Ingeniería Económica

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Ingeniería Económica

  1. 1. INGENIERIA ECONOMICA Apuntes de clase Parte 1 Material sujeto a revisión Ing. Julio César Cañón Rodríguez Profesor Asociado Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá Abril de 2013
  2. 2. Índice – Parte 1 1. Conceptos básicos de la actividad macroeconómica: variables e intervención del gobierno 2. Áreas de interés de la microeconomía: Demanda, Oferta, Equilibrio y asignación de precios 3. El modelo de mercado de competencia perfecta 4. Ajustes y distorsiones 5. Monopolios, Oligopolios, Monopsonios. 6. Elasticidad, elasticidad precio, elasticidad ingreso. 7. Excedente del consumidor, excedente del productor 8. Impuestos, subsidios 9. Variables demográficas, tasas e indicadores 10.Curva de Lorenz y coeficiente Gini 11.Externalidades: identificación y efectos 12.Bienes públicos, bienes privados, recursos comunes 13.Ejercicios propuestos [preguntas y aplicaciones]
  3. 3. Ingeniería Económica Concepto Identificación, caracterización y gestión de costos presentes en el diseño, desarrollo, producción y comercialización de bienes y servicios. Criterios: Preservar la calidad esencial, la confiabilidad, el rendimiento y la satisfacción de restricciones normativas [ambientales, culturales] Objetivo central: Alcanzar la relación óptima entre calidad, rendimiento y costos Ref. Ingeniería Económica . Arbones Malisani, Marcombo
  4. 4. Temas básicos - 1 EMPLEO GASTO PÚBLICO INVERSIÓN PRIVADA IMPUESTOS TASAS DE INTERÉS (ahorro) Ref. The Instant Economist, Pool, La Roe (1985) La ecuación de continuidad de las principales variables macroeconómicas
  5. 5. Variables macroeconómicas EMPLEO GASTO PÚBLICO INVERSIÓN IMPUESTOS TASAS DE INTERÉS (ahorro) Ref. The Instant Economist, Pool, La Roe (1985) Una vez establecido el equilibrio en el nivel de empleo los ingresos [GASTO DEL GOBIERNO e INVERSIONES] deben mantenerse equilibrados con las salidas [IMPUESTOS y AHORROS] Las variaciones en cualquiera de las variables generan efectos sobre el EMPLEO y pueden producir INFLACIÓN
  6. 6. Ciclos monetario y real de la economía FAMILIAS EMPRESAS SALARIOS TRABAJO CONSUMO BIENES Y SERVICIOS
  7. 7. Papel del gobierno en la economía El gobierno controla la economía a través de su intervención en los gastos, los impuestos, las regulaciones laborales y salariales, los estímulos a la inversión [garantías para los inversionistas], entre otras medidas. El Banco de la República determina las tasas de interés El comportamiento de las tasas de interés regula la inversión: Tasas altas desestimulan la inversión interna, incrementan las importaciones y disminuyen las exportaciones lo cual produce DESEMPLEO El aumento de la actividad económica puede conseguirse con el Incremento de los gastos del gobierno o con la reducción de los impuestos
  8. 8. Condiciones: La existencia de un elevado número de productores y consumidores. Homogeneidad de productos. Información plena y de acceso garantizado para todos [transparencia] Libertad de entrada y salida de empresas. Movilidad perfecta de bienes y factores. Sin costos de transacción. En una situación de competencia perfecta la búsqueda de mayores beneficios va asociada a la combinación más eficiente y rentable de los factores productivos y a la modernización tecnológica. Modelo de mercado de competencia perfecta
  9. 9. Monopolio Situación en la que un único productor ofrece el B/S requerido para cubrir las necesidades de un sector del mercado. En una condición de monopolio sea eficaz no existen productos sustitutos o alternativos para el bien o servicio ofrecido y no existen opciones de entrada de competidores en ese mercado. Esto permite controlar los precios. Distorsiones y ajustes del Modelo Condiciones para ejercer un poder monopolista: 1) Control de un recurso indispensable 2) Posesión de tecnología específica que permita producir, a precios razonables, la cantidad necesaria para abastecer el mercado. [monopolio “natural”] 3) Derecho [patente] sobre un producto o un proceso productivo 4) Franquicia que otorga el derecho en exclusiva para producir un bien o servicio en determinada área.
  10. 10. Oligopolio, Monopsonio, Oligopsonio, Cartelización Marcas y diferenciación de productos Asimetría de la información Barreras y limitaciones de entrada y salida Restricciones de movilidad de bienes y factores. Costos de transacción. Distorsiones y ajustes del Modelo
  11. 11. Demanda Oferta Equilibrio Precios
  12. 12. Demanda Cantidad de bienes y/o servicios que los consumidores están dispuestos a adquirir para satisfacer total o parcialmente sus necesidades gracias a que tienen la capacidad de pago para realizar la transacción a un precio determinado y en un lugar y momento específicos. Determinantes de la demanda: 1. El precio del bien 2. Los precios de otros bienes 3. Los gustos de los consumidores 4. El ingreso 5. La calidad
  13. 13. Demanda El área bajo la curva de demanda representa la satisfacción (utilidad) del consumidor. La satisfacción que proporciona una unidad adicional disminuye con la cantidad consumida y se espera igual comportamiento de la disposición a pagar por parte del consumidor
  14. 14. Oferta Cantidades de bienes o servicios que un empresario está dispuesto a ofrecer por unidad de tiempo. Representa, para unos precios determinados, las cantidades que los productores estarían dispuestos a ofrecer a los consumidores.
  15. 15. Oferta El área bajo la curva de oferta representa los costos de producción en los que incurren los productores. A medida que los precios aumentan se hace más atractivo incrementar el número de unidades ofrecidas al mercado. El costo de producir una unidad adicional debe ser por lo menos igual al precio (ingreso por una unidad), de lo contrario no hay incentivo para producir.
  16. 16. Equilibrio Cuando se evalúan las curvas de demanda y oferta de un producto específico, en un mercado particular y un momento determinado, es posible situar las condiciones en las cuales los consumidores y los productores encuentran que sus intereses y expectativas coinciden. Este equilibrio de objetivos e intereses se encuentra dentro de una Zona de Posibles Acuerdos ZOPA.
  17. 17. Equilibrio En el punto de corte de las curvas de demanda y oferta se encuentra la condición [precio] que produce satisfacción a los dos agentes: consumidores y productores. Este precio se denomina precio de equilibrio (PE) y a la cantidad asociada con él, se le llama cantidad de equilibrio (QE) PE QE
  18. 18. Equilibrio En el punto de equilibrio (E) el consumidor obtiene una cantidad de producto (Q) valorada con el precio de la unidad menos atractiva; y el productor vende esa misma cantidad de producto (Q) al precio de la que le resulta más costoso producir. De esa manera se generan excedentes sociales (excedente del consumidor + excedente del productor) por encima del valor de la transacción: Ing = P x Q Precio Cantidad E Oferta Demanda P Q Excedente del Consumidor Excedente del Productor O
  19. 19. Ingresos y consumo El Ingreso como restricción del consumo I = P1Q1 + P2Q2+ P3Q3 + ……PnQn céteris paribus I = P1Q1 + P2Q2 El consumidor (productor) destina sus Ingresos (Presupuesto) a la satisfacción de sus necesidades conformando canastas de [productos (B/S), Insumos] Índices: IPC // IPP Bien 1 Bien 2 Curvas de Indiferencia INGRESOS A B I / P1 I/P2O Conjunto de combinaciones de dos bienes, con los cuales un individuo obtiene el mismo nivel de utilidad. Con un ingreso dado, para el individuo es indiferente ubicarse en cualquiera de los puntos sobre la curva.
  20. 20. Elasticidad Relación entre variaciones porcentuales de dos variables Elasticidad – Precio de la demanda Es una medida que muestra el grado de respuesta [elasticidad] de la cantidad demandada de un bien o servicio frente a los cambios en el precio de dicho bien o servicio. Se calcula como el cambio porcentual de la cantidad demandada en relación a un cambio porcentual en el precio, • Bienes elásticos • Bienes normales [o de elasticidad unitaria] • Bienes inelásticos EPD = [(ΔQ / Q1) / (ΔP / P1)]
  21. 21. Elasticidad Elasticidad – Ingreso de la demanda EID Medida de la proporción del cambio porcentual en el consumo de un producto en relación con un cambio porcentual en el ingreso. Elasticidad – Ingreso • Bienes inferiores: Su demanda disminuye cuando se incrementa el Ingreso de los consumidores • Bienes superiores: Su demanda aumenta cuando se incrementa el Ingreso de los consumidores EID= [(ΔQ / Q1) / (ΔI / I1)] Elasticidad cruzada Mide la sensibilidad de la demanda de un producto ante el cambio en el precio de otro bien. Se define como la relación entre el cambio porcentual en la cantidad demandada de un bien y el cambio porcentual del precio del segundo bien. [Valor y signo dependen de la naturaleza de los productos comparados]
  22. 22. Bienes Sustitutos Si la demanda de un bien B1 aumenta cuando sube el precio de otro bien B2 puede tratarse de Bienes Sustitutos [Bienes que pueden atender una necesidad con la misma satisfacción por parte del consumidor] Bienes Complementarios Los bienes complementarios son aquellos que usualmente se consumen en forma conjunta para atender una necesidad. En este caso si sube el precio de un bien B1, disminuye la demanda de su complementario B2. Bienes Independientes Son aquellos cuyo consumo no está relacionado, de tal forma que un cambio en el precio de uno de ellos no afectará a la demanda del otro. Clasificación de bienes
  23. 23. Impuestos y subsidios PE QE Precios Cantidades demandadas Oferta Demanda E PE + I Q´E E´ Los impuestos y los subsidios afectan los precios de mercado y el equilibrio. El efecto del impuesto se traslada al consumidor, total o parcialmente, de acuerdo con la elasticidad-precio del bien o servicio afectado I
  24. 24. Impuestos y subsidios PE QE Precios Cantidades demandadas Oferta Demanda E PE - Sub Q´E E´ S El subsidio a la demanda permite el acceso a bienes y servicios – generalmente básicos- de los sectores de población que carecen, total o parcialmente, de capacidad de pago. Las diferencias con respecto a los precios de mercado se absorben con recursos públicos
  25. 25. Variables demográficas: Tasas e indicadores Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá. Tasa de Crecimiento de la población (TCP) Se expresa en términos anuales por cada 1000 habitantes TCP = TCV + TNM [(𝑷𝟏 −𝑷𝒐 )/𝑷𝒐] x 1000= [(N-D)/Po] x 1000 + [(IN-EM)/Po] x 1000 Expresión en la cual TCV: Tasa de crecimiento vegetativo [Nacimientos(N), Defunciones (D)] [(N-D)/Po] x 1000 TNM: Tasa neta de migración [Inmigración (IN), emigración (EM)] [(IN-EM)/Po] x 1000 Tasas brutas de natalidad y mortalidad Transición demográfica Índices específicos de mortalidad Expectativa de vida http://www.dane.gov.co/#twoj_fragment1-4 http://esa.un.org/unpd/wpp/
  26. 26. Variables demográficas: Tasas e indicadores Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá. Expectativa de vida al nacer: edad a la que morirían en promedio los nacidos en una cohorte [grupo de individuos nacidos en un mismo periodo] si se mantienen iguales las tasas específicas de mortalidad. Tasas de fecundidad específica: Número de hijos nacidos en un año a partir de una cohorte [grupo de edad] de mujeres Tasa de fecundidad general: número de nacimientos en un año a partir del conjunto de mujeres en edad reproductiva (15 – 49 años) Tasa de fecundidad total: número total de hijos que tendría una mujer si se mantuvieran invariables las tasas de fecundidad específicas a lo largo de su vida reproductiva Tasa neta de reproducción: Número de hijas que tendría una cohorte de niñas recién nacidas manteniendo invariables las tasas de mortalidad y fecundidad específicas hasta el final de su vida procreativa
  27. 27. Variables demográficas: Tasas e indicadores Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá. Pirámides poblacionales Representaciones gráficas de la distribución de poblaciones por grupos, edades y sexo Razón de dependencia Relación entre la población en edades económicamente Improductivas y la población en edades productivas Proyecciones demográficas Basadas en La estructura de edades, la distribución por sexo y las TEM, TEF y MN. Se emplean también modelos matemáticos 𝐑𝐃 = 𝑃≤15+𝑃≥65 𝑃≥15 −<65 X 100 Pt= 𝐏𝑜(1 + 𝑟)𝐭 Pt = Po 𝒆 𝒈𝒕
  28. 28. Variables demográficas: Tasas e indicadores Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá. INDICADORES DE EMPLEO Y DESEMPLEO PEA Población económicamente activa Población en edad de trabajar que está ocupada o buscando empleo. Está ocupado quien trabaja al menos una hora en la semana TBP Relación entre la PEA y la población total PT TBP = 𝐏𝐄𝐀 𝐏𝐓 X 100
  29. 29. Indicadores de empleo y desempleo Ref. Lora, E. (2008) Técnicas de Medición Económica. Metodología y aplicaciones en Colombia. Alfaomega, Bogotá. TBP = 𝐏𝐄𝐀 𝐏𝐓 X 100 Tasa bruta de participación Tasa global de participación Tasa de desempleo Tasa de subempleo • Por dedicación • Por competencias • Por ingresos Tasa de ocupación TGP = 𝐏𝐄𝐀 𝐏𝐄𝐓 X 100 TD = 𝐃 𝐏𝐄𝐀 X 100 TS = 𝐒 𝐏𝐄𝐀 X 100 TO = 𝐎 𝐏𝐄𝐓 X 100
  30. 30. indicadores de salud y morbilidad Tasa de mortalidad infantil TEM 1 a 4 años Esperanza de vida Morbilidad • Tasa de incidencia • Tasa de prevalencia (instantánea) • Tasa de letalidad OTROS Número de habitantes/médico Número de camas hospitalarias/1000 habitantes Acceso a fuentes de agua potable Manejo de residuos Programas de control natal Gasto público en salud (%PIB, valor per cápita)
  31. 31. indicadores de educación TASAS DE ANALFABETISMO TASAS DE ESCOLARIDAD • PRIMARIA 7 A 11 AÑOS • MEDIA 12 A 17 AÑOS TASA DE RETENCIÓN TASA DE TERMINACIÓN NÚMERO DE AÑOS DE EDUCACIÓN ALCANZADO POR UNA COHORTE OTROS Cobertura Resultados de pruebas internacionales Estudiantes/profesor Gasto público en educación (%PIB, valor per cápita)
  32. 32. indicadores de vivienda y servicios públicos VIVIENDA HOGAR DÉFICIT DE VIVIENDA ÍNDICE DE HACINAMIENTO TIPO DE OCUPACIÓN [SEGÚN NÚMERO DE CUARTOS EN LA VIVIENDA] • HOLGADA • NORMAL • HACINADA OTROS MATERIALES ACABADOS COBERTURA DE SERVICIOS PÚBLICOS
  33. 33. índice de desarrollo humano idh Medida internacional de sintetiza cuatro componentes (indicadores): 1. Esperanza de vida al nacer 2. Tasa de alfabetización 3. Tasa de matrícula escolar 4. Nivel de ingreso per cápita Índice del componente 𝑰𝒄 = 𝒙 − 𝒎 𝑴 − 𝒎 M: valor máximo m: valor mínimo X : valor del país
  34. 34. Índice del componente 𝑰𝒄 = 𝒙 − 𝒎 𝑴 − 𝒎 M: valor máximo m: valor mínimo X : valor del país Una vez calculados los índices de los componentes se calcula su promedio ponderado INDICADOR M m Ponderación Esperanza de vida al nacer (años) 85 25 0.3333 Tasa de alfabetismo de adultos (%) 100 0 0.2222 Tasa bruta combinada de matrícula escolar (%) 100 0 0.1111 PIB per cápita (US$) log 40.000 100 0.3333 Fuente: PNUD- Cálculo del IDH Reporte Desarrollo humano 2003 OTROS INDICADORES Índice de Pobreza Humana 1 Índice de Pobreza Humana 2 Índice de desarrollo relativo al género índice de desarrollo humano idh
  35. 35. Curva de Lorenz y coeficiente Gini La curva de Lorenz representa la distribución acumulada (%) de un recurso (B/S, derecho) contra el (%) acumulado de la población. Una distribución equitativa se representa con una recta a 45º [AC] la cual sirve de referente para establecer la inequidad de la distribución. La desigualdad extrema [una persona posee todo el recurso] estaría representada por la línea ABC. En general la curva se encuentra en una situación intermedia entre la recta de perfecta equidad y la poligonal de desigualdad extrema. La proximidad de la curva con relación a estos referentes representa el grado de desigualdad. A C B
  36. 36. Curva de Lorenz y coeficiente Gini El coeficiente Gini, un valor comprendido entre 0 y 1, permite estimar el grado de desigualdad en la distribución de un recurso dentro de la sociedad. Puede calcularse como el doble del valor del área comprendida entre la recta de distribución ideal y la poligonal de la distribución real (curva de LORENZ) G=2A
  37. 37. Ejercicio propuesto: Con base en la siguiente información construya la Curva de Lorenz y calcule el índice Gini para la distribución del ingreso mostrada en la tabla. Población (miles de hab) Ingreso individual promedio ($) 600 550.000 300 750.000 100 1.000.000 70 1.500.000 30 2.200.000 10 3.500.000 2 5.500.000 El procedimiento de cálculo se ilustra en el cuadro de la siguiente transparencia Curva de Lorenz y coeficiente Gini
  38. 38. Población (miles de hab) % % acumulado Ingreso individual promedio ($) Ingreso total (𝟏𝟎 𝟏𝟏 $) % % acumulado 600 53,96 53,96 550.000 3,3 37,84 37,84 300 26,98 80,94 750.000 2,25 25,80 63,64 100 8,99 89,93 1.000.000 1 11,47 75,11 70 6,29 96,22 1.500.000 1,05 12,04 87,15 30 2,70 98,92 2.200.000 0,66 7,57 94,72 10 0,90 99,82 3.500.000 0,35 4,01 98,73 2 0,18 100,00 5.500.000 0,11 1,27 100,00 1112 100,00 8,72 100,00 Curva de Lorenz y coeficiente Gini
  39. 39. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x x x x Población (%) Salarios (%) Curva de Lorenz Curva de Lorenz y coeficiente Gini
  40. 40. Externalidades: identificación y efectos Una externalidad es una influencia no compensada de un agente sobre el bienestar de otro. Dicha influencia puede generar un mayor nivel de bienestar (externalidad positiva) o, por el contrario, provocar un perjuicio (externalidad negativa). El responsable de estas acciones tiene en cuenta los efectos secundarios de sus decisiones y el gobierno debe intervenir para proteger los intereses de los afectados. Sin considerar las externalidades, los mercados son eficientes y se encuentran en equilibrio; sin embargo, en presencia de una externalidad, la eficiencia del mercado se ve afectada. Los impuestos permiten internalizar las externalidades negativas. Los subsidios facilitan internalizar las externalidades positivas
  41. 41. Externalidades: identificación y efectos Precio E E´ P P´ Q´Q Cantidad Una empresa produce una cantidad Q superior a la socialmente deseable Q´. El Estado aplica un impuesto pigouviano cuyo objetivo es reducir la cantidad producida obligando a la empresa a asumir el costo de la externalidad negativa
  42. 42. PREGUNTAS Y PROPUESTAS DE EJERCICIOS Ref. Ejercicios de los capítulos 1, 2 y 3 del libro Lora, E (2008). Técnicas de Medición Económica. Alfaomega, Bogotá (2008)
  43. 43. INGENIERIA ECONOMICA Apuntes de clase Parte 2 Material sujeto a revisión Ing. Julio César Cañón Rodríguez Profesor Asociado Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá Febrero de 2013
  44. 44. INGENIERIA ECONOMICA Apuntes de clase CONCEPTOS BÁSICOS Cambio del valor del dinero a través del tiempo La legitimidad (relativa) de la remuneración del dinero • Intereses • Tasas de interés • Usura ¿Por qué se cobra por el uso del dinero? • Inflación • Costo de oportunidad, • Riesgo
  45. 45. Ingeniería Económica Apuntes de clase ELEMENTOS Y SIMBOLOGIA P Presente, Capital, Principal F Futuro A Anualidad I Interés i Tasa de interés n Número de periodos G Gradiente FLUJO DE CAJA Perspectivas Prestatario Prestamista Recibe Devuelve Desembolsa Recauda Tiempo Tiempo
  46. 46. Ingeniería Económica Apuntes de clase • crédito • financiación • préstamo • endeudamiento • capitalización • desembolso….. • monto • plazo • intereses • abonos • garantías • sanciones • monitoreo…. • ordinario • hipotecario • consumo • fomento • vehículos • educativos • comercial • prendario…. • libranza • pignoración • aval • pagaré • carta de crédito • letras • órdenes de pago.. • encaje • sobregiro • préstamo interbancario • CDT • títulos • ahorros a la vista • leasing • banca comercial • banca de fomento • banca de segundo piso • banca oficial • banca privada • superintendencia financiera • banco de la república • asociación bancaria • anif • establecimientos bancarios • corporaciones financieras • compañías de financiamiento • entidades cooperativas de carácter financiero • organismos cooperativos de grado superior
  47. 47. Ingeniería Económica Apuntes de clase
  48. 48. Ingeniería Económica Apuntes de clase Interés simple Se denomina interés simple (is)al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial [los intereses generados no se capitalizan]. Se emplea especialmente en el cálculo de algunas formas de descuento comercial y en el sistema financiero informal. Is = f(P, n) Is = Pin Plazo comercial 360 días Plazo exacto número real de días entre dos fechas VFs = VP [ 1 + ni] Valor futuro de una suma con interés simple VPs = 𝐕𝐅𝐬 [𝟏+𝐧𝐢] Valor presente de una suma con interés simple
  49. 49. Ingeniería Económica Apuntes de clase Un agente inmobiliario recibe tres ofertas de compra por una casa: 1. $65 millones hoy y un pagaré por $35 millones a 180 días 2. $30 millones a 120 días y $63 millones a 180 días 3. $20 millones hoy y un pagaré por $75 millones a 4 meses a. Construir los flujos de caja para los tres casos b. Determinar cual es la mejor oferta si el interés (simple) es del 24% anual ¿Cuánto tiempo debe esperar un inversionista para duplicar su inversión en un negocio que ofrece rendimientos del 2,5% mensual simple? Ejercicios con interés simple
  50. 50. Ingeniería Económica Apuntes de clase Interés compuesto Si en cada uno de los periodos pactados para atender una obligación los intereses periódicos se suman al capital conformando un nuevo capital sobre el cual se calculan los nuevos intereses, se dice que los intereses se van capitalizando y que la operación se realiza en la modalidad de interés compuesto (i). Periodo de capitalización: periodo pactado para convertir el interés en capital. Si no se especifica otra cosa, es ANUAL. No siempre coincide con el periodo de pago ECUACIÓN BÁSICA VF = 𝑽𝑷 𝟏 + 𝒊 n Valor futuro de una suma presente con interés compuesto
  51. 51. Ingeniería Económica Apuntes de clase 1. Los intereses que se causan periódicamente se capitalizan, NO SE PAGAN, se suman al capital. 2. Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés i 3. El supuesto de reinversión establece la principal diferencia entre los Intereses simples y los intereses compuestos. Interés simple Interés compuesto Tiempo Tiempo
  52. 52. Ingeniería Económica Apuntes de clase Se depositan $10 millones durante un año en banco que reconoce el 3% mensual. Calcular el valor acumulado al final del año: a. Utilizando tasa de interés simple b. Utilizando tasa de interés compuesto Construir los flujos de caja para los dos casos Construir una gráfica que muestre la diferencia resultante de aplicar las dos formas de interés Describir un esquema de Ponzi ¿A qué se denomina tasa de usura? ¿Cuánto tiempo debe esperar un inversionista para duplicar su inversión en un negocio que ofrece rendimientos del 2 % mensual? Ejercicios con interés compuesto
  53. 53. Ingeniería Económica Apuntes de clase VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE En este caso no se cumple el principio de reinversión de los intereses a la misma tasa i VF = VP [1 + i1][1 + i2][ ………][1 + in] De esta expresión puede obtenerse la correspondiente al VP con tasa variable Ejemplo: Un inversionista participa en un negocio con $2,5 millones durante seis meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es de 1% mensual. Si cada mes la tasa aumenta 0.2% ¿cuál será el valor que recibe el inversionista al final del semestre? Rta. VF = 2,5 [1 + 0.01][1 + 0.012][1 + 0.014][1 + 0.016][1 + 0.018][1 + 0.020] VF = $2.733.515,29
  54. 54. Ingeniería Económica Apuntes de clase VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE Como en el caso anterior, no se cumple el principio de reinversión de los intereses a la misma tasa i 𝑽𝑷 = 𝑽𝑭 𝟏+𝒊 𝟏 𝟏+𝒊 𝟐 ……. [𝟏+𝒊𝑵] Ejercicio: Un inversionista recibe $5 millones después de un programa de ahorro de seis meses. La tasa de interés inicial que le reconocieron fue de 1,5 % mensual y cada mes la tasa aumentó 0.15 % ¿cuál fue el valor inicial depositado por el inversionista?
  55. 55. Ingeniería Económica Apuntes de clase VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO Se calcula con la misma expresión básica ordenada en términos de VP VP = VF[1 + i]-n De la ecuación básica pueden obtenerse también expresiones para el cálculo de la tasa de interés (i) o el número de periodos (n) Ejemplo: Un ahorrador necesita disponer de $5 millones de pesos dentro de seis meses para pagar una matrícula universitaria. Si un banco le ofrece 3% mensual como interés por su ahorro a. ¿cuánto debe depositar HOY para cumplir su objetivo en el plazo fijado? b. Si solo dispusiera de cuatro meses de plazo ¿a que tasa debe pactar su ahorro para disponer de los $5 millones depositando HOY la misma suma obtenida en el literal a.
  56. 56. Ingeniería Económica Apuntes de clase ACEPTACIONES BANCARIAS Se trata de títulos valores [letras, actas de obra, órdenes de pago] con los cuales se garantizan operaciones de crédito. Al negociarse en el mercado se aplica un descuento sobre su valor, en función del tiempo que resta para poder hacerlos efectivos. Para los cálculos se aplica la fórmula básica del interés compuesto. VP = VF[1 + i]-n De la ecuación básica pueden obtenerse también expresiones para el cálculo de la tasa de interés (i) o el número de periodos (n) Ejemplo: Un contratista dispone de una aceptación bancaria por $20 millones a 180 días y necesita negociarla faltando 72 días para su vencimiento. Si finalmente negocia con un comisionista que le cobra una tasa de 18% anual ¿cuánto recibirá a cambio del título negociado? Rta: El valor que recibe equivale al valor presente de un valor futuro de $20 millones, negociado al 18% anual por un plazo de [72/360] año VP = 20.000.000 (1 + 0.18) - [72/360] = $19.348.780.34
  57. 57. Ingeniería Económica Apuntes de clase CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO A partir de: VF = VP[1 + i]n log(VF) = log (VP) + n log[1 + i] log(VF) - log (VP) = n log[1 + i] log[1 + 𝑖] = log(𝑉𝐹)−log(𝑉𝑃) 𝑛 Ejercicio: Una inversión de $10 millones se convierte en $20 millones después de 18 meses. Si la operación se efectuó con interés compuesto calcular la tasa mensual correspondiente. Sugerencia: Emplee dos formas diferentes de cálculo y compare los resultados Rta: I = 3.93 % mensual
  58. 58. Ingeniería Económica Apuntes de clase CALCULO DEL PLAZO (n) DE UNA OPERACIÓN CON INTERÉS COMPUESTO A partir de: VF = VP[1 + i]n log(VF) = log (VP) + n log[1 + i] log(VF) - log (VP) = n log[1 + i] n= log(𝑉𝐹)−log(𝑉𝑃) 𝑙𝑜𝑔[1+𝑖] Ejercicios: 1. ¿Cuánto tiempo tomará duplicar una inversión en un negocio que ofrece una tasa de 2% mensual. 2. ¿En cuanto tiempo se obtendrán $700.000 a partir de una inversión de $500.000 hecha al 4% mensual?
  59. 59. Ingeniería Económica Apuntes de clase ECUACIONES DE VALOR CON INTERÉS COMPUESTO Aplicación de la expresión básica: VF = VP[1 + i]n 1. Construir el flujo de caja del problema 2. Determinar la fecha focal 3. Trasladar a la fecha focal los Ingresos y los Egresos e igualarlos. La ecuación resultante es la ECUACIÓN DE VALOR Ejemplo: Un deudor se comprometió inicialmente a pagar una obligación con tres pagos: Un pago hoy por $500.000 Un pago dentro de cinco meses por $2 millones Un pago dentro de ocho meses por $3,5 millones Posteriormente acordó con el acreedor una nueva forma de atender la obligación: dos pagos iguales en los meses 6 y 12 (contados a partir de hoy) ¿Cuál es el valor de estos pagos si la operación se realiza a una tasa de 3% mensual?
  60. 60. Ingeniería Económica Apuntes de clase Desarrollo: Flujo de caja de la propuesta inicial de pago ECUACIÓN DE VALOR VP= 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟓 + 𝟑.𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟖 VP = $4.988.149,89 MESES VP 500.000 2.000.000 3.500.000 FECHA FOCAL 5 8
  61. 61. Ingeniería Económica Apuntes de clase Desarrollo: Flujo de caja de la propuesta alternativa ECUACIÓN DE VALOR 4. 𝟗𝟖𝟖. 𝟏𝟒𝟗. 𝟖𝟗 = 𝐅𝟏 𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟔 + 𝐅𝟏 𝟏+𝟎.𝟎𝟑 𝟏𝟐 Valor de cada uno de los pagos F1 = $3.241.966 Sugerencia: Repetir con nueva fecha focal y comparar resultados MESES VP = $4.988.149.89 F1 F2 = F1 FECHA FOCAL 6 12
  62. 62. Ingeniería Económica Apuntes de clase CALCULO DE FECHAS ALTERNATIVAS DE PAGO Se emplea la expresión básica: VF = VP[1 + i]n El procedimiento desarrollar el mismo planteamiento de ecuaciones de valor Ejemplo: Un prestamista tiene tres documentos pendientes de cobro: Uno por $200.000 con vencimiento dentro de cuatro meses Uno por $300.000 con vencimiento dentro de seis meses Uno por $600.000 con vencimiento dentro de ocho meses Pacta con el deudor cambiar los tres pagos por UNO solo de $900.000. Si la tasa de interés de la operación es de 4% mensual ¿En cuanto tiempo (a partir de hoy) deberá efectuar el deudor ese pago único? Sugerencias: inicialmente situar la FECHA FOCAL en el momento cero (Hoy) Repetir con nueva fecha focal y variar las tasas de interés o el valor del pago único
  63. 63. Ingeniería Económica Apuntes de clase EFECTO DEL PERIODO DE DESCUENTO DE LAS TASAS DE INTERÉS Para un VP = $1.000.000 , un plazo de un año y modalidad de intereses vencidos: El valor del interés generado y la respectiva tasa efectiva crecen al disminuir el periodo de descuento de los intereses i (nominal) Interés ($) i (efectivo) 18 % 180.000 18% 18%, S 188.100 18,81% 18%, T 192.519 19,25% 18%, M 195.618 19,56% 18%, D 197.164 19,72%
  64. 64. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS Tasa nominal: Tasa de referencia que orienta sobre el verdadero costo del dinero. Expresa el valor anual de la tasa, la frecuencia y modalidad de liquidación de los intereses. En su forma más simple corresponde a la tasa resultante de aplicar intereses compuestos, anuales y vencidos. La tasa nominal supone interés simple mientras que la tasa efectiva supone interés compuesto. Formas habituales de expresión de tasas nominales: i % nominal anual con capitalización trimestral i % trimestre vencido i % TV
  65. 65. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASAS NOMINALES Y TASAS EFECTIVAS Tasa nominal referida a DTF DTF (1988) Indicador de costo del dinero para entidades financieras [Costo promedio del dinero captado a través de CDT a 90 días] i % = DTF + (x)% Tasa nominal referida a UVR UVR creada por la ley 546 de 1999 se aplica desde 01/01/2000 En estos casos se consideran los márgenes de intermediación y las tasas remuneratorias
  66. 66. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASA PARA DEPÓSITOS A TÉRMINO FIJO DTF Es un tipo de interés calculado con base en el promedio ponderado semanal de las tasas y montos captados diariamente a través de los Certificados de Depósitos a Término - CDT a 90 días. DTF es calculada semanalmente por el Banco de la República con los datos provistos por los bancos y otras entidades financieras a través de la Superintendencia Financiera hasta el día anterior al del cálculo. Los factores que influyen sobre el valor de la DTF incluyen: • La tasa de interés de la entidad financiera que tenga mayor cantidad de recursos captados mediante CDT a 90 días. • La demanda de recursos de inversión por parte de la economía real • La disponibilidad de liquidez con la que cuenten las entidades financieras que captar por medio de CDTs • Las tasa de referencia del Banco de la República • La inflación
  67. 67. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASAS EN FUNCIÓN DE DTF DTF se expresa como nominal T,A y como Efectiva Anual y los puntos porcentuales adicionales se expresan como tasas efectivas anuales. i = DTF + (X)% Por ejemplo, i = DTF + 8% si DTF = 8,75% EA , entonces i = 16,75 % EA Ejemplo: Un banco concede un crédito de $10 millones a una tasa DTF + 8% con intereses pagados mensualmente. Si DTF es de 10% EA calcular: a. Tasa de interés del crédito b. Valor de los intereses del primer mes (*) La tasa de interés del crédito es de DTF + 8% = 10% + 8% = 18% EA Para el cálculo de la Tasa Efectiva Mensual TEA = (1 + TEM) 12 – 1 0,18 = (1 + TEM)12 – 1 , de donde TEM = 1,39% (Tasa efectiva mensual para el primer mes) (*) DTF varía semanalmente y por esa razón cada mes debe calcularse la TEM
  68. 68. Ingeniería Económica Apuntes de clase UNIDAD DE VALOR REAL - UVR Es una unidad de cuenta expresada en pesos que refleja el poder adquisitivo de la moneda. Creada por la ley 546 de 1999 y aplicada desde el 1 de enero de 2000. Se calcula por el Banco de la República para cada día del año con base en la inflación reportada en periodos mensuales comprendidos entre el día 16 de un mes y el día 15 del mes inmediatamente siguiente. Se liquida y abona día vencido sobre saldos y se calcula con la expresión: UVR t = UVR15 (1 + i) t/d Expresión en la cual: UVR t :Valor de la UVR el día t UVR 15: valor de la UVR el último día del periodo de cálculo anterior i = cambio (%) del IPC en el mes calendario anterior al mes de inicio del periodo de cálculo t: número de días calendario transcurridos desde el inicio de un periodo de cálculo hasta el día en el que se desea calcular el valor de la UVR 1 < t < 31 d: Número de días calendario del respectivo periodo de cálculo 28 < d <31
  69. 69. Ingeniería Económica Apuntes de clase UNIDAD DE VALOR REAL - UVR Ejemplo: Si el valor de la UVR el 15 de agosto/12 es $203,3924 calcular el valor de la UVR para el 17 del mismo mes si la inflación del mes de julio/12 fue de - 0.02 % El periodo de cálculo corresponde al 16 de agosto – 15 septiembre d = 31 días t = 2 días UVR 17 = UVR15 (1 – 0.0002) 2/31 UVR 17 = 203,3924 (1 – 0.0002) 0,0645 UVR 17 = $203.3898 Ejercicio: Calcular valores de UVR usando datos registrados de inflación para diferentes fechas y verificarlos contra las estadísticas del Banco de la República http://www.banrep.gov.co/series-estadisticas/see_upac.htm
  70. 70. Ingeniería Económica Apuntes de clase INFLACIÓN Crecimiento continuo y generalizado de los precios de los bienes, servicios y factores productivos de la economía. La evolución de la inflación se mide a través de la variación del Índice de Precios al Consumidor (IPC). Inflación Anticipada (Efectos sensibles) • Minimizar pérdidas reduciendo saldos medios de dinero. • Aumento del consumo de bienes durables. • Pérdida de ingreso disponible por causa de distorsiones tributarias. • Costos para el Estado, por deterioro del valor de los tributos que recauda.
  71. 71. Ingeniería Económica Apuntes de clase Inflación no anticipada (Algunos efectos sensibles) Los principales efectos de la inflación no anticipada son redistributivos. Los cambios en las tasas de inflación desplazan el ingreso y la riqueza entre diferentes grupos de la población. Durante un proceso inflacionario, los deudores se verán beneficiados a costa de los acreedores, ya que la inflación reduce las tasas reales de interés que pueden llegar a ser negativas. Para evitar el desgaste que sufren los activos financieros por el aumento de los precios, se han desarrollado instrumentos indexados que ajustan la tasa de interés nominal. Referencia inicial para ampliación de los conceptos básicos: http://www.banrepcultural.org/blaavirtual/ayudadetareas/economia/econo103.htm
  72. 72. Ingeniería Económica Apuntes de clase La tasa de inflación, f(%) es la medida del incremento continuo de los precios de bienes y servicios a través del tiempo. Se aplica sobre los precios anteriores (ya afectados por la inflación) y por eso funciona análogamente al interés compuesto. Ejemplos: 1. Si la tasa media de inflación mensual para un periodo de seis meses es de 2,5% ¿cuánto valdrá al final de ese periodo un producto que hoy vale $12.500? VF = 12.500 (1 + 0.025)6 = $14.496,17 2. Si la tasa promedio de inflación mensual para los próximos tres años es de 0,5% ¿cuánto costará dentro de 3 años una casa que hoy vale $140 millones? VF = 140.000.000 (1 + 0.005)36 = $167.535.273 Este valor del bien se conoce como valor en pesos corrientes (o nominales) Si se sustrae el efecto de la inflación se tienen los valores en pesos constantes VP = VF ( 1 + f ) – n
  73. 73. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASAS EFECTIVAS Y TASAS PERIÓDICAS Tasa efectiva: Tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, involucrando en concepto de interés compuesto. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐞 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 = 𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐧𝐨𝐦𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 Tasa periódica: Tasa que se aplica para calcular el interés en un periodo determinado. Por ejemplo, 1% diario, 1, 5% mensual, 5% anual La tasa periódica puede calcular a partir de la tasa nominal y la tasa efectiva Tasa nominal = Tasa periódica x n (número de periodos)
  74. 74. Ingeniería Económica Apuntes de clase ECUACIÓN DE LA TASA EFECTIVAS TE__= 𝟏 + 𝒊𝒑 𝑵 − 𝟏 TE__: Tasa efectiva para un periodo determinado ip : Tasa periódica N: Número de veces que se liquida la tasa periódica en el plazo expresado en la tasa efectiva que se quiere calcular Ejemplo: calcular la Tasa Efectiva Anual (TEA) que corresponde a una tasa periódica de 2% mensual La tasa periódica (mensual) se liquida doce veces en el periodo para el cual se desea calcular la Tasa Efectiva TEA = (1 + 0.02) 12 – 1 = 26,82%
  75. 75. Ingeniería Económica Apuntes de clase Ejemplo: Un prestamista entrega $1.000.000 a un cliente por tres meses a una tasa de interés de 36% con capitalización mensual. Se acuerda cancelar el valor del préstamo más los intereses al final del trimestre. a. Calcular el valor acumulado al final del trimestre (valor del pago único) b. Calcular la tasa efectiva trimestral (TET) de la operación Solución a. Se calcula la tasa mensual a partir de la nominal i = 0,36/12 = 0.03 = 3% mensual Mediante la ecuación básica VF = VP (1 + i) n VF = 1.000.000 (1 + 0.03)3 = $1.092.727 (Valor pago único) b. Cálculo de la tasa efectiva trimestral TET TET = (1 + 0.03)3 – 1 = 9.27%
  76. 76. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASAS EQUIVALENTES Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas, obrando en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro Caso De una tasa Pasar a una tasa 1 EFECTIVA EFECTIVA EQUIVALENTE 2 EFECTIVA NOMINAL EQUIVALENTE 3 NOMINAL EFECTIVA EQUIVALENTE 4 NOMINAL NOMINAL EQUIVALENTE
  77. 77. Ingeniería Económica Apuntes de clase CASO 1. A partir de una tasa efectiva periódica calcular la tasa efectiva correspondiente a otro periodo Ejemplos: 1. ¿Qué tasa efectiva trimestral corresponde a una tasa de 2% mensual? TET = (1 + 0.02) 3 – 1 = 6,12% 2. ¿Qué tasa efectiva mensual (TEM) equivale a una tasa efectiva anual de 40%? TEA = (1 + TEM) 12 – 1 0.40 = (1 + TEM)12 - 1 1,40 = (1 + TEM)12 1 + TEM = (1,40) 1/12 TEM = 2,84%
  78. 78. Ingeniería Económica Apuntes de clase CASO 2. A partir de una tasa efectiva calcular una tasa nominal equivalente Ejemplo: 1. A partir de una TEA de 40% calcular la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente Paso 1: Calcular la TET TEA = (1 + TET) 4 – 1 0.40 = (1 + TET)4 - 1 1,40 = (1 + TET)4 1 + TET = (1,40) 1/4 TET = 8,77% Paso 2: Calcular la tasa nominal anual Si se multiplica una tasa efectiva periódica por el número de periodos se obtiene la tasa nominal correspondiente Tasa Nominal Anual = 8.77% x 4 = 35,08% La tasa nominal 35,08%, TV equivale a una Tasa Efectiva Anual de 40%
  79. 79. Ingeniería Económica Apuntes de clase CASO 3. A partir de una tasa nominal calcular una tasa efectiva periódica equivalente Ejemplo: 1. A partir de una tasa de 22% capitalizable mensualmente calcular la TEA Paso 1: Determinar la tasa periódica efectiva 22%/12 = 1,83% 1,83% es la tasa periódica (mensual) efectiva Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva Anual TEA = (1 + 0.0183)12 - 1 TEA = 24,36% La tasa nominal 22%, MV equivale a TEA de 24,36% Ejercicio Calcular la TEA a partir de una tasa nominal de: 36%, M 36%, T 36%, S 36%, A
  80. 80. Ingeniería Económica Apuntes de clase CASO 4. A partir de una tasa nominal calcular otra tasa nominal equivalente Ejemplo: 1. A partir de una tasa de 36% con capitalización mensual calcular la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente Paso 1: Calcular la tasa periódica efectiva mensual 36%/12 = 3% Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva Trimestral TET TET = (1 + 0,03)3 – 1 TET = 9,27% Paso 3: Calcular la tasa nominal trimestral Si se multiplica una tasa efectiva periódica por el número de periodos se obtiene la tasa nominal correspondiente Tasa Nominal = 9.27% x 4 = 37,08% La tasa nominal 36%, ,MV equivale a tasa nominal 37,08% TV
  81. 81. Ingeniería Económica Apuntes de clase TASA DE INTERÉS ANTICIPADO La liquidación de los intereses se hace al principio del respectivo periodo Flujo de caja para un crédito de $100 a una tasa de 30% anual ANTICIPADO Tasa de interés nominal 30%, A Tasa de interés efectivo 𝐢 𝐞 = 𝟑𝟎 𝟕𝟎 = 42,86% Una tasa nominal de 30% anticipado equivale a una tasa real de 42,86% 1 año 30 100 100 Reintegro del préstamo Préstamo Intereses por anticipado
  82. 82. Ingeniería Económica Apuntes de clase CONVERSIONES 1. De tasa anticipada a tasa vencida 𝐢 𝐯 = 𝒊 𝒂 (𝟏 −𝒊𝒂) Ingeniería Económica Grs. 02 y 04 Ejemplo: Un cliente bancario necesita $1 millón para un negocio que le exige exactamente esa cantidad. El banco le cobra una tasa de 5%, mensual anticipada, pero el cliente solicita una tasa vencida equivalente para que su negocio no se afecte. ¿Cuál será el valor de esa tasa? iv = 0.05 (1 −0.05) = 5,26% mensual vencida Sugerencia: comprobar la equivalencia de las dos operaciones
  83. 83. Ingeniería Económica Apuntes de clase CONVERSIONES 2. De tasa vencida a tasa anticipada 𝐢 𝐚 = 𝒊 𝒗 (𝟏+𝒊𝒗) Ejemplo: El inverso del ejemplo anterior. i 𝑎 = 0.0526 (1+0.0526) = 5% mensual anticipado Ejercicio: Calcular la tasa trimestral anticipada equivalente a una del 2% mensual anticipada Paso 1: Convertir la tasa de 2% mensual anticipada a mensual vencida equivalente 2% mensual anticipada equivale a 2,04% mensual vencida Paso 2: Calcular la TET con base en la mensual vencida TET = 6,25% Paso 3: Calcular la tasa trimestral anticipada i 𝑎 = 0.0625 (1+0.0625) = 5,88 trimestre anticipado
  84. 84. Ingeniería Económica Apuntes de clase Ejercicios propuestos: 1. A partir de una tasa nominal de 36% TA calcular la TEA Nota: Las tasas de interés anticipado también se presentan como nominales y a partir de ellas se calculan las tasas periódicas 2. De las siguientes opciones que se ofrecen para créditos bancarios ¿cuál es la mejor? a. 36% TA b. 36,5% MV Sugerencia: Comparar Tasas Efectivas Anuales 3. Calcular la tasa equivalente solicitada Tasa (origen) Tasa equivalente solicitada 4% MV (x)% TA 1,5% MV (x)% SA 18% (x)% MA
  85. 85. Ingeniería Económica Apuntes de clase La ecuación básica en términos de tasa efectiva periódica anticipada toma la forma VF = VP[1 – ia]-n VF : Valor futuro tras n periodos VP: Valor presente de la operación ia: Tasa efectiva periódica anticipada N: Número de periodos Si la tasa anticipada se convierte a tasa vencida puede emplearse la ecuación básica VF = VP[1 + i]n
  86. 86. Ingeniería Económica Apuntes de clase Ejemplo: Se depositan hoy $4 millones en un banco que reconoce una tasa de 20% TA sobre los valores depositados. ¿Cuál será el valor acumulado al final del año? Opción 1: Utilizando la tasa periódica efectiva anticipada ia = 0.20/4 = 0.05 = 5% Trimestral VF = 4.000.000[1 – 0.05]-4 VF = $4.910.950 Opción 2: Utilizando la tasa periódica vencida equivalente 𝐢 𝐯 = 𝟎.𝟎𝟓 (𝟏 −𝟎.𝟎𝟓) = 5,26% TV Puede emplearse la fórmula básica VF = 4.000.000[1 + 0.0526]4 VF = $4.910.950 Los dos resultados son idénticos
  87. 87. Ingeniería Económica Apuntes de clase DESCUENTOS POR PRONTO PAGO El crédito de proveedores es una alternativa de financiación usualmente ligada a ciertas condiciones de pago que generan descuentos en el valor de las operaciones Ejemplo: Una empresa adquiere a crédito su materia prima. El proveedor le plantea un descuento de 5% por compra de contado. Si la empresa no se acoge a ese descuento por pronto pago y prefiere pagar a los 30 días, calcular el costo efectivo anual. 0.95C C 30 días Sea C el costo de la mercancía. Si se acoge al descuento pagaría 0,95C en el momento de la compra. Si la empresa NO compra de contado la mercancía por 0.95 C y prefiere pagar a los 30 días el costo total C, eso equivale a pagar 5% de interés sobre 0.95C en 30 días, es decir, una tasa de interés mensual i = 𝑪 𝟎.𝟗𝟓𝑪 – 1 = 5,26%, M equivalente a una TEA = (1 + 0.0526)12 – 1 = 84,99%
  88. 88. Ingeniería Económica Apuntes de clase DESCUENTOS POR PRONTO PAGO Ejemplo: Un proveedor factura una mercancía por $5 millones con el siguiente plan de descuento por pronto pago: 4/10 neto 30 (*). Calcular el costo efectivo para el comprador si no se acoge al descuento (*) 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10 días tendrá un descuento de 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor total de la factura. $4,8 millones $5 millones 10 días 30 días Si el comprador NO se acoge al descuento y prefiere pagar a los 30 días el costo total pagará una tasa de interés mensual i = 𝟓.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟒.𝟖𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 – 1 = 4,17%, por 20 días 4,17% es la tasa efectiva periódica para 20 días (periodo para el cálculo) A partir de este valor se obtiene TEA = 108,63%
  89. 89. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES – SERIES UNIFORMES Serie de pagos ( o Ingresos) iguales, periódicos no necesariamente anuales (pueden ser mensualidades, por ejemplo) Ejemplo: Se compran muebles por valor de $2 millones con un plan de pagos de cuatro cuotas mensuales iguales pagaderas al final de cada mes con una tasa de interés de 36%, M. ¿Cuál es el valor de la mensualidad? 2.000.000 i = 36%, M A [mensualidad] 0 1 2 3 4 meses Tasa periódica efectiva (tasa mensual) = 3% Fecha focal Origen Ecuación de valor 𝟐. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑨 (𝟏,𝟎𝟑) + 𝑨 𝟏,𝟎𝟑 𝟐 + 𝑨 𝟏,𝟎𝟑 𝟑 + 𝑨 𝟏,𝟎𝟑 𝟒 Despejando el valor de la mensualidad A = $538.054.09
  90. 90. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES – SERIES UNIFORMES Condiciones de una serie de anualidades 1. Pagos iguales 2. Pagos periódicos 3. Número de pagos = número de periodos Tipos de anualidades  VENCIDA  ANTICIPADA  DIFERIDA  PERPETUA
  91. 91. Ingeniería Económica Apuntes de clase Para calcular el Valor Presente de la serie se traslada el valor equivalente de la misma, VES, hasta la Fecha Focal correspondiente. ANUALIDADES VENCIDAS Pagos al final del periodo: salarios, arrendamientos, cuotas VES = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] VES: valor equivalente de la serie, está SIEMPRE al inicio del periodo en el que se hace el primer pago de la serie. VP = VES(1 + i) - N VES A 7 8 9 10 ……
  92. 92. Ingeniería Económica Apuntes de clase Ejercicio: Un vehículo se adquiere con el siguiente plan: • Cuota Inicial de $10 millones y 24 cuotas mensuales de $1 millón cada una • Tasa de interés i = 2,5 % , M ¿Cuál es el valor del vehículo? R: $27.884.985.83 Repetir el ejercicio si la primera cuota mensual se paga seis meses después de la cuota inicial VALOR PRESENTE DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLE No aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa Ejemplo: Calcular el VP de una serie de cuatro cuotas vencidas mensuales de $200.000 c/u dadas las tasas siguientes R. $777.017.47 MES 1 2 3 4 Tasa 1% 1,2% 0,8% 1,5%
  93. 93. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES VENCIDAS EXPRESIÓN PARA EL VALOR DE LA CUOTA A = 𝑷[ 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 ] VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA F = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 ] El valor futuro F equivalente a una serie de pagos iguales vencidos está ubicado en la fecha del pago de la última cuota Ejercicios propuestos 1. Un lote de terreno que cuesta $20 millones se compra con una CI del 10% y 12 cuotas mensuales con i = 2% mensual. Calcular el valor de cada una de las cuotas mensuales R. A=$1.702.072.74 2. Un crédito de $5 millones se paga en 18 mensualidades de $50.000 más dos cuotas extras iguales en los meses 6 y 12. Si la tasa de interés es 3% mensual, calcular el valor de las cuotas extras. R. $2.802.212.20
  94. 94. Ingeniería Económica Apuntes de clase Ejercicios: 1. Un ahorrador deposita $1,2 millones cada fin de mes durante un año en un banco que le reconoce 3% mensual. ¿cuánto tendrá acumulado al final del año? 2. Un ahorrador decide depositar $1 millón mensualmente durante un año en una entidad que le paga 1,8% mensual. En el momento de hacer su séptimo depósito le informan que la tasa de interés ha subido al 2% mensual por lo que decide aumentar su ahorro a $1,5 millones mensuales, ¡cuánto ha acumulado al final del año? VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLE No aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa EXPRESIÓN PARA EL VALOR DE LA CUOTA A = 𝑭[ 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 ] Ejercicio: ¿Cuánto debe depositarse al final de cada mes, durante dos años, en una cuenta de ahorros que reconoce 2,5% mensual para reunir $8,5 millones? Repetir el ejercicio si la tasa de interés es de 2% mensual y el plan de ahorro es de 36 meses
  95. 95. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES VENCIDAS CÁLCULO DE PLAZO DE PAGOS N = [ 𝒍𝒐𝒈𝑨 −𝒍𝒐𝒈(𝑨 −𝑷𝒊) 𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝒊 ] Ejemplo Una deuda de $1 millón debe cancelarse con cuotas mensuales iguales de $100.000 cada una. Si la tasa de interés es 36%, M ¿con cuantos pagos se cancelará la deuda? Paso 1. Se calcula la tasa periódica efectiva ip = 0,36/12 = 0.03 = 3% mensual Paso 2. Se aplica la expresión mostrada arriba, remplazando los valores indicados N = [ 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 −𝒍𝒐𝒈(𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 −𝟏.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎∗𝟎,𝟎𝟑) 𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝟎,𝟎𝟑 ] = 12 cuotas Si el resultado del cálculo NO es exacto, por ejemplo, si fuera 12,4 meses significa que una vez se pague la cuota 12 habrá un saldo pendiente para cubrir totalmente la deuda.
  96. 96. Ingeniería Económica Apuntes de clase Para calcular el Valor Presente de la serie se traslada el valor equivalente de la misma, VES, hasta la Fecha Focal correspondiente. En el caso ilustrado en el diagrama el valor VES se lleva a la fecha focal cero, utilizando la expresión conocida ANUALIDADES ANTICIPADAS Los pagos se realizan al comienzo del periodo respectivo. ATENCIÓN: Pueden utilizarse las mismas expresiones empleadas para anualidades vencidas , teniendo en cuenta el momento de aplicación de los valores VES = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] RECUERDE que el VES se localiza al inicio del periodo anterior al del primer pago de la serie. VF = P(1 + i) N A 0 1 2 4 ……3 I VES - 1 Como el primer pago de la serie se realiza en el momento cero, es necesario crear un periodo ficticio, anterior al origen del diagrama para localizar en ese punto el VES
  97. 97. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES ANTICIPADAS Ejemplo Una deuda que se había pactado pagar en 18 cuotas mensuales anticipadas iguales de $150.000 se renegocia para cancelarla de contado. Si la tasa de interés usada en el negocio es de 3% mensual ¿cuál es el valor del pago de contado? Paso 1. Para utilizar la expresión de mensualidad vencida se añade un periodo imaginario a la izquierda del origen del diagrama Paso 2. Se aplica la expresión VES = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] remplazando los valores indicados Se obtiene como resultado VES = $2.063.026,70 Como este es el valor de VES está en el momento -1 es necesario trasladarlo a la fecha focal cero con la expresión VF = P(1 + i) N VF = 2.063.026,70(1,03)1 = $2,124,917,5 EXPRESIONES DIRECTAS PARA EL CÁLCULO CON ANUALIDADES ANTICIPADAS VES = 𝐀(𝟏 + 𝒊)[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] 𝐕𝐅 = 𝐀[ (𝟏+𝒊) 𝑵+𝟏 −(𝟏+𝒊) 𝒊 ]
  98. 98. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES ANTICIPADAS Ejemplo Un ahorrador consigna el primer día de cada mes la suma de $500.000 en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa del 3% mensual ¿cuánto será el saldo de su cuenta al final del año? Se aplica la expresión 𝐕𝐅 = 𝐀[ (𝟏+𝒊) 𝑵+𝟏 −(𝟏+𝒊) 𝒊 ] remplazando los valores suministrados y se obtiene como resultado: VF = $7.308.895,20 EXPRESION PARA EL CÁLCULO DE PLAZOS CON ANUALIDADES ANTICIPADAS N = 𝒍𝒐𝒈𝑨 −𝒍𝒐𝒈[𝑨 −𝒊 𝑷 −𝑨 ] 𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝒊 + 1
  99. 99. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES DIFERIDAS Pagos que comienzan unos periodos después de realizada la operación financiera. Periodo de gracia: tiempo que transcurre sin amortizar capital. Puede tener tasa de interés diferente a la del periodo normal de pagos. Ejemplo 1 Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado con 18 cuotas mensuales iguales de $150.000 cada una con pagos que se iniciarán dentro de cinco meses. Si la operación se realiza al 3% mensual, calcular el valor del negocio Se calcula el valor equivalente de la serie VES = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]= $2.063.026,96 En este caso está VES está al inicio del periodo 4. Para calcular el Valor Presente VP de la serie se traslada el valor equivalente de la misma hasta la Fecha Focal [cero en este caso], con la expresión VP = P(1 + i) - N A 0 4 VES 5 6 7 …………… 22 meses VP VP = 2.063.026.96(1 ,03) – 4 = $1.832.972.73
  100. 100. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES DIFERIDAS Ejemplo 2 Una deuda de $50 millones debe cancelarse con pagos de $750.000 desde el mes 6 hasta el mes 12 y un pago final en el mes 18. Si el negocio se hace al 3% mensual ¿cuál es el valor del pago final? X es el valor del pago final Se calcula la ecuación de valor con fecha focal en cero 50.000.000 = 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎[ 𝟏,𝟎𝟑 𝟕 −𝟏 𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟕 𝟏,𝟎𝟑 𝟓 ] + x (1,03)-18 Y se obtiene X = $78.259.617.64 [Valor del pago final] A 0 5 VES 6 7 8 ……… 12 18 (meses) VP Pago final (X)
  101. 101. Ingeniería Económica Apuntes de clase ANUALIDADES A PERPETUIDAD Herencias, legados, premios, fondos de retiro, arrendamientos sin opción de compra. Por su naturaleza de pagos indefinidos NO existe el valor futuro de la serie. Cálculo del Valor Equivalente de la serie Considerando que N ∞ la expresión P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] se convierte en: P= 𝑨 𝒊 ∞ Ejemplo: Un filántropo dispone en su testamento que de su capital se destinen $250 millones a favor de un hogar geriátrico para que reciba mensualmente el valor de los intereses sin afectar el saldo del capital. Si la tasa de interés del mercado es de 0,5% mensual ¿cuánto recibirán los beneficiarios mensualmente? A = P *i = 250.000.000 * 0.005 = $1,250.000 A 0 1 2 3 4 5 P
  102. 102. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Series de pagos cuyo valor se incrementa (o disminuye) con relación al pago (o ingreso) inmediatamente anterior. Gradiente Lineal o Aritmético: El valor del cambio (incremento o disminución) es constante de periodo en periodo. Gradiente Geométrico: El valor del porcentaje del cambio se mantiene constante de periodo en periodo Gradiente Escalonado: Los cambios (valores o porcentajes) se sostienen durante un tiempo y aumentan (o disminuyen) para periodos Posteriores Serie 1 Serie 2 Serie 3Serie 2 Serie 3
  103. 103. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejemplo: Una deuda se cancela con seis cuotas mensuales que aumentan cada mes en $50.000. El valor de la primera cuota es de $100.000 y el interés de la operación es de 3% mensual. ¿Cuál es el valor inicial de la deuda? VP 1 2 3 4 5 6 meses P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] Con la fecha focal en el momento cero se calcula el valor presente de la deuda VP VP= 100.000 (1,03) + 150.000 1,03 2 + 200.000 1,03 3 +……….+ 350.000 1,03 6 = $1.195.529 100.000 150.000 250.000 350.000
  104. 104. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejemplo: Una deuda se cancela con seis cuotas mensuales que aumentan cada mes en $50.000. El valor de la primera cuota es de $100.000 y el interés de la operación es de 3% mensual. ¿Cuál es el valor inicial de la deuda? VP 1 2 3 4 5 6 meses Con la fecha focal en el momento cero se calcula el valor presente de la deuda VP VP= 100.000 (1,03) + 150.000 1,03 2 + 200.000 1,03 3 +……….+ 350.000 1,03 6 = $1.195.529 100.000 150.000 250.000 350.000
  105. 105. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Condiciones para que una serie sea Gradiente: 1. Pagos deben tener ley de formación 2. Periodicidad de los pagos 3. La serie debe tener valores equivalentes P y F Gradiente Lineal creciente vencido P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]+ 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 - 𝑵 𝟏+𝒊 𝑵] F = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 ]+ 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 - N] A: Anualidad G: Valor del gradiente N: Número de periodos Para gradientes lineales con tasa variable NO se aplican las fórmulas y debe trabajarse con la ecuación básica VF = VP (1+ i)N
  106. 106. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejemplo: El valor de un equipo industrial se cancela con 24 cuotas mensuales que aumentan cada mes en $10.000. El valor de la primera cuota es de $150.000. Con tasa de interés del 3% mensual, calcular el valor del equipo P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ]+ 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 - 𝑵 𝟏+𝒊 𝑵] P = 𝟏𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎[ 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒 −𝟏 𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒]+ 𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟎,𝟎𝟑 [ 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒 −𝟏 𝟎,𝟎𝟑 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒 - 𝟐𝟒 𝟏,𝟎𝟑 𝟐𝟒] = $4.250.042.13 El valor P de la serie se encuentra al principio del primer periodo de pago y el gradiente G ($10.000) aparece por primera vez en el segundo periodo P 1 2 3 . . . . . . .. . . . . . . 24 (meses) $150.000 $160.000 $170.000 $150.000 + 10.000 (N – 1)
  107. 107. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejercicio de cálculo de valor futuro (Gradiente creciente vencido): En un banco que reconoce una tasa de interés trimestral del 9% se hacen durante dos años depósitos trimestrales que aumentan cada trimestre en $100.000. Si el valor del primer depósito es de $500.000 calcular el valor acumulado al final del segundo año. F = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 ]+ 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 - N] F F = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎[ 𝟏,𝟎𝟗 𝟖 −𝟏 𝟎.𝟎𝟗 ]+ 𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝟎.𝟎𝟗 [ 𝟏,𝟎𝟗 𝟖 −𝟏 𝟎.𝟎𝟗 - 8] = $8.879.207.78 [verificar] El valor F de la serie se encuentra en la fecha del último depósito 1 2 3 . . . 8 (trimestres) $500.000 $700.000 $500.000 + 100.000 (7)
  108. 108. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejercicio propuesto: Con base en el flujo de caja siguiente calcular el valor presente de la operación (la tasa de interés es de 2% mensual) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (meses) 500.000 600.000 900.000 700.000 800.000 Sugerencia: Repetir el ejercicio con los siguientes valores, comparar y comentar los resultados i A G 3% mensual 400.000 50.000 1,5% mensual 600.000 150.000
  109. 109. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵_ 𝟏 ]+ 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵_ 𝟏 - 𝑵 𝟏+𝒊 𝑵 _ 𝟏] F = 𝐀[ 𝟏+𝐢 𝐍+𝟏 −(𝟏+𝐢) 𝐢 ]+ 𝐆 𝐢 [ 𝟏+𝐢 𝐍+𝟏 −(𝟏+𝐢) 𝐢 - N(1+i)] Ejercicios propuestos: 1. ¿Cuál es el valor de un electrodoméstico que se financia con 14 cuotas mensuales anticipadas que crecen cada mes en $20.000 y con una tasa de interés de 2,5% mensual. Si la primera cuota es de $100.000 y se paga el mismo día de la negociación? R. $5.618.312,46 2. Un trabajador se propone invertir en un título de la compañía donde trabaja, comenzando con $500.000 e incrementando $50.000 mensualmente. Con una tasa de interés de 2% mensual ¿cuál será el valor de la inversión al finalizar el primer año? R. $10.440.994,57
  110. 110. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE LINEAL CRECIENTE DIFERIDO El manejo es semejante al de los casos de series uniformes diferidas Paso 1. Calcular el valor equivalente P de la serie gradiente Paso 2. Trasladar el valor P a la fecha focal Paso 3. Plantear y resolver la ecuación de valor GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE VENCIDO La diferencia con el caso de Gradiente Lineal Creciente se encuentra en el signo del Gradiente [negativo para el caso de GL Decreciente] P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 ] - 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝑵 - 𝑵 𝟏+𝒊 𝑵] F = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 ] - 𝑮 𝒊 [ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 - N]
  111. 111. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE VENCIDO GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejercicios propuestos: 1. Una obligación bancaria se paga con 18 cuotas mensuales que decrecen en $10.000 cada mes. Si la primera cuota es de $2,500.000 y la tasa de interés de la operación es de 3% mensual ¿cuál es el valor de la obligación? R. $33.323.645,98 2. Se realiza un primer depósito por $500.000 en el día de hoy en una entidad que reconoce una tasa de interés de 2% mensual y cada mes se harán depósitos cuya cuantía disminuye $10.000 cada mes. ¿Cuál será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos? R. $3.000.000
  112. 112. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE Serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al anterior aumentado en un porcentaje fijo (j%) P = 𝑨[ 𝟏+𝒋 𝑵 − 𝟏+𝒊 𝑵 (𝒋−𝒊) 𝟏+𝒊 𝑵 ] para i ≠ j P = [ 𝑵𝑨 𝟏+𝒊 ] para 1 = j CN = A (1 + j) N-1 Valor de una cuota determinada Ejercicio: Una obligación comercial se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $5 millones y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $1,500.000 y se cobra una tasa de interés de 4% mensual se pide calcular a. El valor de la obligación b. El valor de la cuota número 22 Resultados a. $43.727.111,74 b. $4.178.943,88
  113. 113. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE VALOR FUTURO: F= 𝑨[ 𝟏+𝒋 𝑵 − 𝟏+𝒊 𝑵 (𝒋−𝒊) ] para i ≠ j Ejercicio: Calcular el valor futuro equivalente a 12 pagos que aumentan cada mes en 2% si se cobra una tasa de interés del 3% mensual en el negocio y el valor del primer pago es de $2.000.000 R. $31.503.818,46
  114. 114. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE Serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al anterior disminuido en un porcentaje fijo (j%) P = 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 − 𝟏 _ 𝒋 𝑵 (𝒋+𝒊) 𝟏+𝒊 𝑵 ] para i ≠ j P = [ 𝑨 𝟏+𝒊 ] para 1 = j CN = A (1 - j) N-1 Valor de una cuota determinada Ejercicio propuesto: Una obligación hipotecaria se atiende mediante el pago de una cuota inicial de $10 millones y 48 cuotas mensuales que disminuyen un 1 % cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $2,500.000 y se cobra una tasa de interés de 2,5 % mensual se pide calcular a. El valor de la obligación b. El valor de las cuotas múltiplos de 8
  115. 115. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE VALOR FUTURO: F= 𝑨[ 𝟏+𝒊 𝑵 − 𝟏−𝒋 𝑵 (𝒋+ 𝒊) ] Ejercicio propuesto: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que disminuyen cada mes en 2,5 % si se cobra una tasa de interés del 3% mensual en el negocio y el valor del primer pago es de $3.000.000
  116. 116. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES GRADIENTE ESCALONADO Serie de pagos que permanecen constantes durante un periodo determinado (generalmente un año) y luego aumentan en un porcentaje fijo para el periodo siguiente. P = 𝑨 𝟏[ 𝟏+𝒊 𝑵 −𝟏 𝒊 ][ 𝟏+𝑻𝑬𝑨 𝑬 − 𝟏+𝒋 𝑬 𝟏+𝑻𝑬𝑨 𝑬 (𝑻𝑬𝑨 −𝒋) ] Donde: P: Valor inicial de la obligación i : Tasa de interés periódica N: Número de cuotas en el año TEA: Tasa Efectiva Anual equivalente a la tasa i j: Tasa de incremento anual de las cuotas E: Plazo total en años A1: Valor de la cuota mensual del primer periodo
  117. 117. Ingeniería Económica Apuntes de clase GRADIENTES – SERIES VARIABLES Ejercicio propuesto: Una obligación hipotecaria de $60 millones se va a cancelar por medio de 24 cuotas mensuales que aumentan cada año en un 20%. Si la tasa de interés que se cobra en el negocio es del 3% mensual calcular el valor de las cuotas mensuales de cada año. Con P= $60.000.000 i = 3% mensual N=12 Se obtiene como resultado J = 20% anual A1 = $3.272.992,13 Valor de la cuota mensual del primer año E = 2 años A2 = 1,2 (A1) = $3.927.590,56 Valor de la cuota mensual del segundo año TEA = 42,58% Valor total pagado $86.406.992,28 P A2 A1 0 12 24
  118. 118. 1- Decisiones de inversión en un proyecto 2- Inversiones en capital de trabajo 3- Los beneficios del proyecto 4- Valores de salvamento (desecho) 5- El flujo de caja 6- Opciones para medir al rentabilidad CRITERIOS DE EVALUACIÓN FINANCIERA DE ALTERNATIVAS FINANCIERAS Índice
  119. 119. El momento de ocurrencia (Las inversiones en el tiempo) Inversiones previas a la operación del proyecto Inversiones durante la operación Inversiones de Reposiciones y sustituciones Dependen de: La vida útil del Proyecto La depreciación contable La imagen del proyecto Inversiones de difícil evaluación (¿Incluirlas o no?) Las realizadas en los estudios de Prefactibilidad y factibilidad Las de carácter previo a la puesta en marcha del Proyecto Las relacionadas con el capital de trabajo Las inversiones de un proyecto
  120. 120. Construcción de obras físicas Equipos, muebles, vehículos Arrendamientos Gastos de legalización y puesta en marcha Gastos de publicidad Relacionadas con: Sistemas contables Sistemas de información Sistemas de venta, cartera, cobranzas Gastos de Promoción inicial Inversiones convencionales Inversiones no convencionales
  121. 121. Inversiones en: Estudios de Prefactibilidad Estudios de Factibilidad Participación en Licitaciones (Pliegos) Gastos relacionados con la construcción y el equipamiento Seguros y gastos de legalización Gastos administrativos: salarios, materiales de oficina Esencial para la planeación financiera del Proyecto. Debe reflejar la TOTALIDAD de las inversiones previas a la puesta en marcha del proyecto, precisando el momento en el que ocurren. Inversiones en estudios y gastos previos a la puesta en marcha del proyecto Calendario de Inversiones
  122. 122. El capital de trabajo constituye la componente de inversión que financia los desfases entre los ingresos generados por el proyecto y los egresos que deben realizarse. Es una inversión de largo plazo, semejante a las realizadas en terrenos, maquinaria o equipos. El volumen de capital de trabajo necesario puede reducirse, entre otras formas, mediante el crédito de proveedores 1. Métodos contables (Diferencia entre activos corrientes y pasivos corrientes) 2. Método del periodo de desfase 3. Método del déficit acumulado máximo [Curva de masas] Inversiones en capital de trabajo Métodos para calcular el capital de trabajo
  123. 123. Las fuentes de ingreso del Proyecto incluyen: Ingresos por venta del producto (B/S) del proyecto Ingresos por venta de residuos Ahorros por reducción de costos Beneficios tributarios Venta de equipos remplazados Valores de salvamento Recuperación del capital de trabajo Ingresos del Proyecto
  124. 124. Valor recuperado por venta (al final de la vida útil del proyecto) de activos cuya propiedad se ha generado a través del Proyecto [ No es el ingreso generado por la venta de bienes patrimoniales] El valor de salvamento de un bien puede ser un factor decisivo en el proceso de selección de opciones de adquisición 1. Valor contable (de acuerdo con la depreciación) 2. Valor de mercado (Valor comercial del bien, descontado los impuestos). 3. Valor económico (capacidad residual del bien para generar beneficios) Valores de salvamento Formas de cálculo de valores de salvamento
  125. 125. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Criterios privados Rentabilidad, ganancia, lucro, ventajas, posición en el mercado Criterios públicos Sostenibilidad, desarrollo, gobernabilidad, equidad Consideraciones básicas Asignar recursos a largo plazo es una decisión importante para el inversionista, sea público o privado Evaluar la conveniencia de una inversión es un ejercicio que se realiza en un ambiente de riesgo (incertidumbre) y subjetividad (Calidad de la Información y apreciación del Costo de oportunidad)
  126. 126. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN La decisión de inversión requiere información confiable sobre: Tasa de interés de referencia (Tasa de Oportunidad del Inversionista): Tasa máxima que puede obtener dentro del menú de opciones de inversión Técnicas de análisis que permitan evaluar si con la inversión realizada puede obtener beneficios que al menos igualen a los que obtendría en una inversión a la tasa de oportunidad. Elementos de Matemáticas Financieras
  127. 127. FUNDAMENTOS Análisis diacrónico (plazo) Dinámica del Costo del dinero ( interés) PROBLEMAS Inversión y recuperación en un pago Inversión en cuotas y recuperación en un pago Inversión en un pago y recuperación en cuotas Valor presente de un pago en cuotas iguales Valor presente de flujos diferentes OPCIONES PARA MEDIR LA RENTABILIDAD 1.VPN 2.TIR 3. COSTO ANUAL EQUIVALENTE 4. RELACION BENEFICIO/COSTO 5. PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN Elementos de Matemáticas Financieras
  128. 128. 1.Valor Presente Neto VPN Mide la rentabilidad del proyecto en unidades monetarias que exceden a la rentabilidad deseada después de recuperar toda la inversión. 2.Tasa Interna de Retorno TIR Mide la rentabilidad como un porcentaje que se calcula sobre los saldos no recuperados en cada periodo 3. Periodo de Recuperación de la Inversión PRI Medida del tiempo necesario para recuperar la inversión más el costo del capital involucrado ALGUNAS OPCIONES PARA MEDIR LA RENTABILIDAD
  129. 129. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 1. VALOR PRESENTE NETO Resultado de comparar el Valor Presente de TODOS los ingresos con el Valor Presente de TODOS los egresos. Por conveniencia se calcula normalmente en el momento cero, pero puede hacerse en cualquier tiempo del diagrama de flujo. 0 1 2 3 4 5 i = tasa de oportunidad del inversionista VPN = VP (I1, I2, ……., In) – VP (E1, E2, E3, …., En) Ingresos Egresos Criterios de selección usando VPN VPN > 0 Opción atractiva VPN = 0 Opción Indiferente VPN < 0 Opción NO atractiva
  130. 130. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Ejemplo: Empleando como criterio el VPN seleccionar la mejor alternativa de inversión para el negocio ilustrado en el diagrama 0 1 2 3 4 años i = 20% para la alternativa 1 30% para la alternativa 2 1.000.000 350.000 Resultados VPN1 = $28,179 VPN2 = - $148.790 380.000 400.000 500.000
  131. 131. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Ejercicios propuestos: 1. Si invierte hoy $3.500.000 y dentro de un año recibe $4.200.000 ¿hizo una buena inversión considerando que su tasa de oportunidad es del 2,5% mensual? 2. A un inversionista le proponen invertir $10.000.000 y le aseguran que en los próximos cinco años recibirá tres millones de pesos anuales. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual ¿le conviene el negocio? 3. Repita los ejercicios cambiando las tasas de oportunidad y busque la tasa que haga al VPN = 0
  132. 132. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 2. TASA INTERNA DE RETORNO TIR Es la máxima tasa de interés que un inversionista estaría dispuesto a pagar por un crédito para financiar la totalidad de su inversión de tal manera que pueda pagar con los beneficios de la inversión la totalidad del capital y los intereses del crédito sin perder ni ganar. 0 1 años i = tasa de oportunidad del inversionista VPN = 0 = 200.000 - 𝟐𝟐𝟎.𝟎𝟎𝟎 (𝟏+𝒊) i = TIR = 10% anual 200.000 CRITERIOS DE SELECCIÓN CON BASE EN LA TASA INTERNA DE RETORNO CONDICIÓN INVERSIÓN TIR > i oportunidad Aceptable TIR = i oportunidad Indiferente TIR < i oportunidad Inconveniente 220.000
  133. 133. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN TASA INTERNA DE RETORNO TIR Con base en el ejercicio propuesto en el diagrama puede calcularse la tasa de oportunidad para la cual el VPN es cero. El cálculo puede hacerse directamente pero se ilustra el método “por tanteos” para establecer el concepto. 0 1 años i = tasa de oportunidad del inversionista VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 4.200.000 Tasa (%) VPN 4 - $876.692,39 3 - $554.204,50 2,5 - $377.063,28 2 - $188.328.66 1,5 + $ 12.827,17 Entre 1,5% y 2% existe una tasa de Interés para la cual el VPN debe ser CERO
  134. 134. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN TASA INTERNA DE RETORNO TIR Si se continua el ejercicio entre los valores 1,5 % y 2% se obtiene: 0 1 años i = tasa de oportunidad del inversionista VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 4.200.000 Tasa (%) VPN 2 - $188.328,66 1,9 - $149.118,40 1,8 - $109.404,71 1,7 - $ 69.180,61 1,6 - $ 28.439,04 1,5 + $ 12.827.17 Entre 1,5% y 1,6% se encuentra la TIR. Mediante una interpolación lineal entre los dos valores se obtiene el valor TIR = 1,53%
  135. 135. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 3. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE Resultado de la comparación de valores anualizados de Ingresos y Egresos, considerando los plazos (vidas útiles) de las opciones comparadas. 0 vida útil (años) En el diagrama se muestra el flujo de un proyecto de adquisición de maquinaria P : Costo de adquisición (compra) M: Cuota mensual (anualidad) de operación y/o mantenimiento S : Ingreso diferido (Valor de salvamento) P CRITERIOS DE SELECCIÓN CON BASE EN LA CAUE En general, al comparar opciones de inversión la que tenga CAUE menor será la elegible Si la vida útil de los equipos evaluados NO es igual debe hacerse la comparación en un periodo que sea común múltiplo de las vidas útiles analizadas S M
  136. 136. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE 0 vida útil (años) P EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE de una máquina cuyo valor inicial es de $50.000.000, el valor de salvamento es de $2.500.000, con una vida útil de 10 años. Los costos anuales de operación se estiman en $10.000.000. Considere para el efecto una tasa de interés de 18% 2. Seleccionar la alternativa financieramente más atractiva para la adquisición de un equipo con base en la siguiente información: Variable Alternativa 1 Alternativa 2 Costo inicial $50.000.000 $70.000.000 Costo anual de operación $2.000.000 $1.000.000 Valor de salvamento $1.000.000 $10.000.000 Vida útil 5 años 7 años Tasa de interés 20% 20%
  137. 137. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 4. RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C Indicador de bondad económica de un proyecto, que puede calcularse de varias formas. 1. Como relación entre en VP de los beneficios del proyecto [llevados a valor futuro a la tasa de oportunidad del proyecto y traídos al VP a la tasa de oportunidad del inversionista] y el VP de los costos. VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 Ejemplo: Un proyecto requiere una inversión de $3 millones hoy y $2 millones dentro de un año. El proyecto tiene una vida útil de 4 años y no tiene valor de salvamento. Se prevén beneficios netos de $700.000 mensuales. Si el costo de oportunidad del proyecto es de 1,5% mensual y el costo de oportunidad del inversionista es de 3% mensual ¿cuál es la relación beneficio /costo? 0 1 2 3 12 31 32 47 48 meses $700.000 $3.000.000 $2.000.000 VP (Beneficios) = VP 3% [VF1,5% $700.000] = $11.784.289,76 VP (Costos) = $4.402.759,76 B/C = 2,68
  138. 138. RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C 2. Como relación de valores y costos actualizados: 𝐵 𝐶 = 𝑉𝑃 𝐵 𝐼 − 𝑉𝑃 𝑉𝑆 + 𝑉𝑃(𝐶𝐴𝑂𝑀) VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 Expresión en la cual: VP(B) : valor presente de los beneficios del proyecto I : Inversión inicial VS : Valor de salvamento CAOM: Costos de Administración, Operación y Mantenimiento
  139. 139. RELACIÓN BENEFICIO COSTO B/C modificada 3. Otra forma de expresar la relación B/C: 𝐵 𝐶 (𝑚𝑜𝑑) = 𝑉𝑃 𝐵 − 𝑉𝑃(𝐶𝐴𝑂𝑀) 𝐼 − 𝑉𝑃 𝑉𝑆 VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 El criterio de selección para la relación BC es: B/C > 1, el proyecto genera valor y debe aceptarse B/C = 1, es indiferente aceptar o rechazar el proyecto B/C <1, el proyecto es inconveniente y debe rechazarse EJERCICIO PROPUESTO: Evaluar, utilizando B/C y B/C (mod) si debe llevarse a cabo un proyecto con inversión inicial de $36 millones, que generará ingresos anuales de $11 millones, gastos anuales de $2.700.000 y tendrá un valor de salvamento de $7.200.000 al final de su vida útil (5 años). La tasa de rendimiento mínimo aceptable para este negocio es de 8% efectivo anual
  140. 140. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 5. PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN (Payback) Indicador de bondad económica que NO considera el valor del dinero en el tiempo pues se calcula como una suma simple de los valores del flujo de caja. Se refiere al tiempo necesario para recuperar la inversión hecha en un proyecto. No es un indicador adecuado para la toma de decisiones de inversión pero es una buena medida de la rapidez con la que se recupera el capital invertido. VPN = 0 cuando i = TIR 3.500.000 Ejercicio 1 Encontrar el periodo de recuperación de una inversión de $20 millones en un proyecto que generará ingresos anuales de $6 millones, gastos anuales de $1,5 millones y tendrá un valor de salvamento de $4 millones al final de los cinco años de vida útil. 0 1 2 3 4 5 6 meses $10 millones $2 millones $2,5 millones $3 millones $3,5 millones $4 millonesEjercicio 2 ¿En cuántos periodos la suma de los gastos del proyecto es mayor que la inversión inicial?
  141. 141. 1. Blair, R y L Kenny. (1983) Microeconomía con aplicaciones en las empresas. Madrid: McGraw-Hill. 2. Sapag, N (1993). Criterios de evaluación de proyectos. Madrid: Mc Graw –Hill Serie Management 3. Squire, L. y H. Van Der Tak (1982). Economic Analysis of Projects. World Bank Research Publications. Baltimore: The Johns Hopkins University Press 4. Villarreal, Julio (2013). Ingeniería Económica. Pearson, Bogotá REFERENCIAS
  142. 142. Contabilidad: sistema de información que registra y clasifica las operaciones financieras de una empresa, negocio o proyecto. Los reportes contables conocidos como estados financieros proporcionan información sobre el estado de la gestión financiera. Los principales son : 1. Balance general 2. Estado de pérdidas y ganancias (PyG) 3. Flujo de caja Los estados financieros
  143. 143. Balance general Reporte de la situación financiera y económica de una empresa en un momento específico (fecha de balance) Organiza y presenta tres componentes básicos: Activos Pasivos Patrimonio Estados financieros
  144. 144. ACTIVOS Bienes o derechos que representan valor para las empresas. Se clasifican de acuerdo con su disponibilidad (liquidez): capacidad de conversión en dinero efectivo ACTIVOS CORRIENTES (CIRCULANTES) Alta disponibilidad en el corto plazo (menos de un año) Disponibles: Caja - Bancos Inversiones temporales: acciones, bonos, CDTs Deudores: Cuentas y documentos por cobrar Inventarios: Mercancías para comerciar Pagos anticipados: intereses, arrendamientos, impuestos Estados financieros
  145. 145. ACTIVOS NO CORRIENTES Utilizados en el proceso productivo- No destinados para la venta en el corto plazo Clasificación: 1. Tangibles Depreciables No depreciables Recursos naturales (agotables) 2. Intangibles Amortizables No amortizables 3. Otros activos Estados financieros
  146. 146. ACTIVOS NO CORRIENTES 1. Tangibles : Valor por su estructura física Depreciables: Pierden valor contable por uso, desgaste u obsolescencia No depreciables: Conservan ( o incrementan) su valor con el paso del tiempo Recursos naturales (agotables): Minas, canteras, bosques, petróleo, gas natural 2. Intangibles: Bienes inmateriales, derechos o ventajas que generan valor Amortizables: Pierden valor a través del tiempo No amortizables: Conservan su valor contable: marcas, licencias, derechos de autor 3. Otros activos Estados financieros
  147. 147. PASIVOS: Deudas u obligaciones con terceros. Se clasifican de acuerdo con su exigibilidad (vencimiento)  Pasivos corrientes o de corto plazo  Pasivos no corrientes o de largo plazo PASIVOS CORRIENTES Obligaciones con vencimiento menor a un año Proveedores Cuentas por pagar (Cesantías, Impuestos, dividendos) Obligaciones bancarias Ingresos recibidos por anticipado PASIVOS NO CORRIENTES Obligaciones con vencimiento superior a un año Obligaciones bancarias de mediano y largo plazo Créditos hipotecarios Emisiones de bonos Estados financieros
  148. 148. PATRIMONIO: Aportes de los socios y utilidades generadas Capital social: Aportes de los accionistas, propietarios o socios al iniciar el negocio o durante el desarrollo de las operaciones del mismo Utilidades retenidas, reservas y utilidades del ejercicios Cuentas principales del patrimonio Aportes de capital (capital social) Valorizaciones Reservas Superávit de capital Estados financieros
  149. 149. BALANCE GENERAL Estrategias Estrategias de de Inversión Financiación Ecuación fundamental de la contabilidad Activos = Pasivos + patrimonio Estados financieros ACTIVOS PASIVOS Y PATRIMONIO Corrientes Corrientes No corrientes De largo plazo Patrimonio
  150. 150. Estados financieros ACTIVOS PASIVOS Activos corrientes Pasivos corrientes Caja 7.500.000 Cuentas por pagar 18.000.000 Inversiones temporales CDT 5.500.000 Total pasivos corrientes 18.000.000 Total activos corrientes 13.000.000 Pasivos de largo plazo 50.000.000 Activos fijos Terrenos 50.000.000 Total pasivos 68.000.000 Vehículos 30.000.000 Equipos 20.000.000 Patrimonio Muebles 15.000.000 Capital social 60.000.000 Total activos fijos 115.000.000 Total patrimonio 60.000.000 Total activos 128.000.000 Total pasivos y patrimonio 128.000.000
  151. 151. Estados financieros CAJA CONCEPTO ENTRADAS SALIDAS Aportes de capital 60.000.000 Compra de terrenos 50.000.000 Compra vehículo 30.000.000 Compra equipos 20.000.000 Compra de muebles 15.000.000 Inversión CDT 5.500.000 Préstamo corto plazo 18.000.000 Préstamo largo plazo 50.000.000 Total entradas y salidas de efectivo 128.000.000 120.500.000 SALDO NETO EN CAJA 7.500.000
  152. 152. ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS Reporte periódico del desempeño de una empresa en función de sus ingresos y egresos Registro de la utilidad (o la pérdida) de una empresa en un periodo contable Está basado en: 1. Ingresos 2. Costos de producción (y/o de ventas) 3. Gastos de operación 4. Otros ingresos y otros egresos Los estados financieros
  153. 153. INGRESOS Entradas que recibe la empresa como producto de su actividad. Se denominan también ingresos operacionales COSTOS DE VENTAS (O COSTOS DE PRODUCCIÓN) Salidas de dinero causadas por la adquisición de un B/S para la generación de un ingreso o beneficio futuro. Inventarios de mercancías Inventario de materias primas Inventarios de productos en proceso Inventarios de productos terminados Costos indirectos de fabricación Mano de obra directa Todas las erogaciones relacionadas con la producción: mantenimiento, depreciaciones, salarios de operarios……… Los estados financieros
  154. 154. COSTOS DE OPERACIÓN (ADMINISTRACIÓN Y VENTAS) Salidas de dinero causadas por la venta de un B/S producido en la empresa  Salarios administrativos  Gastos de representación  Arrendamientos  Servicios públicos  Comisiones para el personal de ventas OTROS INGRESOS Y OTROS EGRESOS Resultados de operaciones que no hacen parte de la actividad normal de la empresa  Rentabilidad de inversiones  Ingresos y gastos financieros  Donaciones  Devoluciones de impuestos Los estados financieros
  155. 155. Estados financieros Estructura General del ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS EMPRESA , FECHA (DEL – AL) CONCEPTO VENTAS - Costo de ventas ( o costos de producción) UTILIDAD BRUTA - Gastos operacionales de administración y ventas UTILIDAD OPERACIONAL + Ingresos financieros - Gastos financieros UTILIDAD ANTES DE IMPUESTOS - Impuestos UTILIDAD NETA
  156. 156. DEPRECIACIÓN Pérdida de valor contable de ciertos activos como consecuencia del desgaste natural, el uso o la obsolescencia Se registra como un costo o como un gasto de operación dependiendo del tipo de activo y de la actividad comercial de la empresa A medida que el activo pierde valor con el paso del tiempo su registro contable se reduce en la misma proporción. El valor en libros o valor neto del activo es la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación acumulada. Ejercicio propuesto: Construir el estado de pérdidas y ganancias para el siguiente caso Periodo 1 de enero a 31 de diciembre de 2010 Ventas. $250.000.000 en el año Costo de ventas: 40% de las ventas Gastos de administración y ventas $5 millones mensuales Gastos de depreciación $15 millones anuales Rentabilidad de inversiones: $1.500.000 trimestrales Gastos financieros: $800.000 mensuales Impuestos 33% Los estados financieros
  157. 157. Índice 1- Clasificación 2- Costos y volumen de producción 3- Análisis del punto de equilibrio 4- Categorías de presupuestos de ingresos y egresos. Ejemplo: IES privadas Resultado de la valoración del consumo previsto (o realizado) de los recursos necesarios para producir un bien o servicio en condiciones determinadas Costos
  158. 158. Costos directos Costos atribuibles a la fabricación de un producto (B/S) Materia prima Mano de obra directa La medición de los costos directos requiere del conocimiento de dos variables esenciales: La cantidad de trabajo (o material) utilizado, y Los precios unitarios de esas cantidades Clasificación de los costos Determinación de los costos directos
  159. 159. Costos indirectos Costos que no se asocian directamente con los productos elaborados Incluyen todos los costos de manufactura que no se clasifiquen como costos directos de materia prima y mano de obra. Clasificación de los costos
  160. 160. Materia prima directa Mano de obra directa Materia prima indirecta Mano de obra indirecta Gastos fijos (varios) Gastos generales y de administración Gastos de venta Utilidad Costos directos Costos indirectos Costos de fabricación Costos de productos vendidos Precio de venta Estructura típica de costos de fabricación
  161. 161. Costos fijos Costos Volumen de producción Q Costos que permanecen constantes, independientemente de las variaciones de la producción para un periodo de tiempo determinado. Depreciaciones, impuestos, seguros, sueldos administrativos, servicios CF Q2Q1
  162. 162. Costos variables y costos unitarios Costosvariableslineales Volumen de producción Costosunitarios Volumen de producción Costos variables: Cambian proporcionalmente con el volumen de producción. Están asociados directamente con la actividad productiva. Mano de obra directa, materia prima directa, energía, lubricantes, reposiciones y mantenimiento Costos unitarios: Resultantes de la relación entre los costos totales y el volumen de producción. Esenciales en la determinación de costos de procesos cuya valoración global no es posible o conveniente.
  163. 163. Costos variables crecientes Costos variables decrecientes Costos variables y costos unitarios Volumen de producción Volumen de producción Modalidades de costos variables: Proporcionales: Variación proporcional a la variación del volumen de producción Crecientes: Variación más que proporcional a la variación del volumen de producción Decrecientes: Variación menos que proporcional a la variación del volumen de producción 𝜟𝑪 𝜟𝑸 = 1 𝜟𝑪 𝜟𝑸 > 1 𝜟𝑪 𝜟𝑸 < 1
  164. 164. Representación de la ecuación CT = CF + CV CT: Costo Total CV: Costo Variable CF: Costo Fijo Costos Volumen de producción Q El costo total para un nivel dado de producción CT(x) puede expresarse como la suma de los costos fijos y los costos variables asociados con ese nivel de producción CV(x) x CT(x) CV(x) CV(x)
  165. 165. Cantidad Q (1) Costos CF (2) CV (3) CT (4) CTM (5) CFM (6) CVM (7) Cmarginal (8) 0 50 0 50 - - - 25 1 50 25 75 75 50 25 10 2 50 35 85 42.5 25 17,5 20 3 50 55 105 35 16.7 18,3 30 4 50 85 135 33,75 12.5 21,2 50 5 50 135 185 37 10 27 70 6 50 205 255 42,5 8,3 34,2 90 7 50 295 345 49,3 7,2 42,1 110 8 50 405 455 56,9 6,2 50,6 130 9 50 535 585 65 5,5 59,4 160 10 50 695 745 74,5 5 69,5 CF: Costo Fijo CV: Costo variable CT: Costo Total CM: Costo medio CFM: Costo Fijo Medio CVM: Costo Variable Medio Cmarginal: Costo marginal CT = CF + CV CTM = CT/Q CFM = CF/Q CVM = CV/Q El costo marginal [costo de producir una unidad adicional] se determina como la diferencia entre dos costos totales sucesivos Determinación de costos
  166. 166. COSTOS Vs PRODUCCIÓN
  167. 167. COSTOS TOTALES Vs PRODUCCIÓN
  168. 168. COSTOS MEDIOS/MARGINALES Vs PRODUCCIÓN CMa creciente Intersección
  169. 169. COSTOS MEDIOS/MARGINALES Vs PRODUCCIÓN • El costo marginal es creciente: se debe al producto marginal decreciente. Puede disminuir en un intervalo pero para producciones grandes es creciente. • El costo total medio tiene forma de ‘U’: el CFM disminuye mientras que el CVM aumenta conforme aumenta Q. Al ser su suma, al comienzo influye más el CFM (decrece) pero después es el CVM el que más influye (crece). • La curva Cmarginal corta a CTM en su punto más bajo: si el Cmarginal ≤CTM éste es decreciente y si Cmarginal ≥CTM éste es creciente.
  170. 170. Representación de los costos y el ingreso CT: Costo Total CV: Costo Variable CF: Costo Fijo Costos-Ingreso Volumen de producción Q I: Ingreso QPE El volumen de producción para el cual los ingresos recibidos igualan a los costos totales determinan el denominado Punto de Equilibrio QPE de la producción. Analíticamente: CT = I , expresión que equivale a CF + CV = PV. QPE como CV = 𝑪 𝒗 QPE se obtiene QPE = 𝑪𝑭 𝑷𝑽 −𝑪𝒗 Cv es el costo variable unitario I = PV. q I: Ingreso PV: Precio de venta q: cantidad (unidades) vendidas
  171. 171. Determinación gráfica del punto de equilibrio PE Zona de pérdidas Zona de beneficios I PE CT Q1 QPE Q2 Q Costo-Ingresos El punto de corte de las líneas que representan el costo total CT y los ingresos I determina el punto de equilibrio. Para cualquier cantidad inferior a QPE, por ejemplo Q1, la empresa tiene pérdidas, mientras que para cantidades superiores, como Q2, la empresa obtiene beneficios
  172. 172. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS EL PRESUPUESTO DE INGRESOS Los ingresos del presupuesto dependen: 1. De las acciones que los originan: Ingresos de operación (venta de servicios de docencia, investigación, asesoría y extensión) Ingresos de capital (ingresos financieros, venta de bienes y valores, cancelación de reservas, aportes de los miembros de la fundación o corporación y recursos de crédito) Ingresos por donaciones, aportes y auxilios 2. De la fuente que origina los ingresos Rentas propias Rentas externas (de terceros) 3. De la frecuencia y probabilidad recaudo: Ingresos corrientes u ordinarios Ingresos extraordinarios
  173. 173. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS Los tres criterios se reflejan en los siguientes rubros para el caso de una institución privada de educación superior 1. Ingresos Corrientes 1.1. Rentas Propias 1.1.1. Derechos académicos: Inscripciones Matrículas Exámenes, validaciones, habilitaciones y otros exámenes Certificados Derechos de grado Otros 1.1.2. Derechos por servicios de bienestar: Servicios médicos Derechos deportivos Cafetería Otros
  174. 174. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS 1. Ingresos Corrientes (continuación) 1.1. Rentas Propias 1.1.3. Productos de bienes y servicios: Arrendamientos Publicaciones Laboratorios y talleres Otros 1.1.4. Contratos y asesorías 1.1.5. Participaciones 1.1.6. Reintegros y rembolsos 1.1.7. Otras rentas propias 1.2. Aportes 1.2.1. Aportes para funcionamiento Del Gobierno Nacional De los gobiernos departamentales De los gobiernos municipales Otros 1.2.2. Aportes para inversión Del Gobierno Nacional De los gobiernos departamentales De los gobiernos municipales Otros
  175. 175. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS 2. Ingresos de capital 2.1. Recursos del balance (*) 2.1. Recursos financieros (**) Rendimientos de inversiones Diferencia de tasa de cambio Créditos de valores y papeles negociables Otros 3. Recursos de crédito Interno Externo 4. Otros Ingresos Donaciones (1) El caso fue tomado de “Características financieras de la educación superior en Colombia”, por Consuelo Gutiérrez de González, Simposio Permanente por la Universidad, ICFES, 2000 (*) Estimativo de la diferencia (tomada del balance del año inmediatamente anterior) entre [Aportes por cobrar + caja y bancos + cuentas por cobrar] – [cuentas por pagar + reservas] (**) Ingresos por intereses, dividendos o utilidades en ventas de inversiones financieras
  176. 176. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS EL PRESUPUESTO DE EGRESOS O GASTOS Previstos los ingresos el presupuesto debe prever también los egresos o gastos, clasificados de acuerdo con la siguiente distribución: 1. Gastos de funcionamiento 2. Servicio de la deuda (interna y externa) 3. Operaciones comerciales 4. Inversión 1. Gastos de funcionamiento 1.1. Servicios personales 1.1.1. Sueldos de personal de nómina 1.1.2. Gastos de representación 1.1.3. Primas técnicas 1.1.4. Jornales 1.1.5. Personal supernumerario 1.1.6. Horas extras y festivos 1.1.7. Primas de vacaciones 1.1.8. Bonificaciones por servicios prestados 1.1.9. Prima de servicios Continúa
  177. 177. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS Los gastos en sus distintas clasificaciones se presentan organizados en los siguientes rubros 1. Gastos de funcionamiento 1.1. Servicios personales (continuación) 1.1.10. Bonificaciones especiales (recreación) 1.1.11. Prima de Navidad 1.1.12. Otras primas 1.1.13. Subsidio de alimentación 1.1.14. Subsidio familiar 1.1.15. Auxilio de transporte 1.1.16. Indemnizaciones 1.1.17. Honorarios 1.1.18. Remuneración de servicios técnicos
  178. 178. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS Los gastos en sus distintas clasificaciones se presentan organizados en los siguientes rubros 1. Gastos de funcionamiento (continuación) 1.2. Gastos generales 1.2.1. Compra de equipo 1.2.2. Materiales y suministros 1.2.3. Mantenimiento 1.2.4. Seguros 1.2.5. Impresos y publicaciones 1.2.6. Servicios públicos 1.2.7. Comunicaciones y transporte 1.2.8. Gastos de viaje 1.2.9. Viáticos Continúa
  179. 179. CATEGORÍAS DE PRESUPUESTOS DE INGRESOS Y EGRESOS Los gastos en sus distintas clasificaciones se presentan organizados en los siguientes rubros 1. Gastos de funcionamiento 1.2. Gastos generales (continuación) 1.2.10. Arrendamientos 1.2.11. Impuestos, tasas y multas 1.2.12. Pólizas de manejo 1.2.13. Sostenimiento de semovientes 1.2.14. Imprevistos 1.3. Transferencias (dispuestas por normas legales) Continúa

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