Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos, números racionales e irracionales, reales, y propiedades de las operaciones matemáticas básicas. Explica que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cuocientes de enteros, los irracionales tienen infinitas cifras decimales sin período, y los reales incluyen tanto a los racionales como a los irracionales. También define conceptos como el mínimo común múltiplo, máximo común divisor, números primos y propiedades como

1. Introducción
a la
aritmética
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2. Introducción:
En la PSU, los distractores están construidos a partir de los
errores comunes que cometen los estudiantes.
Debemos, por lo tanto minimizar los errores en aritmética.
Algunos de los errores más comunes se encuentran en
prioridad de las operaciones matemáticas, operatoria en
los racionales y en identificar el conjunto numérico al cual
pertenece una solución o un valor dado.
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3. Conjuntos Numéricos
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5. Números Racionales (Q):
Son aquellos que se pueden expresar como cuociente
entre números enteros. También podemos referirnos a
ellos como el conjunto de todos los números decimales
finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo
cuociente entre números enteros tiene su equivalente
decimal. Este conjunto se simboliza con la letra ℚ
El símbolo “/” significa “tal que…” y no representa división en este caso
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6. Números Racionales (Q):
El conjunto de los números racionales incluye :
- Números enteros
- Decimales Finitos
- Decimales infinitos periódicos
- Decimales infinitos semiperiódicos
Ejemplos:
• 0, 6666…. es un número Racional
• 0, 5646464… es un número Racional
• 0, 6785497…. No es un número Racional
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7. Números Irracionales (I) ó (Q*):
Son todos aquellos que no se pueden expresar como
cuociente entre dos números enteros y se caracterizan
por tener infinitas cifras decimales sin período. Este
conjunto se designa con el símbolo I ó ℚ*. Ejemplos de
números irracionales son:
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9. Números Reales (IR):
Es el conjunto que incluye a los racionales e
irracionales:
IR : Q U Q*
REALES
RACIONALES
IRRACIONALES ENTEROS
NATURALES
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11. Anexo
Símbolos matemáticos:
En álgebra debemos familiarizarnos con la simbología utilizada en
la expresiones matemáticas. Estas se usan frecuentemente en
PSU. Algunos de los símbolos más usados son:
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12. Algunos de los símbolos más usados son:
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14. Alfabeto Griego:
En matemáticas, particularmente en
geometría, es común utilizar letras griegas para
simbolizar variables, especialmente ángulos.
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16. Algunas propiedades de las
operaciones básicas:
Conmutatividad:
Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la
operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los
elementos con los que se opera.
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17. Asociatividad:
Para cualesquiera elementos de un conjunto A no
importa el orden en que se operen las parejas de
elementos, mientras no se cambie el orden de los
elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:
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18. Ejemplos:
Por lo tanto, la suma es asociativa
Por lo tanto, la multiplicación es asociativa
Por lo tanto, la resta NO es asociativa
Por lo tanto, la División NO es asociativa
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19. Números primos:
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor
que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y
el 1.
Los números primos se contraponen así a los compuestos, que
son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí
mismos y del 1.
El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni
compuesto.
Nota: en muchos libros, se sigue considerando al N° 1 como
Número primo, sin embargo, por definición, no lo es
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20. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más
números naturales es el menor número natural que es múltiplo de
todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se
usan decimales, números negativos o números complejos.
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21. Cálculo del Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Partiendo de dos o más números y por descomposición
en factores primos, expresados como producto de dichos factores, su
mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y
no comunes elevados a la mayor potencia.
Ejemplo: el mcm de 72 y 50 será
Tomando los factores comunes y no
comunes con su mayor
exponente, tenemos que:
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22. Máximo común divisor
En matemáticas, se define el máximo común
divisor (abreviado M.C.D.) de dos o más números
enteros al mayor número que los divide sin
dejar resto.
Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14
En efecto y 3 y 4 son primos entre sí (no existe
ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4)
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23. Cálculo del Máximo Común divisor (M.C.D.)
Por descomposición en factores primos
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando
la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores
comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la
factorización en factores primos:
El MCD son los factores comunes con su
menor exponente, esto es:
MCD entre 48 y 60 es 22 x 3 = 12
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