GEOMETRÍA<br />
PUNTO<br />	Es el primer objeto geométrico y origen de todos los demás. <br />El Punto se representa por un pequeño círcul...
LÍNEA <br />	Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. <br />Línea recta <br />Si el punto ...
Línea curva<br />	Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva<br />	Una línea puede ser rect...
	Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea rect...
RECTAS PARALELAS<br />Rectas paralelas son las que no se cortan.<br />No tienen puntos en común.<br />RECTAS PERPENDICULAR...
ACTIVIDAD  <br />Trazar  5 ejemplos de líneas rectas paralelas.<br />Trazar 5 ejemplos de rectas perpendiculares.<br />
PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE LA RECTA<br />Sea P un punto de la recta r.<br />1.-Se traza una circunferencia cualquiera c...
PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR<br />El proceso es muy similar al anterior.<br />Sea P un punto que no está en la rect...
ACTIVIDAD  <br />Trazar  5 ejemplos de líneas perpendiculares por un punto de la recta.<br />Trazar 5 ejemplos de perpendi...
ANGULOS<br />        Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados ...
        Notación: <br />Un ángulo se denota de la siguiente forma: <br />a) Una letra mayúscula en el vértice.<br />b) Una...
MEDIDA DE ÁNGULOS. <br />	Para medir un ángulo, se coloca el centro del transportador sobre el vértice del ángulo, y  uno ...
SISTEMA SEXAGESIMAL<br />En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en grados (º), minutos (') y segundos('').<br /> ...
TIPOS DE ÁNGULOS<br />	Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se cons...
Tipo de ángulo<br />Cóncavo  <br />0° <       < 180°  <br />
Agudo <br />0° <     < 90°  <br />
Recto  <br />           = 90°  <br />
Obtuso <br />90° <        < 180°  <br />
Extendido  o llano<br />         = 180°  <br />
Convexo  o  entrante <br />180° <        < 360° <br />
Completo          = 360°<br />
PAREJA DE ÁNGULOS<br />Ángulos adyacentes<br />Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma ...
Ángulos  consecutivos <br />Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. <br />   <BAC es adyacente con <DAC <...
Ángulos complementarios <br />	Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.       <br />E...
Ángulos suplementarios <br />	Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.        <br />...
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.  <br />
Ángulos opuestos por el vértice<br />Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice.<br />y dichos ...
Ángulos correspondientes entre paralelas<br />1 = 5 		2 = 6	 	3 = 7 		4 = 8<br />
Ángulos alternos externos y ángulos alternos<br /> internos entre paralelas. <br />1 = 7 		2 = 8 		Y	3 = 5		4 = 6 <br />
Son suplementarios<br />1      6 <br />2      5 <br />3      8 <br />4      7 <br />Ángulos contrarios o conjugados.<br />...
EJERCICIOS<br />
1.-	Encuentra las medidas de todos los ángulos formados por las tres rectas<br />A =<br />B = <br />C= <br />D= <br />E= <...
2.-	Calcula los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:<br />m<br />55.8°<br />A =<br />B = <br />C=  <br />o<br /...
3.-	Determina el valor de los ángulos<br />a<br />(2x – 5) <br />b<br />c<br />d<br />f<br />g<br />e<br />x =			A = 			B=...
TRIANGULOS<br />
Un triángulo es un polígono de tres lados. <br />Un triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denomina...
Triángulo equilátero<br />Tres lados iguales.<br />Triángulo isósceles.<br />Dos lados iguales. <br />Triángulo escaleno<b...
Ángulos del triángulo<br />En un triángulo existen dos tipos de ángulos:<br />Los ángulos interiores lo forman dos lados.<...
Clasificación de triángulos según sus ángulos<br />      Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos.<br />Un triáng...
ACTIVIDAD<br />	En hojas de colores,  trazar y recortar  triángulos con las siguiente medidas.<br />	Verificar si es posib...
1) triángulo ABC<br />     AB = 3 cm.<br />     BC = 5 cm.<br />     AC = 5 cm.<br />2) triángulo PQR.<br />     PQ = 7 cm...
9) Triángulo MNO.<br />MN = 8 cm<br />NO =  8 cm<br />OM = 6 cm.<br />7) triángulo XYZ.<br />    XY = 8 cm.<br />YZ  = 4 c...
	Cuando hayas terminado de recortar los triángulo, los pegarás en forma collage, en hoja de color.<br />	La hoja deberá te...
Propiedades de los triángulos<br />1.  Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difere...
3.  Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales<br />
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es  180°.<br />A + B + C = 180º<br />
ACTIVIDAD<br />
Traza un triangulo cualquiera como el de la figura.<br />Haz dobleces siguiendo la línea punteada<br />Dobla las esquinas ...
¿Coinciden los tres vértices?<br />¿Sucederá lo mismo en cualquier triángulo?<br />¿Cuál será la suma de los ángulos que t...
Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó.<br />¿Qué áng...
A´<br />B´<br />c<br />b<br />a<br />B´ + c + A´ = 180°<br />a = B´     por ser ángulos alternos internos<br />b = A´     ...
En el ∆ABC el <A = 60°,   <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C?<br />2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el va...
4. En un triangulo rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo?<br />5. En un triangulo isóscel...
M<br />40°<br />x<br />100°<br />L<br />6.	Si L  M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.<br />
5.  El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él. <br />α = ...
B<br />D<br />A<br />C<br />A + B + C = 180° 		por ser ángulos 			interiores de un triángulo<br />C + D = 180°			por se án...
6.   Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. <br />Encontrar la suma de lo...
Elementos notables de un triángulo<br />
Altura es, cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o, a su prolongación). <br />...
Ubicar  el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 1<br />
Ubicar  el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 2<br />
Ubicar  el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 3<br />
Baricentro<br />El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.<br />BG = 2GA<br />Mediana es cada una de las rec...
Ubicar el baricentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
Circuncentro<br />El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.<br />Mediatriz es cada una de las rectas p...
Ubicar el circuncentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
Incentro<br />El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.<br />Bisectriz es cada una de las rectas que divid...
Ubicar el incentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
Recta de Euler <br />El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es deci...
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  1. 1. GEOMETRÍA<br />
  2. 2. PUNTO<br /> Es el primer objeto geométrico y origen de todos los demás. <br />El Punto se representa por un pequeño círculo.<br />No tiene dimensiones.<br />Un punto sólo tiene posición en el espacio<br />Es la unidad indivisible de la geometría. <br />No tiene dimensión (largo, alto, ancho)<br />Se nombran por una letra mayúscula.<br />
  3. 3. LÍNEA <br /> Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. <br />Línea recta <br />Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.   <br />
  4. 4. Línea curva<br /> Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva<br /> Una línea puede ser recta, curva o combinada.   Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.<br />
  5. 5. Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.<br />
  6. 6. RECTAS PARALELAS<br />Rectas paralelas son las que no se cortan.<br />No tienen puntos en común.<br />RECTAS PERPENDICULARES<br /> Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos iguales se dice que estas dos rectas son perpendiculares . Se llama ángulo recto a cualquiera de los ángulos con que se cortan.<br />
  7. 7. ACTIVIDAD <br />Trazar 5 ejemplos de líneas rectas paralelas.<br />Trazar 5 ejemplos de rectas perpendiculares.<br />
  8. 8. PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE LA RECTA<br />Sea P un punto de la recta r.<br />1.-Se traza una circunferencia cualquiera c, centrada en P. La circunferencia c corta en A y en B a r.<br />2.-Con centro en A y en B se trazan dos circunferencias iguales que se corten en M y N. <br />La recta que pasa por M y N es perpendicular a la recta r.<br />
  9. 9. PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR<br />El proceso es muy similar al anterior.<br />Sea P un punto que no está en la recta r.<br />  Basta con hacer una circunferencia centrada en P que corte a la recta r en dos puntos, A y B.<br />Se hacen circunferencias centradas en A y B de igual radio y que se corten.<br />La recta que pasa por P y el punto de corte anterior es perpendicular a r.<br />trazar 5 ejemplos más.<br />
  10. 10. ACTIVIDAD <br />Trazar 5 ejemplos de líneas perpendiculares por un punto de la recta.<br />Trazar 5 ejemplos de perpendiculares por un punto exterior a la recta<br />
  11. 11. ANGULOS<br />        Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice. <br />
  12. 12.         Notación: <br />Un ángulo se denota de la siguiente forma: <br />a) Una letra mayúscula en el vértice.<br />b) Una letra griega o un símbolo en la abertura.<br />c) Tres letras mayúscula.<br />< abc<br />
  13. 13. MEDIDA DE ÁNGULOS. <br /> Para medir un ángulo, se coloca el centro del transportador sobre el vértice del ángulo, y  uno de los lados sobre la línea del cero.<br />Observa que tiene dos graduaciones en orden inverso; esto es para facilitar la medida en cualquier posición del ángulo.<br />
  14. 14. SISTEMA SEXAGESIMAL<br />En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en grados (º), minutos (') y segundos('').<br /> Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.  <br />          Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.  <br />          Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.<br />
  15. 15. TIPOS DE ÁNGULOS<br /> Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.<br />
  16. 16. Tipo de ángulo<br />Cóncavo  <br />0° <  < 180°  <br />
  17. 17. Agudo <br />0° <  < 90°  <br />
  18. 18. Recto  <br />  = 90°  <br />
  19. 19. Obtuso <br />90° <  < 180°  <br />
  20. 20. Extendido o llano<br />  = 180°  <br />
  21. 21. Convexo o entrante <br />180° <   < 360° <br />
  22. 22. Completo   = 360°<br />
  23. 23. PAREJA DE ÁNGULOS<br />Ángulos adyacentes<br />Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.   <br />
  24. 24. Ángulos  consecutivos <br />Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. <br />   <BAC es adyacente con <DAC <br />
  25. 25. Ángulos complementarios <br /> Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.     <br />El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.<br />
  26. 26. Ángulos suplementarios <br /> Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.     <br />El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.<br />
  27. 27. Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.  <br />
  28. 28. Ángulos opuestos por el vértice<br />Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice.<br />y dichos ángulos son<br />iguales. <br />Son ángulos   opuestos por el vértice  <br />1 = 3 2 = 4 6 = 8 5= 7<br />
  29. 29. Ángulos correspondientes entre paralelas<br />1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8<br />
  30. 30. Ángulos alternos externos y ángulos alternos<br /> internos entre paralelas. <br />1 = 7 2 = 8 Y 3 = 5 4 = 6 <br />
  31. 31. Son suplementarios<br />1  6 <br />2  5 <br />3  8 <br />4  7 <br />Ángulos contrarios o conjugados.<br />Ángulos colaterales.<br />1  8 <br />2  7 <br />3  6 <br />4   5 <br />
  32. 32. EJERCICIOS<br />
  33. 33. 1.- Encuentra las medidas de todos los ángulos formados por las tres rectas<br />A =<br />B = <br />C= <br />D= <br />E= <br />F= <br />G= <br />a<br />38.6°<br />b<br />c<br />d<br />e<br />f<br />g<br />
  34. 34. 2.- Calcula los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:<br />m<br />55.8°<br />A =<br />B = <br />C= <br />o<br />n<br />
  35. 35. 3.- Determina el valor de los ángulos<br />a<br />(2x – 5) <br />b<br />c<br />d<br />f<br />g<br />e<br />x = A = B= <br />C= D= E= <br />F= G= <br />
  36. 36. TRIANGULOS<br />
  37. 37. Un triángulo es un polígono de tres lados. <br />Un triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.<br />
  38. 38. Triángulo equilátero<br />Tres lados iguales.<br />Triángulo isósceles.<br />Dos lados iguales. <br />Triángulo escaleno<br />Tres lados desiguales<br />
  39. 39. Ángulos del triángulo<br />En un triángulo existen dos tipos de ángulos:<br />Los ángulos interiores lo forman dos lados.<br />Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.<br />
  40. 40. Clasificación de triángulos según sus ángulos<br /> Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos.<br />Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior recto.<br />El lado mayor del triángulo se llama hipotenusa.<br />Los lados menores del triángulo son los catetos.<br />Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso.<br />
  41. 41. ACTIVIDAD<br /> En hojas de colores, trazar y recortar triángulos con las siguiente medidas.<br /> Verificar si es posible la construcción , de no ser así, encontrar una regla para saber cuando si o cuando no, es posible la construcción de la figura.<br />
  42. 42. 1) triángulo ABC<br /> AB = 3 cm.<br /> BC = 5 cm.<br /> AC = 5 cm.<br />2) triángulo PQR.<br /> PQ = 7 cm.<br /> QR = 6 cm.<br /> RP = 5 cm.<br />3) triángulo BCD.<br />BC = 6 cm.<br />4) triángulo OPQ.<br /> PQ = 8 cm.<br /> QO = 4 cm.<br /> OP = 6 cm.<br />6) Triángulo DEF.<br /> DE = 8 cm.<br /> EF = 4 cm.<br /> FD = 5 cm<br />5) Triángulo DEF.<br /> DE = 7 cm.<br /> EF = 10 cm.<br /> FD = 5 cm<br />
  43. 43. 9) Triángulo MNO.<br />MN = 8 cm<br />NO = 8 cm<br />OM = 6 cm.<br />7) triángulo XYZ.<br /> XY = 8 cm.<br />YZ = 4 cm<br />ZX = 5 cm.<br />8) Triángulo HIJ.<br />HI = 7 cm.<br />I J= 2 cm<br />JH = 5 cm.<br />12) triángulo MNO.<br /> OM = 7 CM.<br /> O = 58°<br /> M = 75°<br />10) triángulo MNO.<br /> OM = 6 cm.<br />NO = 2 cm<br />MN = 2 cm<br />11) triángulo PQR.<br />PQ = 7 cm<br />QR = 6 cm<br />RP = 5 cm<br />13) triángulo XYZ.<br /> XY = 8 cm.<br /> Y = 90°<br /> YZ = 5 cm.<br />14) triángulo MNO.<br /> OM = 8 CM.<br /> O = 30°<br /> M = 75°<br />15) Triángulo HIJ.<br />HI = 7 cm.<br />I = 100°<br />IJ = 5 cm.<br />
  44. 44. Cuando hayas terminado de recortar los triángulo, los pegarás en forma collage, en hoja de color.<br /> La hoja deberá tener margen, como encabezado tus datos personales y lo entregas para su revisión.<br />
  45. 45. Propiedades de los triángulos<br />1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.<br />a < b + c<br />a > b - c<br />2. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.<br />
  46. 46. 3.  Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales<br />
  47. 47. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.<br />A + B + C = 180º<br />
  48. 48. ACTIVIDAD<br />
  49. 49. Traza un triangulo cualquiera como el de la figura.<br />Haz dobleces siguiendo la línea punteada<br />Dobla las esquinas del triángulo por el dobles marcado<br />
  50. 50. ¿Coinciden los tres vértices?<br />¿Sucederá lo mismo en cualquier triángulo?<br />¿Cuál será la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren los vértices?<br />
  51. 51. Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó.<br />¿Qué ángulo se forma?<br />Traza y recorta tres triángulos iguales y ensamblarlos como un rompecabezas.<br />De acuerdo con lo anterior ¿Cuánto debe medir la suma de los tres triángulo interiores de un triángulo?<br />
  52. 52. A´<br />B´<br />c<br />b<br />a<br />B´ + c + A´ = 180°<br />a = B´ por ser ángulos alternos internos<br />b = A´ por ser ángulos alternos internos<br />c = c por ser el mismo ángulo<br /> -> a + b + c = 180°<br />
  53. 53. En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C?<br />2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P,<Q,<R?<br />3. En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los ángulos D,E yF.<br />
  54. 54. 4. En un triangulo rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo?<br />5. En un triangulo isósceles el ángulo desigual mide 40° ¿Cuál es el valor de los ángulos iguales?<br />
  55. 55. M<br />40°<br />x<br />100°<br />L<br />6. Si L  M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.<br />
  56. 56.
  57. 57. 5.  El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él. <br />α = B + C<br />
  58. 58. B<br />D<br />A<br />C<br />A + B + C = 180° por ser ángulos interiores de un triángulo<br />C + D = 180° por se ángulos suplementarios<br />Entonces:<br />A + B + C = C + D<br />A + B + C – C = D<br />-> D = A + B<br />
  59. 59.
  60. 60.
  61. 61. 6.   Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. <br />Encontrar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. (cuadrado, rectángulo, rombo romboide, trapecio)<br />Encontrar la suma de los ángulos interiores de un pentágono.<br />
  62. 62. Elementos notables de un triángulo<br />
  63. 63. Altura es, cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o, a su prolongación). <br />El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.<br />Ortocentro<br />
  64. 64. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 1<br />
  65. 65. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 2<br />
  66. 66. Ubicar el ortocentro de cada uno de los siguientes triángulos<br />Triángulo 3<br />
  67. 67. Baricentro<br />El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.<br />BG = 2GA<br />Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.<br />El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.<br />
  68. 68. Ubicar el baricentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
  69. 69. Circuncentro<br />El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.<br />Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.<br />El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.<br />
  70. 70. Ubicar el circuncentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
  71. 71. Incentro<br />El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.<br />Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.<br />El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.<br />
  72. 72. Ubicar el incentro en las siguientes figuras.<br />Figura 1 <br />Figura 2 <br />Figura 3 <br />
  73. 73. Recta de Euler <br />El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. <br />
  74. 74. FIN<br />

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