O documento descreve uma abordagem prática para análise de vibração utilizando acelerômetro e Transformada de Fourier. O artigo apresenta os conceitos básicos de vibração mecânica, tipos de acelerômetros, e a técnica de Transformada de Fourier para análise do sinal captado pelo acelerômetro quando exposto a vibrações sonoras.

1. Uma abordagem prática da utilização da técnica de análise de
vibração utilizando a Transformada de Fourier em acelerômetro.
Jeferson José de Lima (UTFPR) E-mail: jefersonjl82@gmail.com
Ismael Burgardt (UTFPR) E-mail: ismabgt@hotmail.com
José Carlos Alberto de Pontes (UTFPR) E-mail: jcapontes@utfpr.edu.br
Resumo: O presente artigo faz uma abordagem teórica envolvendo a implementação das séries de Fourier para
analisar os sinais captados por um acelerômetro. Utiliza-se uma onda sonora de baixa frequência como fonte de
vibração, assim pode-se comparar o sinal de origem com o sinal amostrado em frequência. É utilizado o software
MATLAB para aplicar a FFT nos dados enviados pelo acelerômetro. Os resultados obtidos com a amostragem
do sinal foram compatíveis com os sinais gerados, comprovando a eficiência do sistema.
Palavras-chave: Acelerômetro, FFT, ondas sonoras.
1. Introdução
A troca de energia cinética e energia potencial entre corpos num sistema mecânico é definida
com vibração. A compreensão da natureza de um sistema caracterizado por uma vibração
mecânica é de grande interesse para as diversas áreas da engenharia, pois de um lado pode-se
desejar que um sistema tenha comportamento oscilatório e uma resposta caracterizada por
uma vibração, porém uma oscilação mecânica indesejáveis em um projeto podem causar
efeitos anômalos no seu comportamento ou até mesmos degradação completa do sistema.
A utilização da análise de vibração é empregada tanto no projeto de arquitetura de edifícios,
pontes entre outros onde a vibrações indesejadas podem afetar a integridade estrutural fixa,
com em dispositivos rotativas, onde uma vibração indesejada pode caracterizar
desbalanceamento das partes moveis do motor resultando em um desgaste acentuado de
rolamentos do sistema rotativo.
Na maioria das aplicações de análise de vibração tem sensores do tipo acelerômetro, que
permite quantificar uma variação cinética em impulsos elétricos que podem analisados
digitalmente por processadores digitais.
Este trabalho propõe-se a demonstrar os processos que envolvem as técnicas de análise de
vibração, tendo como foco os sistemas eletrônicos, sensor e condicionamento do sinal
amostrado. Para simulação foi gerado arbitrariamente alguns vibrações através de um
transdutor sonoro e captadas pelo acelerômetro ADXL345. Foi utilizado aplicação da técnica
de Análise de Fourier o software matemático MATLAB da empresa MathWorks®. Para

2. conversão do sinal do acelerômetro para o computador, utilizo-se do microcontrolador MS430
da empresa Texas Instruments®. Os resultados fora positivos para identificação dos padrões
de vibração, a viabilidade dos na utilização de analise de vibração do sistema proposto.
2. Acelerômetros MEMS
Os acelerômetros são sensores inerciais capazes de medir a aceleração linear agindo sobre um
corpo. Algumas de suas aplicações mais comuns são: identificação de choque em airbags,
monitoração de vibração e, em especial, navegação inercial (ABADIE, 2011). Um
acelerômetro pode ser descomposto nos elementos mostrados na Figura 1. O sensor é definido
como a parte mecânica que é sensível à aceleração. A eletrônica de leitura mede o efeito
gerado sobre a parte mecânica e infere a aceleração. No caso de um sensor de malha fechada,
existe ainda a realimentação de força na peça mecânica (ABADIE, 2011).
Figura 1 - Diagrama de blocos de um acelerômetro
Fonte: (ABADIE, 2011)
A saída de um acelerômetro pode ter a forma analógica ou digital. Na saída analógica, a
medida de aceleração é feita através de uma tensão, ou por ciclos de onda quadrada que são
diretamente proporcionais à aceleração. Por outro lado, a saída de um acelerômetro digital
pode ser acessada diretamente usando protocolos de comunicação como, por exemplo, o SPI
(Serial Peripheral Interface Bus) (NAGHSHINEH, AMERI et al., 2009).
NAGHSHINEH, AMERI et al. (2009) define como s três técnicas mais importantes para
mesurar aceleração através de acelerômetros, conforme citado abaixo:
− Acelerômetro Capacitivo: É uma estrutura simples, com quatro suspensões
simétricas chamadas U-spring que fornecem suporte elástico para a massa de
prova (Figura 2a). A variação detectada fornece um sinal com a amplitude da
diferença capacitância entre condensadores C1 e C2 (Figura 2b). Ambas as
tensões foram usados para indicar a aceleração de entrada. Do ponto de vista
estrutural e princípio do acelerômetro capacitivo é mostrado na Figura 2 (DAI,
LI et al., 2011).

3. Figura 2 - A estrutura de acelerômetro capacitivo em (a) e o princípio de funcionamento em (b)
Fonte: DAI, LI et al. (2011)
− Acelerômetro Piezelétrico: Este tipo de sensor utiliza-se do efeito piezelétrico
na sua construção. À medida que o piezo-elemento é comprimido devido à
força causada pela aceleração ou sujeito a força gravitacional, gera-se uma
tensão proporcional a esta compressão. Acelerômetros Piezelétricos não são
adequados para medidas em condição de aceleração zero, mas são indicados
para altas frequências de vibração (NAGHSHINEH, AMERI et al., 2009)Após
as listas, deixar um espaço simples, como aparece a seguir.
− Acelerômetro Térmico: Dentro de um acelerômetro térmico há um aquecedor
que eleva a temperatura de uma pequena bolha de ar dentro do o IC. A posição
da bolha de ar quente é alterada dependendo de como é aplicada a força no
acelerômetro. O movimento da bolha aquecida é medido por sensores de
temperatura e, em seguida, convertido para um sinal elétrico (NAGHSHINEH,
AMERI et al., 2009)
3. Grandezas físicas
As grandezas físicas de vibração são: amplitude, frequência e fase. A amplitude das vibrações
pode ser quantificada de diversas maneiras, tais como: pico, pico-a-pico, Root Mean Square
(RMS) ou valor eficaz (1), desvio padrão (2) e média (3) (MORELATO et. al.2013).
Valor R.M.S (RMS - root mean square):
ܴ‫ܵܯ‬ ൌ ൬
1
ܰ
෍ ‫ݔ‬ଶሺ݅ሻ൰
ଵ
ଶ
(1)

4. Desvio Padrão (σ):
ߪ ൌ ቎
1
ܰ
෍ሺ‫ݔ‬ሺ݅ሻ െ ‫́ݔ‬ሻଶ
௜ୀே
௜ୀଵ
቏
ଵ
ଶ
(2)
Média ሺ‫́ݔ‬ሻ
‫́ݔ‬ ൌ
1
ܰ
෍ ‫ݔ‬ሺ݅ሻ
௜ୀே
௜ୀଵ
(3)
Quantificar o nível de uma função harmônica, através de um movimento de tipo harmônico
simples, como mostra a Figura 3:
Figura 3 - Sinal Senoidal no tempo
Fonte: MORELATO et. al. (2013).
Amplitude (A) – Valor medido do nível de vibração;
Período (T) – período é a duração do ciclo em segundos. Onde é o mesmo que o inverso da
frequência (T=1/f)
Frequência (f) ou Frequência Angular (ω) – é o numero de ciclos por segundo, onde a
unidade é o hertz.
A investigação dos sinais através da frequência é a técnica fundamental no diagnostico de
vibrações. A análise da frequência facilita o trabalho para detecção de fontes de vibração.
Ângulo de Fase (Φ) – Indica o avanço ou atraso de um sinal. A vibração é sempre atrasada
em relação à oscilação. A representação é dada pela expressão:
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫.ܣ‬ cosሺ߱‫ݐ‬ ൅ ߔሻ (4)
Onde ߱ ൌ 2ߨ݂(rad/s)
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫.ܣ‬ cosሺ2ߨ. ݂. ‫ݐ‬ ൅ ߔሻ (5)
Sendo ݂ ൌ 1
ܶൗ (Hertz) ou ߱ ൌ 2ߨ/ܶ; Φ é o ângulo de fase. Se ߔ ൌ െߨ/2, então:

5. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫.ܣ‬ cosሺ߱. ‫ݐ‬ − ߨ/2ሻ = ‫.ܣ‬ ‫݊݁ݏ‬ሺ߱‫ݐ‬ሻ (6)
Os parâmetros para quantificação da vibração pode ser medida em:
Deslocamento:
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ܺ. cosሺ߱. ‫ݐ‬ሻ, ሺ݉, ݉݉, ݊݉ሻ (7)
Velocidade:
݀‫ݔ‬
݀‫ݐ‬
= ‫ݔ‬ᇱ
= −߱. ܺ‫݊݁ݏ‬ሺ߱‫ݐ‬ሻ, ሺ݉/‫, ݏ‬ ݉݉/‫ݏ‬ሻ (8)
Aceleração:
‫ݔܦ‬ᇱ
݀‫ݐ‬
= ‫ݔ‬ᇱᇱሺ‫ݐ‬ሻ = −߱ଶ
. ܺ. cosሺ‫ݐݓ‬ሻ ሺ
݉
‫ݏ‬ଶ
‫ܩ ݑ݋‬ =
9,81݉
‫ݏ‬ଶ
ሻ (9)
4. Transformada de Fourier
A maioria dos sinais aparece na sua forma primitiva como variáveis que evoluem no
domínio do tempo. Ou seja, a medição de uma grandeza fica representada por uma função do
tempo. Assim, no caso mais comum de se ter uma função real de variável real, um dos eixos
representa o tempo (variável independente), e o outro eixo representa, normalmente, a
amplitude (variável dependente) (LIMA, 2009).
A transformada de Fourier (TF) é uma das ferramentas mais utilizadas para a análise da
resposta em frequência de sistemas dinâmicos. Devido à sua ampla divulgação, a TF é aqui
apresentada, sobretudo, como uma introdução às ferramentas referidas posteriormente
(LIMA, 2009).
A TF do sinal temporal contínuo x(t), denominada ‫ܨ‬ሼ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ܺሺ߱ሻ, define-se como sendo a
função na frequência:
ܺሺ߱ሻ = න ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݁ି௝ఠ
݀‫ݐ‬
ஶ
ିஶ
, −∞ < ߱ < ∞ (10)
Onde ω=2πf é a frequência angular em rad/s.
Na determinação da TF do sinal temporal contínuo x(t) pode colocar-se a dúvida se é possível
calcular a expressão (10). A condição para a determinação da integral, ou seja, a TF existe se
a energia do sinal ‫ܧ‬௫, definida por:

6. ‫ܧ‬௫ = න |‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ|ଶ
݀‫ݐ‬
ஶ
ିஶ
, −∞ < ߱ < ∞ (11)
Onde é uma quantidade finita, ou seja, se o sinal tem energia finita.
O sinal x(t) pode obter-se a partir de ܺሺ߱ሻ aplicando a TF inversa de ‫ܨ‬ିଵ
.
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ܨ‬ିଵሼܺሺ߱ሻሽ =
1
2ߨ
න ܺሺ߱ሻ݁௝ఠ
݀߱
ஶ
ିஶ
(12)
A TF normalmente implementa-se em computador utilizando a TF discreta. Um algoritmo
muito popular é a transformada rápida de Fourier, habitualmente conhecida na bibliografia da
transformada rápida especialidade pelo acrônimo FFT (Fast Fourier Transform) (LIMA,
2009).
5. Materiais e Métodos
Para o experimento optou-se para pelo microcontrolado da Texas Instruments®, que
disponibiliza uma família de microprocessadores com alto desempenho e baixo consumo de
energia. O microcontrolador MSP430, que faz parte da família “Ultra-Low Power” de 16 bits
com arquitetura RISC (MSP430x2xx User´s Guide, 2013).
Figura 4 - Microcontrolador MSP430.
Fonte: Texas Instruments®
Os MSP430 utilizando a arquitetura “Von Neumann”, pois a memória de dados e os
periféricos compartilham o mesmo barramento. Apesar da arquitetura RISC, do inglês
reduced instruction set computer, resultar em apenas 27 instruções no núcleo do processador,
uma técnica de combinação de instruções possibilita a expansão o conjunto de instruções para
51 (HUSKEY et al 2005).
Um dos diferenciais da família “Ultra-Low Power” dentre as alternativas de
microcontroladores no mercado está na otimização nos modos de operação que possibilita um
gerenciamento dos osciladores internos do microcontrolador para obter um menor consumo
de energia.
Para captação as vibrações mecânicas provocadas na película do alto-falante, foi utilizo
acelerômetro ADXL345, figura, da Analog Devices®. O sensor possui um acelerômetro de 10

7. bits, possibilitando a comunicação I2
C ou SPI. Com um range de 2, 4, 8 ou 16g (g-força -
constante universal da gravitação) e frequência de amostragem de 3,2KHz.
Figura 5 Acelerometro ADXL345
Fonte: Analog Devices®.
Através de um sistema composto por um acelerômetro e um gerador de função conectado a
um alto falante, foi possível captar a frequência reproduzida pelo alto falante através do
acelerômetro. O fluxograma do processo pode ser observado na Figura 4.
Gerador de função Alto falante
Sensor
Acelerômetro
(ADXL345)
Ar
Microcontrolador
(MSP430)
Matlab
Serial
Gráfico
FFT
Figura 6 – Fluxograma do processo
Foi utilizado o gerador de função e o alto-falante para produzir o sinal o sonoro e mecânico,
de natureza conhecida, no alto-falante, conforme figura 3. Para os ensaios foram arbitradas as
frequências de 20, 50, 80Hz. O microcontrolador MSP430 fez a comunicação em I2
C como o
acelerômetro ADX345 e envia as leituras via porta USB para análise no computador. Foi
utilizada a versão 2012 do Matlab processamento do sinal e aplicação da transformada de
Fourier.
Figura 7 - Montagem do experimento prático

8. As variações percebidas pelo acelerômetro são então enviadas através da porta serial para o
software MATLAB. Ao se captar esses dados ao longo do tempo aplica-se uma FFT e gera-se
um gráfico onde se pode observar que a maior amplitude demonstra o valor da frequência.
Foram utilizadas ondas senoidais, com frequência de 20 Hz (Figura 5), 50 Hz (Figura
6) e 80 Hz (Figura 7).
Figura 8 – Forma de onda de 20 Hertz
Figura 9 – Forma de onda 50 Hertz

9. Figura 10 – Forma de onda 80 Hertz
5. Resultados obtidos
O acelerômetro foi colocado próximo ao alto-falante, de forma a vibrar junto com o
mesmo. Assim a vibração causada pelo alto falante é detectada pelo acelerômetro como forças
externas. Esses dados são amostrados através da transformada rápida de Fourier e pode-se
observar um pico na frequência que está sendo emitida pelo gerador de função. Existes alguns
ruídos de baixa amplitude. A
Figura 11 mostra a resposta em frequência para a senóide de 20Hz, fica evidente o que
existe um pico de amplitude localizado aos mesmos 20Hz da escala. Se observadas as Figura
12 e Figura 13 nota-se que o mesmo acontece, diferindo na frequência medida, 50Hz e 80Hz
respectivamente.
Figura 11 – Resposta em frequência para 20 Hz

10. Figura 12 – Resposta em frequência para 50 Hz
Figura 13 – Resposta em frequência para 80 Hz
5. Conclusão
Depois de obtidas as formas de ondas, podemos perceber que o acelerômetro possui uma boa
fidelidade de repostas. Assim sendo, o sistema implementado pode ser aplicado em diversas
processos para captar as frequências características, como também para diagnóstico de falhas
quando as vibrações mecânicas fogem ao padrão estabelecido pelo sistema.
Agradecimentos
Agradecemos ao departamento de eletrônica que gentilmente cedeu os equipamentos para
elaboração desta pesquisa, e ao professor Pontes por todo apoio intelectual e pedagógico.

11. Referências Bibliográficas
MORELATO, A; AMARO,M. AND KOKAI,Y (1994). Com-bining Direct and Inverse
Factors for Solving Sparse Network Equations in Parallel. IEEE Transactions on Power
Systems, Vol. 9, No. 4, pp. 1942- 1948.
LIMA, Miguel Francisco Martins de. Análise dinâmica de vibrações em manipuladores
robóticos. 2009.
NETO, WALTER G. et al. Manutenção Preditiva Através de Análises em Equipamentos
Rotativos Monitorado Por Sensores de Vibração. Revista de Controle e Automação, v. 1, n. 1,
2013.
ABADIE, A. K. Acelerômetro MEMS para Navegação Inercial. 2011. 106f. (Dissertação
de Mestrado). Engenharia Eletrônica e Computação, Instituto Tecnológico Aeronáutico, São
José dos Campos
NAGHSHINEH, S.; AMERI, G.; ZERESHKI, M. Human Motion Capture using Tri-Axial
accelerometers. 2009.
HUSKEY, Harry D.; KORN, Granino Arthur (Ed.). Computer handbook. McGraw-Hill,
2005.