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Capitulo IV
Integrales de Superficie
Integrales de Superficie de Funciones Reales
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EJEMPLO 5
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EJEMPLO 9
Calcular    2 2 2 2
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EJEMPLO 10
Calcular
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1x y  .
SOLUCION
Sea  2
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EJEMPLO 11
Calcular 2 2
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2 2 2
2 2 2
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x y z
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a a b
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  1. 1. 2 2 (3) Capitulo IV Integrales de Superficie Integrales de Superficie de Funciones Reales Definici n. Sea una superficie simple parametrizada por la funci n . Sea : una funci n continuadefinid :fó ó K ó D      R R R R     a sobre la superficie K.La integral de superficie de la funci nsobre K, denotadopor ,se define por: (f(u,v)) , , k K K f u v f ó dA u v dudv u d v A                           (2) (3) 1 2 3 1 2 3 2 Observaciones: 1. : u,v (u,v) u, v , u, v , u, v u, v siendo : u, v u, v Además las f (Parametrizacio unciones nde : i 1, 2, 3son funcion lasuperfici es e contin s K) uai f D f f f f x f y f z f f D para            R R R R               3 x,u òD,denominada funciones coordenadas o funciones componentes de f. 2. ρ : K x, y, z ρ x, y, z ρ f u, v ρ o f u, v función continua     R R
  2. 2.    , , 3. , . f u v f u v dA dudv u v Define el diferencial del área de la superficie K                      4. , , 1 , , , , , , ,no es más que la definición deárea de la superficie . E : , , , , 1 K K K Si x y z x y z K f D la integral x y z dA K sto es f u v f u v x y z dA dA du dv Áreade u v                  ò   2 3 2 2 5. , , . En efecto,si , ,: , I I K El valor de la integral se superficie x y z dAno depende de la parametrización concreta que se esuna parametrizacionde K donde tenga de K g f o D D D es una funcion b             R R R R            1 2 1 2 . , , , , , , CondetermianteJacobiano iyectiva de clase s t s t s t s t x           5. , , . K El valor de la integral se superficie x y z dAno depende de la parametrización concreta que se tenga de K  
  3. 3.                2 3 2 2 1 2 1 2 En efecto,si : . , , , , , , Con determianteJacobiano Setieneque: , , , ( , , u,v) I I K D g f o D D D es una funcion biyectiva de cl esuna parametrizacion ase s t de K dond s t s t s t x f x y A f e z d                        R R R R                       1 2 1 2 1 2 , , , ( (s, )) (s, )) (s,t) , ( )(s, ) ( )(s, ) (s,t) g(s, ) (s ( ( , ) , , s,t s,t , : (s, ) . (s, )) (s,t) ( I I I f D D D K f g g u v f u v du dv u v f t N t ds dt f o t N f o t ds dt t N t ds dt x y z dA g g Donde N t N t s t                                                   1 2 2 2 2 2 3 3 , .( ) (s,t) Defini , ción : , . , , / , , , : ( , : g f f u v Sea D una región cerrada y g Dc una funcióndeclaseC su grafica es la superficie K G x y z z g x y x y D La parametrizació dada p n de K es f D K or f                   ò ò R R R R R R     3 22 , ,entonceslaintegraldesuperficiede sobreK esta dada por: , , x, , (x, x, y,z) (x, y, g( y) . 1 x, y)) : K D K una funcioncontinua g g x y z dA y g dx Se dy x y a                         R R
  4. 4.                          2 3 2 2 3 Ejemplo..1 Calcular ,donde , , / 1,0 1 . Sea 0,2 0,1 Parametrizacion de K , , cos ,sen , Ahora como , cos ,sen , , entonces. , sen , cos ,0 , 0, K x K x y z x y z Solución f u v f u v u u v f u v u d u v f u v u u u f u v A v                     òR R             0,1 , , Donde : cos ,sen ,0 , , 1 f u v f u v u u u v f u v f u v u v                          1 2 22 0 0 21 00 1 0 1 0 Luego. cos 1 1 1 sen 2 2 2 1 2 2 K x u du dv u u dv dv d dA v v                   
  5. 5.                3 2 2 2 3 Ejemplo.. 2 Calcular (x, y,z) ,donde , , ; , , / 1, 0 , 0 Solución: Sea : , / 2 0 , / 2 parametrización de K 2 Donde , cos , sen ,sen sen ,cos , sen sen , cos c k dA x y z X K x y z x y z x z f f u v u v v u v f u v u v v u                         òR R                    2 2 /2 /2 0 2 /2 2 0 2 /2 2 os ,0 , cos .cos ,cos .sen , sen , , sen .cos , sen .sen , sen .cos , , sen Ahora cos sen sen cos 1 sen 2 2 2 1 2 k u f u v u v v u v v f u v f u v v u v u v v u v f u v f u v v u v X dA u v v dvdu u v v du                                              2 2 cos 2 sen 4 1 1 4 2 u du u                 
  6. 6. EJEMPLO 3 Calcular 2 ( ) A k x y d ; donde k es la porción del plano 2 3 5 1x y y   en el primer octante. SOLUCION Ecuación del plano: 2 3 5 1x y y   Donde: 2 3 1 5 5 5 z x y   Sea 2 3 1 (u,v) u,v, 5 5 5 f u v         ; (Parametrización de k ) (u,v) 2 1,0, 5 f u          (u,v) 2 0,1, 5 f v          (u,v) (u,v) 2 3 , ,1 5 5 f f u v              (u,v) (u,v) 38 5 f f u v       Luego 1 2 (1 2u) 3 2 2 0 0 38 (x y)dA 5k u v dvdu     2 1 2 (1 2u) 32 2 00 38 (x y)dA 5 2k u v du       2 1 2 2 2 0 38 (x y)dA (1 2u) 10 9k u du   1 23 5 2 4 0 38 (x y)dA 4 90 3 5k u u u          2 38 1 1 1 (x y)dA 90 24 16 40k        
  7. 7. 2 38 (x y)dA 21600k  EJEMPLO 4 Hallar el área de la parte del plano 1 x y z a b c    , donde a, b y c son números positivos, dados, que se encuentran en el primer octante. SOLUCION Ecuación del plano: 1 x y z a b c     c c z c x y a b    Sea (u,v) u,v, v c c f c u a b         , (Parametrización del plano) Donde (u,v) 1,0, f c u a          (u,v) 0,1, f c v b          (u,v) (u,v) , ,1 f f c c u v a b             2 2 2 2 2 2(u,v) (u,v) 1f f a b b c a c u v ab         Luego el área de la parte del plano en el primer octante es: 2 2 2 2 2 2 0 0 1 (k) b a b u a A a b b c a c dvdu ab            2 2 2 2 2 2 0 1 (k) a b A a b b c a c b u du ab a           2 2 2 2 2 2 2 0 1 (k) 2 a b u A a b b c a c bu ab a          2 2 2 2 2 2 0 1 (k) 2 a ab A a b b c a c ab ab         2 2 2 2 2 21 (k) 2 A a b b c a c  
  8. 8. EJEMPLO 5 Halle el are de la parte de la esfera 2 2 2 2 x y z a   , que se encuentra dentro del cilindro 2 2 x y ax  . SOLUCION Ecuación de la esfera: 2 2 2 2 x y z a    2 2 2 z a x y    Ecuación del cilindro: 2 2 x y ax   cosr a  Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos. 2 2 2 dz x dx a x y     2 2 2 dz y dy a x y     Donde: 22 1 dz dz dA dxdy dx dy              2 2 2 2 2 1 x y dA dxdy a x y      2 2 2 a dA dxdy a x y    Luego el área de la parte de la esfera que se encuentra dentro del cilindro 2 2 x y ax  es: 2 2 2 (k) 2 2 k R adxdy A dA a x y       A coordenadas polares. cos 2 2 20 0 (k) 2 a ardrd A a r            cos 2 22 0 0 (k) 4 a A a a r d       
  9. 9.  2 2 0 (k) 4 1A a sen d       2 2 0 (k) 4 cosA a      2 (k) 2 2A a   EJEMPLO 6 Hallar e área de la parte del cono 2 2 2 z x y  , 0z  , que se encuentra dentro del cilindro 2 2 2x y x  SOLUCION Ecuación de la esfera: 2 2 2 z x y   2 2 ;z x y  0z  Ecuación del cilindro: 2 2 2x y x   2cosr  Sea 2 2 (u,v) (u,v, )f u v  , (Parametrización del cono) Donde 2 2 (u,v) (1,0, ) f u u u v     2 2 (u,v) (0,1, ) f v v u v     2 2 2 2 (u,v) (u,v) ( , ,1) f f u v u v u v u v           (u,v) (u,v) 2 f f u v       Luego el área de la parte de cono es: (k) 2 k R A dA dudv   Empleando coordenadas polares. 2cos 2 0 0 (k) 2 2A rdrd      2cos2 2 0 0 (k) 2 2 2 r A d          
  10. 10.  2 0 1 cos 2 (k) 4 2 2 A d            EJEMPLO 7 Determine el área de la parte de la esfera 2 2 2 2 4x y z a   interior al cilindro 2 2 2x y ay  . SOLUCION Ecuación de la esfera: 2 2 2 2 4x y z a    2 2 2 4z a x y    Ecuación del cilindro: 2 2 2x y ay   2 cosr a  Derivando “z” respecto a “x” e “y”. Tenemos. 2 2 2 4 dz x dx a x y     2 2 2 4 dz y dy a x y     22 1 dz dz dA dxdy dx dy              2 2 2 2 2 1 4 x y dA dxdy a x y      2 2 2 2 4 a dA dxdy a x y    Luego el área solicitada es:   2 2 2 2 2 (k) 2 4R a dydx A a x y     Empleando coordenadas polares.  2 cos 2 2 20 0 2 (k) 4 4 a a r drd A a r        2 cos 2 22 0 0 (k) 8 4 a A a a r d       
  11. 11.  2 0 (k) 8 2 cos 2A a a a d       2 2 0 (k) 16 1 senA a     2 (k) 8 2A a   EJEMPLO 8 Calcular  k yarctg dA x donde; 2 2 : ;1 4k z x y z    SOLUCION Sea  2 ( ,v) cos , sen ,f u v u v u v ; Una parametrización d k. Donde    0,2 , 1,2u v  (u,v) ( sen , cos ,0) f v u v u u     (u,v) (cos ,sen ,,2 ) f u u v v     2 2(u,v) (u,v) 2 cos ,2 sen , f f v u v u v u v        2(u,v) (u,v) 1 4 f f v v u v        Luego   2 2 2 0 1 dA 1 4 k vsenuyarctg arctg v v dvdu x vconu              2 2 2 0 1 dA 1 4 k yarctg uv v dvdu x          232 2 2 0 1 dA 1 4 12k uyarctg v du x          22 3 3 2 2 0 1 dA 17 5 12 2k uyarctg x            
  12. 12.   2 3 3 2 2 dA 17 5 6k yarctg x        EJEMPLO 9 Calcular    2 2 2 2 ; : 2 , 0 k x y dA k z x y z     . SOLUCION  2 2 : 2k z x y   2 dz x dx   2 dz y dy   22 2 2 1 1 4 4 dz dz x y dx dy               Luego      2 2 2 2 2 2 1 4 k R x y dA x y x y dydx      Empleando coordenadas polares.   2 2 2 2 2 2 0 0 1 4 k x y dA r r rdrd         2 2 2 2 3 2 0 0 1 4 k x y dA r r drd             2 5 32 2 2 2 22 2 0 0 1 1 1 4 1 4 80 48k x y dA r r d                    5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 9 9 80 48 80 48k x y dA            Simplificando  2 2 149 30k x y dA   
  13. 13. EJEMPLO 10 Calcular k zdA ; k superficie 2 2 z x y  seccionada por 2 2 1x y  . SOLUCION Sea  2 ( ,v) cos , sen ,f u v u v u v ; Una parametrización d k. Donde    0,2 , 0,1u v  (u,v) ( sen , cos ,0) f v u v u u     (u,v) (cos ,sen ,2 ) f u u v v     2 2(u,v) (u,v) 2v cosu,2v senu, f f v u v        2(u,v) (u,v) 1 4 f f v v u v        Luego 2 1 3 2 0 0 zdA 1 4 k v v dvdu          1 5 32 2 22 2 0 0 1 1 1 4 1 4 80 48k zdA v v du                2 5 3 2 2 0 1 1 1 1 5 5 80 48 80 48k zdA du                5 3 2 2 1 1 1 1 2 5 5 80 48 80 48k zdA           Simplificando 10 5 2 8 3 15k zdA         
  14. 14. EJEMPLO 11 Calcular 2 2 k x y dA , donde k s la superficie lateral del cono 2 2 2 2 2 2 ,0 x y z z b a a b     SOLUCION Sea  ( ,v) cos ,a ,bf u av u vsenu v ; Una parametrización d k. Donde    0,2 , 0,1u v  (u,v) ( sen , cos ,0) f av u av u u     ( , ) ( cos , sen , ) f u v a u a u b v      ( , ) ( , ) cos , sen , f u v f u v abv u abv u v u v        2 2( , ) ( , )f u v f u v av a b u v        Luego    2 1 2 2 2 2 0 0 k x y dA av av a b dvdu       2 2 2 2 2 2 03k a a b x y dA du     2 2 2 2 22 3k x y dA a a b    

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