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<ul>-2 </ul><ul>-4 </ul><ul>MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN   </ul><ul>1 </ul><ul>Ceros en cautividad (no son peligrosos) </ul><u...
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<ul>La aritmética del reloj </ul><ul>2=14=122 </ul><ul>8=20=-4 </ul><ul>Suma 11+4=3 </ul><ul>Resta 2-3=-1=11 </ul><ul>Mult...
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<ul>Ejemplo no trivial: </ul>
<ul>Tambor hiperbólico (no euclídeo): </ul><ul>Ondas de Maass (formas modulares) </ul><ul>Un muestrario de ondas </ul><ul>...
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<ul>Teorema de Vinogradov: </ul><ul>· Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos....
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  1. 2. <ul><li>Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades </li></ul><ul>¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS? </ul><ul>Figuras </ul><ul>Números </ul><ul>Geometría </ul><ul>Teoría de los Números </ul><ul>Matemática Antigua </ul><ul>Matemática Actual </ul>
  2. 3. <ul>“ La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” </ul><ul>Gauss, 1801 </ul><ul>2004 </ul><ul>¡No! </ul><ul>¡No! </ul><ul>¡No! </ul><ul>¡No! </ul><ul>Biólogos </ul><ul>Químicos </ul><ul>Físicos </ul><ul>Matemáticos </ul>
  3. 4. <ul>NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN </ul><ul>Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... </ul><ul>? </ul><ul>¿Qué es un número primo? </ul><ul>? </ul><ul>¿Cuántos números primos hay? </ul><ul>EUCLIDES (c.300 a.d.C.) : Infinitos </ul><ul>“ Más que cualquier cantidad de primos dada”. </ul>
  4. 5. <ul>NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN </ul><ul>? </ul><ul>¿Cuántos números primos hay? </ul><ul>? </ul><ul>¿En qué proporción? </ul><ul>CHEBYSHEV (1848) : A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x . </ul><ul>EULER (1737) : La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados. </ul>
  5. 6. <ul>NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN </ul><ul>? </ul><ul>¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones “normales”? </ul><ul>10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras </ul><ul>< uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230 </ul><ul>Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann) : Proporción de primos menores que N ~ </ul>
  6. 7. <ul> (s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) </ul><ul>c=Re(cero más a la derecha) </ul><ul>Prueba “buena” </ul><ul> </ul><ul>Función rara= fórmula complicada con primos </ul><ul>Riemann </ul><ul>Función con primos = fórmula complicada con  </ul><ul> </ul><ul>0 </ul><ul>1 </ul><ul>1/2 </ul><ul>c </ul>
  7. 9. <ul>-2 </ul><ul>-4 </ul><ul>MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN  </ul><ul>1 </ul><ul>Ceros en cautividad (no son peligrosos) </ul><ul>Carril exclusivo para los próximos 10 9 ceros (RIEMANN) </ul><ul>Al infinito </ul><ul>No se admiten ceros </ul><ul>1/2 </ul><ul>! </ul><ul> </ul>
  8. 10. <ul>Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros </ul><ul>no triviales de la función  están en “fila india”. </ul><ul>Teorema de los números primos </ul><ul>El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N). </ul><ul>HR </ul>
  9. 11. <ul>“ A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.” </ul><ul>Hume, 1736 </ul><ul>EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA </ul><ul>Hume: Las ideas son impresiones debilitadas </ul><ul>Abstracción, Matemáticas </ul><ul>Realidad </ul>
  10. 12. <ul>Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc. </ul><ul>No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana . </ul><ul>La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. </ul><ul>Pero ... </ul>
  11. 13. <ul>¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad? </ul><ul>¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? (I. Stewart) </ul><ul>A </ul><ul>B </ul><ul>na </ul><ul>lanca </ul><ul>... </ul>
  12. 14. <ul>¿Cómo construir “candados” con los primos? </ul><ul>· RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976) </ul><ul>Cosas fáciles (con ordenador): </ul><ul>· Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de a b al dividir por p </ul><ul>Cosas difíciles (incluso con ordenador): </ul><ul>· Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p </ul>
  13. 15. <ul>La aritmética del reloj </ul><ul>2=14=122 </ul><ul>8=20=-4 </ul><ul>Suma 11+4=3 </ul><ul>Resta 2-3=-1=11 </ul><ul>Multiplicación 7·7=1 </ul><ul>División 2·algo=5, no existe 5/2. </ul><ul>Notación: </ul><ul>Significa que a y b son la misma hora </ul><ul>Lo mismo para un reloj con p (primo) números </ul>
  14. 16. <ul>La aritmética del reloj (primo) </ul><ul>· En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. </ul><ul>· (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces ·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces · a son siempre las a en un reloj primo. </ul><ul>p =3 </ul><ul>p =5 </ul>
  15. 17. <ul>a </ul><ul>p=primo grande (cientos de cifras), g= generador </ul><ul>g b </ul><ul>g a </ul><ul>b </ul><ul>x= mensaje </ul><ul>(p) </ul><ul>Clave= g ab </ul><ul>Clave= g ab </ul><ul>x </ul><ul>Cx </ul><ul>Cx </ul><ul>x </ul><ul>A na </ul><ul>B lanca </ul><ul>¿ g a , g b g ab ? </ul>
  16. 18. <ul>NÚMEROS + ANÁLISIS </ul><ul>¿Cómo contar con ondas? </ul><ul>¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? </ul><ul>9 </ul><ul>10 </ul><ul>1 </ul><ul>3 </ul><ul>2 </ul><ul>10 </ul><ul>..... </ul><ul>enrollar </ul><ul>analizar </ul><ul>Método mejor </ul>
  17. 19. <ul>Ejemplo no trivial: </ul>
  18. 20. <ul>Tambor hiperbólico (no euclídeo): </ul><ul>Ondas de Maass (formas modulares) </ul><ul>Un muestrario de ondas </ul><ul>Tambor rectangular: </ul><ul>Tambor circular, esférico: </ul>
  19. 21. <ul>Dos ideas: </ul><ul>· Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. ( P. Incertidumbre ) </ul><ul>· Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia. </ul><ul>Contar bien estudiar interferencias </ul>
  20. 22. <ul>Teorema de Vinogradov: </ul><ul>· Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. </ul><ul>Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto. </ul>
  21. 23. <ul>Esta presentación está disponible en: </ul><ul>http://www.uam.es/fernando.chamizo </ul>

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