Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

Nguy¹n Minh Tu§n
Sinh vi¶n K62CLC - Khoa To¡n Tin HSPHN
Tu§n
TUYšN CHÅMinh N 410 H› PH×ÌNG
TRœNH „I SÈ
BÇI D×ÏNG HÅC SINH GIÄI V€ LUY›N THI „I HÅC - CAO
NG
(Phi¹¶n b£n n 2 : câ sûa chúa, bê sung c¡c b i to¡n mîi)
Nguy

Nguy¹n Minh Tu§n
H Nëi, ng y 9 th¡ng 10 n«m 2013

Möc löc
§n
Líi nâi ¦u 6
1 Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h» cì b£n Tu7
1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 9
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 . . . . . Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u n 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Nguy¹2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.9 C¥u 241 ¸n c¥u 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.10 C¥u 271 ¸n c¥u 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.12 C¥u 331 ¸n c¥u 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.13 C¥u 361 ¸n c¥u 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3 Cªp nhªt c¡c b i to¡n mîi 230
3.1 Tø c¥u 411 ¸n c¥u 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n

Möc Löc 5
3.2 Tø c¥u 441 ¸n c¥u 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
T i li»u tham kh£o 256
Nguy¹n Minh Tu§n

Líi nâi ¦u
n
H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè nâi chung v h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè hai ©n nâi ri¶ng §l mët ph¦n
quan trång cõa ph¦n ¤i sè gi£ng d¤y ð THPT . Nâ th÷íng hay xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi håc
sinh giäi v k¼ thi tuyºn sinh ¤i håc - Cao ¯ng.
T§t nhi¶n º gi£i tèt h» ph÷ìng tr¼nh hai ©n khæng ph£i ìn gi£Tun . C¦n ph£i vªn döng tèt
c¡c ph÷ìng ph¡p, h¼nh th nh c¡c k¾ n«ng trong qu¡ tr¼nh l m b i. Trong c¡c k¼ thi ¤i håc, c¥u
h» th÷íng l c¥u l§y iºm 8 ho°c 9.
¥y l mët t i li»u tuyºn tªp nh÷ng kh¡ d y n¶n tæi tr¼nh b y nâ d÷îi d¤ng mët cuèn s¡ch
câ möc löc rã r ng cho b¤n åc d¹ tra cùu. Cuèn s¡ch l tuyºn tªp kho£ng 400 c¥u h» °c sc,
tø ìn gi£n, b¼nh th÷íng, khâ, thªm ch½ ¸n ¡nh è v kinh iºn. °c bi»t, ¥y ho n to n l
h» ¤i sè 2 ©n. Tæi muèn khai th¡c thªt s¥u mët kh½a c¤nh cõa ¤i sè. N¸u coi B§t ¯ng thùc
3 bi¸n l ph¦n µp nh§t cõa B§t ¯ng Minh thùc, mang trong m¼nh sü uy nghi cõa mët æng ho ng th¼
H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè 2 ©n l¤i mang trong m¼nh v´ µp gi£n dà, trong s¡ng cõa cæ g¡i thæn
qu¶ l m say m bi¸t bao g¢ si t¼nh.
Xin c£m ìn c¡c b¤n, anh, chà, th¦y cæ tr¶n c¡c di¹n n to¡n, tr¶n facebook ¢ âng gâp v
cung c§p r§t nhi·u b i h» hay. Trong cuèn s¡ch ngo i vi»c ÷a ra c¡c b i h» tæi cán lçng th¶m
mët sè ph÷ìng ph¡p r§t tèt º gi£i. Ngo i ra tæi cán giîi thi»u cho c¡c b¤n nhúng ph÷ìng ph¡p
°c sc cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c . Mong ¥y s³ l mët nguçn cung c§p tèt nhúng b i h» hay cho
gi¡o vi¶n v håc sinh.
n NguyTrong qu¡ tr¼nh bi¹¶n so¤n cuèn s¡ch t§t nhi¶n khæng tr¡nh khäi sai sât.Thù nh§t, kh¡ nhi·u
b i to¡n tæi khæng thº n¶u rã nguçn gèc v t¡c gi£ cõa nâ. Thù hai : mët sè léi n y sinh trong
qu¡ tr¼nh bi¶n so¤n, câ thº do léi ¡nh m¡y, c¡ch l m ch÷a chu©n, ho°c tr¼nh b y ch÷a µp do
ki¸n thùc v· LATEX cán h¤n ch¸. T¡c gi£ xin b¤n åc l÷ñng thù. Mong r¬ng cuèn s¡ch s³ ho n
ch¿nh v th¶m ph¦n ç së. Måi þ ki¸n âng gâp v sûa êi xin gûi v· theo àa ch¿ sau ¥y :
Nguy¹n Minh Tu§n
Sinh Vi¶n Lîp K62CLC
Khoa To¡n Tin Tr÷íng HSP H Nëi
Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5
Sè i»n tho¤i : 01687773876
Th nh vi¶n www.k2pi.net : Popeye

Ch÷ìng 1
n
Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h§» cì
b£n
Tu1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
I. Rót x theo y ho°c ng÷ñc l¤i tø mët ph÷ìng tr¼nh
II. Ph÷ìng ph¡p th¸
1. Th¸ h¬ng sè tø mët ph÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i
2. Th¸ mët biºu thùc tø mët phMinh ÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i
3. Sû döng ph²p th¸ èi vîi c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ho°c th¸ nhi·u l¦n.
III. Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành
1. Cëng trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau
2. Nh¥n h¬ng sè v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi em cëng trø cho nhau.
3. Nh¥n c¡c biºu thùn c cõa bi¸n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi cëng trø cho nhau
NguyIV. Ph÷ìng ph¡p ¹°t ©n phö
V. Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè
VI. Ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa
VII. Ph÷ìng ph¡p nh¥n chia c¡c ph÷ìng tr¼nh cho nhau
VIII. Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡
1. Bi¸n êi v· têng c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m
2. ¡nh gi¡ sü r ng buëc tr¡i ng÷ñc cõa ©n, cõa biºu thùc, cõa mët ph÷ìng tr¼nh
3. ¡nh gi¡ düa v o tam thùc bªc 2
4. Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc thæng döng º ¡nh gi¡
IX. Ph÷ìng ph¡p phùc hâa
X. K¸t hñp c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n

8 Ch÷ìng 1. Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h» cì b£n
1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n
A. H» ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t 2 ©n
I. D¤ng
(
ax + by = c (a2 + b26= 0)
a0x + b0y = c (a02 + b026= 0)
II. C¡ch gi£i
1. Th¸
n
2. Cëng ¤i sè
3. Dòng ç thà
§4. Ph÷ìng ph¡p ành thùc c§p 2
B. H» ph÷ìng (
tr¼nh gçm mët ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v mëTut ph÷ìng tr¼nh bªc hai
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
I. D¤ng
a0x + b0y = c
II. C¡ch gi£i: Th¸ tø ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v o ph÷ìng tr¼nh bªc hai
C. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i I
I. D§u hi»u
êi vai trá cõa x v y cho nhau th¼ h» ¢ cho khæng êi
II. C¡ch gi£i:
Minh Th÷íng ta s³ °t ©n phö têng t½ch x + y = S; xy = P (S2 4P)
D. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i II
I. D§u hi»u
êi vai trá cõa x v y cho nhau th¼ ph÷ìng tr¼nh n y bi¸n th nh ph÷ìng tr¼nh kia
II. C¡ch gi£i:
Th÷íng ta s³ trø hai n ph÷ìng tr¼nh cho nhau
NguyE. H» ¯ng c§p
I. D§u hi»u
¹(
ax2 + bxy + cy2 = d
¯ng c§p bªc 2
(
a0x2 + b0xy + c0y2 = d0
ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = e
¯ng c§p bªc 3
a0x3 + b0x2y + c0xy2 + d0y3 = e0
II. C¡ch gi£i:
Th÷íng ta s³ °t x = ty ho°c y = tx
Ngo i ra cán mët lo¤i h» núa tæi t¤m gåi nâ l b¡n ¯ng c§p, tùc l ho n to n câ thº ÷a
v· d¤ng ¯ng c§p ÷ñc .Lo¤i h» n y khæng khâ l m, nh÷ng nh¼n nhªn ra ÷ñc nâ c¦n ph£i
kh²o l²o sp x¸p c¡c h¤ng tû cõa ph÷ìng tr¼nh l¤i. Tæi l§y mët v½ dö ìn gi£n cho b¤n åc
Gi£i h» :
(
x3 y3 = 8x + 2y
x2 3y2 = 6
Vîi h» n y ta ch¿ vi»c nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ s³ t¤o th nh ¯ng c§p. V khi â ta câ quy·n
chån lüa giúa chia c£ 2 v¸ cho y3 ho°c °t x = ty

Ch÷ìng 2
n
Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
§2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30
Tu
(x y) (x2 + y2) = 13
C¥u 1
(x + y) (x2 y2) = 25
Gi£i
D¹ d ng nhªn th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3, b¼nh th÷íng ta cù nh¥n ch²o l¶n rçi chia 2
v¸ cho x3 ho°c y3. Nh÷ng h¢y xem mMinh ët c¡ch gi£i tinh t¸ sau ¥y:
L§y (2) (1) ta ÷ñc : 2xy(x y) = 12 (3)
L§y (1) (3) ta ÷ñc : (x y)3 = 1 , x = y + 1
V¼ sao câ thº câ h÷îng n y ? Xin th÷a â l düa v o h¼nh thùc èi xùng cõa h». Ngon l nh
rçi. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc
n
1)2 y2 y = 2
(y + + = 13 ,
y = 3
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m (x; y) = (3; 2); (2;3)

x3 8x = y3 + 2y
C¥u 2
x2 3 = 3 (y2 + 1)
Gi£i
º þ nh÷ sau : Ph÷ìng tr¼nh 1 gçm bªc ba v bªc nh§t. Ph÷ìng tr¼nh 2 gçm bªc 2 v bªc 0
(h¬ng sè).
Rã r ng ¥y l mët h» d¤ng nûa ¯ng c§p. Ta s³ vi¸t l¤i nâ º ÷a v· ¯ng c§p
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng :

x3 y3 = 8x + 2y
x2 3y2 = 6
Gií ta nh¥n ch²o hai v¸ º ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p
, 6

x3 y3
= (8x + 2y)

x2 3y2
, 2x (3y x) (4y + x) = 0

10 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
TH1 : x = 0 thay v o (2) væ nghi»m
TH2 : x = 3y thay v o (2) ta câ:
6y2 = 6 ,

y = 1; x = 3
y = 1; x = 3
TH3 : x = 4y thay v o (2) ta câ:
n
2
§13y2 = 6 ,
TuMinh ¹n Nguy664
y =
r
6
13
r
; x = 4
6
13
r
y =
6
13
r
; x = 4
6
13
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (3; 1); (3;1);

4
r
6
13
;
r
6
13
!
;

4
r
6
13
r
;
6
13
!

C¥u 3

x2 + y2 3x + 4y = 1
3x2 2y2 9x 8y = 3
Gi£i
º þ khi nh¥n 3 v o PT(1) rçi trø i PT(2) s³ ch¿ cán y . Vªy
3:PT(1) PT(2) , y2 + 4y = 0 ,
2
64
y = 0 , x =
p
7
2
3
y = 4 , x =
p
7
2
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =

3
p
7
2
!
;
; 0

3
p
7
2
!

;4
C¥u 4

x2 + xy + y2 = 19(x y)2
x2 xy + y2 = 7 (x y)
Gi£i
Nhªn x²t v¸ tr¡i ang câ d¤ng b¼nh ph÷ìng thi¸u, vªy ta thû th¶m bît º ÷a v· d¤ng b¼nh
ph÷ìng xem sao. N¶n ÷a v· (x y)2 hay (x + y)2. Hiºn nhi¶n khi nh¼n sang v¸ ph£i ta s³
chån ph÷ìng ¡n ¦u

H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
(x y)2 + 3xy = 19(x y)2
(x y)2 + xy = 7 (x y)
°t x y = a v xy = b ta câ h» mîi

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 11

b = 6a2
a2 + b = 7a
,

a = 0; b = 0
a = 1; b = 6
,
2
664

x y = 0
xy = 0
x y = 1
xy = 6
,
2
4
x = 0; y = 0
x = 3; y = 2
x = 2; y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 0) ; (3; 2) (2;3)
n

x3 + x3y3 + y3 = 17
C¥u 5
x + xy + y = 5
§Gi£i
H» èi xùng lo¤i I rçi. No Tu
problem!!!
(x + y)3 3xy(x + y) + (xy)3 = 17
(x + y) + xy = 5
°t x + y = a v xy = b ta câ h» mîMinh i
2

a3 3ab + b3 = 17
a = 2; b = 3
,
,
a + b = 5
a = 3; b = 2
¹n Nguy664

x + y = 2
xy = 3
x + y = 3
xy = 2
,

x = 2; y = 1
x = 1; y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 1)
C¥u 6

x(x + 2)(2x + y) = 9
x2 + 4x + y = 6
Gi£i
¥y l lo¤i h» °t ©n têng
t½ch r§t quen thuëc
(x2 + 2x) (2x + y) = 9
(x2 + 2x) + (2x + y) = 6
°t x2 + 2x = a v 2x + y = b ta câ h» mîi

ab = 9
a + b = 6
, a = b = 3 ,

x2 + 2x = 3
2x + y = 3
,

x = 1; y = 1
x = 3; y = 9
C¥u 7

x + y
p
p xy = 3
x + 1 +
p
y + 1 = 4
Gi£i
Khæng l m «n g¼ ÷ñc ð c£ 2 ph÷ìng tr¼nh, trüc gi¡c ¦u ti¶n cõa ta l b¼nh ph÷ìng º ph¡ sü
khâ chàu cõa c«n thùc

p
(2) , x + y + 2 + 2
xy + x + y + 1 = 16
M tø (1) ta câ x + y = 3 +
p
xy n¶n
(2) , 3 +
q
xy +
p
xy + 2 + 2
p
xy + 4 = 16 ,
p
xy = 3 ,

xy = 9
x + y = 6
, x = y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 3)
§n
p
p
p x + 5 +
p
y 2 = 7
C¥u 8
x 2 +
y + 5 = 7
TuGi£i
èi xùng lo¤i II. Khæng cán g¼ º nâi. Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau rçi b¼nh ph÷ìng tung
tâe º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc
i·u ki»n : x; y 2
Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ
p
Minh p
p
p
x + 5 +
y 2 =
x 2 +
y 5
p
p
, x + y + 3 + 2
(x + 5)(y 2) = x + y + 3 + 2
(x 2)(y + 5)
p
p
,
(x + 5)(y 2) =
(x 2)(y + 5) , x = y
Thay l¤i ta câ
n p
p
x + 5 +
x 2 = 7 , x = 11
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (11; 11)
p
p
p
x2 + y2 +
2xy = 8
2
C¥u 9
p p
x +
y = 4
Gi£i
H» ¢ cho câ v´ l nûa èi xùng nûa ¯ng c§p, º þ bªc cõa PT(2) ang nhä hìn PT(1) mët
chót. Ch¿ c¦n ph²p bi¸n êi b¼nh ph÷ìng (2) s³ vøa bi¸n h» trð th nh ¯ng c§p vøa ph¡ bä
bît i c«n
i·u ki»n : x; y 0
H» ¢ cho
,
p
2(x2 + y2) + 2
p
xy = 16
x + y + 2
p
xy = 16
,
p
2 (x2 + y2) = x + y , x = y
p
x = 4 , x = 4
Thay l¤i ta câ : 2

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 13
C¥u 10

6x2 3xy + x = 1 y
x2 + y2 = 1
Gi£i
n
Mët c¡ch trüc gi¡c khi nh¼n th§y h» chùa tam thùc bªc 2 â l thû xem li»u câ ph§¥n t½ch ÷ñc
th nh nh¥n tû hay khæng ? Ta s³ thû b¬ng c¡ch t½nh theo mët ©n câ ch½nh ph÷ìng hay
khæng. Ngon l nh l PT(1) x µp nh÷ ti¶n.
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìp
ng ÷ìng (3x 1)(2x y + 1) = 0
1
2
2
TuVîi x =
) y =
3
3

x = 0; y = 1
Vîi y = 2x + 1 ) x2 + (2x + 1)2 = 1 ,
4
3
x =
; y =

Minh p
!
5

5

1
2
2
4
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) =
;
; (0; 1);

;

3
3
5
5

p
x p 2y
C¥u 11
p
xy = 0
x 1 +
4y 1 = 2
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh ¦u l d¤ng n ¯ng c§p rçi
1
i·u ki»n x 1; y
Nguy¹4
p
p
p
p

Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ :
x +
y
x 2
y
= 0 , x = 4y
Thay v o (2) ta câ p
p
x
1 +

x 1 = 2 , x = 2
1
2;

2

xy + x + y = x2 2y2
C¥u 12
p
p
x
2y y
x 1 = 2x 2y
Gi£i
i·u ki»n : x 1; y 0
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng
(x + y) (2y x + 1) = 0 ,

x = y
x = 2y + 1

Vîi x = y lo¤i v¼ theo i·u ki»n th¼ x; y ph£i còng d§u
Vîi x = 2y + 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh 2 s³ t÷ìng ÷ìng
(2y + 1)
p
2y y
p
2y = 2y + 2 ,
p
2y(y + 1) = 2y + 2 , y = 2 ) x = 5
n
p
p
x + 1 +
y + 2 = 6
C¥u 13
x + y = 17
§Gi£i
Tui·u ki»n x; y 1
p
p
x + 1 +
y + 2 = 6
(x + 1) + (y + 2) = 20
p
p
°t
x + 1 = a 0;
y + 2 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng

a + b = 6
a = 4; b = 2
x = 15; y = 2
,
,
a2 + b2 = 20
a = 2; b = 4
x = 3; y = 14
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (15; Minh 2); (3; 14)

y2 = (5x + 4)(4 x)
C¥u 14
y2 5x2 n 4xy + 16x 8y + 16 = 0
Gi£i
NguyPh÷ìng tr¼nh 2 t÷ìng ¹÷ìng

y2 y = 0
+ (5x + 4)(4 x) 4xy 8y = 0 , 2y2 4xy 8y = 0 ,
y = 2x + 4

x = 4
Vîi y = 0 th¼ suy ra : (5x + 4) (4 x) = 0 ,
4
x =
5
Vîi y = 2x + 4 th¼ suy ra (2x + 4)2 = (5x
+ 4)(4
x) , x = 0
4
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 0);

; 0
; (0; 4)
5
C¥u 15

x2 2xy + x + y = 0
x4 4x2y + 3x2 + y2 = 0
Gi£i

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 15

x2 + y = x(2y 1)
(x2 + y)2 + 3x2 (1 2y) = 0
) x2(2y 1)2 + 3x2(2y 1) = 0 , x2(2y 1)(2y 4) = 0
,
n
Tu§Minh n Nguy¹2
64
x = 0; y = 0
y =
1
2
(L)
y = 2; x = 1 [ 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 2); (2; 2)
C¥u 16

x + y + xy(2x + y) = 5xy
x + y + xy(3x y) = 4xy
Gi£i
PT(1) PT(2) , xy(2y x) = xy ,

xy = 0
x = 2y 1
Vîi xy = 0 ) x + y = 0 , x = y = 0
Vîi x = 2y 1
) (2y 1) + y + (2y 1)y(5y 2) = 5(2y 1)y ,
2
6664
y = 1; x = 1
y =
p
41
20
9
; x =
p
41
10
1 +
y =
p
41
20
9 +
; x =
p
41 1
10
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1);

p
41
10
1 +
;
p
41
20
9
!
;
p
41 1
10
;
p
41
20
9 +
!

C¥u 17

x2 xy + y2 = 3
2x3 9y3 = (x y)(2xy + 3)
Gi£i
N¸u ch¿ x²t tøng ph÷ìng tr¼nh mët s³ khæng l m «n ÷ñc g¼. Nh÷ng º þ 2 ng÷íi n y bà r ng
buëc vîi nhau bði con sè 3 b½ ©n. Ph²p th¸ ch«ng ? óng vªy, thay 3 xuèng d÷îi ta s³ ra mët
ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p v k¸t qu£ µp hìn c£ mong ñi
Th¸ 3 tø tr¶n xuèng d÷îi ta câ
2x3 9y3 = (x y)

x2 + xy + y2
, x3 = 8y3 , x = 2y
(1) , 3y2 = 3 , y = 1; x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (2;1)

C¥u 18
p
x + y +
p
x y = 1 +
p
x2 y2
p
x +
p
y = 1
Gi£i
i·u ki»n :x y 0
p

p
p
p
p

x + y = 1 x =
1 y
n
x + y 1 =
x y
x + y 1
,
p
,
p
x y = 1
x =
1 + y
2
§p
p
y = 0; x = 1
p 1 y +
y = 1
Tø â )
p
,
4
y = 1; x = 0(L)
y + 1 +
y = 1
y = 0; x = 1
TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0)

p
2x y = 1 +
x(y + 1)
C¥u 19
x3 y2 = 7
Minh Gi£i
i·u ki»n : x(y + 1) 0
Tø (2) d) p
¹ th§y p
x 0
p
y 1
p

(1) ,
x
y + 1
2
x +
y + 1
= 0 , x = y + 1
) (y + 1)3 y2 = 7 , y = 1; x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1)
NguyTø c¥u 20 trð ¹i tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh º
gi£i quy¸t gån µp r§t nhi·u c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. â gåi h» sè b§t ành
(trong ¥y tæi s³ gåi nâ b¬ng t¶n kh¡c : UCT). S³ m§t kho£ng hìn chöc v½ dö º
di¹n t£ trån vµn ph÷ìng ph¡p n y
Tr÷îc h¸t iºm qua mët mµo ph¥n t½ch nh¥n tû cõa a thùc hai bi¸n r§t nhanh b¬ng m¡y
t½nh Casio. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute.
V½ dö 1 : A = x2 + xy 2y2 + 3x + 36y 130
Thüc ra ¥y l tam thùc bªc 2 th¼ câ thº t½nh ph¥n t½ch công ÷ñc. Nh÷ng thû ph¥n t½ch
b¬ng Casio xem .
Nh¼n th§y bªc cõa x v y ·u b¬ng 2 n¶n ta chån c¡i n o công ÷ñc
Cho y = 1000 ta ÷ñc A = x2 + 1003x 1964130 = (x + 1990) (x 987)
Cho 1990 = 2y 10 v 987 = y 13
A = (x + 2y 10) (x y + 13)
V½ dö 2 : B = 6x2y 13xy2 + 2y3 18x2 + 10xy 3y2 + 87x 14y + 15

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 17
Nh¼n th§y bªc cõa x nhä hìn, cho ngay y = 1000
B = 5982x2 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x 333) (x 2005)
Cho 2991 = 3y 9 ,333 =
y 1
3
, 2005 = 2y + 5
B = (3y 9)

2x
y 1
3

(x 2y 5) = (y 3) (6x y + 1) (x 2y 5)
n
V½ dö 3 : C = x3 3xy2 2y3 7x2 + 10xy + 17y2 + 8x 40y + 16
Bªc cõa x v y nh÷ nhau
Cho y = 1000 ta ÷ñc C = x3 7x2 2989992x 1983039984
§Ph¥n t½ch C=(x 1999) (x + 996)2
Cho 1999 = 2y 1 v 996 = y 4
C = (x 2y + 1) (x + y 4)2
TuV½ dö 4 : D = 2x2y2 + x3 + 2y3 + 4x2 + xy + 6y2 + 3x + 4y + 12
Bªc cõa x v y nh÷ nhau
Cho y = 1000 ta ÷ñc D = (x + 2000004) (x2 + 1003)
Cho 2000004 = 2y2 + 4 v 1003 = y + 3
D = (x + 2y2 + 4) (x2 + y + 3)
Minh V½ dö 5 : E = x3y + 2x2y2 + 6x3 + 11x2y xy2 6x2 7xy y2 6x 5y + 6
Bªc cõa y nhä hìn
Cho x = 1000 ta ÷ñc E = 1998999y2 + 1010992995y + 5993994006 =
2997 (667y + 333333) (y + 6)
ƒo hâa E=999 (2001y + 999999) (y + 6)
Cho 999 = x 1; 2001 = 2y + 1; 999999 = x2 1
E = (x 1) (y + 6) (x2 + 2xy n + y 1)
Nguy¹V½ dö 6 : F = 6x4y + 12x3y2 + 5x3y 5x2y2 + 6xy3 + x3 + 7x2y + 4xy2 3y3 2x2 8xy +
3y2 2x + 3y 3
Bªc cõa y nhä hìn
Cho x = 1000 ta ÷ñc F = 5997y3 + 11995004003y2 + 6005006992003y + 997997997
Ph¥n t½ch F=(1999y + 1001001) (3y2 + 5999000y + 997)
Cho 1999 = 2x 1; 1001001 = x2 + x + 1; 5999000 = 6x2 x; 997 = x 3
F = (x2 + 2xy + x y + 1) (6x2y xy + 3y2 + x 3)
L m quen ÷ñc rçi chù ? Bt ¦u n o
C¥u 20
8
:
x2 + y2 =
1
5
4x2 + 3x
57
25
= y(3x + 1)
Gi£i

Líi gi£i gån µp nh§t cõa b i tr¶n l
25:PT(1) + 50:PT(2) , (15x + 5y 7)(15x + 5y + 17) = 0
¸n ¥y d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» : (x; y) =

2
5
;
1
5

;

11
25
;
2
25

n
14x2 21y2 6x + 45y 14 = 0
C¥u 21
35x2 + 28y2 + 41x 122y + 56 = 0
§Gi£i
TuLíi gi£i gån µp nh§t cõa b i n y l
49:PT(1) 15:PT(2) , (161x 483y + 218)(x + 3y 7) = 0
V ¸n ¥y công d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2; 3); (1; 2)
Qua 2 v½ dö tr¶n ta °t ra c¥u häi : V¼ sao l¤i th¸ ? C¡i nhâm th nh nh¥n tû th¼ tæi khæng
nâi bði t h¯n c¡c b¤n ¢ åc nâ ð tr¶n rçi. V¼ sao ð ¥y l t¤i sao l¤i ngh¾ ra nhúng h¬ng sè
kia nh¥n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh, mët sMinh ü t¼nh cí may mn hay l c£ mët ph÷ìng ph¡p. Xin th÷a
â ch½nh l mët v½ dö cõa UCT. UCT l mët cæng cö r§t m¤nh câ thº qu²t s¤ch g¦n nh÷ to n
bë nhúng b i h» d¤ng l hai tam thùc. C¡ch t¼m nhúng h¬ng sè nh÷ th¸ n o. Tæi xin tr¼nh
b y ngay sau ¥y. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute.

a1x2 + b1y2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0
Têng Qu¡t:
a2x2 + n b2y2 + c2xy + d2x + e2y + f2 = 0
Nguy¹Gi£i
Hiºn nhi¶n nhªn x²t ¥y l h» gçm hai tam thùc bªc hai. M nhc ¸n tam thùc th¼ khæng
thº khæng nhc tîi mët èi t÷ñng â l . Mët tam thùc ph¥n t½ch ÷ñc nh¥n tû hay khæng
ph£i xem x ho°c y cõa nâ câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. N¸u h» lo¤i n y m tø ngay mët
ph÷ìng tr¼nh ra k¼ di»u th¼ ch¯ng nâi l m g¼, th¸ nh÷ng c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u ra r§t
k¼ cöc th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Khi â UCT s³ l¶n ti¸ng. Ta s³ chån h¬ng sè th½ch hñp nh¥n v o
mët (ho°c c£ hai ph÷ìng tr¼nh) º ²p sao cho ch½nh ph÷ìng.
Nh÷ vªy ph£i t¼m h¬ng sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû
°t a = a1 + ka2; b = b1 + kb2; c = c1 + kc2; d = d1 + kd2; e = e1 + ke2; f = f1 + kf2
Sè k l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi a= 60
cde + 4abf = ae2 + bd2 + fc2
D¤ v¥ng câ h¯n mët cæng thùc º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh lo¤i n y. T¡c gi£ cõa nâ kh¡ xu§t
sc !!!. Thû kiºm chùng l¤i v½ dö 21 nh²
a = 14 + 35k; b = 21 + 28k; c = 0; d = 6 + 41k; e = 45 122k; f = 14 + 56k
Sè k s³ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
4(14+35k)(21+28k)(14+56k) = (14+35k)(45122k)2+(21+28k)(6+41k)2 , k =
15
49

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 19
Nh÷ vªy l PT(1)
15
49
:PT(2) hay 49:PT(1) 15:PT(2)
Mët chót l÷u þ l khæng ph£i h» n o công ¦y õ c¡c h¬ng sè. N¸u khuy¸t thi¸u ph¦n n o th¼
cho h¬ng sè â l 0. Ok!!
Xong d¤ng n y rçi. H¢y l m b i tªp vªn döng. ¥y l nhúng b i h» tæi têng hñp tø nhi·u
nguçn.

x2 + 8y2 6xy + x 3y 624 = 0
n
1.

21x2 24y2 30xy 83x + 49y + 585 = 0
x2 + y2 3x + 4y = 1
§2.

3x2 2y2 9x 8y = 3
y2 = (4x + 4)(4 x)
3.

y2 5x2 4xy + 16x 8y + 16 = 0
Tuxy 3x 2y = 16
4.

x2 + y2 2x 4y = 33
x2 + xy + y2 = 3
5.

x2 + 2xy 7x 5y + 9 = 0
(2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3
6.

xy + x = 1
x2 + 2y2 = 2y 2xy + 1
7.

3x2 + 2xy y2 = 2x y + 5
Minh (x 1)2 + 6(x 1)y + 4y2 = 20
8.

x2 + (2y + 1)2 = 2
2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y 2 = 0
9.

x2 + y2 + 4xy + 2y = 0
2x2 + 3xy = 3y 13
10.

3y2 + 2xy = 2x + 11
4x2 + 3y(x 1) = 7
11.
n
3y2 + 4x(y 1) = 3
Nguyx2 + 2 = x(y ¹1)
12.

y2 7 = y(x 1)
x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0
13.
xy + y2 + 3y + 1 = 0

x3 y3 = 35
C¥u 22
2x2 + 3y2 = 4x 9y
Gi£i
Líi gi£i ngn gån cho b i to¡n tr¶n â l
PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 , x = y + 5
Thay v o (2) ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2;3); (3;2)
C¥u häi °t ra ð ¥y l sû döng UCT nh÷ th¸ n o ? T§t nhi¶n ¥y khæng ph£i d¤ng tr¶n núa
rçi. Tr÷îc h¸t ¡nh gi¡ c¡i h» n y ¢

- Bªc cõa x v y l nh÷ nhau
- C¡c bi¸n x,y ëc lªp vîi nhau
- Ph÷ìng tr¼nh mët câ bªc cao hìn PT(2)
Nhúng nhªn x²t tr¶n ÷a ta ¸n þ t÷ðng nh¥n h¬ng sè v o PT(2) º PT(1) + a:PT(2) ÷a
÷ñc v· d¤ng h¬ng ¯ng thùc A3 = B3
PT(1) + a:PT(2) , x3 + 2ax2 4ax y3 + 3ay2 + 9ay 35 = 0
C¦n t¼m a sao cho v¸ tr¡i câ d¤ng (x + )3 (y +

)3 = 0
n
C¥n b¬ng ta ÷ñc :
Tu§Minh ¹n Nguy8
:
3

3 = 35
3 = 2a
32 = 4a
,
8
:
a = 3
= 2

= 3
Vªy PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3
OK ?? Thû mët v½ dö t÷ìng tü nh²
Gi£i h»:

x3 + y3 = 91
4x2 + 3y2 = 16x + 9y
Gñi þ : PT(1) 3:PT(2) , (x 4)3 = (y + 3)3
C¥u 23

x3 + y2 = (x y)(xy 1)
x3 x2 + y + 1 = xy(x y + 1)
Gi£i
H¢y còng tæi ph¥n t½ch b i to¡n n y. Ti¸p töc sû döng UCT
¡nh gi¡ h» :
-Bªc cõa x cao hìn bªc cõa y
-C¡c bi¸n x,y khæng ëc lªp vîi nhau
-Hai ph÷ìng tr¼nh câ bªc cao nh§t cõa x v y nh÷ nhau
V¼ bªc x ang cao hìn bªc y v bªc cõa y t¤i 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau n¶n ta h¢y nh¥n tung
rçi vi¸t l¤i 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n y. Cö thº nh÷ sau :

y2 (x + 1) y (x2 + 1) + x3 + x = 0
y2x y (x2 + x 1) + x3 x2 + 1 = 0
B¥y gií ta mong ÷îc r¬ng khi thay x b¬ng 1 sè n o â v o h» n y th¼ s³ thu ÷ñc 2 ph÷ìng
tr¼nh t÷ìng ÷ìng. Tùc l khi â c¡c h» sè cõa 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t¿ l» vîi nhau . Vªy :
x + 1
x
=
x2 + 1
x2 + x 1
=
x3 + x
x3 x2 + 1
) x = 1
R§t may mn ta ¢ t¼m ÷ñc x = 1. Thay x = 1 l¤i h» ta câ
2 (y2 y + 1) = 0
y2 y + 1 = 0
) 2:PT(2) PT(1) s³ câ nh¥n tû x 1
Cö thº â l (x 1) (y2 (x + 3) y + x2 x 2) = 0
TH1 :x = 1 thay v o th¼ væ nghi»m
TH2: K¸t hñp th¶m vîi PT(1) ta ÷ñc h» mîi :

y2 (x + 3) y + x2 x 2 = 0 (3)
x3 + y2 x2y + x + xy2 y = 0

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 21
Nhªn x²t h» n y câ °c iºm gièng vîi h» ban ¦u â l bªc y nh÷ nhau. Vªy ta l¤i vi¸t l¤i h»
theo ©n y v hi vång nâ s³ l¤i óng vîi x n o â. Thªt vªy, â l x =
1
2
. Ti¸p töc thay nâ
v o h» v ta s³ rót ra :
2PT(2) PT(1) , (2x + 1)

y2 (x 1) y + x2 x + 2

p
1
5 3
5
TH1 : x =
) y =
2
4
n
TH2 : K¸t hñp vîi (3) ta ÷ñc

y2 (x 1) y + x2 x + 2 = 0
§y2 (x + 3) + x2 x 2 = 0
Vîi h» n y ta ch¿ vi»c trø cho nhau
s³ ra y = 1 ) !
x2
+ 2 = 0 (Væ nghi»m)
p
p
Tu!
1
5 + 3
5
1
5 3
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) =

;
;

;

2
4
2
4

2 (x + y) (25 xy) = 4x2 + 17y2 + 105
C¥u 24
x2 + y2 + 2x 2y = Minh 7
Gi£i
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gièng vîi c¥u 23
Mët chót ¡nh gi¡ v· h» n y
- C¡c bi¸n x v y khæng ëc lªp vîi nhau
- Bªc cao nh§t cõa x ð 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau , y công vªy
Vîi c¡c °c iºm n y ta thû vi¸t h» th nh 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n x v y v xem li»u h» câ
óng vîi x ho°c y n o khæn ng. C¡ch l m v¨n nh÷ c¥u 23. Vi¸t theo x ta s³ khæng t¼m ÷ñc y,
Nguynh÷ng vi¸t theo y ta ¹s³ t¼m ÷ñc x = 2 khi¸n h» luæn óng. Thay x = 2 v o h» ta ÷ñc

21y2 42y + 21 = 0

) PT(1) 21PT(2) , (x 2)
2y2 y2 + 2xy + 4y 17x 126
= 0
2y + 1 = 0
TH1 :
x = 2 ) y = 1
2y2 + 2xy + 4y 17x 126 = 0
TH2 :
x2 + y2 + 2x 2y 7 = 0
H» n y ¢ câ c¡ch gi£i rçi nh¿ ??
3:PT(2) PT(1) , (x y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = 0 (Væ nghi»m)
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1)
Ti¸p theo chóng ta s³ ¸n vîi c¥u VMO 2004.

C¥u 25

x3 + 3xy2 = 49
x2 8xy + y2 = 8y 17x
Gi£i
Líi gi£i ngn gån nh§t cõa b i tr¶n â l :

n
PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1)
(x + 1)2 + 3(y 4)2= 0
§¸n ¥y d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (1; 4); (1;4)
C¥u häi ÷ñc °t ra l b i n y t¼m h¬ng sè nh÷ th¸ n o ? Câ r§t nhi·u c¡ch gi£i th½ch nh÷ng
tæi xin tr¼nh b y c¡ch gi£i th½ch cõa tæi :tuzki:
TuL m t÷ìng tü theo nh÷ hai c¥u 23 v 24 xem n o. Vi¸t l¤i h» ¢ cho th nh

3xy2 + x3 + 49 = 0
y2 + 8(x + 1)y + x2 17x = 0
Mët c¡ch trüc gi¡c ta thû vîi x = 1. V¼ sao ? V¼ vîi x = 1 ph÷ìng tr¼nh 2 s³ khæng cán
ph¦n y v câ v´ 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t÷ìMinh ng ÷ìng. Khi thay x = 1 h» ¢ cho trð th nh

3y2 + 48 = 0
y2 16 = 0
Hai ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng. Tríi th÷ìng rçi !! Vªy x = 1 ch½nh l 1 nghi»m cõa
h» v tø h» thù hai ta suy ra ngay ph£i l m â l PT(1) + 3:PT(2). Vi»c cán l¤i ch¿ l ph¥n
t½ch nèt th nh nh¥n tû.
Ti¸p theo ¥y chóng ta s³ ¸n vîi mët chòm h» dà b£n cõa þ t÷ðng tr¶n. Tæi khæng tr¼nh
b y chi ti¸t m ch¿ gñi þ vn k¸t qu£
Nguy¹
y3 + 3xy2 = 28
C¥u 26
x2 6xy + y2 = 6x 10y
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (y + 1) (3(x 3)2 + (y + 1)2) = 0
Nghi»m cõa h» : (x; y) = (3;1); (3;1)
C¥u 27

6x2y + 2y3 + 35 = 0
5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (2y + 5)

3

x +
1
2
2
+

y +
5
2
2
!
= 0

2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 23
C¥u 28

x3 + 5xy2 = 35
2x2 5xy 5y2 + x + 10y 35 = 0
Gñi þ : PT(1) + 2:PT(2) , (x 2) (5(y 1)2 + (x + 3)2) = 0

n
x3 + 3xy2 = 6xy 3x 49
C¥u 29
x2 8xy + y2 = 10y 25x 9
§Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) ((x + 1)2 + 3(y 5)2) = 0
Tuiºm qua c¡c c¥u tø c¥u 23 ¸n c¥u 29 ta th§y d÷íng nh÷ nhúng c¥u h» n y kh¡ °c bi»t.
Ph£i °c bi»t th¼ nhúng h» sè kia mîi t¿ l» v ta t¼m ÷ñc x = hay y =

l nghi»m cõa
h». Th¸ vîi nhúng b i h» khæng câ ÷ñc may mn nh÷ kia th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Tæi xin giîi
thi»u mët ph÷ìng ph¡p UCT r§t m¤nh. Câ thº ¡p döng r§t tèt º gi£i nhi·u b i h» húu t¿ (kº
c£ nhúng v½ dö tr¶n). â l ph÷ìng ph¡p T¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. V ta s³
khæng ch¿ nh¥n h¬ng sè v o mët ph÷ìng tr¼nh m thªm ch½ nh¥n c£ mët h m f(x) hay g(y)
v o nâ. Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö cö thMinh º sau ¥y :

3x2 + xy 9x y2 9y = 0
C¥u 30
2x3 20x n x2y 20y = 0
Nguy¹Gi£i
B i n y n¸u thû nh÷ c¥u 23, 24, 25 ·u khæng t¼m ra nêi x hay y b¬ng bao nhi¶u l nghi»m cõa
h». Vªy ph£i dòng ph²p düng quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. Quan h» n y câ thº x¥y düng
b¬ng hai c¡ch th÷íng dòng sau :
- T¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h»
- Sû döng ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿
Tr÷îc h¸t tæi xin ph¡t biºu l¤i ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ :
X²t a thùc : P(x) = anxn + an1xn1 + :::: + a1x + a0
p
a thùc câ nghi»m húu t¿
, p l ÷îc cõa a0 cán q l ÷îc cõa an
q
OK rçi chù ? B¥y gií ta h¢y thû x¥y düng quan h» theo c¡ch ¦u ti¶n, â l t¼m tèi thiºu hai
c°p nghi»m cõa h» ( Casio l¶n ti¸ng :v )
D¹ th§y h» tr¶n câ c°p nghi»m l (0; 0 v (2;1)
Chån hai nghi»m n y l¦n l÷ñt ùng vîi tåa ë 2 iºm, khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng qua
chóng s³ l : x + 2y = 0 , x = 2y

Nh÷ vªy quan h» tuy¸n t½nh ð ¥y l x = 2y. Thay l¤i v o h» ta ÷ñc

9y (y + 1) = 0
20y (y + 1) (y 1) = 0
Sau â ta chån biºu thùc phò hñp nh§t nh¥n v o 2 ph÷ìng tr¼nh.
Ð ¥y s³ l 20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2)
Nh÷ vªy

n
20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) , (x + 2y)
18x2 + 15xy 60x 10y2 80y
§= 0
TH1 : x = 2y thay v o (1)
TH2 : K¸t hñp th¶m vîi PT(1) núa th nh mët h» gám hai tam thùc ¢ bi¸t c¡ch gi£i
Nghi»m cõa h» :

p
!

p
!
15
145
p
15 +
Tu145
p
(x; y) = (0; 0); (2;1); (10; 15);
; 11
145
;
; 11 +
145

2
2
Sû döng c¡ch n y chóng ta th§y, mët h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿ ch¿ c¦n t¼m ÷ñc mët c°p
nghi»m l ta ¢ x¥y düng ÷ñc quan h» tuy¸n t½nh v gi£i quy¸t b i to¡n. ¥y ch½nh l ÷u
iºm cõa nâ. B¤n åc thû vªn döng nâ v o gi£i nhúng v½ dö tø 23 ¸n 29 xem. Tæi thû l m
c¥u 25 nh² : C°p nghi»m l (1; 4); (1;4) n¶n quan h» x¥y düng ð ¥y l x = 1. Thay l¤i
v o h» v ta câ h÷îng chån h» sè º nh¥n.
Tuy nhi¶n c¡ch n y s³ chàu ch¸t vMinh îi nhúng b i h» ch¿ câ mët c°p nghi»m ho°c nghi»m qu¡
l´ khæng thº dá b¬ng Casio ÷ñc. ¥y l nh÷ñc iºm lîn nh§t cõa nâ
N o b¥y gií h¢y thû x¥y düng quan h» b¬ng ành lþ nh².
Vîi h» n y v¼ ph÷ìng tr¼nh d÷îi ang câ bªc cao hìn tr¶n n¶n ta s³ nh¥n a v o ph÷ìng tr¼nh
tr¶n rçi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh d÷îi. V¼ bªc cõa x ang cao hìn n¶n ta vi¸t l¤i biºu thùc sau
khi thu gån d÷îi d¤ng mët n ph÷ìng tr¼nh bi¸n x. Cö thº â l
Nguy2x3 + ¹(3a y) x2 + (ay 9a 20) x y (ay + 9a + 20) = 0()

Nghi»m cõa (*) theo ành lþ s³ l mët trong c¡c gi¡ trà
1;1
;y
;y; ::::
2 2 1
T§t nhi¶n khæng thº câ nghi»m x =
hay x = 1 ÷ñc. H¢y thû vîi hai tr÷íng hñp cán l¤i.

2
3y2 18y = 0
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc
y3 40y = 0
Khi â ta s³ ph£i l§y (y2 40):PT(1)3(y
6):PT(2). Rã r ng l qu¡ phùc t¤p. Lo¤i c¡i n y.
y2 = 0
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc
3y3 = 0
Khi â ta s³ l§y 3y:PT(1) + PT(2). Qu¡ ìn gi£n rçi. Khi â biºu thùc s³ l

(x + y)
2x2 + 6xy
3y2 + 27y + 20
= 0
C¡ch sè hai r§t tèt º thay th¸ c¡ch 1 trong tr÷íng hñp khæng t¼m nêi c°p nghi»m. Tuy nhi¶n
y¸u iºm cõa nâ l khæng ph£i h» n o dòng ành lþ công t¼m ÷ñc nghi»m. Ta ph£i bi¸t k¸t
hñp nhu¦n nhuy¹n hai c¡ch vîi nhau. V h¢y thû dòng c¡ch 2 l m c¡c c¥u tø 23 ¸n 29 xem.
Nâ s³ ra nghi»m l h¬ng sè.
L m mët c¥u t÷ìng tü núa. Tæi n¶u luæn h÷îng gi£i.

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 25
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60
C¥u 31

x2y2 + 3x + 3y 3 = 0
x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0
Gi£i

PT(1) (y 1):PT(2) , (x + y 1)
3y2 + xy 2y + 2
= 0
n
TH1 :
x = 1 y . No problem !!!
3y2 + xy 2y + 2 = 0
§Th2 :
x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0
¥y l¤i l h» °c bi»t, ta t¼m ÷ñc x = 3 l nghi»m cõa h». Thay v Tuo v rót ra k¸t qu£
PT(1) + PT(2) , (x 3) (xy 1) = 0
B i vi¸t v· ph÷ìng ph¡p UCT hay Minh cán gåi l h» sè b§t ành k¸t thóc ð ¥y. Qua hìn chöc
c¥u ta ¢ th§y : sû döng ph÷ìng ph¡p UCT n¥ng cao (t¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa c¡c ©n) l
mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh v r§t tèt º gi£i quy¸t nhanh gån c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. Tuy
nhi¶n nh÷ñc iºm cõa nâ trong qu¡ tr¼nh l m l kh¡ nhi·u. Thù nh§t : t½nh to¡n qu¡ tr¥u bá
v h¤i n¢o. Hiºn nhi¶n rçi, düng quan h» tuy¸n t½nh ¢ khâ, sau â cán ph£i nhåc cæng ph¥n
t½ch mët a thùc hén ën th nh nh¥n tû. Thù hai, n¸u sû döng nâ mët c¡ch th¡i qu¡ s³ khi¸n
b£n th¥n trð n¶n thüc döng, m¡y mâc, khæng chàu m y má suy ngh¾ m cù nh¼n th§y l lao
¦u v o UCT, câ kh¡c g¼ lao n ¦u v o ¡ khæng ?
Mët c¥u häi °t ra. Li»u UCT câ n¶n sû döng trong c¡c k¼ thi, kiºm tra hay khæng ? Xin
Nguyth÷a, trong nhúng · ¹VMO, còng lm þ t÷ðng cõa hå l dòng UCT d¤ng cì b£n, tùc l nh¥n
h¬ng sè thæi. UCT d¤ng cì b£n th¼ tæi khæng nâi l m g¼ chù UCT d¤ng n¥ng cao th¼ tèt nh§t
khæng n¶n x i trong c¡c k¼ thi. Thù nh§t m§t r§t nhi·u thíi gian v sùc lüc. Thù hai g¥y khâ
kh«n v ùc ch¸ cho ng÷íi ch§m, hå ho n to n câ thº g¤ch bä to n bë m°c dò câ thº b¤n l m
óng. Vªy n¶n : CÒNG ×ÍNG LM RÇI MÎI DÒNG NH’ !! :D
¥y câ l³ l b i vi¸t lîn nh§t m tæi k±m v o trong cuèn s¡ch. Trong nhúng c¥u ti¸p theo
tæi s³ c i nhúng b i vi¸t nhä hìn v o. ân xem nh². Nhúng c¥u ti¸p theo câ thº cán mët sè
c¥u sû döng ph÷ìng ph¡p UCT. Vªy n¶n n¸u thc mc cù quay trð l¤i tø c¥u 20 m xem. T¤m
thíi g¡c l¤i , ta ti¸p töc ¸n vîi nhúng c¥u ti¸p theo.

C¥u 32

x5 + y5 = 1
x9 + y9 = x4 + y4
Gi£i
Nhªn th§y rã r ng ¥y l lo¤i h» b¡n ¯ng c§p. Ta nh¥n ch²o hai v¸ vîi nhau ÷ñc
x9 + y9 = (x4 + y4)(x5 + y5) , x4y4(x + y) = 0
n
TH1 : x = 0 ) y = 1
§TH2 : y = 0 ) x = 1
TH3 : x = y thay v o (1) rã r ng væ nghi»m
Tu
x3 + 2xy2 = 12y
C¥u 33
8y2 + x2 = 12
Gi£i
L¤i th¶m mët h» còng lo¤i, nh¥n ch²Minh o hai v¸ cho nhau ta ÷ñc
x3 + 2xy2 = y(8y2 + x2) , x = 2y
Khi â (2) s³ t÷ìng ÷ìng
12y2 = 12 , y = 1; x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1); (2;1)
Nguy¹C¥u 34
8
:
x2 + y2 +
2xy
x + y
= 1
p
x + y = x2 y
Gi£i
i·u ki»n : x + y 0
Rã r ng khæng l m «n ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2). Thû bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) xem
(1) , (x + y)2 1 +
2xy
x + y
2xy = 0
, (x + y + 1)(x + y 1)
2xy(x + y 1)
x + y
= 0
Câ nh¥n tû chung rçi. Vîi x + y = 1 thay v o (2) ta ÷ñc
1 = (1 y)2 y , y = 0; y = 3

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 27
Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l x + y + 1 =
2xy
x + y
, x + y + 1 = 1 x2 y2 , x2 + y2 + x + y = 0
Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y 0
n

x3 y3 = 3(x y2) + 2
§C¥u 35
p
p
x2 +
1 x2 3
2y y2 + 2 = 0
Gi£i
Tui·u ki»n : 1 x 1, 0 y 2
Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót
(1) , x3 3x = (y 1)3 3(y 1)
X²t f(t) = t3 3t vîi 1 t 1 th¼ f0(t) = 3t2 3 0
Suy ra f(t) ìn i»u v tø â suy ra x = y 1 thay v o (2)
C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi
m´ m tæi l m
p
p
(2) , x2 +
1 x2 + 2 = 3
2y y2 , f(x) = g(y)
13
X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3 f(x)
p
4
y + 2 y
Ta l¤i câ : g(y) = 3
y(2 y) 3
= 3
2
Vªy f(x) g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi
y = 1
NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l thäa m¢n
x = 1; x = 0

x3 3x = y3 3y
C¥u 36
x6 + y6 = 1
Gi£i
D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i
bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1 x; y 1.
Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v suy ra ÷ñc x = y
Thay v o (2) ta ÷ñc
2x6 = 1 , x =
1
6 p
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) =

1
6 p
2
;
1
6 p
2

;

1
6 p
2
;
1
6 p
2


C¥u 37

x3(2 + 3y) = 1
x(y3 2) = 3
Gi£i
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
§n
TuMinh ¹n Nguy8
:
3y + 1 =
1
x3
3
x
+ 2 = y3
) y =
1
x
Thay l¤i (1) ta câ
2x3 + 3x2 1 = 0 ,

x = 1 ) y = 1
x =
1
2
) y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (1;1);

1
2

; 2
C¥u 38

x2 + y2 + xy + 1 = 4y
y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2
Gi£i
Sû döng UCT s³ th§y y = 0 l nghi»m cõa h». Thay l¤i v ta s³ câ
2PT(1) + PT(2) , y(x + y + 5)(x + y 3) = 0 ,
2
4
y = 0
x = 5 y
x = 3 y
Vîi y = 0 thay l¤i væ nghi»m
Vîi x = 5 y khi â ph÷ìng tr¼nh (1) s³ t÷ìng ÷ìng
(y + 5)2 + y2 y2 5y + 1 = 4y , V L
T÷ìng tü vîi x = 3 y công væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho væ nghi»m

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 29
C¥u 39
( p
x + y
p
x y =
y
2
x2 y2 = 9
Gi£i
i·u ki»n : y minfxg
y
Ta khæng n¶n °t ©n têng hi»u v¼ v¨n cán sât l¤i
s³ l m b i to¡n khâ kh«n hìn. Mn
ët c¡ch
2
trüc gi¡c ta b¼nh ph÷ìng (1) l¶n. Tø (1) ta suy ra
p
y2
§2x 2
x2 y2 =
4
p
¸n ¥y nh¼n th§y
x2 y2 theo (2) b¬ng 3. Vªy suy ra
Tuy2
2x 6 =
, y2 = 8x 24
4
Minh 2
x = 3 ) y = 0(TM)
x2 8x + 15 = 0 ,
4
x = 5 ) y = 4(TM)
x = 5 ) y = 4(TM)
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 0); (5; 4); (5;4)
C¥u 40
¹n Nguy8
:
x
p
y + 1 =
5
2
p
x + 1 =
y + 2(x 3)
3
4
Gi£i
i·u ki»n : x; y 1
Khæng p
t¼m ÷ñc mèi p
quan h» cö thº n o. T¤m thíi ta °t ©n º d¹ nh¼n
°t
x + 1 = a 0;
y + 1 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
a2 1 b =
5
2
b2 1 + 2a(a2 4) =
3
4
Ta th¸ b =
7
2
a2 tø (1) v o (2) v câ :

7
2
a2
2
+ 2a(a2 4)
1
4
= 0 ,
2
66666664
a = 3 ) b =
11
2
(L)
a = 2 ) b =
1
2
(L)
a = 1 ) b =
5
2
(TM)
a = 2 ) b =
1
2
(L)
)
(
x = 0
y =
3
4


0;
3
4

p
x2 + y2 = 185
C¥u 41
Tu§n
Minh n Nguy¹
(x2 + xy + y2)
p
x2 + y2 = 65
(x2 xy + y2)
Gi£i
Tho¤t nh¼n qua th¼ th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3 rã r ng. Tuy nhi¶n n¸u tinh þ ta em
cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau s³ ch¿ cán l¤i x2 + y2
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ
p
x2 + y2 = 250 ,
2(x2 + y2)
p
x2 + y2 = 5
Khi â thay l¤i h» ta câ

(25 + xy):5 = 185
(25 xy):5 = 65
)

xy = 12
x2 + y2 = 25
,
2
664
x = 3; y = 4
x = 4; y = 3
x = 3; y = 4
x = 4; y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 4); (4; 3); (3;4); (4;3)
C¥u 42
8
:
r
y
x
+
r
x
y
=
7
p
xy
+ 1
x
p
xy + y
p
xy = 78
Gi£i
i·u ki»n : xy 0
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
:
x + y
p
xy
=
p
xy
p
xy
7 +
p
xy(x + y) = 78
°t x + y = a,
p
xy = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng

a b = 7
ab = 78
,
2
664

a = 13
b = 6
a = 6
b = 13
(L)
,

x + y = 13
xy = 36
,

x = 9; y = 4
x = 4; y = 9

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 31
C¥u 43

x3 y3 = 9
x2 + 2y2 x + 4y = 0
Gi£i
Dòng UCT
PT(1) 3:PT(3) , (x 1)3 = (y + 2)3 , x = y + 3
n
¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m (x; y) = (1;2); (2;1)
§
8x3y3 + 27 = 18y3
C¥u 44
4x2y + 6x = y2
TuGi£i
¥y l mët h» hay. Ta h¢y t¼m c¡ch lo¤i bä 18y3 i. V¼ y = 0 khæng l nghi»m n¶n (2) t÷ìng
÷ìng
72x2y2 + 108xy = 18y3
¸n ¥y þ t÷ðng rã r ng rçi chù ? ThMinh ¸ 18y3 tø (1) xuèng v ta thu ÷ñc
2
8x3y3 72x2y2 108xy + 27 = 0 ,
¹n Nguy666664
xy =
3
2
xy =
p
5
4
21 9
xy =
p
5
4
21 + 9
Thay v o (1) ta s³ t¼m ÷ñc y v x
)
2
66664
y = 0(L)
r
y = 3
8(xy)3 + 27
18
=
3
2
p

) x =
5 3
1
4

3

p
5
r
y = 3
8(xy)3 + 27
18
=
3
2

3 +

) x =
p
5
1
4

3 +

p
5

1
4

3

;
p
5
3
2
p

5 3
;

1
4

3 +

;
p
5
3
2

3 +

p
5

C¥u 45
8
:
(x + y)

1 +
1
xy

= 5
(x2 + y2)

1 +
1
x2y2

= 9
Gi£i
i·u ki»n : xy= 60
n
Ta cù nh¥n ra ¢. H» t÷ìng ÷ìng
Tu§Minh ¹n Nguy8
:
x + y +
1
x
+
1
y
= 5
x2 + y2 +
1
x2 +
1
y2 = 9
,
8
:

x +
1
x

+

y +
1
y

= 5

x +
1
x
2
+

y +
1
y
2
= 13
,
2
64
x +
1
x
= 2; y +
1
y
= 3
x +
1
x
= 3; y +
1
y
= 2
,
2
64
x = 1; y =
p
5
2
3
x =
p
5
2
3
; y = 1

1;
p
5
2
3
!
;

3
p
5
2
!

; 1
C¥u 46

x2 + y2 + x + y = 18
x(x + 1)y(y + 1) = 72
Gi£i
Mët b i °t ©n têng t½ch công kh¡ ìn gi£n
°t x2 + x = a, y2 + y = b. Ta câ

a + b = 18
ab = 72
,

a = 12; b = 6
a = 6; b = 12
,
2
664

x2 + x = 6
y2 + y = 12
x2 + x = 12
y2 + y = 6
,
2
664

x = 2; x = 3
y = 3; y = 4
x = 3; x = 4
y = 2; y = 3
Vªy h» ¢ cho câ c£ th£y 8 nghi»m

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 33
C¥u 47

x3 + 4y = y3 + 16x
1 + y2 = 5(1 + x2)
Gi£i
x3 16x = y (y2 4)
y2 4 = 5x2
n
Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l
2
§x = 0; y = 2
x3 16x = 5x2y ,
4
x2 16
y =
5x
TuTr÷íng hñp 2 thay v o (2) s³ l

(x2 16)2
x2
= 1
5x2 x = 1; y = 3
4 = ,
64
,
25x2
x2 =
x = 1; y = 3
31
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 2); (0;2); (1;3); (1; 3)

p
x C¥u 48
p
+
y2 x2 = 12 y
x
y2 x2 = 12
n Gi£i
i·u kip
»n : y2 x2
Nguyº þ x
y2 x2 sinh ¹ra tø vi»c ta b¼nh ph÷ìng (1). Vªy thû b¡m theo h÷îng â xem. Tø (1)
ta suy ta
p
x2 + y2 x2 + 2x
y2 x2 = (12 y)2
, y2 + 24 = (12 y)2 , y = 5
Thay v o (2) ta câ
p
x
25 x2 = 12 , x = 3; x = 4
èi chi¸u l¤i th§y thäa m¢n

C¥u 49

x4 4x2 + y2 6y + 9 = 0
x2y + x2 + 2y 22 = 0
Gi£i
º þ n¸u °t x2 = a th¼ h» ¢ cho bi¸n th nh h» tam thùc bªc 2 ta ho n to n ¢ bi¸t c¡ch
gi£i. Cö thº ð ¥y s³ l
n
PT(1) + 2:PT(2) , (x2 + y)2 2(x2 + y) 35 = 0
§TH1 : x2 + y = 7 , x2 = 7 y thay (2) ta câ

y = 3 ) x = 2
(7 y)y + 7 y + 2y 22 = 0 ,
Tup
y = 5 ) x =
2
TH2 : x2 + y = 5 , x2 = 5 y. Ho n to n t÷ìng p
tü thay (p
2) s³ cho y væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3); (2; 3); (
2; 5); (
2; 5)
C¥u 50
Minh n Nguy¹8
:
x2 + y + x3y + xy + y2x =
5
4
x4 + y2 + xy(1 + 2x) =
5
4
Gi£i
¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi A - 2008. Mët c¡ch tü nhi¶n khi g°p h¼nh thùc n y l ta ti¸n h nh
nhâm c¡c sè h¤ng l¤i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
:
(x2 + y) + xy + (x2 + y)xy =
5
4
(x2 + y)2 + xy =
5
4
¸n ¥y h÷îng i ¢ rã r ng. °t x2 + y = a, xy = b ta câ
8
:
a + b + ab =
5
4
a2 + b =
5
4
,
2
64
a = 0; b =
5
4
a =
1
2
; b =
3
2
,
2
6666664
(
x2 + y = 0
xy =
5
4 8
:
x2 + y =
1
2
xy =
3
2
,
2
64
r
x = 3
5
4
r
; y = 3
25
16
x = 1; y =
3
2

r
3
5
4
r
; 3
25
16
!
;

1;
3
2


2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 35
C¥u 51

x2 + 1 + y(y + x) = 4y
(x2 + 1)(x + y 2) = y
Gi£i
H» g¦n nh÷ ch¿ l c¥u chuy»n cõa x2 + 1 v x + y. Tuy nhi¶n y chen v o ¢ khi¸n h» trð n¶n
khâ chàu. H¢y di»t y i ¢. C¡ch tèt nh§t â l chia khi m y = 0 khæng ph£i l nghi»m cõa
h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
§n
TuMinh ¹n Nguy:
x2 + 1
y
+ x + y 2 = 2
x2 + 1
y
(x + y 2) = 1
H÷îng i rã r ng. °t
x2 + 1
y
= a, x + y 2 = b
H» ¢ cho trð th nh

a + b = 2
ab = 1
,

a = 1
b = 1
,

x2 + 1 = y
x + y = 3
,

x = 1; y = 2
x = 2; y = 5
C¥u 52

y + xy2 = 6x2
1 + x2y2 = 5x2
Gi£i
Lo¤i h» n y khæng khâ. Þ t÷ðng ta s³ chia º bi¸n v¸ ph£i trð th nh h¬ng sè
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
y
x2 +
y2
x
= 6
1
x2 + y2 = 5
,
8
:
y
x

1
x
+ y

= 6

1
x
+ y
2
2
y
x
= 5
°t
y
x
= a,
1
x
+ y = b. H» trð th nh

ab = 6
b2 2a = 5
,

a = 2
b = 3
,
(
y = 2x
1
x
+ y = 3
,

x = 1; y = 2
x =
1
2
; y = 1

1
2

; 1

C¥u 53

x2 + 2y2 = xy + 2y
2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y
Gi£i
º þ mët chót ¥y l h» b¡n ¯ng c§p. N¸u ta vi¸t l¤i nh÷ sau

x2 + 2y2 xy = 2y
n
2x3 + 3xy2 3x2y = 2y2
§Tø â ta câ

2y2(x2 + 2y2 xy) = 2y
2x3 + 3xy2 3x2y
, 4y (y x)
Tu
x2 xy + y2= 0
TH1 : y = 0 ) x = 0
TH2 : x = y = 0
TH3 : x = y thay v o (1) ta ÷ñc

2y2 x = y = 0
= 2y ,
x = y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 0); (1; 1)

2x2y + y3 2x4 x6
C¥u 54
p
= + (x + 2)
y + 1 = (x + 1)2
n Gi£i
i·u ki»n : y 1
NguyKhai th¡c tø (1). Câ ¹v´ nh÷ l h m n o â. Chån chia cho phò hñp ta s³ ÷ñc möc ½ch, ð ¥y
s³ chia cho x3 v¼ x = 0 khæng l nghi»m cõa h». PT(1) khi â s³ l

y
y
3
y
2
+
= 2x + x3 ,
= x , y = x2
x
x
x
Thay v o (2) ta s³ ÷ñc
p

p
(x + 2)
x2 + 1 = (x + 1)2 ) (x + 2)2 x2 x =
3; y = 3(TM)
+ 1
= (x + 1)4 ,
p
x =
3; y = 3(TM)
p
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (
3; 3)
Ta s³ ¸n mët c¥u t÷ìng tü nâ

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 37
C¥u 55

x5 + xy4 = y10 + y6
p
4x + 5 +
p
y2 + 8 = 6
Gi£i
5
i·u ki»n : x
4
Th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia 2 v¸ cõa (1) cho y5 ta ÷ñc
n

x
5
x
x
+
= y5 + y ,
= y , x = y2
§y
y
y
p
p
Tu4x + 5 +
x + 8 = 6 , x = 1 ) y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1)

xy + x + 1 = 7y
C¥u 56
x2y2 + xy + 1 = 13y2
Minh Gi£i
¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi B - 2009. C¡c gi£i thæng th÷íng nh§t â l chia (1) cho y, chia (2)
cho y2 sau khi kiºm tra y = n 0 khæng ph£i l nghi»m. Ta s³ ÷ñc
Nguy¹8
:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x2 +
x
y
+
1
y2 = 13
,
8
:
x +
1
y
+
x
y
= 7

x +
1
y
2

x
y
= 13
,

a + b = 7
a2 b = 13
,

a = 4; b = 3
a = 5; b = 12
,
2
6666664
8
:
x +
1
y
= 4
x = 3y 1
x +
:
y
8 = 5
x = 12y
,

x = 1; y =
1
3
x = 3; y = 1

1;
1
3

; (3; 1)
Ti¸p töc ta ¸n th¶m mët c¥u tuyºn sinh núa

C¥u 57

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6
Gi£i
º þ thªt k¾ n¸u ta th¸ kh²o l²o xy l¶n (1) s³ ch¿ cán l¤i ph÷ìng tr¼nh ©n x. Dò s³ l bªc 4
nh÷ng li·u th¼ «n nhi·u. H» vi¸t l¤i
§n
TuMinh ¹n Nguy8
:
x4 + 2x2(xy) + x2y2 = 2x + 9
6x + 6 x2
xy =
2
Tø â (1) s³ t÷ìng ÷ìng
x4 + x2(6x + 6 x2) +

6x + 6 x2
2
2
= 2x + 9 ,

x = 4
x = 0
)

y =
17
4
V L

4;
17
4

C¥u 58

3 p
1 + x +
p
1 y = 2
x2 y4 + 9y = x(9 + y y3)
Gi£i
i·u ki»n : y 1
Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (1). X²t (2). º þ 1 tµo th¼ (2) câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh
(x y) (9 x y3) = 0 ,

x = y
x = 9 y3
Vîi x = y thay v o (1) ta s³ ÷ñc
3 p
p
1 y = 2 ,
1 + y+
8
:
a + b = 2
a3 + b2 = 2
b 0
,
2
4
a = 1; b = 1
a = 1
p
3; b = 3 +
p
3
a =
p
3 1; b = 3
p
3
,
2
4
y = 0
y = 6
p
3 11
p
3 11
y = 6
Vîi x = 9 y3 thay v o (1) ta s³ ÷ñc
3 p
10 y3 +
p
1 y = 2
Ta câ
3 p
10 y3 +
p
1 y 3 p
9 2
p
3 11; 6
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (6
p
3 11); (6
p
3 11;6
p
3 11)

2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 39
C¥u 59
p
xy +
p
1 y =
p
y
p
y
2
p
x 1
p
y = 1
Gi£i
i·u ki»n : x 1; 0 y 1
Tho¤t nh¼n b i to¡n ta th§y nh÷ l¤c v o m¶ cung nhúng c«n thùc. Tuy nhi¶n ch¿ vîi nhúng
¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n ta câ thº ch²m µp b i to¡n
n
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau
p
p
p
§2
y
x 1 =
y 1
Tø i·u ki»n d¹ th§y V T 0 V P
D§u b¬ng x£y ra khi x = y = 1
TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1)

p
p
x
17 4x2 + C¥u 60
p p
y
19 Minh 9y2 = 3
17 4x2 +
19 9y2 = 10 2x 3y
Gi£i
p
p
p
p
i·u ki»n :
17
x
17
;
19
y
19
2 2 3 3
B i to¡n n y xu§t hi»n tr¶n · thi thû l¦n 2 page Y¶u To¡n håc v tæi l t¡c gi£ cõa nâ. Þ
t÷ðng cp
õa nâ kh¡ ìn gi£n, phò hñp vîp
i 1 · thi tuyp
ºn sinh
º þ x
17 4x2 li¶n quan ¸n 2x v
17 4x2, y
19 9y2 li¶n quan ¸n 3y v 19 9y2.
V têng bp
¼nh ph÷ìng cõa n chóng p
l nhúng h¬ng sè. §y l cì sð º ta °t ©n
°t 2x +
17 4x2 ¹= a , 3x +
19 9y2 = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
Nguy8
:
a + b = 10
a2 17
4
+
b2 19
6
= 3
,

a = 5; b = 5
a = 3; b = 7
TH1 :

2x +
p
17 4x2 = 5
3y +
p
19 9y2 = 5
$
8
:

x =
1
2
x = 2
y =
5
p
13
6
TH2 :

2x +
p
17 4x2 = 3
3y +
p
19 9y2 = 7
(Lo¤i)

1
2
;
5 +
p
13
6
!
1
2
;
5
p
13
6
!
2;
5 +
p
13
6
!
2;
5
p
13
6
!

V ¥y l þ t÷ðng gèc cõa nâ. H¼nh thùc ìn gi£n hìn mët chót

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90
C¥u 61

p
p
p x
5 x2 + y
5 4y2 = 1
5 x2 +
p
5 4y2 = x 2y
Nghi»m : (x; y) = (1;1);
§n
TuMinh ¹n Nguy
2;
1
2

C¥u 62

x3 xy2 + y3 = 1
4x4 y4 = 4x y
Gi£i
Rã r ng l mët h» ÷a v· ÷ñc d¤ng ¯ng c§p b¬ng c¡ch nh¥n ch²o v¸ vîi v¸. Tuy nhi¶n, b i
n y n¸u sû döng ph²p th¸ tèt ta s³ ÷a v· mët k¸t qu£ kh¡ µp mt
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
4x(x3 1) = y(y3 1)
¸n ¥y ta rót x3 1 v y3 1 tø (1). Cö thº tø (1) ta câ

x3 1 = y3 y2x
y3 1 = xy2 x3
Thay t§t c£ xuèng (2) v ta thu ÷ñc
4xy2(y x) = xy(x2 y2) ,
2
664
x = 0
y = 0
x = y
4y = y + x
,
2
66664
y = 1
x = 1
x = y = 1
1
y =
3 p
25
; x =
3
3 p
25
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0); (1; 1);

1
3 p
25
;
3
3 p
25

C¥u 63
8
:
x +
p
x2 y2
x
p
x2 y2
+
x
p
x2 y2
x +
p
x2 y2
=
17
4
x(x + y) +
p
x2 + xy + 4 = 52
Gi£i
i·u ki»n : x6=
p
x2 y2, x2 y2 0, x2 + xy + 4 0
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ khõng bè nh÷ng nhúng þ t÷ðng th¼ ¢ lë h¸t. Ta câ thº khai th¡c c£
2 ph÷ìng tr¼nh. Pt(1) câ nhi·u c¡ch xû l½ : ¯ng c§p, °t ©n, li¶n hñp. Tæi s³ xû l½ theo h÷îng
sè 3. (1) khi â s³ l

x +
p
x2 y2
2
x2 (x2 y2)
+

x
p
x2 y2
2
x2 (x2 y2)
=
17
4
,
2 (2x2 y2)
y2 =
17
4
, y =
4x
5

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 41
Ti¸p töc khai th¡c (2). D¹ th§y °t
p
x2 + xy + 4 = t 0 th¼ (2) trð th nh
t2 + t = 56 ,

t = 7
t = 8(L)
) x2 + xy = 45
K¸t hñp l¤i ta ÷ñc
(
4
y =
x
5
,
x2 §n
+ xy = 45
TuMinh ¹n Nguy2
664
x = 5; y = 4
x = 5; y = 4
x = 15; y = 12
x = 15; y = 12
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4); (5; 4); (15; 12); (15;12)
C¥u 64
p
x +
p
y +
p
x
p
p y = 2
p
p
y +
x
y
p
x = 1
Gi£i
i·u ki»n : x; y 0 ,
p
y minfxg ,
p
x minfyg
Khæng t¼m ÷ñc mèi li¶n h» g¼ tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh, ta ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng nhi·u l¦n º
ph¡ vï to n bë c«n thùc khâ chàu. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
2x + 2
p
x2 y = 4 ,
p
x2 y = 2 x ) x2 y = x2 4x 4 , 4x y = 4
L m t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ câ : 4x 4y = 1. K¸t hñp 2 k¸t qu£ l¤i d¹ d ng t¼m
÷ñc x,y

17
12
;
5
3

C¥u 65
8
:
x +
2xy
3 p
x2 2x + 9
= x2 + y
y +
2xy
3 p
y2 2y + 9
= y2 + x
Gi£i
H¼nh thùc cõa b i h» l èi xùng. Tuy nhi¶n biºu thùc kh¡ cçng k·nh v l¤i nhªn x²t th§y
x = y = 1 l nghi»m cõa h¶. Câ l³ s³ ¡nh gi¡
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i ta câ
x2 + y2 = 2xy

1
3 p
x2 2x + 9
+
1
3 p
y2 2y + 9
!
Tø â ta nhªn x²t º câ nghi»m th¼ xy 0 v º þ l 3 p
t2 2t + 9 2 n¶n ta ¡nh gi¡
x2 + y2 2xy

1
2
+
1
2

, (x y)2 0

D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1)
C¥u 66
Tu§n
Minh n Nguy¹(
6
x
y
2 =
p
3x y + 3y
p
3x +
2
p
3x y = 6x + 3y 4
Gi£i
i·u ki»n : y6= 0 , 3x y, 3x +
p
3x y 0
Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ t÷ìng ÷ìng
6x 2y = y
p
3x y + 3y2 , 2 (3x y) y
p
3x y 3y2 = 0 ,
p
3x y = y
p
3x y =
3y
2
TH1 :
p
3x y = y. Tø ¥y suy ra y 0 v 3x = y2 + y thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc
p
y2 + y y = 2
2

y2 + y

+ 3y 4 ,

2y2 + 7y 4 = 0
y 0
, y = 4 ) x = 4
TH2 :
p
3x y =
3y
2
. Tø ¥y suy ra y 0 v 3x =
9y2
4
+ y thay t§t c£ v o (2) ta công s³ t¼m
÷ñc y =
8
9
) x =
8
9

8
9
;
8
9

C¥u 67

p
2 x 2y
(3 x)
p
2y 1 = 0
3 p
p
y + 2 = 5
x + 2 + 2
Gi£i
i·u ki»n : x 2; y
1
2
p
2 x +
(2 x)
p
2y 1 +
p
2 x = (2y 1)
p
2y 1 , f(
p
2y 1)
p
2x 1) = f(
Vîi f(x) = x3 + x ìn i»u t«ng. Tø â suy ra
p
2 x =
p
2y 1 , x = 3 2y thay v o (2)
ta câ
3 p 5 2y + 2
p
y + 2 = 5 ,

a + 2b = 5
a3 + 2b2 = 9
,
2
6664
a = 1; b = 2
a =
p
65
4
3
; b =
p
65
8
23 +
a =
p
65 3
4
; b =
p
65
8
23

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 43
,
2
6664
y = 2
y =
233 + 23
p
65
32
y =
p
65
233 23
32
Vªy h» ¢ cho câ
nghi»m
p
p
!
p
p
!
23
65 185
233 23
65
23
65 + 185
233 + 23
65
(x; y) = (1; 2);
;

;

16
32
16
32
n
Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè công l mët h÷îng kh¡ phê bi¸n trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh.
Ch¿ c¦n kh²o l²o nh¼n ra d¤ng cõa h m, ta câ thº rót ra nhúng i·u k¼ di»u tø nh§úng ph÷ìng
tr¼nh khæng t¦m th÷íng chót n o
Tu p
p
1 + xy +
1 + x + y = 2
C¥u 68
x2y2 xy = x2 + y2 + x + y
Gi£i
i·u ki»n : xy 1 , x + y 1
Mët chót bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) ta Minh s³ ÷ñc

x2y2 y)2 x + y = xy
+ xy = (x + + x + y , (xy x y)(xy + x + y + 1) = 0 ,
x + y = xy 1
TH1 : xy = x + y thay v o (1) ta ÷ñc
p
2
1 + xy = 2 , xy = 0 , x = y = 0
TH2 : x + y = xy 1 thay n v o (1) ta ÷ñc
p
p
1 + xy +
xy = 2(V L)
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (0; 0)
C¥u 69
8
:
x +
3x y
x2 + y2 = 3
y
x + 3y
x2 + y2 = 0
Gi£i
Tæi khæng nh¦m th¼ b i to¡n n y ¢ xu§t hi»n tr¶n THTT, tuy nh¼n h¼nh thùc cõa h» kh¡ µp
mt v gån nhµ nh÷ng khæng h· d¹ gi£i mët chót n o. H÷îng l m tèi ÷u cõa b i n y â l phùc
hâa. Düa v o þ t÷ðng h» kh¡ èi xùng çng thíi d÷îi m¨u nh÷ l b¼nh ph÷ìng cõa Moun m
ta sû döng c¡ch n y. H÷îng gi£i nh÷ sau
PT(1)+i.PT(2) ta s³ ÷ñc
x + yi +
3(x yi) (xi + y)
x2 + y2 = 0

°t z = x + yi khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh
z +
3z iz
jzj2 = 3 , z +
3z iz
z:z
= 3 , z +
3 i
z
= 3 ,

z = 2 + i
z = 1 i
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (1;1)
H¼nh thùc cõa nhúng b i h» n y kh¡ d¹ nhªn th§y. Thû l m mët sè c¥u t÷ìng tü nh².
§n
C¥u 70
TuMinh ¹n Nguy8
:
x +
5x + 7
p
5y
x2 + y2 = 7
y +
p
5x 5y
x2 + y2 = 0
7
C¥u 71
8
:
x +
5x y
x2 + y2 = 3
y
x + 5y
x2 + y2 = 0
C¥u 72
8
:
x +
16x 11y
x2 + y2 = 7
y
11x + 16y
x2 + y2 = 0
C¥u 73

(6 x)(x2 + y2) = 6x + 8y
(3 y)(x2 + y2) = 8x 6y
Gñi þ : Chuyºn h» ¢ cho v· d¤ng
8
:
x +
6x + 8y
x2 + y2 = 6
y +
8x 6y
x2 + y2 = 3
Nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (4; 2)
Phùc hâa l mët ph÷ìng ph¡p kh¡ hay º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh mang t½nh ¡nh è cao. Khæng
ch¿ vîi lo¤i h» n y m trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u mët v i c¥u h» kh¡c công sû döng
phùc hâa kh¡ µp mt.

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 45
C¥u 74

4x2y2 6xy 3y2 = 9
6x2y y2 9x = 0
Gi£i
¥y l mët b i to¡n công kh¡ µp mt. Th§y x = 1 l nghi»m cõa h» . Ta suy ra
PT(1) + PT(2) , (x 1)(4y2(x + 1) + 6xy 9) = 0
n
TH1 : x = 1 ) y = 3
TH2 : 4y2(x + 1) + 6xy 9 = 0
§V¼ x = 0 khæng l nghi»m. Suy ra 4y2x(x + 1) + 6x2y 9x = 0 (*)
V¼ sao nh¥n x v o §y. UCT ch«ng ? Tæi ch¿ giîi thi»u cho c¡c b¤n UCT n¥ng cao thæi chù
tæi ch£ dòng bao gií. L½ do ch¿ ìn gi£n tæi muèn xu§t hi»n 6x2y Tu9x = y2 tø (2) thæi
Vªy (*) , 4y2x(x + 1) + y2 = 0 , y2(2x + 1)2 = 0
TH1 : y = 0 væ nghi»m
1
3
TH2 : x =
) y = 3; y =
2
2
Minh

1
1
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3);

; 3
;

;

2
2
2
C¥u 75
¹n Nguy8
:
x2
(y + 1)2 +
y2
(x + 1)2 =
1
2
3xy = x + y + 1
Gi£i
i·u ki»n x; y6= 1
B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i. Tæi xin giîi thi»u c¡ch µp ³ nh§t cõa b i n y
p döng B§t ¯ng thùc AM GM cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ
V T
2xy
(x + 1)(y + 1)
=
2xy
xy + x + y + 1
=
2xy
xy + 3xy
=
1
2
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1);

1
3
;
1
3

C¥u 76

3y2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y
p
x2 + 2y + 1
y(y x) = 3 3y
Gi£i
i·u ki»n : x2 + 2y + 1 0
Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (2). Thû bi¸n êi (1) xem sao. PT(1) t÷ìng ÷ìng
4y2 4y
p
x2 + 2y + 1 + x2 + 2y + 1 = x2 2xy + y2 ,

2y
p
x2 + 2y + 1
2
= (x y)2

,
p
px2 + 2y + 1 = 3y x
x2 + 2y + 1 = x + y
Câ v´ hìi £o nh¿ ? Nh÷ng º þ mët chót th¼ (1) câ vâc d¡ng cõa c¡c h¬ng ¯ng thùc n¶n ta
ngh¾ ¸n h÷îng n y
B¥y gií xû l½ hai tr÷íng hñp kia th¸ n o ? Chc b¼nh ph÷ìng thæi. Tèt qu¡ ! Ph÷ìng tr¼nh s³
ch¿ cán l¤i xy v y m nhúng c¡i â th¼ (2) ¢ câ c£
TH1 :
p
x2 + 2y + 1 = 3y x

n
3y x
,
,
x2 + 2y + 1 = 9y2 6xy + x2 Tu§Minh n Nguy¹8
:
3y x
6xy = 9y2 2y 1
xy = y2 + 3y 3(2)
,

x = 1; y = 1(TM)
x =
415
51
; y =
17
3
(TM)
TH2 :
p
x2 + 2y + 1 = x + y
,

x + y 0
x2 + 2y + 1 = x2 + 2xy + y2 ,
8
:
x + y 0
2xy = y2 + 2y + 1
xy = y2 + 3y 3
,

x = 1; y = 1
x =
41
21
; y =
7
3
(L)

415
51
;
17
3

Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t. Tam thùc bªc hai câ kh¡ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n v h» công
khæng ph£i l ngo¤i l». Ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n : °t i·u ki»n cõa º tam
thùc câ nghi»m m ta câ thº t¼m ra cüc trà cõa c¡c ©n. Tø â ¡nh gi¡ v gi£i quy¸t nhúng
b i to¡n m c¡c ph÷ìng ph¡p thæng th÷ìng công bâ tay. Lo¤i h» sû döng ph÷ìng ph¡p n y
th÷íng cho d÷îi hai d¤ng ch½nh. Thù nh§t : cho mët ph÷ìng tr¼nh l tam thùc, mët ph÷ìng
tr¼nh l têng ho°c t½ch cõa hai h m f(x) v g(y). Thù hai : cho c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ·u l
ph÷ìng tr¼nh bªc hai cõa 1 ©n n o â. H¢y thû l÷ît qua mët chòm h» lo¤i n y nh².
C¥u 77
(
x4 + y2 =
698
81
x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0
Gi£i
H¼nh thùc cõa h» : mët ph÷ìng tr¼nh l tam thùc bªc hai mët câ d¤ng f(x) + g(y) v mët sè
kh¡ khõng bè. Ta h¢y khai th¡c ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng c¡ch ¡nh gi¡
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) d÷îi d¤ng sau

x2 + (y 3)x + (y 2)2 = 0()
y2 + (x 4)y + x2 3x + 4 = 0()
º (*) câ nghi»m th¼ x 0 , (y 3)2 4(y 1)2 0 , 1 y
7
3
º (**) câ nghi»m th¼ y 0 , (x 4)4 4(x2 3x + 4) 0 , 0 x
4
3
Tø i·u ki»n ch°t cõa hai ©n gií ta x²t (1) v câ mët ¡nh gi¡ nh÷ sau
x4 + y2

4
3
4
+

7
3
2
=
697
81

698
81

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 47
Thû mët c¥u t÷ìng tü nh²
(
50
x3 + y2 =
C¥u 78
27
x2 + xy + y2 y = 1
§n
Gi£i
49
50
L m t÷ìng tü v tø (1) ta s³ rót ra x3 + y2

27
27
Tu
(2x2 3x + 4)(2y2 3y + 4) = 18
C¥u 79
x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0
Gi£i
H¼nh thùc kh¡ quen thuëc nh÷ng ph÷ìng tr¼nh ¦u cho ð d¤ng f(x):f (y). Ch£ sao ! Cù l m
nh÷ ban n¢y.
Minh Tø ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng ¡nh gi¡ quen thuëc ta rót ra
¹n Nguy8
:
2 x
10
3
1 y
7
3
i·u ki»n tr¶n õ º f(x) v f(y) ìn i»u t«ng v¼ f0(x) = 4x 3 0 vîi x nh÷ tr¶n
Vªy ta câ
f(2):f (1) f(x):f (y) f

10
3

:f

7
3

, 18 f(x):f (y)
10366
81
D§u b¬ng x£y ra khi x = 2 v y = 1 thay l¤i v o (2) th§y khæng thäa.
C¥u 80
(
(2x2 1)(2y2 1) =
7
2
xy
x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0
Gi£i
Mët chót bi¸n êi ta s³ ÷a v· gièng c¥u 79
Nhªn th§y x = y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia c£ 2 v¸ ph÷ìng tr¼nh (1) cho xy v ta s³
÷ñc
2x
1
x

2y
1
y

=
7
2

Quen thuëc rçi nh¿. B i n y v¨n væ nghi»m
C¥u 81

x2y2 2x + y2 = 0
2x2 4x + 3 + y3 = 0
Gi£i
n
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gån nhµ nh÷ng khæng d¹ g¼ gi£i ÷ñc b¬ng c¡c c¡ch th§æng th÷íng.
Nh÷ng º þ c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u l bªc hai vîi ©n x. Vªy n¶n gi£ sû câ nghi»m x th¼ rã
r ng x 0
Nh÷ vªy tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh ta câ

Tu1 y4 0
1 y 1
,
) y3) y = 1
4 2(3 + 0
y 1
Thay l¤i v ta s³ t¼m ÷ñc x = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1)
OK ? Tæi s³ ÷a th¶m 3 v½ dö núa º Minh c¡c b¤n test

x2 2x + 2 y2 = 0
C¥u 82
x2y3 2x + y = 0
Nghi»m : (x; y) = (1; 1)
n
Nguyx2y2 x2 + 4y2 12x = 4
C¥u 83
2x2 + ¹2y2 8x + 9y + 18 = 0
Nghi»m : (x; y) = (2;2)

x2y2 8x + y2 = 0
C¥u 84
2x2 4x + 10 + y3 = 0
Nghi»m : (x; y) = (1;2)
Nm rã rçi chù ? Ti¸p töc ¸n vîi c¡c c¥u ti¸p theo.

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 49
C¥u 85

(x + 1)(y + 1) + 1 = (x2 p
+ x + 1)(y2 + y + 1)
x3 + 3x + (x3 y + 4)
x3 y + 1 = 0
Gi£i
i·u ki»n : x3 y + 1 0
Tho¤t nh¼n b i to¡n câ v´ d¹ d ng khi º þ mët chót th¼ (2) câ d¤ng h m sè. Tuy nhi¶n §y
v¨n ch÷a ph£i l nót tht. ¥y l mët b i to¡n y¶u c¦u kh£ n«ng xû l½ ph÷ìng tr¼nh n
bªc cao
tèt. Tam thíi ta xû l½ (2) tr÷îc ¢.
p
§°t
x3 y + 1 = t khi â ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l
x3 + 3x + t3 + 3t = 0 , x3 + 3x = (t)3 + 3(t) , Tut = x

x 0
,
y = x3 x2 + 1
i·u ki»n x 0 kh¡ quan trång. Nâ gióp ta câ ¡nh gi¡ tèt hìn sau ¥y
PT(1) , 1 = x2y + x2 + y2x + y2 + x2y2
, 1 = x2(x3 x2 + 1) + x2 + Minh x(x3 x2 + 1)2 + (x3 x2 + 1)2 + x2(x3 x2 + 1)2
, x8 x7 + 2x5 + x2 + x = 0
TH1 : x = 0 ) y = 1 (TM)
TH2 : x7 + 2x4 + x = x6 1

x(x3 1)2 (x3 1)(x3 x = 1 ! y = 1(TM)
, + = + 1) ,
x4 x3 + x + 1 = 0()
n 1
1
1
() , x4 + x + 1 = x3 , x4 x2 +
+ x2 + x +
+
= x3
4
4
2

1
2
1
2
1
Nguy¹,
x2
+
x +
+
= x3
2
2
2
Do V T 0 V P n¶n væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1)

p
x3(4y2 + 1) p
+ 2(x2 + 1)
x = C¥u 86
p
6
x2y(2 + 2
4y2 + 1) = x +
x2 + 1
Gi£i
i·u ki»n : x 0
H¼nh thùc cõa b i h» rã r ng l kh¡ rc rèi. Tuy nhi¶n, º þ ð (2) n¸u ta chia c£ 2 v¸ cho x2
th¼ s³ cæ lªp ÷ñc x v y v hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼.
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Chia 2 v¸ cõa (2) cho x2 ta ÷ñc
2y + 2y
p
4y2 + 1 =
1
x
+
1
x
r
1
x2 + 1

p
t2 + 1 v h m n y ìn i»u t«ng. Vªy tø â ta suy ra
Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + t
÷ñc 2y =
1
x
thay v o (1) ta câ
x3

1
x2 + 1

+ 2(x2 + 1)
p
x = 6
p
, x3 + x + 2(x2 + 1)
x = 6
n
Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng vîi i
·u ki
»n cõa x. Vªy x = 1 l nghi»m duy nh§t
1
1;

Tu§2
p
p
p 7x + y +
2x + y = 5
C¥u 87
2x + y + x y = 2
Gi£i
¥y l c¥u trong · VMO 2000-2001. Khæng h¯n l mët c¥u qu¡ khâ
i·u ki»n : y minf2x;7xg
p
Minh p
Xu§t hi»n hai c«n thùc vªy thû °t
7x + y = a ,
2x + y = b xem
Nh÷ng cán x y th¼ th¸ n o ? Chc s³ li¶n quan ¸n a2; b2. Vªy ta sû döng çng nh§t thùc
3
8
x y = k(7x + y) + l(2x + y) , k =
; l =
5
5
Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
¹n Nguy8
:
a + b = 5
b +
3a2
5

8b2
5
= 2
a; b 0
,
8
:
a =
p
77
2
15
b =
p
77 5
2
,
8 :
7x + y =
p
77
151 15
2
2x + y =
p
77
2
51 5
,
8
:
x = 10
p
77
y =
p
77
2
11

10
p
77;
p
77
2
11
!

Mët c¡ch kh¡c công kh¡ tèt. °t
p
7x + y = a;
p
2x + y = b v ta x¥y düng mët h» t¤m sau

a + b = 5
a2 b2 = 5x
,

a + b = 5
a b = x
, b =
5 x
2
Thay v o (2) v ta ÷ñc
5 x
2
+ x y = 2 , x = 2y 1
¸n ¥y thay l¤i v o (2) v ta công ra k¸t qu£
Mët v½ dö t÷ìng tü cõa b i n y

2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 51
C¥u 88
p
11x y
p
y x = 1
p
y x + 6y 26x = 3
7
Nghi»m : (x; y) =

37
20
;
81
10

§n
C¥u 89
TuMinh ¹n Nguy8
:
p
3x

1 +
1
x + y

= 2
p
7y

1
1
x + y

p
2
= 4
Gi£i
¥y l c¥u trong · VMO 1995-1996. Mët þ t÷ðng kh¡ µp mt m s¡ng t¤o
i·u ki»n : x; y 0; x + y 0
8
:
1 +
1
x + y
=
2
p
3x
1
1
x + y
=
p
4
2
p
7y
,
8
:
1
x + y
=
1
p
3x

p
2
2
p
7y
1 =
1
p
3x
+
p
2
2
p
7y
,
1
x + y
=

1
p
3x

p
2
2
p
7y
!
1
p
3x
+
p
2
2
p
7y
!
,
1
x + y
=
1
3x

8
7y
, 21xy = (x + y)(7y 3x)
, (y 6x)(7y + 4x) = 0 , y = 6x
Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc
1 +
1
7x
=
2
p
3x
, x =
11 + 4
p
7
21
) y =
22
7
+
8
p
7
Mët p
c¡ch kh¡c câ thº sû döng trong b i n y â l phùc hâa. Nâ mîi xu§t hi»n g¦n ¥y
p
°t
x = a 0 ,
y = b 0. Ta câ h» mîi nh÷ sau
8
:
a +
a
a2 + b2 =
2
p
3
b
b
a2 + b2 =
p
2
p
7
4
PT(1) + i:PT(2) , (a + bi) +
a bi
a2 + b2 =
2
p
3
+
p
2
p
7
4
i
°t z = a + bi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
z +
1
z
=
2
p
3
+
p
2
p
7
4
i ) z ) a; b ) x; y


11 + 4
p
7
21
;
22
7
+
8
p
7
!

B i h» n y câ kh¡ nhi·u dà b£n phong phó. Tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n
C¥u 90
Tu§n
Minh n Nguy¹8
:
p
x
3

1 +
6
x + y

=
p
2
p
y

1
6
x + y

= 1
Nghi»m : (x; y) = (8; 4)
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120
C¥u 91
8
:
p
x

1
12
y + 3x

= 2
p
y

1 +
12
y + 3x

= 6
p
3; 12 + 6
Nghi»m : (x; y) = (4 + 2
p
3)
C¥u 92
8
:
p
10x

1 +
3
5x + y

= 3
p
y

1
3
5x + y

= 1
Nghi»m : (x; y) =

2
5

; 4
C¥u 93
8
:
4 p
x

1
4
+
p
x +
2
p
y
x + y

= 2
4 p
y

1
4

p
x +
2
p
y
x + y

= 1
Ti¸p theo ta ¸n mët v i v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 53
C¥u 94

x
p
1 y2 + y
p
1 x2 = 1
(1 x)(1 + y) = 2
Gi£i
i·u ki»n : jxj 1 , jyj 1
h
i

i·u ki»n n y cho ta þ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sina , y = sinb vîi a; b 2

;
2
2
n

sinacosb + sinbcosa = 1 , sin(a + b) = 1 , a + b =
§2

Tu

a =
b =
(1 sina)(1 + sinb) = 2 , (1 sina)(1 + cosa) = 2 ,
2
,

a = 0
b =
2

x = 1; y = 0(L)
,
x = 0; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1)

2y = x(1 y2)
C¥u 95
3x x3 = y(1 3x2)
Gi£i
Tho¤t nh¼n ta th§y câ v´ hn » n y công xo ng, ch£ câ g¼ khi vi¸t nâ d÷îi d¤ng

xy2 = x 2y
Nguy¹x3 3x2y = 3x y
÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p, nh÷ng c¡i ch½nh ð ¥y l nghi»m nâ qu¡ l´. Vªy thû h÷îng kh¡c
xem. Vi¸t l¤i h» ¢ cho sau khi ¢ x²t
8
:
x =
2y
1 y2
y =
3x x3
1 3x2
Nh¼n biºu thùc v¸ ph£i câ quen thuëc khæng ? R§t gièng cæng thùc l÷ñng gi¡c nh¥n æi v
nh¥n ba cõa tan. Vªy þ
t÷ðng ¢ n£y ra
°t x = tan vîi 2

2
;

2

. Tø PT(2) ta s³ câ
y =
3 tan tan3
1 3tan2
= tan 3
M nh÷ th¸ theo (1) ta s³ câ
x =
2 tan 3
1 tan23
= tan 6

Tø â suy ra
tan = tan 6 , =
k
5
, =

2
5
;

5
; 0;

5
;
2
5


tan
2
5
; tan
6
5

;

tan

5
; tan
3
5

; (0; 0)
L m mët b i t÷ìng tü nh².
§n
C¥u 96
TuMinh ¹n Nguy8
:
y =
3x x3
1 3x2
x =
3y y3
1 3y2
Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh c¦n ph£i nm rã c¡c h¬ng
¯ng thùc, ¯ng thùc, cæng thùc l÷ñng gi¡c, v c¦n mët nh¢n quan tèt º ph¡t hi»n mët biºu
thùc n o â gièng vîi mët cæng thùc l÷ñng gi¡c.
C¥u 97

x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 30 = 0
x2y + x(1 + y + y2) + y 11 = 0
Gi£i
¥y l mët h» kh¡ m¤nh nh÷ng hay. Nh¼n v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta th§y c¡c bi¸n k¸t d½nh vîi
nhau kh¡ tèt v h¬ng sè câ v´ nh÷ ch¿ l k´ ùng ngo i. Vªy h¢y vùt h¬ng sè sang mët b¶n v
thüc hi»n bi¸n êi v¸ tr¡i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng

xy(x + y)(x + y + xy) = 30
xy(x + y) + x + y + xy = 11
¸n ¥y þ t÷ðng ¢ rã r ng. °t a = xy(x + y) , b = xy + x + y v h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng

ab = 30
a + b = 11
,

a = 5; b = 6
a = 6; b = 5
,
2
664

xy(x + y) = 5
xy + x + y = 6
xy(x + y) = 6
xy + x + y = 5
TH1 :

xy(x + y) = 6
xy + x + y = 5
,
2
664

xy = 2
x + y = 3
xy = 3
x + y = 2
(L)
,

x = 2; y = 1
x = 1; y = 2
TH2 :

xy(x + y) = 5
xy + x + y = 6
,
2
664

xy = 5
x + y = 1
(L)

xy = 1
x + y = 5
,
2
64
x =
5
p
21
2
; y =
5 +
p
21
2
x =
5 +
p
21
2
; y =
5
p
21
2

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 55
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2); (2; 1);

5
p
21
2
;
5
p
21
2
!

T¡c gi£ cõa nâ ¢ r§t kh²o l²o trën nhi·u l¦n c¡ch °t ©n têng t½ch v o mët h», g¥y nhi·u khâ
kh«n cho ng÷íi l m
§n
C¥u 98
TuMinh ¹n Nguy8
:
r
sin2x +
1
sin2x
+
r
cos2y +
1
cos2y
=
r
20y
r x + y
sin2y +
1
sin2y
+
r
cos2x +
1
cos2x
=
r
20x
x + y
Gi£i
B i to¡n xu§t hi»n trong · VMO 2012-2013. H¼nh thùc b i h» câ sü kh¡c l¤ khi câ c£ h m
l÷ñng gi¡c chen ch¥n v o. Vîi kiºu h» n y ¡nh gi¡ l c¡ch tèt nhp
§t
Ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh vîi nhau v s³ chùng minh V T 2
10 V P
p döng B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ ph£i ta ÷ñc
r
20y
x + y
+
r
20x
x + y

s
2

20y
x + y
+
20x
x + y

p
10
= 2
p
10 tùc l ph£i chùng minh
Gií ta s³ chùng minh : V T 2
r
sin2x +
1
sin2x
+
r
cos2x +
1
cos2x

p
10
V T =
s
sin x
1
sin x
2
+
p
2
2
+
s
cos x
1
cos x
2
+
p
2
2

s
1
sin x
+
1
cos x
2
(sin x + cos x)
+

2
2
p
2
Hiºn nhi¶n ta câ sinx + cosx
p
2 n¶n
1
sin x
+
1
cos x
(sin x + cos x)
4
sin x + cos x

p
2
4
p
2

p
2 =
p
2
Vªy V T
p
2 + 8 =
p
10. T÷ìng tü vîi bi¸n y v ta câ i·u ph£i chùng minh
¯ng thùc x£y ra khi x = y =

4
+ k2

C¥u 99

x
p
x
p
x = y
p
y + 8
p
y
x y = 5
Gi£i
i·u ki»n : x; y 0
Æ h» n y cho mët ph÷ìng tr¼nh ìn gi£n qu¡. Th¸ th¯ng l¶n (1) ch«ng ? Khæng n¶n ! Bi¸n êi
1 tµo ¢ rçi h¢y th¸. H÷îng bi¸n êi kh¡ ìn gi£n l l m ph¡ vï c«n thùc
n
p
p
§x(x 1) =
y(y + 8) ) x(x 1)2 = y(y + 8)2
¸n ¥y thüc hi»n th¸ x = y + 5 l¶n (1) v ta ÷ñc
Tu(y + 5)(y + 4)2 = y(y + 8)2 , y = 4 ) x = 9
C¥u 100
Minh n Nguy¹8
:
1
p
x
+
y
x
=
p
x
y
2
+ 2
y
p

=
x2 + 1 1
p
3x2 + 3
Gi£i
i·u ki»n : x 0; y6= 0
Rã r ng vîi i·u ki»n n y th¼ tø (2) ta th§y ngay º câ nghi»m th¼ y 0
p
x + y
x
=
p
x + y)
y
2 (
,
p
x + y = 0(L)
y = 2x
Vîi y = 2x thay v o (2) ta ÷ñc
2x
p

=
x2 + 1 1
p
3x2 + 3 ,

2x
p
p
3
x2 + 1 = 2x ,
p
x2 + 1 =
2x
2x
p
3
Rã r ng vp
¸ tr¡i ìn ip
»u t«ng v v¸ ph£i ìn i»u gi£m n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy
nh§t x =
3 ) y = 2
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (
p
3; 2
p
3)

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 57
C¥u 101

y = x3 + 3x + 4
x = 2y3 6y 2
Gi£i
H¼nh thùc b i h» kh¡ gån nhµ nh÷ng công õ khi¸n nhi·u ng÷íi ph£i lóng tóng. Nhªn x²t
x = y = 2 l nghi»m. Ta ti¸n h nh t¡ch nh÷ sau

n
y 2 = (x + 1)2(x 2)
x 2 = (y + 1)2(y 2)
§¸n ¥y nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ ta ÷ñc
2(y 2)2(y + 1)2 = (x + 1)2(x 2)2
TuD¹ th§y V T 0 V P. Ð ¥y ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 2

x3 xy2 + 2000y = 0
C¥u 102
y3 yx2 500x = Minh 0
Gi£i
D¹ d ng ÷a ÷ñc v· h» ¯ng c§p. Nh÷ng ta bi¸n êi mët tµo º nâ tèi ÷u.
n 2

x (x2 y2) = 2000y
¹) 500x2(x2 y2) = 2000y2(x2 y2) ,
y(x2 y2) = 500x
Nguy664
x = y
x = y
x = 2y
x = 2y
Thay l¤i vîi méi tr÷íng hñp v o (1) v ta ÷ñc
2
66664
y = 0; x r
= 0
y = 10
10
3
r
; x = 20
10
3
r
y = 10
10
3
r
; x = 20
10
3

20
r
10
3
r
;10
10
3
!


C¥u 103
8
:
3
x2 + y2 1
+ 2
y
x
= 1
x2 + y2 + 4
x
y
= 22
Gi£i
y
Þ t÷ðng °t ©n phö ¢ rã r ng. °t x2 + y2 1 = a ,
= b . H» ¢ cho t÷ìng ÷ì§ng
x
n
TuMinh ¹n Nguy8
:
3
a
+ 2b = 1
a +
4
b
= 21
,
2
64
a = 7; b =
2
7
a = 9; b =
1
3
,
2
664

x2 + y2 = 8
2x = 7y
x2 + y2 = 10
x = 3y
2
4 y = 4
r
2
53
r
; x = 14
2
53
x = 3; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1)

14
r
2
53
r
;4
2
53
!

C¥u 104
8
:
r
x +
1
y
+
p
x + y 3 = 3
2x + y +
1
y
= 8
Gi£i
i·u ki»n : y6= 0; x +
1
y
0; x + y 3
Þ t÷ðr
ng °t ©n phö công ¢ kh¡ rã r ng.
°t
x +
1
y
= a 0;
p
x + y 3 = b 0 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng

a + b = 3
a2 + b2 = 5
,

a = 1; b = 2
a = 2; b = 1
,
2
6666664
8 :
x +
1
y
= 1
x + y 3 = 4 1
x +
= 4
:
8
y
x + y 3 = 1
,
2
664
x = 4
p
10; y = 3 +
p
10
x = 4 +
p
10; y = 3
p
10
x = 3; y = 1
x = 5; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); (5;1)(4
p
10; 3
p
10)

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 59
C¥u 105

x3(2 + 3y) = 8
x(y3 2) = 6
Gi£i
¥y l mët c¥u kh¡ gièng c¥u sè 37
Nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 2)
n

§2x2y + 3xy = 4x2 + 9y
C¥u 106
7y + 6 = 2x2 + 9x
TuGi£i
B i n y n¸u l÷íi ngh¾ câ thº dòng mæn vã th¸ th¦n ch÷ðng y v o PT(1). Nh÷ng h¢y dòng UCT
ð ¥y s³ tèt hìn.
Nhªn th§y y = 3 l nghi»m (c¡i n y gið l¤i nh², tæi khæng gi£i th½ch núa), thay y = 3 v o h»
ta câ
Minh 2x2 + 9x 27 = 0
27 2x2 + 9x = 0
Nh÷ vªy h÷îng cõa ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh ban ¦u l¤i v nh¥n tû y 3 s³ xu§t hi»n. Vªy

PT(1) + PT(2) , (3 y)
2x2 + 3x 2
= 0

p
!
n 16
1
1
3(3
33)
¸n ¥y d¹ d ng gi£i ra (x; y) =
2;
;
;
;

; 3

7
2
7
4
Nguy
¹x2 + 3y = 9
C¥u 107
y4 + 4(2x 3)y2 48y 48x + 155 = 0
Gi£i
¥y l mët c¥u kh¡ hâc, khæng ph£i ai công câ thº d¹ d ng gi£i nâ ÷ñc.
Th¸ 3y = 9 x2 tø (1) xuèng (2) ta ÷ñc
y4 + 8xy2 12y2 16(9 x2) 48x + 155 = 0

y2 y4 + 4x = 1
, + 8xy2 + 16y2 12(y2 + 4x) + 11 = 0 ,
y2 + 4x = 11
TH1 :
y2 + 4x = 11 ,

9 x2
3
2
+ 4x = 11 , x4 18x2 + 36x 18 = 0
, x4 = 18(x 1)2 ,

x2 3
p
2x + 3
p
2 = 0
x2 + 3
p
2 = 0
p
2x 3

,
2
664
x =
p
2
3
p
18 12
p
2
p
2
18 12
) y =
p
36 24
p
2 6
12
p
2
12
x =
p
2
3
p
2
2
) y =
p
36 24
p
2 6
12
p
2
12
TH2 :
y2 + 4x = 1 ,
§n
TuMinh n Nguy¹
9 x2
3
2
+ 4x = 1 , x4 18x2 + 36x + 72 = 0
,

x2 6x + 12

x2 + 6x + 6

= 0 , x = 3
p
3 ) y = 1 2
p
3
Vªy h» câ c£ th£y 6 nghi»m nh÷ tr¶n
Mët thc mc nhä l ð TH2 v¼ sao x4 18x2 + 36x + 72 = (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6). T¡ch
nh¥n tû kiºu g¼ hay vªy ? Casio truy nh¥n tû ch«ng ? Câ thº lm. Nh÷ng thüc ra ph÷ìng tr¼nh
bªc 4 ¢ câ c¡ch gi£i têng qu¡t b¬ng cæng thùc Ferrari. èi vîi v½ dö tr¶n ta l m nh÷ sau
x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x4 2ax2 + a2 = (18 2a) x2 36x + a2 72
Ta ph£i t¼m a sao cho v¸ ph£i ph¥n t½ch ÷ñc th nh b¼nh ph÷ìng. Nh÷ th¸ ngh¾a l
182 = (18 2a)

a2 72

, a = 9
Nh÷ vªy
x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , (x2 + 9)2 = 9(2x 1)2 , (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6) = 0
Chi ti¸t v· gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 c¡c b¤n câ thº t¼m d¹ d ng tr¶n google. Gií ta ti¸p töc c¡c
b i h». Ti¸p theo l mët chòm h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ d¹ nh¼n.
C¥u 108
8
:

x +
p
x2 + 1

y +
p
y2 + 1

= 1
y +
y
p
x2 1
=
35
12
Gi£i
i·u ki»n : x2 1
Khæng thº l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Tø (1) ta nhªn x²t th§y hai h m gièng nhau nh÷ng chóng
l¤i d½nh ch°t vîi nhau, khæng chàu t¡ch ríi. Vªy ta dùt chóng ra. Ph²p li¶n hñp s³ gióp ta

x +
p
x2 + 1

y +
p
y2 + 1
p
y2 + 1 y

=
p
y2 + 1y , x+
p
x2 + 1 = y +
p
y2 + 1
T¡ch ÷ñc rçi nh÷ng câ v´ hai b¶n khæng cán gièng nhau núa. Khoan !! N¸u thay y2 = (y)2
th¼ sao nh¿. Qu¡ tèt. Nh÷ vªy c£ hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t +
p
t2 + 1 v h m n y ìn i»u
t«ng. Tø â ta rót ra x = y
Thay l¤i v o (2) ta ÷ñc
y +
y p
y2 1
=
35
12

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 61
¥y thüc ra l mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ khâ chàu. Tho¤t ti¶n khi th§y lo¤i n y ta s³ b¼nh ph÷ìng
2 v¸ l¶n. i·u ki»n b¼nh ph÷ìng l y 0 khi â ta câ
y2 +
2y2
p
y2 1
+
y2
y2 1
=

35
12
2
,
y4 y2 + y2
y2 1
+
2y2
p
y2 1
=

35
12
2
y2
¸n ¥y ¢ kh¡ rã r ng . °t
p
= t 0 v ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng
y2 1
n
2

35
2
Tu§t2 + 2t
= 0 ,
12
Minh ¹n Nguy64
t =
49
12
(L)
t =
25
12
,
y2
p
y2 1
=
25
12
,
2
64
y =
5
4
y =
5
3
èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng ch¿
l§y 2 gi¡ trà d÷ìng.

5
4
;
5
4

;

5
3
;
5
3

C¥u 109

p
5 2y = 0
(4x2 + 1)x + (y 3)
4x2 + y2 + 2
p
3 4x = 7
Gi£i
i·u ki»n : y
5
2
; x
3
4
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau
(4x2 + 1)x = (3 y)
p
5 2y , (4x2 + 1)2x = (6 2y)
p
5 2y , f (2x) = f
p
5 2y

Vîi f(t) = t3 + t l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2x =
p
5 2y ) x 0 thay v o (2) ta câ
4x2 +

5
2
2x2
2
+ 2
p
3 4x = 7
Gií cæng vi»c cõa ta l kh£o s¡t h m sè v¸ tr¡i tr¶n

0;
3
4

v chùng minh nâ ìn i»u gi£m.
Xin nh÷íng l¤i b¤n åc
Vîi h m sè v¸ tr¡i ìn i»u gi£m ta câ x =
1
2
l nghi»m duy nh§t ) y = 2

1
2

; 2
H¢y º þ k¾ mèi t÷ìng quan giúa c¡c biºu thùc trong mët ph÷ìng tr¼nh va ta s³ ¤t möc ½ch

C¥u 110

p y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2
p
1 x2
y =
p
2 y 1
Gi£i
i·u ki»n : 0 y 2;1 x 1
n
y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) , y = x + 1
§Thay v o (2) ta câ p
p
p
1 x2
1 + x =
1 x 1
p
p
p
t2 2
Ph÷ìng tr¼nh n y khæng qu¡ khâ. °t t =
1 + x +
1 x )
Tu1 x2 =
. Thay v o
2
ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc

p
p
t2 2
t = 0
p 1 x +
p
1 + x = 0
= t 1 ,
,
, x = 0; y = 1
2
t = 2
1 x +
1 + x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 1)
Nhúng b i n y th÷íng s³ n°ng v· gi£Minh i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ hìn.
p
p
p
p
p
p
x + 1 +
x + 3 +
x + 5 =
y 1 +
y 3 +
y 5
C¥u 111
x + y + x2 n + y2 = 80
Gi£i
Nguyi·u ki»n : x 1; y ¹ 5
Ph÷ìng tr¼nh ¦u câ d¤ng
f(x + 1) = f(y 5)
p
p
p
Vîi f(t) =
t +
t + 2 +
t + 4 l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y = x + 6 thay v o (2) ta
câ
p
p
5
5 7
5
5 + 5
x + x + 6 + x2 + (x + 6)2 = 80 , x =
) y =

2
2
p
p
!
5
5 7
5
5 + 5
;

2
2
Ð ¥y tæi ¢ ÷a ra mët sè c¥u h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ ìn gi£n. Nâi l ìn
gi£n v¼ tø mët ph÷ìng tr¼nh ta nh¼n th§y ngay ho°c mët chót bi¸n êi º nh¼n ra d¤ng cõa
h m c¦n x²t. Tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng b i c¦n bi¸n êi tinh t¸ º nh¼n ra d¤ng
h m, ð nhúng c¥u sau cõa cuèn s¡ch.

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 63
C¥u 112
p
x + 4 p
32 x y2 = 3
4 p
x +
p
32 x + 6y = 24
Gi£i
i·u ki»n : 0 x 32
Câ v´ ¥y l mët h» kh¡c rc rèi khi xu§t hi»n c«n bªc 4. Ta s³ dòng c¡c ¡nh gi¡ º gi£i
quy¸t c¡i h» n y
n
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc
p
p
x +
32 x + x + 32 x = y2 6y + 21
§Hiºn nhi¶n ta câ : V P 12
Gií ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ v¸ tr¡i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz Tucho v¸ tr¡i ta câ
p
p
p
x +
32 x
(1 + 1)(x + 32 x) = 8
x + 32 Minh x
4 p
4 4 n Nguy¹p
p
4 p
q
(1 + 1)(
p
x +
p
32 x) 4
Vªy V T V P
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (16; 3)
Tæi cán mët c¥u þ t÷ðng gièng b i n y nh÷ng hìi khâ hìn mët chót. B¤n åc câ thº gi£i nâ
C¥u 113
p
p
2
2x + 2 4 p
6 x y2 = 2
4 p
2x + 2
p
6 x + 2
p
2y = 8 +
p
2
Nghi»m : (x; y) = (2;
p
2)
C¥u 114

x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 4x + 1
xy + x + 1 = x2
Gi£i
B i n y câ l³ khæng c¦n suy ngh¾ nhi·u. Cù th¸ y + 1 l¶n (1) coi sao
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
x(y + 1) = x2 1 , y + 1 =
x2 1
x
Thay l¶n (2) ta s³ ÷ñc
x(x2 1)

x +
x2 1
x

= 3x2 4x + 1 ,

x = 2 ) y =
5
2
x = 1 ) y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1);

2;
5
2


C¥u 115
8
:
4xy + 4(x2 + y2) +
3
(x + y)2 = 7
2x +
1
x + y
= 3
Gi£i
i·u ki»n : x + y6= 0
¥y l mët b i h» khæng ìn gi£n chót n o. Tuy nhi¶n ta câ mët nhªn x²t kh¡ tèt sau n
¥y :
a(x2 + y2) + bxy = k(x + y)2 + l(x y)2
§Gií h¢y ph¥n t½ch 4x2 + 4y2 + 4xy = k(x + y)2 + l(x y)2
C¥n b¬ng h» sè ta thu ÷ñc : 4x2 + 4y2 + 4xy = 3(x + y)2 + (x y)2
Nh÷ vªy þ t÷ðng s³ l °t ©n phö têng-hi»u ch«ng ? C ng câ cì sð khi Tu2x = x+y +xy. Nh÷
vªy þ t÷ðng sì bë l th¸. Bi¸n êi h» th nh
Minh n Nguy¹8
:
3(x + y)2 + (x y)2 +
3
(x + y)2 = 7
x + y +
1
x + y
+ x y = 3
øng vëi °t ngay. º þ mët chót 3(x + y)2 +
3
(x + y)2 = 3

x + y +
1
x + y
2
6. Nh÷ vªy
c¡ch °t ©n cõa ta s³ tri»t º hìn.
°t x + y +
1
x + y
= a; x y = b ta thu ÷ñc h» mîi
8
:
b2 + 3a2 = 13
a + b = 3
jaj 2
,

a = 2; b = 1
a =
1
2
; b =
7
2
(L)
,
8
:
x + y +
1
x + y
= 2
x y = 1
,

x + y = 1
x y = 1
,

x = 1
y = 0
OK ch÷a ? Ti¸p töc th¶m mët c¥u t÷ìng tü nh²
C¥u 116
8
:
x2 + y2 + 6xy
1
(x y)2 +
9
8
= 0
2y
1
x y
+
5
4
= 0
Gi£i
i·u ki»n : x6= y
8
:
2(x + y)2 (y x)2
1
(y x)2 +
9
8
= 0

y x +
1
y x

+ (x + y) +
5
4
= 0
,
8
:
2(x + y)2

y x +
1
y x
2
+
25
8
= 0

y x +
1
y x

+ (x + y) +
5
4
= 0

2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 65
°t x + y = a; y x +
1
y x
= b; jbj 2 ta câ h» mîi
8
:
a + b =
5
4
25
2a2 b2 =
8
§n
TuMinh ¹n Nguy,
8
:
a =
5
4
b =
5
2
,
2
6666664
(
y + x =
5
4
y x = 2 8
:
y + x =
5
4
y x =
1
2
,
2
64
x =
13
8
; y =
3
8
x =
7
8
; y =
3
8

7
8
;
3
8

;

13
8
;
3
8

Tæi s³ ÷a th¶m 2 c¥u núa cho b¤n åc luy»n tªp
C¥u 117
8
:
3(x2 + y2) + 2xy +
1
(x y)2 = 20
2x +
1
x y
= 5
Nghi»m : (x; y) = (2; 1);

4
p
10
3
;
p
10 3
3
!
;

4 +
p
10
3
;
p
10
3
3
!

C¥u 118

(4x2 4xy + 4y2 51)(x y)2 + 3 = 0
(2x 7)(x y) + 1 = 0
Thû ëng n¢o mët chót xem v¼ sao l¤i ÷a ÷ñc v· gièng 3 c¥u tr¶n ?
Nghi»m :(x; y) =

5
p
3
2
;
p
3
2
1 +
!
;

5 +
p
3
2
;
p
3
2
1
!

C¥u 119
8
:
2x2 + x
1
y
= 2
y y2x 2y2 = 2
Gi£i
i·u ki»n : y6= 0
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi
1
y
x 2 =
2
y2

°t a =
1
y
ta chuyºn h» v·

2x2 + x a = 2
2a2 + a x = 2
p
3
2
,
n
Tu§Minh n Nguy¹2
666664
x = 1; a = 1
x = 1; a = 1
1
x =
; a =
p
3 1
2
x =
p
3 1
2
; a =
p
3
2
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1);

1
p
3
2
; 1
!

p
3
C¥u 120

4x2 + y4 4xy3 = 1
4x2 + 2y2 4xy = 2
Gi£i
H¼nh thùc kh¡ gån nhµ nh÷ng công r§t khâ chìi. Mët chót tinh þ ta nhªn th§y y2 = 1 l
nghi»m cõa h». Thay v o v ta rót ra
PT(1) PT(2) , y4 4xy3 2y2 + 4xy + 1 = 0 , (y2 1)(y2 4xy 1) = 0
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1
Vîi y2 = 4xy + 1. Khæng c¦n ngh¾ nhi·u, th¸ tr¥u bá v o cho nhanh !!!
Ta rót ra x =
y2 1
4y
thay v o (2) ta câ

y2 1
4
4y
2
+ 2y2 + 1 y2 = 2 , 5y4 6y2 + 1 = 0 ,
2
666664
y = 1 ) x = 0
y = 1 ) x = 0
y =
1
p
5
) x =
1
p
5
y =
1
p
5
) x =
1
p
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (0; 1); (0;1);

1
p
5
;
1
p
5

;

1
p
5
;
1
p
5


2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 67
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150
C¥u 121

x4 + x3y + 9y = y3x + x2y2 + 9x
x(y3 x3) = 7
Gi£i
Khæng c¦n bi¸t Tê quèc nìi ¥u, chi¸n ph÷ìng tr¼nh ¦u ¢
n
PT(1) , (x y)(x(x + y)2 9) = 0
§Vîi x = y k¸t hñp vîi (2) rã r ng khæng thäa
Cán l¤i ta k¸t hñp th nh mët h» mîi

x (y3 x3) = 7
Tux(x + y)2 = 9
¥y l mët b i to¡n kh¡ quen thuëc v h§p d¨n ¢ tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT, c¡ch l m
phê bi¸n nh§t v¨n l tr¥u bá
r
7
Tr÷îc h¸t câ ¡nh gi¡ x 0 v rót ra y = 3
x3 +
. Thay xuèng ta câ
x

r
!2
7
x
x + 3
x3 +
= Minh 9 , x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 = 9
x
°t v¸ tr¡i l f(x). Ta câ

f0(x) = 3x2 + 2
n Nguy3 3 p
p
¹3 p
x6 + 7x2 +
6x6 + 14x2
3 3 p
(x6 + 7x2)2
!
+
1
3
:
9x8 + 70x4 + 49
3 p
x2(x4 + 7)4
0
Vªy f(x) = 9 câ nghi»m duy nh§t x = 1 ) y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2)
v
!u
!Ti¸p theo tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët sè c¥u h» sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski º
gi£i. B§t ¯ng thùc Minkowski l mët b§t ¯ng thùc khæng khâ v công th÷íng ÷ñc dòng,
b§t ¯ng thùc · cªp ¸n v§n · ë d i cõa vectì trong khæng gian m sau n y håc sinh quen
gåi nâ l b§t ¯ng thùc V ector
Vîi hai vectì ;b§t k¼ ta luæn câ
j!u
j + j!v
j j!u
+ !v
j
N¸u tåa ë hâa 2 vecto n y ta s³ thu ÷ñc
p
a1
2 + b1
2 +
p
a2
2 + b2
2
q
(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2
¯ng thùc x£y ra khi (a1; a2) v (b1; b2) l 2 bë t¿ l»
¥y l mët h» qu£ hay dòng trong gi£i h»
Th¼ khi n o nh¼n v o mët b i h» ta câ thº ngh¾ ¸n sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski. Th÷íng
khi nh¼n th§y têng hai c«n thùc m bªc cõa biºu thùc trong c«n khæng v÷ñt qu¡ 2 th¼ ta câ
thº chån h÷îng n y. Tæi s³ n¶u 3 v½ dö º b¤n åc hiºu rã hìn

Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

Similar a Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn (20)

Último

Último (20)

Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn