funções trigonometricas

1. Funções Trigonométricas: Resumo com exemplos
Funções Trigonométricas
Função Seno
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ou im(f) = {y E R/-1 < y <
1} ; uma vez que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela
definição do seno, –1 £ sen x £ 1.
Indicamos essa função por:
f(x) = sen(x)
Na função seno, temos: sen x = sen (x + K . 2π), K E Z para x E R. O menor
valor positivo de K . 2π ocorre quando K = 1. Portanto: sen x = sen (x + 1 . 2π)
Dessa forma concluímos que: A função y = sen x é periódica de período 2π.
Sinal da função Seno
Analisando o sinal da função y = sen x, em cada um dos quadrantes, temos:
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Gráfico da função seno
O gráfico da função y = sen x é chamado senóide.

2. Resumindo, temos:
1- Função y = sen x ou f(x) = sen x
2- O domínio é D(f) = R
3- O conjunto-imagem é im(f) = [-1;1].
4- A função é periódica, de período 2π.
5- O sinal da função é:
positivo no 1º e 2º quadrantes;
negativo no 3º e 4º quadrantes.
6- A função é ímpar.
7- A função é crescente no 1º e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º
quadrantes.
Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=sen(x) é ímpar, isto é, sen(-a)=-
sen(a), para qualquer a real.
sen(-a) = sen(2 -a)
= sen(2 ).cos(a) - cos(2 ).sen(a)
= 0 . cos(a) - 1 . sen(a)
= -sen(a)
Exemplo2: Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = sen 4x?
Solução:
Podemos escrever: 4x = sen y. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].
Função Cosseno
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ou ainda Im(f) = {y E R/ -
1 < y < 1}; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela
definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1.
O período da função cos x é 2π, pois Ax E R temos cos x = cos (x + K 2π), com
K E Z e o menor valor positivo de K.2π, tal que isso ocorra, é 1.2π.

3. Sinal da função Cosseno
Estudando o sinal da função y = cos x em cada um dos quadrantes, temos:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)
Gráfico da função Cosseno
Resumindo temos:
1- Função y = cos x ou f(x) = cos x
2- O domínio é D(f) = R
3- O conjunto imagem é Im(f) = [-1;1]
4- A função é periódica de período 2π.
5- O sinal da função é:
positivo no 1º e 4º quadrantes;
negativo no 2º e 3º quadrantes.
6 - A função é função par.
7- A função é crescente no 3º e 4º quadrantes e decrescente no 1° e 2º
quadrantes.
Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, cos(-
a)=cos(a), para qualquer a real.

4. cos(-a) = cos(2 -a)
= cos(2 ).cos(a) + sen(2 ).sen(a)
= 1.cos(a) + 0.sen(a)
= cos(a)
Função Tangente
O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não
existe cosx = 0 e a imagem é tg x; Im(tg x) = R ou .
A função é periódica , de período π.
Sinal da Função Tangente
Valores positivos nos quadrantes ímpares(1º e 3°)
Valores negativos nos quadrantes pares(2º e 4º)
Crescente em cada valor.
Gráfico da Função Tangente
função chamada tangentóide

5. Resumindo temos:
1- Função y = tg x ou f(x) = tg x
2- O domínio é D(f) = {x E R/ x# π/2 + k . π, k E Z}
3- O conjunto imagem é Im(f) = R.
4- A função é periódica, de período π.
5- O sinal da função é:
positivo no 1º e 3º quadrantes;
negativo no 2º e 4º quadrantes.
6- A função é uma função Ímpar.
7- A função é crescente em todos os quadrantes.
exemplo: Determine o valor de tan(-35/4).
tan(-35 /4)=tan(-35 /4+5.2 )=tan(5 /4)
Portanto
tan(-35 /4)=1
Função Cotangente
O domínio da função y = cotg x é R - {n . π, n E Z} e a imagem Im(f) = R.
A função é periódica, de período π. Indicamos essa função por: y = f(x) = cotg
x. A função y = cotg x é ímpar. Vejamos: cotg (-x) = - cotg x
Sinal da função cotangente
A função cotangente tem os mesmos sinais da tangente, ou seja, positivo no 1º
e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes.
Gráfico da função cotangente

6. Função secante
A função secante de x, é definida como o inverso do cosseno: .
O domínio da função é D(f) = R - { π/2 + n . π, n E Z} e a imagem Im(f) = { y E
R/ y £ -1 ou y ³1}.
O período da função secante é 2π. É também uma função par, pois para todo x
onde a secante é definida, tem-se que: sec(x) = sec(-x)
Sinal da função secante
A função secante tem os mesmos sinais da função cosseno, ou seja, positiva
no 1° e 4° quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.
Gráfico da função Secante
Função Cossecante
A função cossecante de x, é o inverso do seno: cossec x = 1/sen x. O domínio da

7. função é R - {n. π, n E Z} e a imagem Im(f) = {y em R: y < -1 ou y > 1}.
O período da função é 2 .π. Assim como a função cotangente, a função
cossecante é ímpar pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se
que:
cossec (- x) = - cossec x
Sinal da função Cossecante
A função cossecante tem os mesmos sinais da função seno, ou seja, positivo
no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes.
Gráfico da função Cossecante
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