1) O documento discute anagramas, que são alterações na ordem das letras de uma palavra. 2) Explica como calcular o número de anagramas possíveis para uma palavra de determinado tamanho. 3) Fornece exemplos para as palavras "CHÁ" e "CAFÉ".

1. á li se ória
A n in at
o m b
C Desenvolvido por:
Cristiano De Angelis
Jorge Cunha
Adélson Jardim

2. Anagrama é a alteração da posição das
letras de uma mesma palavra.
Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ:
H A 1º- CHA
C
A H 2º - CAH
A C 3º - HAC
H
C A 4º - HCA
C H 5º - ACH
A
H C 6º - AHC

3. Ao considerarmos três espaços, temos:
3 letras 2 letras 1 letra
uma que
c,h ou a não tenha a
sido usada restante
No primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou A
No segundo espaço temos somente duas opções. (caso contrário
repetiremos a primeira letra)
No terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante.
3.2.1 = 3! = 6

4. Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra
CAFÉ. F E 1º- CAFE
A
E F 2º - CAEF
E A 3º - CFEA
C F
A E 4º - CFAE
A F 5º - CEAF
E
Puts !!! F A 6º - CEFA...
Isto somente começando com a letra C ! Mas, como
existem só mais três letras que podem começar os
anagramas da palavra café, temos:
4 . 3! = 4! = 24

5. No primeiro anagrama temos: 3! = 3.2.1 = 6
No segundo anagrama temos: 4! = 4.3.2.1 = 24
Definição:
Quando o número de elementos “n” é igual ao número
de vagas, teremos:
n! Isto quer dizer:

6. Existe um grupo de 5 estudantes
(Cristiano, Jorge, Adélson, Marina,
Raquel) para concorrer ao Daema,
sendo a chapa formada por presidente
e vice. Quantas serão as chapas
possíveis?
Vamos fazer inicialmente todas as
permutações possíveis.

7. CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM
!
idente !
CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA
no Pres
CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA
CJMAR
CJRMA Crist ia
CAJRM
CARJM
CMJRA
CMAJR
CRMAJ
CRAJM
CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ
JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR
JAMCR JMRAC JRCMA JCARM
!
idente !
JARCM JMCAR JRAMC JCMRA
rge Pres
JARMC JMCRA JRACM JCMAR
JACMR
JACRM Jo JMARC
JMACR
JRMAC
JRMCA
JCRMA
JCRAM
AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC
dente !!
AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR
AMCJR
AMCRJ
ARJMC
lson Pr
ARJCM esi AC JMR
AC JRM
AJRCM
AJRMC
AMJRC
AMJCR
Adé ARMCJ
ARMJC
AC RJM
AC RMJ
AJCMR
AJCRM
MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ
MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJC
MRJAC MCJAR MJCAR MACJR
!
idente !
MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ
ina Pres
MRAJC MCAJR MJARC MAJRC
Mar
MRACJ MCARJ MJACR MAJCR
RCJAM RJCAM RACJM RMCJA
!!
identeRACMJ
uel Pres
RCJMA RJCMA RMCAJ
Raq
RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC
RCAJM RJACM RAJCM RMJCA
RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC

8. O resultado das permutações será:
5! = 5.4.3.2.1 = 120,
mas existem vários resultados repetidos que
consideram o mesmo presidente com o mesmo vice:
CJAMR
Quais resultados serão estes?
CJARM
CJMRA
A permutação de todos os
CJMAR
elementos que não influenciam
CJRMA na formação da chapa!
CJRAM

9. Temos então, a permutação de “n” objetos, mas
precisamos excluir a permutação dos objetos que
não influenciam no resultado.
5! ou 5.4.3.2.1
3! 3.2.1
Precisamos excluir a permutação
dos três objetos sem influência.
Agora podemos simplificar !!

10. Isto é:

11. An, p = Pn ou n!
P( n − p) (n - p)!
Arranjo aparece quando temos um universo de “n”
objetos agrupados em “p” vagas em que a ordem
interessa!

12. Existe um grupo de 5
estudantes (Cristiano, Jorge,
Adélson, Marina, Raquel)
para formar uma dupla de
representantes de turma.
Quantas serão as duplas
possíveis?

13. CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM
CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA
CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA
CJMAR CAJRM CMJRA CRMAJ
CJRMA CARJM CMAJR CRAJM
CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ
JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR
JAMCR JMRAC JRCMA JCARM
JARCM JMCAR JRAMC JCMRA
JARMC JMCRA JRACM JCMAR
JACMR JMARC JRMAC JCRMA
JACRM JMACR JRMCA JCRAM
AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC
AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR
AMCJR ARJMC AC JMR AJRCM
AMCRJ ARJCM AC JRM AJRMC
AMJRC ARMCJ AC RJM AJCMR
AMJCR ARMJC AC RMJ AJCRM
MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ
MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJC
MRJAC MCJAR MJCAR MACJR
MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ
MRAJC MCAJR MJARC MAJRC
MRACJ MCARJ MJACR MAJCR
RCJAM RJCAM RACJM RMCJA
RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ
RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC
RCAJM RJACM RAJCM RMJCA
RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC

14. Mas, agora todas as
permutações com CJ e JC , por
exemplo, são desnecessárias
pois a dupla não tem ordem.
CJAMR JCAMR
CJARM JCARM
CJMRA JCMRA
CJMAR JCMAR
CJRMA JCRMA
CJRAM JCRAM

15. Novamente, temos a permutação de “n” objetos,
precisamos excluir a permutação dos objetos que
não influenciam no resultado, e ainda excluir a
permutação possível entre as vagas.
5.4.3.2.1 =5.4
3.2.1
5.4
= 10
2!

16. n!
C n, p = ( n − p)!
p!
ou
C n, p =
n!
( n - p)!p!

17. m a s
o ble
Pr

18. UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes,
quantas são as maneiras de pintar o seguinte
mapa, de modo que as regiões que tem fronteira
comum fiquem com cores distintas?
(A) 96
(B) 60
(C) 48
(D) 36
(E) Não é possível

19. Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, de
segunda a quarta, no turno da noite. Para vir à
Unisinos e dela regressar para casa, Luciane
costuma utilizar o seu próprio carro, ônibus ou
mesmo carona. Quando ela vai no próprio
carro, é claro que ela também volta de carro.
O número de opções que Luciane tem para vir
a Unisinos e dela voltar, nesses três dias é:
a) 5
b) 25
c) 125
d) 300
e) 500

20. Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7
peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cada
peça. De quantos modos pode fazê-lo ?
Solução do Clóvis:
n ( n + )!
1
2!

21. Solução
Vamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças.
nº de cores permutação de 2
cores restantes
B B
C4,2 .3 .2!
B B
B B
Cn+1,2 .n .(n-1)!
B B
B B
B B
C7,2 .6 .5! = 15120

22. C n+1 , 2
. n.( n −1)!
( n +1)!
. n.( n −1)!
2 !( n +1 −2)!
( n +1)!
. n.( n −1)!
2 !( n −1)!
n ( n +)!
1
2!
.d
c.q