт ба
график
– Давталттай тархалт: хүснэгт, гистограмм,
полигон
– Хуримтлагдсан тархалт: хүснэгт ба огив
• Хоёр хэмжээст тоон өгөгдлийн график

72. Сэдвийн дүгнэлт
(үргэлжлэл)
• Олон хэмжээст категорийн өгөгдлийн
хүснэгт ба график
– Хураангуй хүснэгт
– Тэгш өнцөгт ба дугуй диаграмм, Парето
диаграмм
• Хоёр хэмжээст категорийн өгөгдлийн
хүснэгт ба график
– Санамсаргүй үзэгдлийн хүснэгт
– Хоёр талт диаграмм
• Төгс график болон өгөгдлийг илэрхийлэхэд
гардаг нийтлэг алдааны талаар хэлэлцсэн

73. Анхаарал тавьсанд
баярлалаа