Desplazamientos y solicitaciones de una barra 1
Cálculo matricial
de pórticos biempotrados
a dos aguas
1. Hipótesis de cál...
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas2
Para provocar cada uno de estos desplazamientos es necesario aplic...
Desplazamientos y solicitaciones de una barra 3
∑ = 0Fy 0TT BAAB =−
y por tanto
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Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas4
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Desplazamientos y solicitaciones de una barra 5
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Figura 4. Desplazamiento angular de flexión en el extremo A.
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Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas6
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Desplazamientosy solicitacionesbarra

  1. 1. Desplazamientos y solicitaciones de una barra 1 Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas 1. Hipótesis de cálculo. Se verifica la ley de Hooke, lo que significa que en las estructuras los desplazamientos son proporcionales a las fuerzas aplicadas. Los desplazamientos son pequeños en relación con las dimensiones de la estructura. En el proceso de carga de la estructura, ésta se deforma, pero al ser las deformaciones pequeñas comparadas con las dimensiones de la estructura, se desprecian los cambios que las cargas producen, considerándose que la estructura mantiene su forma y dimensiones primitivas. Al verificarse la ley de Hooke y la hipótesis de pequeños desplazamientos, el principio de superposición es aplicable a estas estructuras y, en consecuencia, los efectos que en un sistema de cargas ejercen sobre una estructura es igual a la suma de los efectos que ejercen esas mismas cargas actuando por separado. Se supone también el principio de unicidad de las soluciones, según el cual son únicos los desplazamientos y las solicitaciones originadas en una estructura por un determinado estado de cargas. 2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra. Consideremos una barra AB que pertenece a una estructura, y sean E y G sus módulos de elasticidad longitudinal y transversal. Supongamos que a esta barra AB se le provocan por separado los siguientes desplazamientos en sus extremos: − Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B. − Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B. − Desplazamiento angular de flexión del extremo A. − Desplazamiento angular de torsión del extremo A.
  2. 2. Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas2 Para provocar cada uno de estos desplazamientos es necesario aplicar determinadas solicitaciones en las secciones extremas A y B, solicitaciones tanto mayores cuanto mayor sea la rigidez de la barra a ese desplazamiento. A continuación se determinan las solicitaciones así definidas en una barra de longitud L y sección transversal constante. La generalización a una barra de sección variable supone una mayor complicación operativa pero no conceptual. 2.1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B. ∆ Figura 1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B. Sea A el área de la sección transversal de la barra AB (figura 1). Para que el extremo A de la barra experimente un desplazamiento longitudinal ∆A respecto al extremo B es preciso que, en las secciones A y B, actúen las fuerzas normales NAB y NBA . Teniendo en cuenta que: AE LNAB A ⋅ ⋅ =∆ resulta que para provocar el desplazamiento longitudinal ∆A es preciso aplicar en A y B las fuerzas normales: ABAAB L AE NN ∆⋅ ⋅ == [1] 2.2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B. Siendo I el momento de inercia Iz de la sección transversal de la barra AB (figura 2), supongamos ahora que el extremo A experimenta un desplazamiento transversal δA respecto al extremo B, y que además a ninguna de las dos secciones extremas se les permite girar. Ello exige aplicar en el extremo A las solicitaciones TAB , MAB y en el extremo B las solicitaciones TBA , MBA . De las ecuaciones de la Estática: ∑ = 0MB 0MMLT BAABAB =−−⋅
  3. 3. Desplazamientos y solicitaciones de una barra 3 ∑ = 0Fy 0TT BAAB =− y por tanto L MM TT BAAB BAAB + == δ Figura 2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B. A una distancia x de la extremidad A, el momento flector es (figura 3): x L MM MxTMM BAAB ABABABz ⋅ + +−=⋅+−= δ Figura 3. Momento flector en una sección x. Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B obtenemos: ∫ ∫ = ⋅ ⋅      ⋅ + +− = ⋅ ⋅ =θ−θ B,A L 0 BAAB AB z BA 0 IE dxx L MM M IE dxM Suponiendo que la sección transversal es constante, ( ] 0 2 x L MM xM L 0 2 BAABL 0AB =      ⋅ + +⋅−
  4. 4. Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas4 ( ) 0 2 L MMLM BAABAB =⋅++⋅− 0 2 L M 2 L M BAAB =⋅+⋅− Por tanto, BAAB MM = Aplicando ahora el segundo teorema de Mohr entre A y B: ∫ ∫ δ= ⋅ ⋅⋅      ⋅ ⋅ +− = ⋅ ⋅⋅ =δ B,A L 0 A AB AB Az B,A IE dxxx L M2 M IE dxxM A 2 AB 2 AB 3 L M2 2 L M IE 1 δ=      ⋅⋅+⋅−⋅ ⋅ IE6 LM 2 AB A ⋅⋅ ⋅ =δ y por tanto A2AB L IE6 M δ⋅ ⋅⋅ = y A3AB L IE12 T δ⋅ ⋅⋅ = . En resumen, para provocar el desplazamiento transversal δA es preciso aplicar en A y en B las solicitaciones: A3BAAB L IE12 TT δ⋅ ⋅⋅ == A2BAAB L IE6 MM δ⋅ ⋅⋅ == [2] 2.3. Desplazamiento angular de flexión del extremo A. Para que la barra AB experimente únicamente el giro de flexión θA en su sección extrema A (figura 4) es necesario aplicar las solicitaciones MAB , TAB en el extremo A y las solicitaciones MBA , TBA en el extremo B. A una distancia x de la extremidad A, el momento flector es: xTMM ABABz ⋅+−=
  5. 5. Desplazamientos y solicitaciones de una barra 5 θ Figura 4. Desplazamiento angular de flexión en el extremo A. Aplicando el segundo teorema de Mohr: ( ) ∫ ∫ = ⋅ ⋅⋅⋅+− = ⋅ ⋅⋅ =δ B,A L 0 ABABAz B,A 0 IE dxxxTM IE dxxM ∫∫ =⋅⋅+⋅⋅− L 0 2 AB L 0 AB 0dxxTdxxM 0 3 L T 2 L M 3 AB 2 AB =⋅+⋅− L2 M3 T AB AB ⋅ ⋅ = Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B: ( ) ∫ ∫ ⋅ ⋅⋅+− = ⋅ ⋅ =θ−=θ B,A L 0 ABABz AB,A IE dxxTM IE dxM       ⋅+⋅−⋅ ⋅ =θ− 2 L TLM IE 1 2 ABABA Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se obtiene: AAB L IE4 M θ⋅ ⋅⋅ = A2AB L IE6 T θ⋅ ⋅⋅ = De las ecuaciones de la Estática: ∑ = 0MB 0MMLT BAABAB =−−⋅ ABA L IE2 M θ⋅ ⋅⋅ =
  6. 6. Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas6 ∑ = 0Fy 0TT BAAB =− A2BAAB L IE6 TT θ⋅ ⋅⋅ == En resumen, para provocar el giro θA es preciso aplicar en A y en B las solicitaciones: A2BAAB L IE6 TT θ⋅ ⋅⋅ == AAB L IE4 M θ⋅ ⋅⋅ = ABA L IE2 M θ⋅ ⋅⋅ = [3] 2.4. Desplazamiento angular de torsión del extremo A. Finalmente, sea It el momento de inercia equivalente de torsión de la sección transversal de la barra AB (figura 5). ϕ Figura 5. Desplazamiento angular de torsión del extremo A. Para que el extremo A experimente un giro de torsión ϕA respecto al extremo B es preciso que en las secciones A y B actúen momentos torsores iguales y opuestos A tM y B tM . Teniendo en cuenta que: t A t A IG LM ⋅ ⋅ =ϕ resulta que para provocar el giro de torsión ϕA es preciso aplicar en A y en B los momentos torsores A tB t A t L IG MM ϕ⋅ ⋅ ==

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