9.3    PROBLEMAS   RESUELTOS             DE    y la masa se puede calcular recordando que      HIDROSTATICA.              ...
3.- ¿ Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de                                 D           N                                  ...
integrada y evaluada entre 0 y h.                                   PM = P0 + rM g hMcon los datos del problema :         ...
Solución: Cuando actúa F1 sobre el pistón                         gf                                            Peso = Pe ...
La densidad relativa es numéricamente                          T1 + E1 - W1 = 0igual que el peso específico relativo {ver ...
y según Arquímedes:                                                   W - T1                                              ...
El cuerpo está parcialmente sumergido en       ¿ Cuál es el espesor e de la capa de plomo,aceite y parcialmente sumergido ...
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Problemas hidróstatica

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Problemas hidróstatica

  1. 1. 9.3 PROBLEMAS RESUELTOS DE y la masa se puede calcular recordando que HIDROSTATICA. el peso es una fuerza de atracción gravitacional que se puede encontrar con la1.- Una estrella de neutrones tiene un expresión:radio de 10 Km y una masa de 2 X 1030Kg. ¿Cuánto pesaría un volumen de 1 mM (ii) P= G 3cm de esa estrella, bajo la influencia de la R2atracción gravitacional en la superficie dela tierra? (donde G es una constante universal de N m2 valor 6,67 X 10-11 , m es la masa deSolución: El peso debe calcularse Kg2multiplicando la masa por la aceleración de un objeto cualquiera en las cercanías delgravedad. En consecuencia debemos cuerpo que genera el campo gravitacional,calcular la masa primero. Eso puede en este caso el planeta Júpiter, M es lahacerse a través del concepto de densidad, masa del planeta y R es la distancia entre elpuesto que: cuerpo y el planeta). Por otra parte, el peso de un cuerpo cualquiera cercano al planeta masa estrella puede calcularse también con la expresión ρ= volumen estrella proveniente de la segunda ley de Newton :es decir, cada cm3 de la estrella tendrá una P = mg (iii).masa de 0,5x1012 Kg, por lo tanto en lasuperficie de la tierra pesará: en consecuencia, igualando (ii) con (iii) : m mMW = (0,5x1012 Kg)(9,8 ) = 0,5x1012 N. G =mg s2 R22.- Júpiter tiene un radio R = 7,14 X 104 de donde :Km y la aceleración debida a la gravedad en m g R2su superficie es gJ = 22,9 2 . Use estos M= s Gdatos para calcular la densidad promediode Júpiter. ahora podemos calcular la densidad :Solución: La densidad essimplemente el cuociente entre la masa y el g R2volumen del planeta. Por tanto, hay que M 3g ρ= = G =calcular previamente ambas cantidades. V 4 3 4GRπ πR 3El volumen se puede calculargeométricamente con la expresión: (3)(22,9 ) ρ= ( 4 ) ( 6,67x10−11 )( 7,14x107 ) (3,14 ) 4 3 (i) πr 3 Kg ρ = 1 148,5 m3 238
  2. 2. 3.- ¿ Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de D N P - P0 = 196 000 = 1,96profundidad desde la superficie del mar?. cm 2 cm2Suponga que r = 1,03 X 103 Kg/m3 comodensidad del agua de mar y que la presión b) Como la profundidad es constante, seatmosférica en la superficie del mar es de puede ocupar directamente la expresión1,01 X 105 Pa. Suponga además que a este (8), pues la fuerza estará uniformementenivel de precisión la densidad no varía con distribuida:la profundidad. F=PASolución: En función de laprofundidad la presión es: donde P es la presión manométrica. Por tanto : P = P0 + r g h N F = (1,96 ) (1200 cm) (2500 cm)por tanto: cm2 Kg m F= 5,88 x 106 NP = 1,01x105 Pa + (1,03x103 )(9,8 2 )( h) m3 s c) La fuerza total sobre una de las paredessi h = 1 m : 5 P = 1,11 x 10 Pa. no puede calcularse de la misma forma,si h = 10 m : P = 2,02 x 105 Pa puesto que la presión varía con la profundidad, por lo que debe ocuparse la4.- Las dimensiones de una piscina expresión (7):rectangular son 25 m de largo, 12 m deancho y 2 m de profundidad. Encontrar: dF = P dAa) La presión manométrica en el fondo de donde dF es la fuerza debida a la presión la piscina. manométrica P, existente en un elementob) La fuerza total en el fondo debida al de área dA de largo L y alto dh. agua que contiene.c) La fuerza total sobre una de las La presión manométrica varía con la paredes de 12 m, por 2 m. profundidad según r g h.d) La presión absoluta en el fondo de la piscina en condiciones atmosféricas por tanto : normales, al nivel del mar. dF = (r g h) (L dh)Solución: la fuerza requerida se encontraráa) La presión manométrica se calcula con integrando esta expresión: la expresión (10) : Ú dF = Ú r g L h dh P - P0 = r g h que resulta : g cmP - P0 = (1 )(980 2 )(200 cm) cm3 s F = r g L2/2 239
  3. 3. integrada y evaluada entre 0 y h. PM = P0 + rM g hMcon los datos del problema : y la del líquido desconocido vale: g cm 2002 PL = P0 + rL g hLF = (1 )(980 )(1200 cm)( cm2) cm 3 s2 2 En ambas, P0 es la presión atmosférica puesF = 2,352 x 10 10 D = 235 200 N están abiertos.(d) La presión absoluta en el fondo de la Igualando ambas expresiones:piscina es la suma de las presionesmanométrica y atmosférica, que a nivel del P0 + rM g hM = P0 + rL g hL N Nmar vale 1,01 X 105 2 = 10,1 2 , m cm de donde :por tanto : ρM hM ρL = hL N N NP = 1,96 + 10,1 = 12,06 cm2 cm 2 cm2  g   13,6 3  (2cm ) cm  ρL =  14 cm5.- En el tubo en U de la figura, se hallenado la rama de la derecha con mercurio g rL = (1,94 )y la de la izquierda con un líquido de cm3densidad desconocida. Los nivelesdefinitivos son los indicados en el esquema. 6.- Un recipiente cerrado que contiene líquido (incompresible) está conectado alHallar la densidad del líquido desconocido. exterior mediante dos pistones, uno pequeño de área A1 = 1 cm2 , y uno grande de área A2 = 100 cm2 como se ve líquido L en la figura. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F = 100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m puede 14 cm levantar el pistón grande?. 2 cm F1 A2 d2 mercurio d1 A1Solución: En el nivel de la superficie de F2separación la presión es la misma en los doslíquidos, En dicho nivel la presión debida almercurio vale: 240
  4. 4. Solución: Cuando actúa F1 sobre el pistón gf Peso = Pe V = (0,8 )(350 cm3) = 280 gfpequeño, la presión P del líquido en ese cm3punto es : 8.- ¿Cuál es el peso específico de un cuerpo F 100 N 102 N si flota en el agua de modo que emerge elP = 1 = = = 106 Pa 1 A1 1 cm2 10-4 m2 35 % de su volumen?Como el pistón grande está a la misma Solución: Si emerge el 35% de su volumen,altura, tendrá la misma presión P que el está sumergido el 65% del cuerpo. Estootro pistón, por tanto la fuerza F2 que significa que sobre él existe aplicado unactúa sobre él, es empuje equivalente al peso de un volumen de agua equivalente a 0,65 V (siendo V el F2 = P A2 volumen del cuerpo). Este puede ser expresado como en el ejercicio anterior,y el peso que puede levantar es: como: F2 = m g gf Pagua desalojada = Empuje= PeV =(1 )(0,65 V) cm3por lo que se puede escribir: Por otra parte, si flota es porque está en P A2 = m g equilibrio, para lo que es necesario que el peso del cuerpo sea igual al empuje. El pesode donde : del cuerpo es: Pcuerpo = Pe V.m= P A2 = (106 Pa )(10−2 m2 ) g m 9,8 2 Debido a lo antes expuesto: s (0,65 V) gf = Pe V .m = 1 020 Kg7.- Calcular el empuje que ejerce (a) el de donde :agua y (b) el alcohol sobre un cuerpo gfenteramente sumergido en estos líquidos Pe = 0,65 cm3cuyo volumen es de 350 cm3. El peso gfespecífico del alcohol es de 0,8 . 9.- Una esfera metálica pesa 1 Kf en el aire cm3 y 880 gf sumergida en agua. Calcular su densidad absoluta y relativa y su pesoSolución :a) El empuje del agua es igual al peso de específico absoluto y relativo.los 350 cm3 de este líquido que el cuerpo Solución: De acuerdo a lo encontrado endesaloja y vale por lo tanto 350 gf. (15) :(b) En alcohol corresponde al peso de 350 W 1000 gfcm3 de este líquido. Conocido su peso ρr = = = 8,3 E 1000 gf - 880 gfespecífico, que es el cuociente entre elpeso del líquido y su volumen: 241
  5. 5. La densidad relativa es numéricamente T1 + E1 - W1 = 0igual que el peso específico relativo {ver ec(6)}, por lo que este también vale 8,3. Pues el peso debe ser equilibrado por la suma de la tensión de la cuerda y el empuje g del fluido.La densidad absoluta será 8,3 por cm3definición. E1El peso específico absoluto se puede W1encontrar con la expresión (3): T1 g cmPe = r g = (8,3 ) (980 2 ) cm 3 s D En algunas ocasiones a la lectura delPe = 8 134 instrumento, que aquí mide la tensión de la cm3 cuerda (T1) se le denomina peso aparente.10.- Un objeto de masa 180 gramos ydensidad desconocida (r1), se pesa Al pesarlo en el otro líquido:sumergido en agua obteniéndose unamedida de 150 gf. Al pesarlo de nuevo,sumergido en un líquido de densidaddesconocida (r2), se obtiene 144 gf.Determinar la densidad del objeto y delsegundo líquido.Solución: Al pesarlo en agua se obtiene: T2 + E2 - W2 = 0 Note que aumentó el empuje y disminuyó la tensión en la cuerda. Entre ambos equilibran el peso del cuerpo, que no ha cambiado, pues es la fuerza con que la tierra lo atrae (W1 = W2). 242
  6. 6. y según Arquímedes: W - T1 V= 1 ρ1 g E1 = r1 g V reemplazando : E2 = r2 g V 176400 D - 147000 D V= = 30 cm3donde V es el volumen del cuerpo.  g  cm   1 3   980 2   cm   s Reemplazando en las ecuaciones anteriores,se tiene: con lo que: T1 + r1 g V - W1 = 0 180 g g rc = = 6,00 T2 + r2 g V - W2 = 0 30 cm 3 cm3de este sistema de ecuaciones se obtiene: 11.- Un recipiente contiene una capa de ρ1 ( W - T2 ) g ρ2 = 2 agua (r2 = 1,00 ), sobre la que flota W - T1 1 cm3 una capa de aceite, de densidad r1 = 0,80donde: g . Un objeto cilíndrico de densidad cm3 cm desconocida r cuya área en la base es A yW1 = W2 = W = m g = (180 g)( 980 ) s2 cuya altura es h, se deja caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando laW= 176 400 D superficie de separación entre el aceite y el agua, sumergido en esta última hasta laT1 = 150 gf = 150 (980 D) = 147 000 D 2h profundidad de como se indica en la 3T2 = 144 gf = 144 (980 D) = 141 120 D figura. Determinar la densidad del objeto.reemplazando : g 3 [ 1 176400 D − 141120 D]ρ2 = cm 176400 D - 147000 D gρ2 = 1,2 cm3La densidad del cuerpo es fácil de obtener, mcpuesto que es igual a . VEl volumen V se puede obtener del sistemade ecuaciones: 243
  7. 7. El cuerpo está parcialmente sumergido en ¿ Cuál es el espesor e de la capa de plomo,aceite y parcialmente sumergido en agua. si la esfera ni flota ni se hunde?. LaEsta siendo sujeto de la acción de tres 3 Kg densidad del plomo es r = 11,3 x 10 .fuerzas: El peso, el empuje del m3volumen de aceite desplazado por el Solución: Si está en equilibrio, las fuerzascuerpo y el empuje del volumen de agua que participan deben anularse. Estas son eldesplazado por el cuerpo. peso de la esfera y el empuje del líquido.Está en equilibrio por lo que las fuerzas se El Peso de la esfera es:anulan, por lo que: W = mg = rplomo V g E1 + E2 - W = 0 donde el volumen de la capa de plomo secon: E1 = r1 g V = r1 g A h calculará usando una aproximación, que E2 = r2 g V = r2 g A h consiste en calcular la superficie de una esfera de radio R, es decir 4 p R2, yreemplazando los datos: multiplicarla por el espesor e de la capa de plomo. Entonces el volumen que r1 g A h + r2 g A h - r g A h = 0 necesitamos es:dividiendo por g A h se tiene : V = 4 p R2 e r1 + r2 - r = 0 por tanto, el peso es:resolviendo para r y reemplazando: W = (4 p R2 e) (rplomo g) g g g y el empuje es:r = 0,800 + 1,00 3 = 0,933 cm 3 cm cm3 R3 E = ragua V g = ragua g (4 p ) 312.- Una esfera de plomo llena de aire, con Pues es el peso del volumen de aguaradio R = 0,1 m, se encuentra totalmente desplazada correspondiente a una esferasumergida en un tanque de agua como se ve de radio igual al radio exterior de la capaen la figura. de plomo. igualando ambas expresiones: R3 (4 p R2 e) (rplomo g) = ragua g (4 p ) 3 R e = ragua 3ρplomo  3 Kg   10 m3  ( 0,1 m ) e=   = 0,003 m  Kg  3  11,3x103 3   m  244

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