1. TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA
“KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL”
DISUSUN OLEH :
1. DIAH SETYORINI {NIM : 4201411001}
2. TRI HANDAYANI {NIM : 4201411012}
3. RIZQI YULIARTI {NIM : 4201411016}
4. DEKA FERIANA {NIM : 4201411019}
ROMBEL : 03
JURUSAN : FISIKA
PRODI : PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011

2. FUNGSI
A. DEFINISI FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan memetakan setiap
objek x di suatu himpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah
hasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.
Lambang f : D  E berarti f adalah fungsi dari D ke E.
Fungsi merupakan hal yang mendasar dalam kalkulus. Misalkan diketahui
himpunan A dan B, dan R adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengkaitkan elemen
A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan dengan sifat : f
mengkaitkan setiap elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. f disebut fungsi dari A
ke B dan dapat ditulis : f :AB.
Syarat fungsi adalah semua domain (daerah asal) mempunyai pasangan pada kodomain
(daerah lawan).
Fungsi : A B
Domain Kodomain
Bukan fungsi : A B

3. Domain Kodomain
Dalam fungsi terdapat beberapa istilah, yakni :
1. Daerah Asal (domain) , yang dilambangkan dengan Df
2. Daerah Hasil (range) , yang dilambangkan dengan Rf
3. Daerah Lawan (kodomain)
B. SIFAT-SIFAT FUNGSI
1. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu)
Fungsi f dikatakan satu-satu jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang
beda. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut :
 , A, ≠ ,f( f( )
A B
f( )
f( )
Contoh :
Diketahui f : R  R , f (x) =
Penyelesaian :
Ambil sembarang , R, ≠ , jadi :
( - ) ≠ 0 dan ( + . + )≠0
Jelas f ( f( ) = 
= ( - )( + . + )
≠ 0
Jadi f ( f( )≠0
Jadi  , R, ≠ ,f( f( )
Jadi f suatu fungsi injektif
2. Fungsi Surjektif

4. Fungsi f dikatakan pada surjektif jika Rf = B. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut:
 B, y
A B
Contoh :
Diketahui f : R  R , f (x) = 2x  1
Penyelesaian :
Ambil sembarang x R
Maka x = 2  1, pilih y = R
Jelas f (y) = 2 1=x
Jadi  R, y
Jadi f merupakan suatu fungsi surjektif.
3. Fungsi Bijektif
Fungsi f : I  R dikatakan bijektif apabila fungsi f merupakan fungsi injektif dan sekaligus
fungsi surjektif.
A B

5. C. Beberapa Jenis Fungsi Riil
1. Fungsi polinom (suku banyak)
Memiliki bentuk :
f (x) = + + ……. + x+ …….
bilangan riil ; ≠ 0 , n bilangan bulat positif. Polinom di atas disebut berderajat n.
Contoh : f (x) = + + 2x  8 adalah polinom berderajat 3.
2. Fungsi Aljabar
Adalah suatu fungsi y = f (x) yang memenuhi persamaan berbentuk :
+ + ……. + x) y + (x) = 0
Dimana (x) suatu polinom dalam x.
Contoh : f (x) =  2x  24 ataupun f (x) = merupakan fungsi aljabar rasional.
Sedangkan f (x) = x + merupakan fungsi aljabar tidak rasional.
3. Fungsi Transenden
Merupakan fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Beberapa fungsi transenden yang khusus :
a. Fungsi eksponensial  f (x) = ,a≠0,1
b. Fungsi logaritma  f (x) = a log x , a ≠ 0 , 1
4. Fungsi Trigonometri
Memiliki bentuk antara lain : sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , dan cosec x
5. Fungsi Identitas (Kesatuan)
Suatu fungsil Riil yang berbentuk f (x) = x untuk x variabel y, disebut Fungsi Identitas, ditulis
f = I. dapat ditulis dengan notasi :
I (x) = x ,  x A
6. Fungsi Invers (Kebalikan)
dinamakan fngsi invers dari f jika memenuhi f=f = I.
D. Definisi operasi pada fungsi :
(f + g)(x) = f (x) + g (x)

6. (f  g)(x) = f (x)  g (x)
(f . g)(x) = f (x) . g (x)
(f / g)(x) = f (x) / g (x)

7. LIMIT FUNGSI
A. SIFAT-SIFAT LIMIT : misalkan f dan g dua buah fungsi dan k
R
1. =k
2. =c
3. =k
4. = +
5. = 
6. = .
7. =
8. = ,n N
B. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. = sin c dan = cos x
2. =1 dan =1
3. =1 dan =1

8. KEKONTINUAN
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x
mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a).
f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis :
1. Nilai fungsinya ada
f (a) terdefinisi atau f (a) R
2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan)
=
3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya
= f (a)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada
setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval
tutup [ a,b ] bila :
1. f (x) kontinu pada (a,b)
2. f (x) kontinu kanan x = a,
3. f (x) kontinu kiri x = b ,

9. TURUNAN
A. SIFAT-SIFAT TURUNAN
1. Turunan fungsi konstan, yaitu f (x) = a, a konstanta maka f (x) = 0
f (x) =
=
=0
2. Turunan fungsi pangkat positif dari x , yaitu f (x) =
f (x) = , maka f ‘ (x) = n
3. Turunan f (x) = a dengan a konstanta dan n bilangan positif atau rasional
f (x) =a , maka f ‘ (x) = a n
4. Turunan pangkat negative dari x, yaitu f (x) =
f (x) = , maka f ‘ (x) = - atau f (x) = maka f ‘ (x) = -n
5. Turunan pada limit
f ‘ (x) =
6. Pada operasi limit fungsi
a. (f + g)’(x) = f (x) + g’(x)
b. (f – g)’(x) = f (x) – g’(x)
c. (cf)’(x) = cf(x), c konstanta
d. (f.g)’(x) = f (x) g’(x) + g (x) f (x)
e. (f / g)’(x) = , g (x) ≠ 0

10. INTEGRAL
A. DEFINISI INTEGRAL
Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalam
hal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) =
f (x).
B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL
1. = x +c
= ax +c
2. dx
3. dx
dx = + c dengan n ≠ -1
Sifat-sifat Integral Tertentu :
1.
2.
3. =b–a
4. = k (b – a) , k = konstanta
5.
6.
7. = ,a<b<c
8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka
b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka
9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka :
m (b – a) ≤ ≤ M (b – a)
10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)

11. CONTOH FUNGSI
YANG AKAN DICARI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL, BESERTA GRAFIKNYA
1. Diketahui
Tentukan :
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=1
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
f. Grafik
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
untuk
c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk
,x>1
e.
Untuk

12. f ‘(x) =
=
=
=
= 2x + h
= 2x + (0)
= 2x
Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
=
= 2x + (0) – 1
= 2x – 1
f. Grafik fungsi
12
10
8
6
Series1
4
2
0
-4 -2 0 2 4

13. 2. Diketahui :
Tentukan:
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=-1?
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
b.
c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=-1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit
fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk
e.
f ‘ (x) =
=
=
=
= 2x + h
= 2x + (0)
= 2x

14. Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
f. Grafik fungsi
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Series1
3.
Tentukan:
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=-3?
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
b.

15. c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-3 karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d.
Untuk
e.
untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
=2
Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
=1
f. Grafik fungsi

16. 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-2
-4
-6
Series1
-8
-10
-12
-14
4.
Tentukan :
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=5
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
untuk
c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=5karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk

17. +C
e.
Untuk
f ‘ (x) =
–
=
=
=
= 2x + h
= 2x + (0)
= 2x
Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
=2
f. Grafik fungsi
70
60
50
40
30 Series1
20
10
0
0 2 4 6 8

18. 5. Diketahui
Tentukan :
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=-2
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
untuk
c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-2karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d.
Untuk
+C
Untuk
+C
e.
Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=

19. =
=
= 4x + 2(0) – 4
= 4x – 4
Untuk
f ‘ (x) =
=
=
=
=
= 6x + 3h
= 6x + 3(0)
= 6x
f. Grafik fungsi
60
50
40
30
Series1
20
10
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

20. CONTOH SOAL FUNGSI
KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL
1. Diketahui
Tentukan :
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=-2
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk
+C
e.
Untuk
Untuk

21. 2.
Tentukan :
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=0
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk
e.
Untuk
Untuk

22. 3.
Tentukan:
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=1
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
untuk
b.
Maka
c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d.
Untuk
Untuk
+C
e.
Untuk
Untuk

23. 4.
Tentukan:
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=3
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
b.
Maka
c. Ya , fungsi tersebut kontinu pada x=3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi
kiri.
d.
Untuk
.(2x-6)
Untuk
e.

24. Untuk
Untuk
5.
Tentukan:
a.
b.
c. Apakah kontinu pada x=4
d. Integral fungsi tersebut
e. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a.
Maka
b.
Maka
27
c. Tidak, fungsi tersebut kontinu pada x=4 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan
limit fungsi kiri.
d.
Untuk

25. Untuk
e.
Untuk
Untuk

26. PENGGUNAAN TURUNAN DAN ATAU INTEGRAL
DALAM FISIKA ATAU BIDANG LAIN
1. Pada bidang ekonomi
Dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total dapat ditentukan nilai
biaya marginal. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal
biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikan
harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal
sebagai dp/dx.
Perhitungan:
Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah
persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
Penyelasaian
biaya rata-rata = C(x)/x
= 3200+3,25x-0,0003x2 / X
= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000
= 6150 / 1000 = 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
biaya marjinal = dc/dx
= 3,25-0,0006x
= 3,25-0.0006 (1000)
= 2,65
maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000
Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi
1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang
yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
2. Pada bidang Fisika
Turunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v:
Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda:
Diketahui: dalam meter. Berapa kecepatan benda pada saat t= 2 s ?
Penyelesaian:

27. 3. Pada bidang Matematika
Pada bidang Matematika
Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di
faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan
juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :
Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).
Jawab :
Y=f(x)= x3-2x2-5
Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.
Rumus pers. Garis singgung :
y-yo = m (x-xo)
, maka garis singgung fungsi diatas adalah :
Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43