1. Perbandingan ,fungsi, persamaan dan
identitas trigonometri

2. Adaptif
Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender denganSeorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan
menggunakan klinometermenggunakan klinometer
α
Perbandingan trigonometri

3. Adaptif
Pengalaman Belajar
 Seorang siswa program keahlian bangunan ingin
praktik membuat rangka atap rumah dengan
ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka
panjang x adalah …
x m
4 m
2 m
3
Perbandingan Trigonometri

4. Adaptif
Pengalaman BelajarPengalaman Belajar
 Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudutPuncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut
elevasi 30elevasi 3000
dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 4500
seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20
meter, berapa tinggi menara tersebut?meter, berapa tinggi menara tersebut?
300
450
A
B
20 m
Perbandingan Trigonometrri

5. Adaptif
APA yang terjadi ?APA yang terjadi ?
Apabila ada beberapa guru memberi tugas padaApabila ada beberapa guru memberi tugas pada
muridnya sbb:muridnya sbb:
““Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisiSegitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi
AC=4, BC=6AC=4, BC=6 dandan AB=8AB=8. Tentukan. Tentukan besar sudutbesar sudut
A.”A.”
Perbandingan Trigonometri

6. Adaptif
Sekilas ???Sekilas ???
 Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikanTidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan
oleh guru tersebut?oleh guru tersebut?
 Murid ya mencoba menghitung besar sudut AMurid ya mencoba menghitung besar sudut A
dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus Adengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A
 Guru merasa tak bersalahGuru merasa tak bersalah
Perbandingan Trigonometri

7. Adaptif
4M
3 M
BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?
Perbandingan Trigonometri

8. Adaptif
Manakah bangun yang kelilingnya
terpanjang?
4)
1) 2)
3)
Perbandingan Trigonometri

9. Adaptif
RuangRuang LingkupLingkup
2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus )
3. Rumus-rumus Trigonometri
4. Koordinat Kartesius dan Kutub
5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga
1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut
6. Identitas Trigonometri
7. Persamaan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri

10. Adaptif
SINUS
ADALAH PERBANDINGAN ANTARA
SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN
HIPOTENUSA PADA SUATU
SEGITIGA SIKU-SIKU
Sin AOC =
AC
OC
0 A
C
Perbandingan Trigonometri

11. Adaptif
Perbandingan Trigonometri
 Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing
sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku
O A
C
Cos AOB =
OA
OC

12. Adaptif
Perbandingan Trigonometri
 Tangen adalah nilai perbandingan antara sisi
didepan sudut dengan sisi disamping sudut
O
C
A
Tan AOC =
AC
OA

13. Adaptif
Sudut Dalam Kedudukan Baku
A
B
C
θ
Sudut θ tidak dlm
kedudukan baku
X
Y
A B
C
θ
Sudut θ dalam kedudukan baku
Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ
Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ
Perbandingan trigonometri

14. Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP SINUS
...
AE
EE'
AD
DD'
AC
CC'
AB
BB'
====

15. Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP KOSINUS
...
AE
AE'
AD
AD'
AC
AC'
AB
AB'
====

16. Adaptif
PERBANDINGAN TRIGONOMETRIPERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KONSEP TANGEN
...
AE'
EE'
AD'
DD'
AC'
CC'
AB'
BB'
====

17. Adaptif
Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10
cm, sisi BC = 5 cm.
Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....
didapat 5V3
C
B
5
A
10
?
Maka diperoleh : sin A = ½
Jadi : cos A = ½ V3
tan A = 1/3 V3
Perbandingan trigonometri

18. Adaptif
Dikembangkan Soal
Dengan mengukur panjang
tangga BC, dan mengukur besa
sudut ABC, dan menggunakan
konsep sinus, maka siswa
ditugasi untuk menentukan
ketinggian lantai II dari dasar
lantai.
A B
C
Tangga
Perbandingan Trigonometri

19. Adaptif
Perbandingan Trigonometri
C
A B
Tali pancang
Tiang
Dengan mengukur besar sudut BAC dan
jarak AB, serta menggunakan konsep
kosinus maka siswa dapat menentukan
panjang tali pancang AC, yang sudah
waktunya diganti itu!

20. Adaptif
Sudut KhususSudut khusus
S
A B
C
D P Q
R
ABC sama sisi
panjang sisi = 2a
PQRS persegi
panjang sisi = 2a
Perbandingan Trigonometri

21. Adaptif
Perbandingan Trigonometri
Dengan menggunakan gambar di atas,
tentukan nilai perbandingan :
0o
300
450
600
900
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
…. …. …. …. ….
αsin
αcos
αtg
αctg
αsec
αeccos
α

22. Adaptif
Sudut KhususSudut Khusus
1
45o
45o
90o
1
V2
sin 45o
= ½ V2
cos 45o
= ½ V2
tan 45o
= 1
V32
1
60o
30o
90o
sin 30o
= ½
cos 30o
= ½ V3
tan 30o
= 1
/3 V3
sin 60o
= ½V3
cos 60o
= ½
tan 60o
= V3
Perbandibgan Trigonometri

23. Adaptif
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRIRUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri
1. a. Relasi Kebalikan:
csc α = sec α = cot α = αtan
1
αcos
1
sinα
1
cosα
sinα
αsin
αcos
b. Relasi Pembagian: tan α =
cot α =
c. Relasi “Pythagoras”:
sin2
α + cos2
α = 1 (dan variasinya)
tan2
α + 1 = sec2
α
1 + cot2
α = csc2
α
Perbandingan Trigonometry

24. Adaptif
Sudut BerelasiSudut Berelasi
2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi
a. sin(90 – α)o
= cos αo
cos(90 – α)o
= sin αo
tan(90 – α)o
= cot αo
cot(90 – α)o
= tan αo
sec(90 – α)o
= csc αo
csc(90 – α)o
= sec αo
b. sin(180 – α)o
= sin α0
sin(180 + α)o
= –sin αo
cos(180 – α)o
= –cos α0
cos(180 + α)o
= –cos αo
tan(180 – α)o
= –tan α0
tan(180 + α)o
= tan αo
c. sin(360 – α)o
= –sin α0
sin(–αo
) = –sin αo
cos(360 – α)o
= cos α0
cos(–αo
) = cos αo
tan(360 – α)o
= –tan α0
tan(–αo
) = –tan αo
AllSin
Tan Cos
Bernilai
”+”
Perbandingan Trigonometri

25. Adaptif
1.1. JikaJika ααoo
++ ββoo
++ γγoo
= 180= 180oo
, maka:, maka:
sin(sin(αα ++ ββ))oo
= sin(180 –= sin(180 – γγ))oo
= sin= sin γγoo
cos(cos(αα ++ ββ))oo
= cos(180 –= cos(180 – γγ))oo
= –cos= –cos γγoo
sin ½ (sin ½ (αα ++ ββ))oo
= sin(90 – ½= sin(90 – ½ γγ))oo
= cos ½= cos ½ γγoo
coscos ½ (½ (αα ++ ββ))oo
== coscos (90 – ½(90 – ½ γγ))oo
= sin ½= sin ½ γγoo
Hal KhususHal Khusus
2.2. JikaJika ααoo
++ ββoo
++ γγoo
= 270= 270oo
, maka:, maka:
sin(sin(αα ++ ββ))oo
= sin(270 –= sin(270 – γγ))oo
= –cos= –cos γγoo
cos(cos(αα ++ ββ))oo
= cos(270 –= cos(270 – γγ))oo
= –sin= –sin γγoo
Perbandingan Trigonometri

26. Adaptif
Koordinat Kartesius dan KutubKoordinat Kartesius dan Kutub
y
x
x
Y P( x,y )
o
Koordinat Kartesius
•
y
x
X
Y
P( r, α )
r
α
O
Koordinat Kutub
•
x = r cos a
Y = r sin a
r2
= x2
+ y2
tan α = x
y
Koordinat Kutub ke Kartesius Koordinat Kartesius ke Kutub

27. Adaptif
Rumus Trigonometri dalam SegitigaRumus Trigonometri dalam Segitiga
1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:
γβα sinsinsin
cba
==
2. Aturan (rumus) kosinus:
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α
b2
= a2
+ c2
– 2ac cos β
c2
= a2
+ b2
– 2ab cos γ
2ca
2b2a2c −+
cos α =
cos β =
2bc
2a2c2b −+
2ab
2c2b2a −+cos γ =
atau

28. Adaptif
Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan
kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o
dan kapal B ke
arah 220o
dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua
kapal 2 jam kemudian?
160o
220o
60o
20
32
O
A
B
AB2
= 202
+ 322
– 2. 20 . 32 . cos 60o
= 400 + 1024 – 640
= 784
AB = 28
Jarak antara kedua kapal 28 mil
Rumus Trigonometri dalam segitiga
U

29. Adaptif
37
51
20
A
B
C
Berapakah nilai tan A dan sin B?
cos A = sehingga cos B =
cos B = sehingga sin A =
Rumus trigonometri dalam segitiga

30. Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
1. 1. Rumus jumlahRumus jumlah
 sin(sin(αα ++ ββ) = sin) = sin αα coscos ββ + cos+ cos αα sinsin
ββ
 cos(cos(αα ++ ββ) = cos) = cos αα coscos ββ – sin– sin αα sinsin
ββ
βα
βα
βα
tantan1
tantan
)tan(
−
+
=+
Rumus selisihRumus selisih
 sin(sin(αα –– ββ) = sin) = sin αα coscos ββ – cos– cos αα sinsin ββ
 cos(cos(αα –– ββ) = cos) = cos αα coscos ββ + sin+ sin αα sinsin ββ
βα
βα
βα
tantan1
tantan
)(tan
+
−
=−
2.2. Rumus sudut rangkapRumus sudut rangkap
 Sin 2Sin 2αα = 2 sin= 2 sin αα coscos αα
 Cos 2Cos 2αα = cos= cos22
αα – sin– sin22
αα
Rumus setengah sudutRumus setengah sudut
 2 sin2 sin22
½½ αα = 1 - cos= 1 - cos αα
 2 cos2 cos22
½½ αα = 1 + cos= 1 + cos αα
α
α
α 2
tan1
tan2
2tan
−
=
α
α
α
cos1
cos1
tan 2
12
+
−
=
α
α
α
cos1
sin
tan 2
1
+
=

31. Adaptif
RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUTRUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT
3. Rumus sudut rangkap tiga3. Rumus sudut rangkap tiga
Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 αSin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
Cos 3α = 4cos3α – 3 cos αCos 3α = 4cos3α – 3 cos α
α
αα
α 2
3
tan31
tantan3
3tan
−
−
=

32. Adaptif
Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil KaliRumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali
Fungsi Sinus/KosinusFungsi Sinus/Kosinus
1.1. Hasil kali sinus dan kosinusHasil kali sinus dan kosinus
 2 sin2 sin αα coscos ββ = sin(= sin(αα ++ ββ) + sin() + sin(αα –– ββ))
 2 cos2 cos αα sinsin ββ = sin(= sin(αα ++ ββ) – sin() – sin(αα –– ββ))
 2 cos2 cos αα coscos ββ = cos(= cos(αα ++ ββ) – cos() – cos(αα –– ββ))
 ––2 sin2 sin αα sinsin ββ = cos(= cos(αα ++ ββ) – cos() – cos(αα –– ββ))
atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)
22. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus. Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus/Kosinus
 sin A + sin B = 2sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
 sin A – sin B = 2 cossin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)½ (A + B) sin ½ (A – B)
 cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B)cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) coscos ½ (A – B)½ (A – B)
 cos A – cos B = –2 sincos A – cos B = –2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)½ (A + B) sin ½ (A – B)

33. Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRIIDENTITAS TRIGONOMETRI
 IdentitasIdentitas adalah suatu kalimat terbuka yangadalah suatu kalimat terbuka yang
bernilai benar untuk setiap pengganti nilaibernilai benar untuk setiap pengganti nilai
variabelnya, misal :variabelnya, misal : sin2
α + cos2
α = 1
x
x
x
x
x
sin
cos1
cos1
sin
csc2
+
+
+
=
 Buktikan !Buktikan !
sec4
θ – sec2
θ = tan4
θ + tan2
θ

34. Adaptif
Bukti:
xsin)xcos1(
)xcos1(xsin 22
+
++
=
xsin)xcos1(
xcosxcos21xsin 22
+
+++
=
xsin)xcos1(
xcos22
+
+
=
xsin
2
=
(terbukti)kananruasxcsc2 ==
x
x
x
x
sin
cos1
cos1
sin +
+
+
IDENTITAS TRIGONOMETRI

35. Adaptif
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Bukti:
Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan
 Ruas kiri: Ruas kanan:
sec4
θ – sec2
θ tan 4
θ + tan 2
θ
= sec2
θ(sec2
θ – 1) = tan 2
θ(tan 2
θ + 1)
= sec 2
θ x tan 2
θ = (sec 2
θ – 1) sec 2
θ
= (1 + tan 2
θ) x tan 2
θ = sec 4
θ – sec 2
θ
= tan 2
θ + tan 4
θ = ruas kiri (terbukti)
= tan 4
θ + tan 2
θ
= ruas kanan (terbukti)

36. Adaptif
Persamaan Trigonometri SederhanaPersamaan Trigonometri Sederhana
1). Jika sin1). Jika sin xx°° == sinsin α°α°
maka:maka: xx == αα ++ kk. 360. 360°° atauatau
xx == (180(180°° −− αα) +) + kk. 360. 360°° ,, kk ∈∈ BB
2). Jika cos2). Jika cos xx°° == coscos α°α°
maka :maka : xx == αα ++ kk. 360. 360°° atauatau
xx == −− αα ++ kk. 360. 360°°,, kk ∈∈ BB
3). Jika tan3). Jika tan xx°° == tantan α°α°
maka :maka : xx == αα ++ kk. 180. 180°° kk ∈∈ BB
Rumus I :Rumus I :

37. Adaptif
Rumus II : Pada keadaan sama dengan nolRumus II : Pada keadaan sama dengan nol
1). Jika sin1). Jika sin xx°° == 00
maka:maka: xx == kk.180.180°° ,, kk ∈∈ BB
2). Jika cos2). Jika cos xx°° == 00
maka:maka: xx == 9090°° ++ kk.180.180°° ,, kk ∈∈ BB
3). Jika tan3). Jika tan xx°° == 00
maka:maka: xx == kk.180.180°° ,, kk ∈∈ BB
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

38. Adaptif
Rumus III :Rumus III : Persamaan mengandung harga negatifPersamaan mengandung harga negatif
1). Jika sin1). Jika sin xx°° == - sin- sin α°α° == sin (-sin (-αα))°°
maka:maka: xx == -- αα ++ kk. 360. 360°° atauatau
xx == (180(180°° ++ αα) +) + kk. 360. 360°° ,, kk ∈∈ BB
2). Jika cos2). Jika cos xx°° == - cos- cos α°α° == cos (180 +cos (180 + αα ))°°
maka:maka: xx == 180 +180 + αα ++ kk. 360. 360°° atauatau
xx == - 180- 180°° -- αα ++ kk. 360. 360°° ,, kk ∈∈ BB
3). Jika tan3). Jika tan xx°° == - tan- tan α°α° == tan (-tan (-αα))°°
maka:maka: xx == -- αα ++ kk. 180. 180°° ,, kk ∈∈ BB
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

39. Adaptif
Contoh Soal
 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri
berikut: Untuk 0 ≤ x < 360:
 a) sin x0
= sin 400
b) cos 2x0
=
Jawab:
 a) sin x0
= sin 400
⇒ x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360
 untuk k = 0 x = 40 k = 0 k = 140→ →
 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}
 adalah {30, 150, 210, 330}
2
1
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

40. Adaptif
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
 b) cos 2x 0
=
cos 2x 0
= cos 60 0
maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360
x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180
 untuk k = 0 x = 30 Untuk k = 1 x = 210→ → 0
 k = 1 x = 150 k = 2 x = 330→ →
 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{30, 150, 210, 330}
2
1

41. Adaptif
Soal :
1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm,
dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm.
Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....
2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan
secara bersamaan. Kapal pertama berlayar
dengan arah 030° dengan kecepatan 8
km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar
dengan arah 090° dengan kecepatan 10
km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah
berlayar 3 jam adalah ... km
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

42. Adaptif
Kerangka atap suatu bangunan berbentuk
seperti gambar berikut:
 Hitunglah panjang AB
35,30
BA
10,30 m
28,50
2,20 m
panjang AB adalah 3,14 m
Penerapan ke prgram keahlian

43. Adaptif
Perhatikan gambar:
a) Hitunglah jarak
AB
b) Hitunglah jarak
BC
18 cm
400 950
700
A
B
C
a) jarak AB = 12,6 cm
b) jarak BC = 21,97 cm
Penerapan ke program keahlian