Quantum Path Integral Formulation

1. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Integral de Caminho em Mecânica Quântica Dyana C. Duarte, Ricardo L. S. Farias 11 de novembro de 2014 UFSM Dyana C. Duarte 1/42

2. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Roteiro 1 Motivaç ão 2 Formulaç ão de integral de caminho Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico 3 Algumas referências UFSM Dyana C. Duarte 2/42

3. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Motivaç ão ÙA integraç ão de caminho (ou integraç ão funcional) nos fornece uma importante ferramenta para o estudo de sistemas quânticos dos quais queremos saber, por exemplo, a evoluç ão temporal, dada pelo operador Hamiltoniano ÙEssemétodo foi desenvolvido e utilizado primeiramente por Richard Philips Feynman, em estudos sobre a eletrodinâmica quântica. Feyn-man juntamente com Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga recebeu o prêmio Nobel de F´ısica em 1965. UFSM Dyana C. Duarte 3/42

4. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Motivaç ão Ù Podemos entender diversos problemas clássicos e quânticos através das integrais de caminho, mas essa formulaç ão é especificamente útil em teoria de campos,tanto relativ´ıstica quanto não-relativ´ıstica. Essas integrais fornecem um caminho para a quantizaç ão e para resolver as expressões das funç ões de Green, que são relacionadas com amplitudes dos processos f´ısicos, como a dispersão e o decaimento de part´ıculas. UFSM Dyana C. Duarte 4/42

5. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho As quantidades p e q em mecânica quântica são substitu´ıdas por o-peradores que obedecem as relaç ões de comutaç ão de Heisenberg. A formula¸cão de integral de caminho é baseada diretamente na noç ão de propagador K(qf ; tf ; qi; ti). Dada uma funç ão (qi; ti) em um tempo ti o propagador dá a funç ão de onda correspondente a outro tempo tf : (qf ; tf ) = Z K(qf ; tf ; qi; ti) (qi; ti)dqi (1) UFSM Dyana C. Duarte 5/42

6. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Da mesma forma que na mecânica quântica o módulo ao quadrado da funç ão de onda dá a probabilidade de se encontrar uma part´ıcula em determinada região do espaço, o módulo ao quadrado do propagador nos dá a probabilidade de que ocorra uma transiç ão de qi num tempo ti para qf num tempo tf : P(qf ; tf ; qi; ti) = jK(qf ; tf ; qi; ti)j2 (2) UFSM Dyana C. Duarte 6/42

7. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Dividindo o intervalo entre (qi; ti) e (qf ; tf ) em dois, sendo (q; t) o termo intermediário, como na figura, temos: K(qf ; tf ; qi; ti) = Z K(qf ; tf ; qt)K(qt; qi; ti)dq (3) Figure : Propagaç ão de uma part´ıcula de (qi; ti) para (qf ; tf ), via uma posiç ão intermediária (q; t) UFSM Dyana C. Duarte 7/42

8. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Denotamos K(2A;1) a amplitude de probabilidade que o elétron passe da fonte 1 pelo buraco 2A, para os detectores 3, e assim por diante. Da equaç ão (3) temos, então, K(3; 1) = K(3; 2A)K(2A; 1) + K(3; 2B)K(2B; 1) (4) Figure : Experimento de fenda dupla UFSM Dyana C. Duarte 8/42

9. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho A probabilidade será, então: P(3; 1) = jK(3; 1)j2 (5) Não podemos dizer que o elétron passará por A ou por B; ele passa, de certa forma, por ambos os caminhos (se não for detectado em uma das fendas). Essa noç ão de todos os caminhos poss´ıveis é importante no formalismo de integral de caminho. UFSM Dyana C. Duarte 9/42

10. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Vamos mostrar que o propagador K está realmente atuando em hqf ; tf jqi; tii. Para isso, notemos que a funç ão de onda (q; t) na notaç ão de Schrödinger é (q; t) = hqj tiS (6) ou, na notaç ão de Heisenberg j iH por: j tiS = eiHt=~j iH (7) Podemos definir o vetor jqti = eiHt=~jqi (8) UFSM Dyana C. Duarte 10/42

11. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho ou seja, (q; t) = hqtj iH, e usando a relaç ão de completeza nos estados encontramos: hqf ; tf j i = Z hqf ; tf jqi; tiihqi; tij idqi (9) Da eq, (8) (qf ; tf ) = Z hqf ; tf jqi; tii (qi; ti)dqi (10) em comparaç ão com (1) teremos: hqf ; tf jqi; tii = K(qf ; tf ; qi; ti) (11) que é o resultado esperado. UFSM Dyana C. Duarte 11/42

12. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Dividimos o intervalo de tempo entre ti e tf dividido em (n + 1) partes iguais (), como na figura a seguir. A equaç ão (3) dá, agora, hqf ; tf jqi; tii = Z ::: Z dq1dq2:::dqnhqf ; tf jqn; tni hqn; tnjqn1; tn1i:::hq1; t1jqi; tii (12) Figure : Propagaç ão de (qi; tt) a (qf ; tf ) sobre diferentes caminhos UFSM Dyana C. Duarte 12/42

13. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho A integral (12) é tomada sobre todas as poss´ıveis trajetórias, e cada um dos segmentos (qjtj; qj1tj1) pode ser dividido em intervalos ainda menores. Podemos calcular o propagador por um pequeno segmento da integral de caminho. De (8) temos: hqj+1; tj+1jqjtji = hqj+1jeiH=~jqji = (qj+1 qj) i ~ hqj+1jHjqji = 1 2~ Z dp exp i ~ p(qj+1 qj) i ~ D qj+1jHjqj E (13) UFSM Dyana C. Duarte 13/42

14. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho O Hamiltoniano, é constitu´ıdo por uma parte cinética e uma potencial. Neste caso é descrito por: H = p2 2m + V(q) (14) H pode ser uma funç ão qualquer de p mais uma funç ão qualquer de q. Após algumas manipulaç ões na equaç ão (14) obtemos para o termo cinético: * qj+1

20. p2 2m

26. qj + = Z dp0dphqj+1jp0i * p0

32. p2 2m

38. + hpjqji p = Z dp0 h exp i ~ p(qj+1 qj) p2 2m (15) UFSM Dyana C. Duarte 14/42

39. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho De forma análoga, para o termo de potencial: hqj+1jV(q)jqji = V qj+1 + qj 2 hqj+1jqji = V qj+1 + qj 2 (qj+1 qj) = Z dp h exp i ~ p(qj+1 qj) V(¯qj) (16) em que ¯qj = 1 2 (qj + qj1). UFSM Dyana C. Duarte 15/42

40. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Escrevemos, de (13) (15) e (16): hqj+1tj+1jqjtji = 1 h Z dpj exp i ~ [pj(qj+1 qj) H(pj; ¯q)] (17) em que pj é o momento entre tj e tj+1 ou, de forma equivalente, qj e qj+1. Essa equaç ão nos dá o propagador de um caminho poss´ıvel. UFSM Dyana C. Duarte 16/42

41. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho O propagador completo é dado substituindo em (12), no limite cont´ınuo (em que pj é o momento ao longo do caminho entre qj e qj+1), hqf tf jqitii = lim n!1 Z Yn j=1 dqj Yn j=0 dpj h exp 8: i ~ Xn j=0 [pj(qj+1 qj) H(pj; ¯qj)] 9=; (18) com q0 = qi, qn+1 = qf . De forma simbólica: hqf tf jqitii = Z DpDq h exp i ~ Z tf ti dt[p˙q H(p; q)] # (19) com q(ti) = qi; q(tf ) = qf . UFSM Dyana C. Duarte 17/42

42. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Ù No limite cont´ınuo, q é uma funç ão de t, e a integral é uma integral funcional, ou seja, uma integral sobre todas as funç ões. Isso é infinito-dimensional. A expressão (19) é a expressão da integral de caminho para a amplitude de transiç ão de (qi; ti) a (qf ; tf ). Ù Cada funç ão q(t) e p(t) define um caminho no espaço de fase. Na formulaç ão de integral de caminho devemos explicitar a expressão para a amplitude de transiç ão, que é melhor adaptada para os problemas de dispersão. ÙAs quantidades p e q ocorrentes na integral são quantidades clássicas, não operadores, (c-numbers, não q-numbers). UFSM Dyana C. Duarte 18/42

43. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Integrando a equaç ão (18) em p: hqf tf jqitii = lim n!1 Z Yn 1 dqj Yn 0 dpj h exp 8: i ~ Xn 0 26666664 pj(qj+1 qj) p2j 2m V(¯qj) 37777775 9=; (20) Completando os quadrados na equaç ão (20) encontramos: hqf tf jqitii = lim n!1 m ih (n+1)=2 Z Yn 1 dqj exp 8: i ~ Xn 0 m 2 qj+1 qj 2 V #9=; (21) UFSM Dyana C. Duarte 19/42

44. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Formulaç ão de integral de caminho Ù No limite cont´ınuo, teremos: hqf tf jqitii = N Z Dq exp i ~ Z tf ti L(q; ˙q)dt # (22) em que L = T V, a lagrangeana clássica. No limite, com n ! 1 N torna-se infinito, mas isso não importa desde que as amplitudes de transiç ão sejam sempre quantidades normalizadas. Finalmente, pode-mos escrever o propagador como: hqf tf jqitii = N Z Dq exp i ~ S[q(t)] (23) sendo S = R Ldt a a¸cão clássica. UFSM Dyana C. Duarte 20/42

45. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Como um exemplo das integrais de caminho, vamos considerar um oscilador harmônico unidimensional. A Lagrangeana é dada por L = m 2 h ˙q2 !2q2 i (24) O propagador será K(q0; t; q; 0) = Z Dq exp i ~ S[q(t0)] (25) com S[q(t0)] = Z t 0 dt0L(q; ˙q) (26) em que q e ˙q são funç ões de t0 ao longo de cada trajetória. UFSM Dyana C. Duarte 21/42

46. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Podemos reescrever a trajetória genérica total q(t0) como uma tra-jet ória clássica mais uma variaç ão: q(t0) = qcl(t0) + x(t0) (27) A trajetória clássica é sempre a mesma. Aqui, as condiç ões de con-torno iniciais não são as mesmas usuais em mecânica clássica, de posiç ão e velocidade no instante inicial. Temos posiç ão no tempo inicial e posiç ão no tempo final, e queremos saber qual é a trajetória clássica. ÙComo os pontos final e inicial são fixos, outra condiç ão de contorno será x(0) = x(t) = 0. UFSM Dyana C. Duarte 22/42

47. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù A aç ão de qcl mais uma flutuaç ão x será dada por: S[qcl + x] = Z t 0 dt0L = Z t 0 dt0 m 2 [(˙qcl + ˙x)2 !2(qcl + x)2 = Z t 0 dt0 m 2 (˙q2 cl !2q2 cl) | {z } S[qcl(t0)] + Z t 0 dt0 m 2 (˙x2 !2x2) | {z } S[x(t0)] + + Z t 0 dt0 m 2 (2˙qcl ˙x 2!2qclx) (28) UFSM Dyana C. Duarte 23/42

48. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Essa integral tem três partes. Primeiro, temos S em x = 0, o que nos dá a aç ão ao longo da trajetória clássica. Como esta trajetória está definida pelas equaç ões de movimento clássicas, S[qcl(t0)] é fixo, e não se altera ao mudarmos a trajetória. Nesse caso o que varia é x, que está contido na segunda parte da integral. Depois temos os termos cruzados de qcl e x: S[qcl + x] = S[qcl(t0)] + S[x(t0)] + m Z t 0 dt0[˙qcl ˙x | {z } !2qclx] (29) UFSM Dyana C. Duarte 24/42

49. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù A integral assinalada em (29) pode ser resolvida por partes. Tere-mos: m˙qclx t 0 m Z t 0 dt0[¨qclx + !2qclx] (30) O termo (m˙qclx) integrado de 0 a t é zero, devido às condiç ões iniciais. O termo entre colchetes é a equaç ão clássica do movimento, e também é igual a zero. Então, a aç ão de uma trajetória escrita como a trajetória clássica mais uma flutuaç ão será a aç ão calculada sobre a trajetória clássica mais a aç ão calculada nas flutuaç ões: S[qcl + x] = S[qcl(t0)] + S[x(t0)] (31) UFSM Dyana C. Duarte 25/42

50. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù A aç ão clássica tem as condiç ões de contorno, dependendo, por-tanto, de q e q0. Já a integral sobre as flutuaç ões vai de zero a zero em q, por isso depende somente de x. Podemos então reescrever a integral funcional: Z Dq exp i ~ S[q(t0)] = Z Dq exp i ~ fS[qcl(t0)] + S[x(t0)]g = exp i ~ Z S[qcl(t0)] Dx exp i ~ S[x(t0)] (32) O último termo de (32) só depende dos instantes inicial e final, portanto é uma funç ão de t que chamaremos F(t). UFSM Dyana C. Duarte 26/42

51. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Primeiramente vamos encontrar a aç ão clássica, e para isso, temos a equaç ão do oscilador harmônico: ¨q2 cl + !2q2 cl = 0 ( qcl(0) = q qcl(t) = q0 (33) com as condiç ões de contorno qcl(0) = q e qcl(t) = q0. UFSM Dyana C. Duarte 27/42

52. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Primeiro escrevemos a soluç ão geral da equaç ão (33): qcl(t0) = A sin(!t0) + B cos(!t0) (34) das condiç ões de contorno temos, para qcl(0): qcl(0) = q ! B = q e para qcl(t): q0 = A sin(!t) + q cos(!t) q cos(!t) q0 A = sin(!t) UFSM Dyana C. Duarte 28/42

53. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù ou seja, qcl(t0) = q0 q cos(!t) sin(!t) sin(!t0) + q cos(!t0) (35) Podemos então, calcular a aç ão clássica: S[qcl(t0)] = Z t 0 dt0m 2 (˙q2 cl !2q2 cl) (36) Desenvolvendo essa equaç ão encontramos que: S[qcl(t0)] = m 2 qcl ˙qcl

58. t 0 (37) (Durante o desenvolvimento de (36) encontramos um termo que é igual à trajetória clássica, e portanto vale zero ) UFSM Dyana C. Duarte 29/42

59. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù substituindo (35) em (37) para calcular a aç ão encontramos: S[qcl(t0)] = m! 2 sin(!t) [(q02 + q2) cos(!t) 2qq0] (38) O propagador para o oscilador harmônico será então, uma funç ão do tempo, que é uma integral funcional de zero a zero vezes uma ex-ponencial: K = F(t) exp i ~ S[qcl(t0)] = F(t) exp im! 2~ sin!t [(q02 + q2) cos(!t) 2qq0] (39) UFSM Dyana C. Duarte 30/42

60. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù A fim de calcular o fator F(t) em (39), as variáveis de integraç ão podem ser alteradas para um conjunto mais útil. Como x(t) = 0 em 0 e em t essa funç ão pode ser escrita como uma série de Fourier de senos da forma: x(t) = NX1 n=1 an sin nt0 t (40) em que t (tempo total) e an são constantes arbitrárias. Essa mudança de variáveis deve ser acompanhada por um fator correspondente ao Jacobiano da transformaç ão. Para a mudança (40), o Jacobiano é dado por: J J(a1; a2; :::; aN1) = det sin n t (tj ta) (41) em que n e j são os ´ındices da matriz dada pelo Jacobiano. UFSM Dyana C. Duarte 31/42

61. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Uma computaç ão direta de J seria complicada, pois trata-se de cal-cular o determinante de uma matriz infinita. Podemos, ao invés de calculá-lo, inferir o seu valor a partir de resultados conhecidos. Se ob-servarmos a equaç ão do oscilador harmônico (33), vemos que, a menos do termo de potencial !2qcl temos a mesma equaç ão da part´ıcula livre. Então o valor de J deve ser o valor da constante para a part´ıcula livre: J = m 2i~t 1=2 (42) UFSM Dyana C. Duarte 32/42

62. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico ÙSe dividirmos a trajetória em N intervalos iguais, haverão N1 pon-tos intermediários, ou seja, teremos N 1 coeficientes de Fourier in-dependentes na equaç ão (40). Para calcular a aç ão sobre as flutuaç ões usamos as relaç ões de ortogonalidade das funç ões seno e cosseno de Fourier e os resultados abaixo: Z t 0 dt0[˙x(t0)]2 = X n;m Z t 0 dt0anam n t m t cos nt0 t ! cos nt0 t ! = t 2 NX1 n=1 n t 2 a2n (43) UFSM Dyana C. Duarte 33/42

63. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù E também Z t 0 dt0[x(t0)]2 = X n;m Z t 0 dt0anam sin nt0 t ! sin mt0 t ! = t 2 NX1 n=1 a2n (44) Com os resultados (43) e (44), a aç ão sobre as flutuaç ões será: S[x(t0)] = Z t 0 dt0m 2 (˙x2 !2x2) = mt 4 NX1 n=1 n t 2 !2 # a2n (45) UFSM Dyana C. Duarte 34/42

64. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù E o nosso propagador será: K(q0; t; q; 0) = A0e[ i~ S[qcl(t0)]] Z da1:::daN1 exp 26666664 imt 4~ NX1 n=1 n t 2 !2 # a2n 37777775 (46) = A0e[ i~ S[qcl(t0)]] Z da1:::daN1 exp 26666664 mt 4i~ NX1 n=1 n t 2 !2 # a2n 37777775 (47) Em que, da passagem (46) para (47) foi feita uma rotaç ão de Wick, (t ! it), e A0 é uma constante. UFSM Dyana C. Duarte 35/42

65. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Temos agora que resolver a integral em (47), que é um produto de gaussianas que conhecemos o resultado. Temos, para uma das inte-grais: Z +1 1 dan exp ( imt 4~ n t 2 !2 # an ) = 4i~ mt !12 n t 1 1 !t n 2#12 (48) Substituindo em (47) encontramos: K(q0; t; q; 0) = A00e[ i~ S[qcl(t0)]] 1 !t n 2#1 2 (49) Em que a constante A00 é a combinaç ão das constantes que corresponde ao Jacobiano. UFSM Dyana C. Duarte 36/42

66. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù No limite, quando n ! 1, podemos usar a representaç ão da funç ão seno por um produto infinito: Y1 n=1 1 + !2T2 n22 !12 = !t sinh!t 12 (50) Analiticamente, (47) retorna ao tempo real se fizermos a rotaç ão de Wick inversa, ou seja, t ! it. Usando a identidade [sinh i!t = i sin!t] e combinando (49) e (50) teremos, finalmente, o resultado de F(t): F(t) = m 2i~t 12 i!t i sin!t 1 2 = m! 2i~ sin!t 1 2 (51) UFSM Dyana C. Duarte 37/42

67. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Combinando os resultados (39) e (51) temos o propagador para o oscilador harmônico: K(q0; t; q; 0) = m! 2i~ sin!t 12 exp im![(q02 + q2) cos(!t) 2qq0] 2~ sin!t # (52) É interessante notar que este resultado geral mostra que o caminho dominante será a trajetória clássica. O efeito de todos os outros camin-hos, independente de sua forma, simplesmente geram o prefator F(t). Isto será verdade desde que o prefator não tenha nenhuma dependência com o Jacobiano J(t), e que todas as dependências de J estejam conti-das na aç ão ao longo da trajetória clássica. UFSM Dyana C. Duarte 38/42

68. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Se fizermos t ! i~

69. ; q0 = q e integrarmos esse resultado em q, encontramos a funç ão de partiç ão do oscilador harmônico: Z = m! 2~ sinh (

70. ~!) !12 Z +1 1 exp q2 m! cosh (

71. ~!) 1 ~ sinh (

72. ~!) !# dq = 1 p 2 (53) cosh (

73. ~!) 1 ou ainda, fazendo algumas manipulac¸ ˜oes no resultado acima temos: Z = 2 e

74. ~! + e

75. ~! 2 1 !#12 = e12

76. ~! h e

77. ~! 1 2i12 = e12

78. ~! 1 e

79. ~! (54) UFSM Dyana C. Duarte 39/42

80. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù A partir desse resultado, é poss´ıvel, por exemplo, calcular a energia livre de Helmholtz f , que é a forma de fazermos a conexão entre a mecânica estat´ıstica e a termodinâmica no ensemble canônico, e nesse caso é dada por f = 1

81. lim N!1 1 N ln Z = 1 2 ~! + kBT ln 1 exp ~! kBT !# (55) UFSM Dyana C. Duarte 40/42

82. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Ù Com isso podemos calcular as quantidades termodinâmicas de um sistema como o sólido de Einstein, que é um sistema no qual N os-ciladores harmônicos unidimensionais quânticos, localizados e não-interagentes oscilam com a mesma frequência fundamental !: A en-tropia s é dada por s = @f @T = kB ln 1 exp ~! kBT !# + kB ~! kBT ! exp(~=kBT) [1 exp(~!=kBT)] (56) e o calor espec´ıfico c c = T @s @T (57) UFSM Dyana C. Duarte 41/42

83. Motivaç ão Formulaç ão Algumas referências Algumas referências Ù MacKenzie, R. Path Integral Methods and Aplications. Université de Montréal, Montreal, 2000. Ù Piza, A. F. R. de Toledo 1a; 2ae 3a aulas do curso de “Integra¸cão Funcional na Mecânica Quântica” da escola de f´ısica teórica na USP. http://video.if.usp.br/aulas acesso em 10/10/2014 Universidade de São Paulo - USP, 2008. ÙRyder, H. L. Quantum Field Theory - 2nd edition. Cambridge, 1996. Ù Swanson, M. S. Path Integral and Quantum Processes. San Diego CA, 1992. Ù Feynmann, R.P.; Hibbs, A. R. Quntum Mechanics and Path Inte-grals. New York, 1965 UFSM Dyana C. Duarte 42/42

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