1. UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE INGENIERÍA
CURSO : ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD II
PERIODO ACADÉMICO : 2012-2
DOCENTE :ROSA MILLONES R.
Clase #3: ESTIMACIONES
Definición: La estimación consiste en encontrar un valor que represente una buena aproximación de un
parámetro desconocidoθ.
Se denomina estimación puntual cuando esta dada por un solo valor obtenido a partir de una muestra.
Se denomina estimación por intervalos de confianza cuando puede estar dada por un conjunto de
valores que constituyen un intervalo experimental cuyos extremos son obtenidos a partir de la muestra, el
cual se espera que contenga al verdadero valor del parámetro con cierto grado de seguridad.
CARACTERÍSTICAS DE UN BUEN ESTIMADOR PUNTUAL
Un buen estimador debe poseer las siguientes propiedades:
• Insesgabilidad.
• Consistencia.
• Suficiencia.
• Eficiencia
Insesgabilidad
ˆ( )
Se dice que un estimador θ de un parámetro desconocido θ es insesgado si: E θ = θ
ˆ
Consistencia
ˆ
Se dice que un estimador θ de un parámetro desconocido θ es consistente si satisface el siguiente límite:
ˆ
( )
Lim P θ n - θ < ε = 1 . Es decir, un estimador θ es consistente si a medida que el tamaño n de la muestra
n →∞
ˆ
ˆ
aumenta, la probabilidad de que el estimador θ sea igual al parámetro θ tiende a uno. Una manera de ver
la consistencia es probar que:
( )
ˆ
Lim E θ n = θ
n →∞
y ˆ( )
LimV θ n = 0
n →∞
Eficiencia
Sean θ1 y θˆ2 dos estimadores insesgados diferentes, de un parámetro desconocido θ con varianzas
ˆ
ˆ( ) ˆ( ) ˆ ˆ
V θ1 y V θ 2 respectivamente; si V ( θ ) < V ( θ ) , entonces θ es un estimador más eficiente que θˆ .
1 2
ˆ
1 2
Es decir, un estimador es eficiente si posee la menor varianza. Por ejemplo x es un estimador eficiente de
µ.
Ejercicio 1: Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media µ y varianza σ 2 ,
considere los siguientes estimadores:
x + 2x 2 3x + 2x 7 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x6
μ1 = 1
ˆ ; μ2 = 3
ˆ ; μ3 =
ˆ
3 4 5

2. a. ¿Cuál de ellos son estimadores insesgados?.
b. ¿Son estimadores eficientes?
MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE ESTIMADORES PUNTUALES
Existen diversos métodos que permiten obtener estimadores puntuales, entre ellos se tienen el método de
momentos, de mínimos cuadrados, de máxima verosimilitud, etc. El método de máxima verosimilitud es el
de mayor aplicación en estadística aplicada.
Método de máxima verosimilitud
El procedimiento se resume en dos pasos:
a. Sea x1, x2 ,L, xn una muestra aleatoria de f ( X ;θ ) Determinar la función de verosimilitud, esto es:
n
L ( θ ) = g ( x1, x2 ,L , xn , θ ) = f ( x1 , θ ) f ( x2 , θ ) L f ( xn , θ ) = ∏ f ( xi , θ )
i =1
NOTA: El L ( θ ) depende de θ y no de los valores x1, x2 ,L, xn porque θ es desconocido.
b. Si θ es el estimador de θ que hace máxima L ( θ ) , se dice que θ es el estimador máximo verosímil de
ˆ ˆ
∂L ( θ )
θ , y se obtiene de la solución de: = 0 , siempre que L ( θ ) sea derivable. En la mayoría de las
∂θ
situaciones resulta más fácil hallar el máximo del logaritmo neperiano de la función de verosimilitud,
∂  LnL ( θ ) 
esto es, el estimador máximo verosímil es la solución de:   =0
∂θ
Ejercicio 2
Sea X , una variable aleatoria cuya función de probabilidad es:
x −1
f ( x,θ ) = θ ( 1 − θ ) ; para x = 1,2,3,L y 0 < θ < 1 .
Se desea obtener el estimador máximo verosímil de θ
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
La estimación por intervalos consiste en encontrar, mediante una muestra aleatoria, dos valores a y b tales
que: θ ∈ 〈a, b〉 con una confianza del 96%. Donde θ es el parámetro a estimar y (1–α)*100% se denomina
nivel de confianza, a y b son los límites del intervalo de confianza que varían de una muestra a otra.
1. Intervalo de confianza para la media poblacional ( µ )
( )
Cuando la varianza poblacional σ 2 es conocida
µ ∈ 〈 x − Z 0σ x , x + Z 0σ x 〉
( )
Cuando la varianza poblacional σ 2 es desconocida
En este caso, si la variable X tiene una distribución Normal, se utiliza la distribución t de Student con
(n – 1) grados de libertad, y se concluye que:

3. s s
µ∈ x − t(1-α 2, n − 1) , x + t(1-α 2, n − 1) con una confianza del (1–α)*100%.
n n
Ejercicio 3.El tiempo de proceso en la solución de un modelo estadístico sigue una distribución normal.
a. Se eligió una muestra aleatoria de 15 modelos estadísticos para un proceso y se obtuvo un
promedio muestral de 6.5 minutos. Considere una desviación estándar poblacional de 4 minutos
Determine una estimación del tiempo promedio con una confianza del 98%.
Fórmula:
Valores respectivos
Resultados
Interpretación
b. Se eligió otra muestra aleatoria de 25 modelos estadísticos y se registró el tiempo de proceso.
Determine una estimación del tiempo promedio con una confianza del 96% de confianza.
Tiempos
6 8 7.5 6.5 6
5.5 9 8.2 7.1 6.2
5.6 8.6 9.2 3.1 5.9
5.3 5.8 7.2 6.4 6.6
5.3 5.4 4.9 6.6 7.9
Fórmula:
Valores respectivos
Resultados
Interpretación
c. Determine el tamaño de muestra adecuado si la varianza es de 16 , sabiendo que la diferencia entre
el promedio muestral y el verdadero valor sea a lo mas de 1.5 con una probabilidad de 0.95