ATEMÁTICAS

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CIENCIAS EXACTAS
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  1. 1. ATEMÁTICAS ANÁLISIS + EJERCICIQS CIENCIAS EXACTAS Atlas de Matemáticas (Análisis + Ejercicios) Alias de Matemáticas (Álgebra + Geometría) Atlas de Física Atlas de Química Alias de Prácticas de Fisica y Química Ahálisis+ Ejercicios El teorema de Rolle asegura la existencia de puntos smgulmes si la funcion es derivuble á á CIENCIAS COSMOLÓGICAS ‘ Atlas de Geología Atlas de Mineralogía Atlas de la Naturaleza Atlas. de los Fósiles Atlas de Ia Arqueología CIENCIAS NATURALES Atlas de Zoología (Invertebrados) Atlas de Zoología (Venebrados) Atlas de Parasitología Atlas de Biología Atlas de Botánica CIENCIAS PURAS Atlas del Átomo Atlas de la Astronomía Atlas de Ia Meteorología Atlas de la Microscopía Atlas de Ia Informática ANATOMIA Atlas de Anatomía Animal (i) < 9 I- < E ui i- < E Atlas de Anatomía Humana Mórximos Atlas del Cuerpo Humano Ylïáïïcïlïgïcïs v Alias del Hombre Inflexiones uno (19105 mas Atlas de la Cirugia mponmnes matemáticos de la historia, r especialmente : en lc: del Análisis ‘ y= x3 xau-i ¡‘Ann :1. 9,4: .7 iii“i ‘l“ Iii ““i1:!11!““l‘ ‘¿y 1 ‘ r r
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  3. 3. Título de la colección ATLAS TEMÁTICOS Texto e ilustración © 1996 IDEA BOOKS, S. A. Redacción / Ferran Hurtado, Licenciado en Matemáticas Ilustraciones/ Equipo editorial Diseño dela cubierta l Lluís Lladó Teixido Printed in Spain by Emegé, Industria Gráfica, Barcelona EDICIÓN 1997 ZZHHHHIIMIIMIMMIHHHHRHHRH* PRÓLOGO i i Las cuarenta y dos fichas de texto de este libro constituyen una sintesis, con profusión de ilustraciones, del Análisis real de una variable, cubriendo el contenido clásico de esta disciplina en el ciclo medio e inicio del superior. En la serie A se trata del con- junto de los números reales y se define C a partir de R x R, seña- lándose propiedades que incidirán en temas posteriores. La serie E, elemental sólo en parte de B/ i, versa sobre sucesiones y series en R. La serie C introduce las funciones reales de variable real, siendo C/ J, sobre sucesiones y series funcionales, correspondien- te al nivel superior. En la serie D se define la continuidad y se comentan los teoremas más significativos. Las cuestiones sobre continuidad uniforme, sucesiones y series de funciones exceden aqui’ el nivel elemental. La serie E aborda la derivabilidad y varios temas asociados; optimización, gráficas, indeterminaciones, aproximación de raíces, etc, Finalmente, la serie F trata de la inte- gracion y de sus aplicaciones a la medida. Las integrales trigono- métricas, irracionales e impropias de F/ B, F/ i0 y F/ iji se incluyen en el nivel superior, y también las tenias de sucesiones y series funcionales que se ven en F/ i5. Aunque el resumen teórico está salpicada de numerosos proble- mas y eiemplos, alli’ donde no han tenida cabida, oportunidad o abundancia suficiente se ha recurrido a la amplia colección de ejercicios resueltos del final del volumen, cuya numeración (por ejemplo E/7-3i permite buscarlos a partir de la ficha teórica (en este caso la 5-7) o, al revés, retrocedera ella desde el ejercicio, si es que conviene consultarla. Esperamos que la obra sea de gran utilidad para sus lectores. EL AUTOR
  4. 4. l]e los nümerus reales a los complejos Si el proceso de contar nos conduce a N, los números naturales, las necesidades de la medida de dinero, longitudes, pesos, etc. — conllevan el uso de fracciones, con lo que se llega hasta los números racionales, Q, En los primeros tiempos de las matematicas se creia que dada una uni- dad, pongamos de longitud, cualquier otra longi- tud era expresión racional de la unidad anterior. En otras palabras, dos longitudes cualesquiera eran conmensurables, es decir, ambas un núme- ro natural de veces cierta unidad adecuada. El descubrimiento pitagórico de la inconmensurabi- lidad de la diagonal con el lado del cuadrado (véase fig. l), dio al traste con tal creencia, pero una construcción y comprensión completa de los nuevos números, los irracionales, puestos al des- cubierto, hubo de esperar hasta el siglo XIX, con Weierstrass, Cantor y Dedekind. NÚMEROS REALES El cuerpo de los números reales, que se denota por R, es un conjunto que contiene a Q, en el que se tienen una relación entre sus elementos (orden), denotada x s y (o y 2 x indistintamen- te), que Ieeremos x es menor o igual que y tres- pectivamente, y es mayor o igual que x), y dos operaciones internas, es decir, sendas aplica- ciones R x R 4 R, denotadas (x, y) >x+y, (x, y) 'x-y a las que se da el nombre de suma y producto de números reales, respectivamente, cumpliéndose los axiomas que a continuación se enumeran. Para mayor sencillez, están distribuidos en cinco grupos, l a V, e incluso de manera sobreabun- dante, es decir, puede caracterizarse R mediante una colección más reducida de axiomas, de los cuales se deduciran los que nosotros hemos aña- dido de más, por razones de claridad. (l). R, con la suma y el producto es un cuerpo conrnutativo. Es decir, se cumple: l.1.x+ (y+z)= (x+y)+z Vx, yze R. l.2.x+y= y+x Vx, ye R. l.3. Existe un elemento de R, que designaremos Oicero), tal que0+x: x Vxe R. l.4. Para cada elemento x de R existe un ele- mento de R, denotado —x, tal que t-x) + x : O. l.5.x-(y-Z)= (x-y)-z Vx, y,zeR. l.6.x-y: y-z Vx, y,ze R, I.7. Existe un elemento de R, que designaremos 1 (uno), distinto de 0, tal que l-x: x V x e R, 1.8. Para cada elemento x e R distinto de 0, existe un elemento de R, denotado x" lo tam- biéng7ltalquex- x" = l. l.9x>(x+y)= x-y+x-z Vx, y,zeR. (II). R está totalmente ordenado como cuerpo. Desglosadamente: ll.1. Cualesquiera que sean x, y de R, se cum- ple xs yobien ys x. ll.2. x : y equivale a que simultáneamente se cumplan x s y e y s x. Escribiremos x < y e y s x. Escribiremos x < ycuando x + ycon xs y. ll.3. x s ye ys z implican x s z, cualesquiera que sean x, y, z e R. IM. Si x, y, z e R, dexs ysededucex + zs y + z. II.5. Si x, y e R cumplen x 2 0, yz 0, se tiene x - yz 0. (III) El orden es arquimediano, Es decir, si x, y e R cumplen 0 < x, O s y, existe n s N tal que y < n< x. Los axiomas de (I). (II) y (lll) son también váli- dos para Q, que también es cuerpo conmu| ati- vo totalmente ordenado y arquimediano, por lo que el lector ya está familiarizado con sus con- secuencias sencillas y con el lenguaje usado. (IV). Q es denso en R. En otras palabras, V x, y e R tales que x< yexiste un q¡ e Q entre ellos, o sea x < q. < y, Obsérvese que, por la misma razón, existirán q¿, q, etc. , con x < < q} < q¡ < q¡ < y. En definitiva, entre cada dos reales distintos hay infinitos racionales. Para formular el axioma (V) precisamos ciertas definiciones previas. Sean a y b números reales cualesquiera con a < b. Se denomina intervalo abierto de origen y extremo b al conjunto de x e R tales que a <x <b, denotándose tal conjunto por (a, b). Se llama intervalo cerrado de origen a y extremo b al conjunto de t e R tales que a s ts b y se le denota la, b]. Es habitual llamar intervalo de centroa yradíoha (a— li, a + h). Si c e R, sellama entorno de c a cualquier intervalo (a, b) tal que c e ta, b), en particular los centrados en L’. Aunque no se trate de intervalos, es frecuente denotar (a, te») al conjunto de x e R tales que a < x ty análogamente para (ma, a), la, m) y (4o, al). utilizaremos también las notaciones R‘ = (0, + M), R’ = t— m, 0), conjuntos cuyos elementos son llamados, res- pectivamente, positivos y negativos. El conjunto R suele representarse gráficamente por una recta, situando x a la izquierda de , ’ cuando x < y. ATLAS DE MATEMÁTICAS 6 iii fiflfiifi hïl . - ul ñ Wi ) i? ll T335‘. W Fig. t _ la corimemurabílidad significaría la existencia de una Ion- gilud a tal que s/ ï=nta | =na(m, ne N) con lo que, dividiendo, x/ ï = mln seria racional, ln que es ¡hur- do, pue! si la fracción es irrtducihle elevando al cuadrado m y n resultan pares. «a UEï-vïrfi/ ¿MZ-ïlï +7‘ +5- : ",, ’l’ 52+ 130+ 4 b" +5 E55 _—u _—— _— _—. —-_¿—¿-1 ion ïía-‘Fïá/ L-r Fig. 3 _ Símbolos de numeración tiemglífica) egipcia (arriba) y china (abaio), Itfimerns H“ Fig. 2 - Aparte del «¡trim teorema, la escuela reunida en torno a Pitágoras (s. vt nc. ) hizo su más importante aporta- ción al descubrir la existencia de los números irracionales. L / /// /i'fi”s’llll I UlItLUUU t 52.11 i 100m0 1.000 000 DE LOS NÚMEROS REALES A LOS COMPLEJOS
  5. 5. lle Ius nümerus reales a las cnmnleius Si A es un subconjunto de R, diremos que b es una cota superior de A (o una mayorante de A) cuando sea x s b para todo x de A. También se dice que A está acotado superiormente por b, o mayorado por b. Análogamente se definen las cotas inferiores o minoranles. Un conjunto se dice que está acotado inferior/ mente si existe alguna cota inferior. De estarlo en ambos senti- dos se dice, sencillamente, que está acotado. Por ejemplo, kr está acotado inferiormente, pero no superiormente, R“ está en situación inversa, Q no esta’ acotado en ningún sentido, y cualquier intervalo (a, bl lo está en ambos. Si A C R y existe un elemento a e A tal que sea cota superior de A (es decir, un elemento de A mayor que todos los restantes de A), diremos que a es el máximo de A. Se llamaría mínimo de A a una cota inferior de A que perteneciera a A. Por supuesto que si un conjunto tiene máximo o minimo está mayorado o minorado, respecti- vamente, pero, en cambio, el mero hecho de estar acotado superiormente o interiormente no implica que posea máximo o mínimo, como, por ejemplo, sucede con cualquier intervalo abierto. Ahora sí estamos en condiciones de formular el axioma de R que nos faltaba: (V). Si un subconjunto A de R, no vacío, está acotado superiormente, el conjunto M de las mayorantes de A posee elemento mínimo. La menor de las cotas superiores de A, si exis- te, se llama extremo super/ or de A to también supremo de A). El axioma V, o axioma del extremo, dice que todo subconjunto de R no vacío y acotado superiormente posee extremo superior. Consecuencia inmediata es que cual- quier subconjunto de R minorado y no vacio posee extremo inferior (también llamado infi- mo), es decir, elemento máximo entre sus cotas inferiores. El axioma V no se cumple en Q. Por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cua- drado es menor que 2, es no vacío y está aco- tado en Q, pero carece de extremos raciona- les. AI sumergir Q en R si’ aparecen extremos: x/ Ï y — x/ Ï. Para cada x e R se define x si x 2 0 —x si x S 0 siendo sus principales propiedades (al jx] 20 Vx e R. |x| =0equivaleax=0. tbjjx+yjsjxj+jyj Vx, ysR. lC)lX'y| =I><I'| yl WWE R» (d! IKWIZ lxlclyl Wwe R- La reforma del Análisis, comenzada por Bolza- no y Cauchy, se completó en la segunda mitad valor absoluto de x = |x| = del siglo XIX en torno a Weierstrass, cuya cons- trucción de los números reales parte, como la de Cantor-Heine y la de Dedekind, de Q. El método de este último, el que más conecta con la antigüedad clásica, consiste en considerar cerraduras de Q, es decir, particiones de Q en dos subconjuntos A. A, no vacios y disjuntos, tales que cualquier elemento de A, minore A, Cada una de estas cortadoras hace de número real en la construcción de Dedekind. En defini- tiva, cada or e R queda individualizado por los racionales menores que él y los mayores o iguales. Lo difícil estriba en construir estos con- juntos antes de que exista (X. NÚMEROS COMPLEIOS En virtud de la regla de los signos, el cuadrado de cualquier real es un número positivo, o nulo. Por ello, no existe en R raiz cuadrada de los negati- vos. Sin embargo, es posible construir un con- junto, el de los números complejos, en cuyo asentamiento se distinguieron Gauss, Hamilton y Cauchy, que contiene como subconjunto a R, en el que tal problema tiene solución. Definición y operaciones Consideremos el conjunto R x R formado por Ius pares ordenados (a, b) de números reales (el contexto evita, pese a las notaciones coinci- dentes, la confusión con los intervalos). Se defi- nen una suma y un producto mediante (a, bJ+tc, dI= (a+c, b+tíJ (a, b) - (c, m = (ac-bd, od+ bc) cumpliéndose, V a, b, c, d, e, / e R, 1. (a, b) + (c, d) : (c, d) + (a, b) 2. Ita, b) + (c, d] + (e, f) = (a, b) + ltc, «ü + (e, fi] 3. El elemento (0, U) cumple la, b) + (0, 0) = (a, b) 4. Para cada (a, b) e R x R se tiene (a, b) + t-a, «bi = (0, O). 5. (a, b) - (c, d) = (c, d) > (a, b) 6. (a, b) * lic, ¿fl * te, ¡il : lta, b) - (c, dll - te, f) 7. El elemento ti, 0) cumple (i, 0) - la, b) = la, h) B. Para cada ta, b) de R x R distinto de (Ü, 0), ta, b) t a , a>’+ h’ a"+ h‘ 9. (a, b) - ltc‘ añ + (e, lil = (d, b) (c, U7 + ta, b) (e, fi R x R, estructurado como cuerpo conmutativo con las anteriores operaciones, es denotado C, y sus elementos llamados números complejos. )= (1,0) ATLAS DE MATEMÁTICAS FV UCUUIUWÜDVIÉFIFMVHFHYBPÜPHFIIÍÜFIÜÉIVFWF ‘ Fundamentación "¡E Karl Welrrstrass llfl5»i897i RK hard Dcdekmrl HH} | —l ‘M (v Li . .. . Willmm Rnwnrt Httmtltrin 4 ItsoS-izsbsi rïmrg Cantor HHH-wifi» , , y _. . . - ‘ _ l _ . I — Matemáticos que, en el siglo xix, movidos por la preocupación de los fundamentos de la Matematica, se dedicaron al estudia de l: construcción d! los conjuntos numéricos. J DE LOS NÚMEROS RE/ ÏJLES A LOS COMPLEIOS ,1
  6. 6. lie los nlimerns reales a lus complejas Representación gráfica Los números complejos, que, como conjunto, despojados de sus operaciones, constituyen R x R, pueden representarse como los puntos de un plano coordenada mediante dos ejes perpendicu- lares, en cuya intersección se toma el 0 de ambas rectas reales (fig. 1), identificándose (a, b) con el punto por el que al trazar las paralelas a los ejes, coman al primero, o de abscisas, en el punto de coordenada a, y al segundo, o de ordenadas, en el punto de coordenada b. Suponemos al lector familiarizado con este tratamiento del plano. Conjugación Dado un número complejo z = (a, b) se llama parte real de z al número real a y parte imagi- naria de zal número real b. Se llama complejo conjugado de z = (a, b) al númeroz’ = (a, -b) que tiene la misma parte real y la parte imagi- naria cambiada de signo. Los complejos de parte real nula se llaman imaginarios puros. La aplicación R -> C que hace corresponder a cada número real a el complejo (a, D), de parte real a y parte imaginaria nula, asocia a diferen- tes números reales diferentes números comple- jos. Además, como (a, 0) + (b, 0) = (a + 13,0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), puede identificarse cada real x con el comple- jo (x, 0). 0 sea, x: (x, 0) V x ER. Con ello, se tiene Ia cadena de inclusiones N c z c Q c R c c. El número complejo (0,1) se designa por Ia letra i, recibiendo el nombre de unidad imaginaria, Se cumple i7=(0,lil0,i)= (A1.0)= —1, por lo que en C si es posible hallar raices cua- dradas de los reales negativos: six e R‘, (1 ¡/ —x)2=x. Cualquiera que sea (a, b) e C se cumple (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1), igualdad que con los convenios y notaciones anteriores, escribiremos (a, b)= a+bi. z‘ - z‘ c/ , r/ _/ _/ ./ _/ /«_/ // ‘-e" El segundo término de esta igualdad, o expre- ’ sión binómica del complejo (a, b), es la que más se usa. El número queda descrito como suma de un real, a, y de un imaginario puro, bi. Con esta notación, las operaciones en C se hacen cómodamente, usando la estructura de cuerpo y que P = — 1, Teorema fundamental del álgebra. Toda ecua- ción polinómica de coeficientes complejos tiene al menos una solución en C. Se sigue que anx"+. .,+a¡x+a, ,=0 (a¡eC, a,, #0) tiene exactamente n soluciones en C, eventual- mente coincidentes entre si. Si los coeficientes a, son reales, las soluciones pueden ser unas reales y otras complejas, pero en este segundo caso con cada solución a + bi (b at 0), se presenta también la conjugada, a — bi, admitiendo el polinomio el divisor (lx — a)¡+ + bï), que es primo entre los polinomios de coeficientes reales. Como consecuencia, si n es impar habrá, por lo menos, una solución real. Coordenadas polares del plano. Aplicación a C Cada punto del plano cartesiano puede descri- birse, además de por su abscisa x y su ordenada y (coordenadas cartesianas), por sus coordena- das polares, r y w, donde 4p es el ángulo medido desde el semieje positivo de abscisas hasta la semirrecta por el punto desde el origen, y res la distancia entre el punto y el origen (fig. 3). A partir de las coordenadas polares obtenemos las cartesianas mediante x: rcos «p, y= rsen «a, e, inversamente, se tiene r= /x1+7,tgw= %. Puesto que tg w = tg («p + rr), la determinación de «p a partir de (x, fi deberá tener también en cuen- ta el cuadrante en que esté situado el punto. La ecuación de algunas curvas es especialmen- te sencilla cuando se usan coordenadas pola- res. Por ejemplo, r = K es la circunferencia de centro en el origen y radio K. Cuando cada número complejo a + bi se iden- tifica con el punto (a, b) del plano cartesiano R >< R, también podrá describirse por sus coorde- nadas polares r = V375 (llamada módulo del número complejo) y tg w = (b/ ai (W es el argumento del número). Se escribe a + bi : rw. Las propiedades del módulo | z| de z e C son (a) lzj 2 0 z e C y jzj: 0 equivale a z: 0. (b) lz+ll S jzl + jil z, z‘ E C, (c) jz-z’j = jzj - | z'j z, z’ e C. (m jz-il 2 | zj— | z’j z, i e C. (obsérvese que si z e C es además real, su módulo es exactamente su valor absoluto). Es cómodo utilizar r, - sw : (sum r7‘; : (ísjww, «rw = (m, ATLAS DE MATEMÁTICAS 10 ¡Inicio "P wap-r = Hepresentaclñn gráfica de C HI3 (a, bi Fíg. | — lepresenhclón gráfica de c. Fig, s _ Espiral logarítnita. y/ . l. x‘ t / / ¡ / /V r: ajsenlroj ¡x / ¿í , __, zi, ‘-« " / rzasenlwlr2m / // / l‘ ‘x rm {/1 ‘x _ Fig. 7—Rosadelrcs pétalos. figJl-Rosíadecuatm pétalos. ¿I Í DE LOS NÚMEROS REALES A LOS COMPLEJOS ‘¡ ll
  7. 7. Sucesiones u series SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Una sucesión de números reales es una aplicación fi N —> R. Es frecuente referirse a una sucesión in, al, a”, también denotada por la"), sobrentendiendo la aplicación ftal que rin) = a", para cada n e N. Se denomina primer termino de Ia sucesión a a1, segundo a a2, etc. El término enésimu, a", es llamado también término general. Los ejemplos más clásicos los constituyen las sucesiones a” : an + b, con a y b s R, llama- das progresiones aritmeticas, caractcrizables también por ser constante la diferencia (razón) entre cada término y el anterior, pues ¿n t l y las sucesiones de la forma b” = s - r", en las que se ve fácilmente es una constante (razón) cl cociente entre cada término y el anterior, lla- madas progresiones geométricas. Si laiil es una progresión aritmética " nh +a) ; a¡= a, +. ..+an= +fl —a, ,=(a(n+1)+b)-(an+b)= a, y si (bn) es una progresión geométrica de razón r, entonces É‘b, =b, +b¡+, ..+b, , bfieíb", y también Ébl = b! ' '72 VlEi ' En“- Se pueden sumar y multiplicar dos sucesiones término a término obteniéndose una sucesión, y dividirlas si todos los términos de la segunda son distintos de 0, Una sucesión se dice que es acotada superior- mente cuando existe un número (cota) mayor o igual que todo término de la sucesi n. Análo- gamente se define la acotación inferior. Cuan- do se cumplen ambas se habla, sin más, de sucesiones acotadas. Si una sucesion cumple a" S a“, V n e N se dice que es creciente, y estrictamente crecien- te cuando a” < a“ H V n e N. Análogamente se define el decrecimiento, estricto o no. Las sucesiones constantes son las que tienen todos sus términos iguales entre si. Un número real a será llamado límite de la sucesión la”) si para cada s > 0 puede hallarse un natural I’ tal que de a” en adelante los tér- minos dela sucesión difieran de a en menos de s. Es decir, si n 2 ¡»entonces la" -al < e. Pues- to que e puede tomarse arbitrariamente peque- ño, el limite puede concebirse intuitivamente COIT|0 un valor al cual se parecen ‘¿HID como sea imaginable los términos de la sucesion, según ésta avanza, Por ello, será natural tene - Proposición. El limite de una sucesión, si exis- te, es único. Diremos que una sucesión es divergente si carece de limite y cnnvergente si lo tiene. Si el limite es a, escribiremos lim a” = a o bien a” —> a, siendo también frecuente decir que aii tiende a n. 0 Ejemplo. IÍm»M+Z-, puesIM——7 1 <2 2n+l 2 2n+1 2 4n+2 desigualdad ciertamente satisfecha a partir del n adecuado. Toda suces' n convergente es acotada, aunque no al contrario. Sin embargo, Proposición. Toda sucesión creciente acotada superiormente (o decreciente acotada inferior- mente) es convergente. Se dice que una sucesión la") es fundamental si para cada 2 > 0 puede hallarse un natural u tal que si p, q son mayores que v, entonces | ap — aql < e. De forma imprecisa, pero intuiti- va, las sucesiones fundamentales son aquellas cuyos términos son cada vez más parecidos entre s Pues bien: Proposición (Criterio de Cauchy). Una sucesión es convergente si, y sólo si, es fundamental. Este criterio, que permite conocer la conver- gencia sin saber el limite, se cumple por tratar- se de números reales (que por ello constituyen un cuerpo completo), mas no sería asi si nos constriñéramos, por ejemplo, a Q. Decimos que una sucesión diverge a "más infi- nito" cuando para cada número positivo M existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes son mayores que M, En tal caso escribiremos lim a" = +36. Análogamente escri- biremos lim a" = 4C para indicar que VM<KJ ElveNtalquea, ,<Msin>u Cuando lan) no tenga límite + >< ni — x pero lim 13"‘ : + >6- diremos que lim (1,, : x (sin signo}. Debe tenerse presente que + x, — I e x no son números reales, por lo que "tener limite infini- to” es una expresión simbólica que no corres- ponde a una sucesión convergente. ATLAS DE MATEMÁTICAS 12 ‘i ñwñwuuwnmvfiilfimfifiífliñ SIJEESÍOIIES H ¿nan ILJIJLJI Hg. » i Según la hipótesis dc Maltlius, mie las el ctecimicntn tic I: pnhiición está siguiendo una progresión geométrica, los aii. mentos crecen «¡tin una progresión aiiitn Fig. 2 - las frecuencias a. vibración que caraclerinn las notas ninsicaics cnnstiluyen una sure ón geomélrica de mts (de medio tinto en medio tuna), duplicándme la iiccncncia entre cad: nula y la niisnia ac ia siguienle escala. SUCESIONES Y SERIES 13
  8. 8. SHEESÍOHES ll SEÍÍES CÁLCULO DE LÍMITES DE sucEsioNEs Si Iim a, , : a y lim h, , = b entonces ÉL _ í b" l: ’ teniendo esta última igualdad sentido para b e t); en caso contrario se distingue limin, ,+b, ,i= a+b, limta, , - b, ,i: a- lzlim lim b, , : t)‘ ii lim 11,, = (l que indican, respectivamente, que los terminos (lc la sucesión son positivos o negativos de (¡en to lugar en adelante. Si a 4k 0 el resultado es wc, as o x, determinándose el posible signo según que a sea positivo o negativo y el denomi- nador t), 0* o 0-, mediante la regla aritmética de los signos, Si ambas sucesiones tienen limi- te 0, el limite del cociente es indeterminado, lo cual significa que puede exisitir o no, y su valor depende de cada problema concreto: diremos que se presenta la indeterminacion (1/0, Los casos en que una o ambas sucesiones divergen a infinito se hallan recogidos en la tabla contigua en la que aparecen asimismo las indeterminaciones :6 — x, x - 0, x/ x. Es interesante señalar que Iim la” + a¡n + a_, n¿ + + a, ,,n’") = tx siendo el signo escogido el de a, ,, y que a, ,,n’" + + am + a” bpniw + b¡n + b“ si ni= pes .1,, ,/b, ,, si m<pes t), ysi m>pes : x con el signo de .1,, ,/b, ,. Es frecuente abordar las indeterminaciones 36/! dividiendo numerador y denominador por una misma expresión adecuada (véanse ejemplos de ello y de lo que sigue, al final del Iibrol lim Una indeterminación 0/0 puede conducirse a 36/36 escribiendo fi ti/ bnl _ bn (l/ an) ' la indeterminación 0 - >6 pasa a 36/1 con _. bn ' it/ a,, i ¿u ' ¡Jn y la del tipo X — K pasa a 01X poniendo n n También es usual abordar esta última indeten minación mediante ani — bnï a — l) = " ” 41,, + b, , utilizaremos también lim (3,, b") = tlim a, ,)‘ siempre y cuando existan tales límites y poten— cias (el significado de m cuando x es irracional puede verse en CZI. Esta regla se completa con los esquemas siguientes ty con a’ " : t/ a‘ ‘i Ill“ l) , a: +>6a>I0<a<l[)‘—l<a<Da<—i .1": +>6+x o, 0* o z l: +36 l)>0 h<O —x +36": +3: +2 0* 0‘ siendo indetorminaciones 1 ‘, x“ y t)". Cuando lim a, , = 1 y lim b, , = r 7-, lim (a, l“) presenta la indeterminacion i‘ . . l Escribiendo a” = (i + tenemos il rubi. ¡‘n Iim t. i,, i”v = lim (1 +r—) ‘ii = e "n, n ya que si | imc, , = :2 entonces lim (l u, ll Las indeterminacioncs 0” u "cil se tratan por metodos iuncionales tE/7i, útiles también para los casos expuestos. Además, se tienen los siguientes Criterios: Stolz. Si (an) y (bn) tienen ambas limite 0, o ambas divergen a infinito, o lo hace (bn) cre- cientemente a partir de algún término, y existe . a —a , . a M : Iim e, entonces lim —" z M, b" - bm hn , . . a RaIz. Sia, ,>01nsNy| im a" : MeR, entonces Iim "/ a M. Media aritmética. Si Iim a“ : a se tiene . a + a + + a lIr| '| 4%, ": .1 u e R) n Media geométrica. Si a, , > 0 V n e N y es lim a, = a e R, entonces Stirling. Cuando n tiende a + x puede reem- plazarse n! por zrri- n" - x/ Zvrri. ATLAS DE MATEMÁTICAS 14 W E. E‘? ‘FW’! WHWMWMHMMHHÑW 3', ‘ FF É ¡ Límite “¡E ENCYQpPEDIE, DtCTIONNAÏiIE RAISONNÉ DES SCIENCES. mas ARTS s1‘ nos METlERs. 1 n. un. .. nvr¡sl IIONIIIGIIIVI UAlCHIDUC PIERRE LEOPOLD n. .n. ... ..si. _.. .n. ... a ïhnnkn, nummnu: n: roxana . .. . run-nui. .. fig. l — Dllembert (|7|7-| H3) redactó el articulo alimilu Fig, 2 - Portada de la Enciclopedia francesa. ._ «i. la Enciclopedia. u! _ nm ay, = a > o a < o o» 0- o +2 —>< +2 +>= —>< x li . +1 p; pc p: +7: n, " p, = A: J 4 4: 4 +3: 4 _x x z x a: x x x ac +7- +X +3? +35 +3‘ y "muy + by) 4 s: 4x .2: _>c 4 u: a: ind. ind. ind. Ind. ac x z x cr. í L yx 4 +2 umiayy . by) : —x pc ‘ind. ind. ind. +>= +1 -= < 3‘ 1 E‘ z ac 1 e n‘ o- o‘ ov o— ov 0— 0° CI ind. ind. ind. ind. ind. ind Iv D 0 O 0 ii —l r ‘ b 4.3:: ¿e +2: rx iim _" = —: s +x a: +x x ma. Ind. ind. ind. ‘ind. ma. ¡I al? ac a: x x ii y , ¡nd, ,,_, ,,, ,n¿, u, ” 0 , , y, ,(¡, .,¿, m,n_, ¿,, -,n x c 1 litrlctarntithu ltw 7 I} ‘a SUCESIONES Y SERIES i: 15
  9. 9. SIJEESÍUIIES l] SEÍÍES SERIES DE NÚMEROS REALES A partir de una sucesión (a, ,) formamos otra (5,, : a, + + a, ,) llamada serie infinita y deno- tada E} ‘a, , (o sencillamente, 2 a, ,, si el índice n empieza valiendo 1). El emésima término dela serie es a, ,, y s, .,su enésima suma parcial. Si existe s = Iim s, se dice que la serie converge, siendo s su suma, y es divergente de no existir tal limite. 0 Ejemplo. La serie (1/3) + 11/32) + 11/3‘) + lï por lo que : 2 11/3") cumple Iim 5,, = Iim g- (1 converge con suma 1/2. Este es un caso particular de las series geométri- casE ar"“' = a+ ar+ ar? + + ar"quediver- gen para r2 1 y convergen con suma (a/ (l - r)) si r < 1. La serie armónica 1+ 11/3) + 11/2) + = Eli/ n) cs divergente. La serie armónica generalizada (l/ IP) + 11/29) + 11/3P) + = EH/ nP) es convergente si p > 1 y diverge si p < 1. Si 2a, : ay2b, ,=bentoncesZ (a, ,+ b”): =a+by2aa, ,=a-a. No afecta a la convergencia la supresión o adi- ción de un número finito de términos. Condición de Cauclly. E a, , converge si y sólo siVs>03ueNtaIquesin>v, peN implica | a,, + a, , ¿¡ + + a, , , ,, | < e. Como consecuencia, si 2 a, , converge, será lim a, , z 0 (la recíproca es falsa), Se dice que 2 a, , es absolutamente convergen- te cuando 2 | a,,1 converge, Si 2 a, converge, pero no absolutamente, se dice que su conver- gencia es condicional. La convergencia absolu- ta conlleva la convergencia, pero no al revés aunque si para series de términos no negativos. Una serie obtenida reordenando una absoluta- mente convergente es también absolutamente convergente y tiene la misma suma, pero la reordenada de una condicionalmente conver- gente puede hacerse diverger o converger a cualquier número deseado. Para series de términos positivos, se tiene: 1. La convergencia equivale ala acotación a la sucesión de sumas parciales, 2. (comparación). Si a, , s 17,, a partir de algún término. a) Si E b, , converge, 2 a, , también; b) Si )_' a, , diverge, 2 b, también, 3. (cociente comparativo). a) Si lim1a, ,/b, ,)= M (at 0 y de + x), ambas series convergen o ambas divergen. b) Si M = 0 y Z b, , converge, E a, , tamb n. c) Si M = + x y 2 b, , diverge, 2 a, , también. 4. (Pringsheim). Si p e R cumple lim nP » a, , M, 2 a, , converge si p > 1 y M os finito, y 2 a, , diverge si ps1 y M e 0. 5. (Knopp o de condensación). Si (a, ,) es decreciente, 2 a, , y 2 2"Aa, , convergen o di- vergen ambas. 6. (D’Alembert o dela razón). Si lima? ‘ = M, z n 2 a, , converge si M < 1 y diverge si M > 1. 7. (Raabe). Si lim n(1_ % ) ‘H converge si P > 1 y diverge si P > 1, P, 2 a, 8. (Cauclliy o de la raíz). Si lim "/ a,, = M, 2 a, , converge si M < 1 y diverge si M > 1. Criterio de Dirichlet. Si 2 a, , es una serie cual- quiera cuya sucesión de sumas parciales esta’ acolada, y (bn) es decreciente de límite 0, 2a, , A b, converge. Criterio de Abel. Si 2 a, , converge y (b, .,) es monótona acotada, 2 a, , b, , converge. Una serie en que los términos son alternativa- mente uno positivo, uno negativo, es denomi- nada serie alternada, Si E a, , es alternada, con (| a,, |) decreciente y Iim a, , : 0, entonces 2 a, , converge 1y además la enésima suma parcial difiere dela suma total en menos de | a,, , ¡)). I Ejemplos. 2 [l/1n2 + 3n + 11)| converge por comparación con armónica generalizada, pues [I/ (nï + 3n +11)]<(l/ n2). 2 [14n1 + Sn—2)/ /(Ïl¡ + N51] converge, pues usando Plingsheim, lirn ¡r2 - l(4n1 + Sn — 2)/ /(HÏ +1)ÏÏTÏI= 4 52:15 - 9"“ converge, pues, con el criterio de la razón, lim[1n +1)‘ e—<"+1>‘/ (n9 e 4'51: = |im [1"+1)/ I1l5'€'"34n*”j =1-0 = o Ein/ tam — 1) converge, pues el criterio de Ia raíz hallamos que Iim Üï:1/2. La serie alternada siguiente converge: 11/3) e 11/5) + . . + l(— 1V” l/ (l + 2") + pues 11/11 + 2")) es decreciente de limite 0. ATLAS DE MATEMÁTICAS 16 Í’ i‘ Ü ¡".7 ÑÍÍÏÍÑÑÑÜÏW Fig. | - si la tortuga empien ia (¡nera con cicrla ventaja sobre Aquílu, cuando éste alcance su poiíción inicial l», la ‘tortuga o. habrá desplnado a la oouciou r cercana que rca, Cuando Aquilca llegue a r, la tortuga ya estará m r, y au sucesiva- mente por lo que parece que Aqui es jamás iiara airaucc a la lorluga, Sin embargo, si suponemos que Aquiles con! die: veces más «¿prisa que la tortuga y que laroa un segundo co llegar a r, necesitaria una décima para llegar a l», una renlésima para lle- gar a 5.. ., pero l I :1»- In" 9 por lo que en l ic; y us de ug la alacariaart, zu un ¡eg y dos inclinar la hahri romano. la ¡uiuiriou incaaa ai parecer que una suma a. ¡nfiniim términos poailiyoa ha de dar necesariamente infinito. SUCESlOlïE7S Y SERIES
  10. 10. Funciones reales [le variable real Una función real de variable real es una apli- cación ftA —> R donde A C R es llamado domi- nio de la Función y KA) su recorrida, Suele escribirse y = Ijx), diciéndose que x es la varia- ble independiente e y la variable dependiente. Es decir, se pondra’ y = 3x + 2 para referirse a la función ¡definida por Íix) = 3x + 2. Cuando se hace asi, se supone que el dominio se extiende a todos los x para los que son posibles las ope- raciones indicadas. Por ejemplo, el dominio de Iix) = 3x + 2 es R; sin embargo, la función y = (lA/ í) tiene dominio (0, + m), pues sólo tienen raiz cuadrada real los números no negativos, y 0 no puede aparecer como divisor. A partir de dos funciones fy g, y un número real k, se definen las funciones. (f+ gi (x) = fix! + gix), (kf) (x) = k-fixi, if-gl(x)= íix)<gjxl, g—flx)= m glx) (go t) (x) = glflx)! llamadas, respectivamente, suma de fy g, pro- ducto de ¡por el número k, producto de fy g, y función compuesta de ¡con g. Sus dominios se tomarán lo más amplios que sea posible en cada caso. Merece especial atención la función compues- ta go f. Si fasocia a x un número y, y: íixi, y g asocia a y un número z, z = g(y), Ia función g o ¡hace correponder a x el número z (go fi lx) = gUixD = glyJ = z. Si Iix)= x2—1 yg(x)=2x+3, (goñlxbglxï-l)=2(x1-1)+3=2x? +1. Obsérvese que (fo g) (x) = = K2x+3)= (2x+3)2—l =4x1+12x+8, por Io que sucede fo g 9€ g o f, salvo en casos muy particulares. Las funciones más sencillas son las polinómicas pix) = a0+ a¡x+ + a, ,x", donde ag, a, , son números reales), cuyo dominio es R, y las fun- ciones racionales, que se expresan h“) : a0+ a¡ x +. ..+ a, ,x" l b0+ b, x +. ..+ bnx" cuyo dominio excluye los números reales que hacen nulo el denominador. La función Ilx) 2 xque asocia cada número a si mismo, recibe el nombre defunción identidad. Si Ín g : go I": l, se dice que g es la función inversa de f(y al revés), escribiéndose g = H. En definitiva, si lia) = b, es Flíb) = a. Para la existencia de tal H está claro que no pueden existir elementos 4,, a; con a, sé a, tales que fiin) : l) = ljal), pues entonces no podría hacer- se simultáneamente f"(bl = a, y ¡”(17): a2. / /, /x, // e . r / «*. _,/ ¡"x / *». __, _ , ’/ ‘/ / 5 No debe confundirse la función inversa H con la íuncion (l/ ñ, a menudo llamada recíproca de f. Por ejemplo, si fix) = 7x+ 3, es f" (x) = (x—3)/7 pues (f*‘ofl(x)= !*'(7x+3)= =x (rar-Iiixi-K "3 ) =7*7‘3+3=x en cambio (l/ fllx) = 1/(7x + 3) Cuando se tiene una ecuación en dos variables x e y, se dice que define implícitamente a y como función de x, cuando se puede despejar y correspondiendo a cada valor de x un solo valor de y que cumpla la igualdad: por ejem- plo, x1 - 3xy + 7 = 0 define implícitamente la función y = (x1 + 7)/3x obtenida despejando y de la ecuación anterior. Tomando ejes cartesianos sobre el plano, el conjunto de puntos (x, Iixl) se llama gráfica de la función f. La visualización de la gráfica poporciona una información rápida sobre el comportamiento de f, por lo que es importante su construcción y estudio. Para n valores de la variable X‘, .. ., x, , obtenemos n puntos de Ia gráfica (x¡, fixni, .. ., lx" fixnl), que nos orienta- rán sobre la posición de la figura lfig. I), pero está claro que por grande que sea n, el paso de cada punto al siguiente puede imaginarse de varias maneras (fig. 2), Decimos que una función esta’ acotada supe- ríormente en un conjunto A C R si existe K e R tal que fix) S K para todo x de A que sea del domino de f. Análogamente se define la acota- ción inferior. Se dice sencillamente función acatada para expresar que lo está en ambos sen- tidos. Usualmente A será un intervalo (íig. 3). Se dice que fes creciente en la, b] cuando para todos los x, y que sean del intervalo y del domi- nio, con x < y, se tiene fix) S Ky), Si además se tiene fix) < IM, se dice que fes estrictamente creciente. Análogamente se define el decreci- miento. Formulisticamente, f crece en la, b] cuando m > 0 x — y ' para todos los x, y de la, b] del dominio (se pondría S 0 para el decrecimiento) - Ejemplo fix) = (x — U1 decrece en (-1, 1) y crece en (l, + x), pues mp4)’ = mi) : x , y— 2 que es positivo en (1, + X) y negativo en (A, l) ATLAS DE MATEMÁTICAS 18 wwwuwnnNHMMMHHMMMIIVWQWFFÑ iii W lil iii lia" 'Il till iii iii tii rr {i w tii ti‘ ¡É ¡i ¡z ¡J ‘A ¡s ¡e ¡r Fig. l . P| II| IM para el ¡mado de una gráfica. Gráficas. Ilcntacinnes. Crecimientn CII ‘i ‘z ¡J ¡a a; ¡s 67 Fig. 2 — Diíerentes gráfica: por Im puntos anteriores. Fig. 3 - la función estaría ¡(Midi en el intervalo I2, l], sóla initriorlnenle en el intervalo [| , 1] y en ningún sentido en el inter- valo lll, 4]. r a fig. 4 — la función crece en [| , 2] y decrece en II, J]. En (3, I] no puede llamirseh creciente, ni tampoco decreciente. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 19
  11. 11. Funciones reales de variable real FUNCIONES CIRCULARES Si x es un número real positivo, construyamos el punto P, de la circunferencia de centro 0 = (0,0) y radio i, situado a distancia x del punto P= (1,0) medida a lo largo de la circunferencia en sentido contrario al de avance de las agujas de un reloj (al revés si x < 0). Las razones trigo- nométricas del ángulo definido por las semi- rrectas OP, 0P, , serán las funciones circulares del número x. Explicitamente: coseno de x = cos x = abscisa de PX, seno de x = sen x = ordenada de PX. Como P, = P, , m, V n e l, decimos que tales funciones son periódicas, con periodo 21:. A partir de estas funciones definimos tangente de x = tg x = (sen x)/ (cos x) cotangente de x = cotg x = lltg x cosecante de x = cosec x = 1/sen x secante de x = sec x = ilcos x Las razones de uso más frecuente son: senO=0,cos0=l, tg0=0, sen (2/1r)=1,cos (1t/2)=0, tg (1t/2)= °<, senn=0,cos1r= —1,tgn=0, y las de 1r/4, 1r/3, 1r/6 (véanse problemas del final). Las propiedades más usadas son: cosïx + senïx = i, sen (— x) = — sen x, cos (- x) = cos x, sen (x+ y): sen xcos y+cos xsen y, sen (x-fi = sen xcos y-cos xsen y, cos (x+ y) = cos xcos y-sen xsen y, = _‘É"_UÉL _ _IÉLIEX_ ‘ÍWW’ 1—tgxtgy"3(" “Wngxtgy Puede visualizarse en las gráficas contiguas el comportamiento de estas funciones, en cuanto a acotación, crecimiento y dominio. Como hay infinitos números reales con ras mis- mas razones trigonométricas, se consideran las restricciones sen: [—7r/2, rr/ Z] —> [—l,1] cos: [0,1r] —> {-1,1} (g: [-1d2,1r/2] —> n que, definidas entre tales conjuntos, admiten inversas llamadas arcoseno, arcocoseno y arco- tangenie, respectivamente: arcsen: [—1,1] —> [—1V2, n12] arccos: [1 41,1] —) [0,1r] arctg: R —> [—1t/2,1r/2] con arcsen x = y equivaliendo a sen y = x (pero -1S x s1, —(1d2)s ys (1r/2), etc. Las funciones inversas de cotg, sec y cosec son muy raramen- te empleadas. / "/ ’/ ", .r"-_/ / ‘x/ - _ —< / X// ‘/ “J-»’A‘ s _r/ _/ c«o __. A,»-/ _ r- ; e > f xx 4// z 5 FUNCIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN LOCARÍTMICA Sea a un número real positivo diferente de 1. Si n e N a": a - ani‘. -a, a0: 1, ar": (ilan), simszmsnaïw con lo que hemos llegado hasta los exponentes racionales, Ahora si x e R-Q, será un decimal no finito ni periódico x = E’d¡d¡m d, ,.. ., limite de la sucesión (E’ d] dz d"), Se define a, = ¿nm [’d¡ (‘fz. ..l‘ln= “m af’tl, ... d,, Las propiedades de la función exponencial de base a, Rx) = a", son: l. a*> 0 x e R. ll. a"-aV= a>‘*Y Vx, y e K Ill. (a") = aW Vx, y e R. IV. (a'b)"= ahh" V x e R. V. a-"= (1/a><) V x s R. VI. a-X: 1 si ysólo si h= 0 VII. Si aX = aY, entonces x = y VIII. Si 0 < a < 1, l(x) es estrictamente decrecien- te, y si a > 1, ílx) es estrictamente creciente. IX. Si a > b> 0 entonces a‘ > b*Vs e R‘ y a‘ < b‘V t e R‘. X. V z e R‘ existe x tal que ai: z. Se llaman funciones hiperbólicas sh x = seno hiper- bóllco de x y ch x = coseno hiperbálico de x a e" + e-X e‘ - e“ 2 2 (veánse también las gráficas en F/15) La función R*—>R que a x le asigna el ytal que aY = x, inversa de la exponencial de base a, recibe el nombre de función logarítmica de base a. Es decir, y: log, x equivale a* = y. Asi, alos}: x e tv, log, (ax) = x x e ¡L Se pone In x o Lxo Ixen vez de logex, para desig- nar a la función logarítmica de base e, también llamada logaritmo neperiano, y para el logaritmo de base 10, o decimal log x en vez de logmx. Las principales propiedades son: l. log, x = logay implica x = y II. V y e R existe x e R+ tal que Iog_x= y III. Iog, a z I; Iogfl = 0. IV. |og, (x»y = log_x + log_y V x, y e R*. chx: ,shx= V. Iogfl á = log, x — log¡y V x, y e R‘. VI. logbM = l| og_M)/ (log_b) VII. Si a > 1, log, es estrictamente creciente, y si 0 < a < 1, log, decrece estrictamente. VIll. Si1<a<bobienO<a<b<1 log_x > Ioghx (x > 1); |og, x < Iogbx (X < l) lX. Si0<a<1 <b, para0<x<1 es | og, x > Ioghx, y si x < 1 log, x < loghx. ATLAS DE MATEMÁTICAS 20 ‘I’! !! ‘.7 PVH? !“ HHÑHÜÑW ll w777’? FIIIICÍUIIES EÍÍCIIIñIES CIE fig. r A y = ¡enx r 1 ¡igl- y= cosx t l | I l I I l l FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL .1 21
  12. 12. FIIIICÍIJIIES [EEIES H9 variable real SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES Supongamos que para cada n e N tenemos _ una función f, , de dominio A, es decir, una sucesión de funciones. Para cada x de A ten- dremos una sucesión de números (f, ,(x)). AI conjunto de x e A para los cuales (í, ,(x)) con- verge, se le llama dominio de convergencia puntual de (fn). Si x es uno de tales puntos, se define una función ¡mediante fix) = |imí, ,(x) diciéndose que (fn) tiende a f, o que fes la fun- ción límite de (fn), escribiéndose f, , —> fo bien limt}, Según vimos (B1) ello significa que VE > 0 existe ueN tal que si n 2 t) es Ifnlx) — lixll < c, donde u dependerá, en principio de E y de x. Si sólo depende de c, se dice que tf") con- verge uniformemente hacia f. La convergencia uniforme conlleva la puntual, pero no recipro- camente. Condición de Cauchy. Una sucesión ff") de fun- ciones converge uniformemente en un conjunto Asiysó| osiVe>0existeu e Ntal quesi p, q 2 u entonces V x e A se tiene | Íp(x) — fqlxll < z. Si (in) es una sucesión de funciones de dominio A, se llama serie funcional de términos f, , a la sucesión (sn: f¡+! ¡+. ... +f, ,} Las 5,, reciben el nombre de sumas parciales. 2 ¡"o Ef". Ii 2 | Se dice que una serie funcional 2 f" es pun- tualmente convergente si lo es la sucesión (sn) de sumas parciales, cuyo límite se llama enton- ces suma de la serie; el dominio don’ le ello ocurre se llama dominio de convergenc a pun- tual de la serie. Si la sucesión de suma: parcia- les es uniformemente convergente, se dirá que 2 f" converge uniformemente. Cuando conver- ge E | f,, (x)| se dice que Efnix) converge abso- lutamente, y donde ello sucede recibe el nom- bre de dominio de convergencia absoluta. Criterio de Cauchy. Ef" converge uniforme- mente si y sólo si V e > 0 existe v e N tal que si n 2 u, entonces | fn, ¡(x) + + fmplxlj < e Vp e N, V x e A. Criterio de Weierstrass. Si puede hallarse una sucesión (an) de reales positivos tal que V x e A es ¡"(xl S a” para cada n e N, entonces 2 f" con- verge uniformemente y absolutamente en A. Criterio de Dirichlet. Si E Í, , es una serie funcio- nal de sumas parciales uniformemente acotadas | f¡(xl + + ¡"(xij <MVn e N, Vx e A, y (gn) es una sucesión funcional de limite 0 tal que gntx) 2 gmjtx) V x e A, V r7 e N, entonces La serie se denota F. ínix) -g, ,(x) converge uniformemente en A. n21 Criterio de Abel. Si 2 f" converge uniforme- , mente en A y (gn) es una sucesión de funciones crecientes lo todas decrecientes), uniforme. mente acotadas en A, o sea, 3 M > 0 tal que jg, ,(x)| < M, V n e N, V x s A, entonces 2 f, ,(x) gnlxl convergente uniformemente en A. V, Merecen especial mención las series trigono- métricas y las de potencias, Las trigonométricas (o de Fourier) tienen por término general ffljx) = ancostflnx/ p) + bnsenurnx/ p), donde a" y b" son números reales. Obsérvese que, si esta serie converge, la suma es una fun- ción de periodo 2p, es decir, tal que f, ,(x) = = fix + 2p). En F15 damos la condición para que una función de periodo 2p sea suma de una serie trigonométrica. En sentido inverso, se tiene: Proposición. Si 2 a" y 2 b, son series numéri- cas absolutamente convergentes (aL/ Z) + Elancos (Irnx/ p) + bnsenlzrnx/ pll converge absoluta y uniformemente en todo R. Una serie de potencias es una serie funcional de forma 2 a, ,(x - al" donde n e N y a es un real fijo. Existe un intervalo (a — r, a + r) en el que converge absolutamente, siendo divergen- te si jx- a| > r. En los extremos del intervalo, la convergencia o no depende de cada caso par- ticular. El número r se llama radio de conver- gencia ¡eventualmente 0 o ve), se halla mediante I/ lim VE, f: lim| a,/ a,, ,¡j. Propos on. Una serie de potencias converge uniformemente en todo intervalo cerrado con- tenido en el dominio de convergencia. Una funcion f es desarrollable en serie de potencias de (x — a) si es fix) = E anlx — a)" para todo x de campo de convergencia de cierta serie de potencias (véase también Hi5). Por ejemplo, para —= c < x < +2 X2»! Se“: (2n—1)l+ ypard-l < x<l 2 In|1+x| =x—¿ . .+(—1J'*‘—Xll+. .. 2 n - Ejemplo (vc-ése también F/ i 5) Elisennxi/ nï] converge uniformemente en lt, pues lisennx)/ n‘| S [1/n5l y Éli/ nil converge lCriterio de Weierstrassl La serie de potencias Xnsl-S-"x" tiene radio de convergencia 3, pues liml(x+il1 3*" xml : n'13’"x"l : lx| /J (adv- más converge también si x 1 il. ATLAS DE MATEMÁTICAS 22 W“‘F‘SFWH'ÑHHMH""WWWWWWW'FW ¡Í lnl ill ‘¡Il lll ti’ Funciones exnnnenciales u Ingarïtmlcas C13 figJ-Funcíous expouncialcs. Fíg. z — loan Nepei (Isso-tom, introductov del cálculo logarítmim. i 5 a 7 5 a wn fi M30 3 mas 2 WK] l É Hg. 3 - En la regla de cálculo de Dughtreed, las multiplicaciones y divisiones se hacen añadiendo o sustnyendo segmentos de dns escalas deslinnlts en lis que las distancias son proporcionales a los logaritmos. ng. a - Funciones logarítmícas, FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 23
  13. 13. Funciones reales ne variable real LÍMITE FUNCIONAL Para no referirnos permanentemente al dominio, en adelante, cuando pongamos uítx) cumple . n deberá entenderse aiix), si existe, cumple. ..» Se dice que la función ¡‘tiene límites e R cuan- do x tiene a a, escribiéndtist‘ lim fix) = s’ xan si Ve>0existe5>0ta| que si x e Dom fy lx — a| < 6, entonces Mx) — si. Es decir, intuiti- vamente, que para x suficientemente cercano a a el valor de Iix) es tan semejante a s como se puede imaginar. SiVe>03<ï>0ta| quesixe Domfy x sta, a + ¿ñ es Mx) — 5| < e, diremos que s es el llrnite lateral por la derecha de f cuando x tien- dea a, escribiéndose Iím lix) = s. Análogamente se xwoa‘ definiria el limite por la izquierda Iím Iix). x-m Proposición. EI límite de una función en un punto existe si y sólo si existen los limites late- rales y, además, coinciden. Diremos que ¡tienda a +06 cuando x —> a escri- héndose Iim fix) = +36 cuando V M e R existe xaa 5 > 0 tal que si | x - al < ¿entonces fix) > M (intuitivamente fix) se hace tan grande como sea imaginable para x suficientemente cerca de a). Análogamente se deiiniria lim fix) z —x. x a n Si V M e Rexiste 6>0tal que [x-al < ¡Simpli- que [Iixll > M, pondremos Iim Iix) : x. Obsaérvese que las tres definiciones anteriores corresponden a convenios de símbolos, no a límites propiamente dichos. Se utiliza también el convenio lim fix) : M que significa que x a»: Ve>03K>Ota| que x>Kimp| ica líix) — Mi < s. Análogamente se definen lim y el lim x a a: x a x (que no es más que lim ). Son evidentes las lx| a +1 modificaciones necesarias para interpretar los símbolos cuando se tiene 1 ac en vez de M. Por eiemplo, si a >1> b > 0 es Iim a*: +x, lim 3* :0 x—>+x x-I-a: Iim log, x:—x, Iim b*=0, xau x-oex lim b‘: + x, lim logbx: +1, xa. x xan lim Iogdx: +96, lim | og, ,x : —X x —>+x x44 x Las siguientes proposiciones relacionan el lími- te funcional con el de sucesiones. Proposición. Si dada una sucesión la") cons— truimos la función Iix) : ta, “ — a") (x- n) + a”, x ein, n + 1| entonces lim a” = h equivale a lim Kx) = h. xaex Proposición. Si ¡es una función tal que lim = b y an es una sucesión de puntos del xan dominio (distintos de a) que tiende a a, enton- ces Iim iia") : b. AI revés, si esta condición se cumple para toda sucesión (an) en las condi- ciones descritas, entonces Iim fix) = b xaa Las dos proposiciones anteriores comportan una analogía completa entre el cáculo de lími- tes de sucesiones y funcionales. Se tiene: Proposición. Si existe Iim Íix), es único. x an Proposición. Si existen lim Íix) : ay Iim gtx) = p, xan xan entonces existe Iim tf+ g) ix) z 01+ B, si fi s‘ 0 xan existe lim (¡bmw! = ot! ’ (a y [3 no ambos nulos). x-xn Con la inclusión de la simbología infinito, estas reglas se mantienen respetando el esquema descrito en Ia tabla de B/2. Proposición. Si en un entorno de a se tiene fix) S gix) entonces ¡im fix) S Iim g(x) en caso de xax xan que tales limites existan. Proposición. Si fix) S gix) S hix) en un entorno de a, y Iim fix) = Iim hix), entonces también xan x-o. ) existe Iim gtx) y coincide con los anteriores. x aa Proposic n. Si existe Iim fix), entoces en algún x-M entorno de a la función está acotada. Las afirmaciones anteriores son también ciertas para cada uno de los límites laterales. El esquema A de la página contigua recoge los posibles límites de una función polinómica. 0 Ejemplo (véanse otros en D/ t y D/ Z). Consideremos la función (6x+ 1)/ i3x-2) si x>1 fix) : (x’+3)/ i2x) si x S1 Por el carácter de fix) habrá que distiguir si la variable está a la izquierda o a la derecha de 1. Como Dom f: R- (O), si a ae 0 será lim fix) = lim lix1+ 3)/2xl : ia1+ 31/23 x-m xaa lim Rx) = ¡(ex +1)/ t3x + 2)] = isa + i)/ (3a + 2) x-«m según que a < t, a > t, respectivamente‘ Además lim fix) = Iim I(x2+ 3)/2xI: x7 x ao x au lim Íix) = lim lix-’+ 3)/2x]: 2; xai’ xat Iim fix) : Iim lifix + t)/ i3x— 2)l= 7,‘ xait xai por lo que no existe lim Kx). Por otra parto xai lim Iix) = Iim lióx + l)/ i3x — 2)l= 3 xau x-Mx lim fix) : lim lixi + SJ/ Zxl: J xau t—o+1 ATLAS DE MATEMÁTICAS 24 vpvpv-w-wrwHFHHMi-inam-«WVFFVV Rx l? l! ‘ ESQUEMA A I)” > o h, ,< n x a +2: 4x a >‘ e 4‘ . x ae n nar X “’ ”‘ -x 0x n impar x-n) e n b” + m. “ . x bmw lim u, " . l7¡x y + lr, ,x"i e Fíg. l _ hnihlcs umnee de una función polinómica. l Hg. 2 - Algunas funciones no pueden definirse mediante una examinan única. En la gráfica antenm, i. ¡tinción esta’ desnita por regio- ’, nes medixme las dos gráficas superiores. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25 Límite funcional ñxtl 1x—Z C14 St x>t stxsi
  14. 14. Enntilluidgg FUNCIONES CONTINUAS Sea f una función ñ A-iR. Diremos que fes continua en a e A si y sólo si existe | im Kx) y xea además, su valor es Ka). Es decir, según la defi- nición de limite, fsera’ cominua en a e A si y sólo si para cada e > 0 existe un 8> 0 tal que | x— al < ¿implique | Kx) - Ka)| < e. Con menor precisión fes continua en a cuando para x muy cercano a a, Kx) es muy semejante a Ka). O, visualmente, la gráfica de Kx) en las cercanías de a no debe presentar interrupcio- nes ni saltos ni oscilaciones. Se dice que fes continua en un conjunio cuan- do lo es en cada punto. Los puntos en los que f no es continua son llamados de discontinui- dad. ¡será discontinua en a bien porque cuan- do x tienda a a, Kx) no tienda a un número real, bien porque, existiendo tal número, no coinci- da con Ka). Se usan los siguientes términos: Discontínuidad eviiable: cuando 3 | im fix) x-m pero no es Ka). En tal caso una función g(x)= Kx) si x # a, g(a) = |im Kx) x-ua si sería continua en a. Discontinuidad inevitable de primera especie (o de salto): cuando existen los limites laterales y son finitos pero no coinciden. Disconlinuidad ínevirable de segunda especie (o esencial): cuando no existe, o es x, alguno de los límites laterales. x? x S 3 4/(x — 3) x > 3 tiene una discontinuidad esencial en x = 3, pues | im Kx) = |im x2 = 9 I Ejemplo. Kx) = { (fig. 1) x41’ xa)’ ljmy Kx)= iXi11y(4/(x — 3)): + x 2 x5 2 L r «— = i x — a uncion g(x) MX X > 2 mg, z) tiene en x : 2 una discontinuidad de salto, pues, lim glx) = |im x2 = 4 x42 x—>2’ lim gix) = |im (4/x) = 2 x—>2' xa? ’ 2 La función h(x): {1X/ x mg 3) 2 x: 1 tiene en x :1 una discontinuidad evitable pues | im‘ h(x) : lim x2 =1:Iim h(x) : lim (1/x) x4 xal x—r| ' x—v| por lo que lim hlx) :1 sé 2 hli). xa] , . sen(1/x)x>() La funcion 5(x) — ( VÏX x S 0 presenta en x :0 una discontinuidad esencial, pues | im stx) = |im sen (1/x) no existe. ‘garse, por ejemplo a x a0‘ x a0‘ Proposición. Si fy g son continuas en a, tam- bién lo serán f+ gy ¡A g, como asimismo (Í/ g) en el supuesto de que gta) no sea 0. Proposición. Si g es continua en a y ¡lo es en gm), fu g es continua en a. Las dos proposiciones anteriores se derivan del cálculo de límites. Su utilidad radica en que a partir de la continuidad de las funciones más elementales, como las polinómicas, trigonomé- tricas, exponenciales y logarítmicas (que lo son en todo su dominio), puede demostrarse la continuidad de funciones de aspecto muy com- plicado sin tener que recurrir a la definición. Si una función continua en un punto es allí positiva, también lo es en las cercanías, pues la continuidad significa que los valores en las inmediaciones son muy parecidos. Más exacta- mente: Proposición. Si Íes continua en a, y Ka) > 0, 35>0talquesix e (a-zï, a+óientonces Kx) > 0 (análogamente si Ka) es menor que D). Teorema de Bolzano. Si fes continua en un intervalo la, bl y Ka) < 0 < Kb), esiste c s(a, b) tal que Kc) = 0 (véase ilustración en D/ Z). El resultado es análogo para Ka) > 0 > Kb). Este teorema, que se obtiene al considerar la proposición anterior y el mayor de los puntos tales que los x e la, b] con Kx) > 0 queden a su derecha, tiene una clara visualización: si la grá- fica está por debajo del eje de abscisas en a, (Ka) < 0), y por encima en b, (Kb) > 0), en algún punto c deberá cortar aI eje (Kc) = 0), siempre que no se produzcan interrupciones ni saltos (D/2 fig 2). Este resultado puede utilizarse para hallar soluciones de ecuaciones de forma apro- ximada, dividiendo de manera cada vez más fina el intervalo del teorema. o Ejemplo. Busquemos una solución de x‘ — —4x +1 = 0. La función Kx) = x3 —4x+ 1 es con» tinua en todo R. Como K1) = —2 < 0 y K2) =1 > 0, existirá c e (1,2) tal que Kc): 0, Avanzando ahora décima a décima KLi) < 0, , K1,8) < 0, K1,9) > 0. Descendiendo ahora por centésimas K1,89) > 0, KLSB) > 0, K1,87) > 0, K136) < Ü, lo que sitúa la solución en K1,86, 1,87). Así sucesivamente, puede Ile- Iiraeoem < 0, 111360801) > 0 con Io que puede tomarse la solucion x = 1,860805 y el error cometido no exceda 5 millonésimas (y se puede seguir aprov ximando tanto como se desee). TEMÁTICAS 6 — 8595.9 wuuwuwwuuwuuüeeueweee¡www FFMM? !‘ MMM P‘. M. WV-‘PHYHM ‘i’, v v, [Iiscuntinuillailes 2 fig. I — Dilconlinuidad esencial. Fíg. 3 - Dismnfinuídad zvilzhle. Fig. 2 « Disconiinuidad de salio. 1 . x-sen—sIx>0 x Six): V-x sixSO F75. 4 - s es continua en el origen, CONTI 27
  15. 15. Continuidad Proposición. Si f es continua en la, b], entonces r’ está acotada en la, b]. Es decir, existen números reales ky mtales que kslïnsmvx e la, b]. Además las cotas pueden encontrarse como valores tomados por la propia función: Teorema de Weiertrass. Si fes continua en la, b], 7 entonces falcanza máximo y minimo en la, b] f’ es decir, existen a, fi e la, b] tales que iia) s fix) s Ii/ ïi, V x ela, b]. i. ‘ Este teorema se completa con: , Si fes continua en la, b], donde alcanza un máxi- mo M = lili’) y un mínimo In = Iim, para todo k e t (m, M) existe un c e (a, b) tal que fic) = k. Es decir, ftoma todos los valores intermedios * entre su minimo y su máximo. Se dice que f es uniformemente contínua en el conjunto A cuando para todo e > 0 existe 8> 0 ’ tal que si a, b e A cumple | a — b| < 5, entonces Iria) — tbn < s. Teorema de Heine. Si fes continua en [a, b], f i’ es uniformemente continua en dicho intervalo. Convergencia uniforme y continuidad Si (In) es una sucesión funcional que converge en A uniformemente a f y cada fes continua en un punto x0 e A, también fes continua en x0. t Si la serie Ef" converge uniformemente en A ‘ hacia la función f, y cada f, , es contina en xa e l‘ A, también fes continua en x0. En particular, toda función desarrollable en serie de poten- cias es continua en todo punto del intervalo de w convergencia. Cálculo de límites funcionales L Si en el cálculo de limites cuando x—>a las fun- ciones que intervienen son continuas en a, bas- tará sustituir x por a en la expresión cuyo limi- te se busca y, eventualmente, resolver una posible indeterminación. g’ 0 Ejemplos. 3x2+14x1+ 20x— 8 , 2x°+ 8x34» 7x1— 4xa 4 ' obtenemos la indeterminación 0/0. Sin embargo 3xï+ 14x¡+ Z0x—8 = (x + 2)1(3x+ 2), 2x‘+ 8x3+ 7x1- 4x—4 : (x + 2)? (ZX? -1), 3x2+14x + 20x— 8 _ ’ Al sustituir x por — 2 en (1 —x’i—(x—1) ix—1)ii—x1i (x—1>(—1—x-x2)—(x»i) k (x—1l(i—x3) ‘ . 2 — V — 3 . . ¿i927 X2 já‘) es indeterminado 0/0, pero “m 2 - X- fiLí = x-W x‘ — 49 2 + {Z3 = ¡¡, " = _%. H7 (x+7)(x-7J(2+/ x-3> (2 + xji/ x a 2”‘ que no existe pues 2*“ = +w y 2'“ = 0, Sin embargo Iim (2 + xil/ X’ = 2"” = +oc x-no J. Si Iim Rx) = 0*, |irn(1+iix))4’<l= e, x-oa X-Ií y si liflgix) = oc, I)i_mb(1+ ¿- Wim = e. g(x) Por ejemplo, x‘—l = Iim (1+ ) : X->l+ _ 1 / x—‘i Vxvl = li (l+ e) : xa + X_¡ : e/¡m V71 = ¿- V? Algunos límites se calculan cambiando la variable: x/ ï-s zhm x/ ï-s V-X-‘FS: Iim x—>M Wï_4 x464 V’_4/ ;+5 _ -64 Iim L= Lmn " = XH64(WA4)( 7+8) 16 x—>64y'X_4 (haciendo x = y3, x—>64 equivale a y—>4) _i . ¿heat _í¿m k4 ,3 ATLAS DE MATEMÁTICAS 28 3379”. ” vmmmwHHHH"N"“‘""‘"’ _ _ , ¿ . f; n y l u Fig. 1 a Frecuentemente el volumen de un aparato de mi» no responde con continuidad ai mando regulador: una pequeña variación en su posición a veces acrecienta mi. rnemenle el sonido sin pasar por los volúmenes interina _ dios. 1.] l-. l. l I | l l Fig, 3 — En el intervalo la, b] la función ¡lranla en tx su valor Iviáxlmo y en ñ su valov mínimo. En el intervalo (b, r] el valor _ minimo lo torna en yy el máximo en c. Frnnienades de las funciones continuas DIE Fig. 2 - Teorema de Iinlnno. si ia gráfica ms en a por debaio d! ia horizontal, en s por encima y es continua en la, si (no se mmpe), parece clara que (K591i «cortavlan, ia dificultad má en ia ndemidad- ii. ia lui-ironia]. l l I l I l l i CONTINUIDAD 29
  16. 16. Funciones Se dice que la tunción fes derivable en el punto a, cuando existe el limite Ílx) - Ka) l m e xaa X _ a cuyo valor, en tal caso, se denota tia) y se deno- mina derivada de ¡en elpunto a. Son expresio- nes absolutamente equivalentes a la anterior Ma) = lim a“ * Z’ ’ “al ha‘) . , _. Iia+Ax)—tia) obten Ha) — sin más que hacer x - a = h = Ax. Iia+ hl-Iia) Si observamos que h es la pen- diente de la recta secante que corta a la gráfica de fen los puntos (a íia)) y (a Íla + h)), y recor- damos que la Langente a la gráfica en el punto de abscisa a no es sino la posición limite de tales secantes (véase fig. t), tendremos: La derivada de i en el punta de abscísa a, es la pendiente de la recta tangente a la curva y z f(><) en el punto (a, f(a)). - Ejemplo. La derivada de la función Rx) = x2 en el punto 2 es el número 4 pues . tix)-Ii2)_. x2-z2_ lb"; x-z ‘IL’; x—2 ‘4 por lo que la recta tangente a la parábola y = x1 (fig. 2) en el punto (2, 4) es y—4=4(x—2)osea4x—y—4=0. La inexistencia de tangente conlleva la inexiaen- cia de la derivada. Ambos conceptos son identifi- cables salvo en las tangentes verticales, de pen- diente no finita, en cuyo caso, aunque escribamos fix) — lla) _ l' _ oc xlTa x — a el limite (es decir, Hal), no existe propiamente. Se dice que f es derivable por Ia izquierda en el punto a cuando existe el limite lateral "m fih) e lia) x-ta‘ Xcvï cuyo valor se denota í_'(a) y se denomina deri- vada lateral de ¡por la izquierda en el punto a. Seria la pendiente de la tangente por la izquier- da, posición límite de las secantes por la izquierda. Análogamente, si existiera, se defini- ria la derivada por la derecha f, ’(a) tomando el límite para x—>a* que correspondería a la tan- gente por la derecha (véase fig. 3). I/ // // J_/ // // _/ // /*/ / , // x, ti_erivahles Si a tiene un entorno contenido en cl dominio de f, la derivada ¡’(3) existe si y sólo si existen las derivadas laterales, fjta) y fjta) y, además, coinciden. La relación entre funciones continuas y funcio- nes derivables es la siguiente: Proposición. Si ¡tiene derivadas laterales (igua- les o no) en el punto a, entonces fes continua en a. Corolario. Si fes derivable en a, fes continua en a. Las recíprocas, sin embargo, no son ciertas. 0 Ejemplos. La función (iig. 3 ) x2 si x S 1 «XJ= {2—x3 sixzi es continua en x = 1, pues lim fix) = lim RX) : K1); x-tr x-m pero fno es derivable en I, ya que "¡:3 : 2 = m) 2 v x3 , e = — 3 = f Ji) La función (fig. 4) xsen (1/x) si x ae 0 3”‘) = l o si x = o es continua en el origen, pues el seno está entre —l y 1, | xsen(1/x)l<| x|, con lo que hallamos lim xsen (I/ x) = 0 <= g(0)). two Xl- o) > lim sen L ' ¡wo x que seria g', (0) no existe, como tampoco 31(0) En cambio lim tam‘ X’ Ü Los dos ejemplos anteriores ponen de manifies- to que la continuidad no permite asegurar la existencia de la derivada, ni siquiera de las laterales. hra funciones sencillas, la no derivabilidad en un punto se reconocerá en la gráfica porque la función no será ahi’ continua, o bien siéndolo, presenta un ángulo. Pueden encontrarse funciones, aunque no sen‘- cilias, continuas en todos los puntos y no deri- vables en ninguno, como la suma dela serie 2(Dt2"*'x))/2"*' donde D(y) es la distancia de y al entero más próximo (véase lámina E/ Z), ATLAS DE MATEMÁTICAS 30 Í‘ i. ‘ q. ¡Y lïltïltfilïïiïl“ N‘ i"! t? i‘? m’ "9 .3 ‘v! ‘s ‘s ‘1 Hg. I - la tangente como límite de nantes. l sig, 3 — Tangenlcs laterales no coincidentes. xZstxsl Z-xlslxzl Interpretación geométrica E I] rn, Z-ïangentea lapalfltolay: nzenel punto (2,4). xsen—, x20 gtxi= { X / u x:0 / / / ‘ / ‘ / / / . , w * / , Iháiíá-DY t. ... .“_y—‘1u / / / x / , , x / Fig. 4 — inexistencia de tangente: laterales, FUNCIONEÉIDERIVABLES
  17. 17. Funciones derivahles CÁLCULO DE DERIVADAS La función que asigna a cada número real el valor que en él tiene la derivada de ¡(allí donde ésta exista), recibe el nombre de función deri- vada de f, y se denota f’. o Ejemplo. Sea Rx) = x2. La derivada en a es _ 2 _ ( z “m fix) iia) Z “m x 1 x-ia X — <7 x-m ’ 3 por lo que la función derivada de fes f’(x) = 2x, o sea (x2)' = 2x. = Za, EI dominio de f’ no será, en general, igual al de f, sino un subconjunto de él (pero en lo sucesivo no nos detendremos en tales consideraciones). La función derivada de í’ es denominada fun- ción derivada segunda de f, denotada f”. O sea, lí’)’ = f”. Por recurrencia se define i"), enésima derivada de la función f. El cálculo directo de las derivadas de las fun» ciones más sencillas, y la obtención de unas reglas de derivación, permiten eludir el recurso a la definición cuando se buscan derivadas de funciones elementales. Reglas de derivación S] Derivada de la suma, Si íy g son derivables en a, también lo es 1+ g, siendo (í+ g)‘(a) = Ma) + g’(a). P] Derivada del producto. Si í g son derivables en a, también lo es Iïg siendo (f- g)'la) = f'(a) gta) + fia)g'(a). Cl Derivada del cociente. Si f y gson derívables en a, con gta) sé 0, también lo es flg, siendo L , _ Í'(a)5_(a) - fia)g’la) K g) (a) — (gm), RC] Regla de la cadena (derivada de la fun- ción compuesta). Si f es derivable en a y g lo es en lia) go fes derivable en a, siendo (go Ma) = g’(Ila)) - f'(a). P] Derivada de la función inversa. Se tiene l (f4) (BFW) (si existen las expresiones involucradas)‘ Las generalizaciones de (SI, [P] y [RC], obteni- bles por recurrencia, son: SG]. (f1 + f2 + + f, ,)’la) = f’¡(a) + f’¡(a) + + f’, ,(a). [PC]. lfl ‘Í; - * f, ,)'(a) = f’¡(a) - Ma) - ' ¡”(3) + + fila) - Í’¿la) i Í3(a)- . . - f, ,(a) + + Ma) A fzla) - f’, (a)- . v ma) + + fila) - Gta) > fuma) - f‘, ,(a). inca). m v f2" n ma) = meo o Í, ,)(a))_ ¡yugo u , ,)la)) f’, ,_)(f, ,(a)) - f’, ,(a). Derivadas de las funciones elementales Funciones constantes. Usando la definición de f’, si Rx) 2 K(K e R) entonces í’(x) = 0, además (K-f)'= K'<f+K-t"=0-f+K-f'= K-f’. Función potencial de exponente natural. La derivada de Ílx) = x” es f’(x) = nx"-'. I Ejemplos. Sea fix) = 2x5 + Jx- 7. Si f’(X) = 2 ' lxl)’ + 3 - lx)’ - (—7)' = =2v3x1+3«! —0 6x3+3 l3x - 5), _(3x - 5)’ (x1 + 3) — l3x — 5) (x1 + 3)'_ xï+3 _ (x3+3)2 _ _3lX2+3)-(3xe5)2x_ —3x¡+10x+9 lx? +3)¡ _ x4+6xZ+9 Kx)= Ix1+1)+(x¡+-2)+(x4+3) Kx)=2x-(x5+2)+(x‘+3)+ +(x1+1)3x1-lx4+3)+(xï+1)(x3+2)«4x3. hra derivar glx) = (x1 + 3)”, basta tener en cuenta que si plx) = x1 + 3 y q(x) = x" se tiene g = qo p, q’(a) = 17a”, p’(a) = 2a con lo que g'(x) = q’<p(x))-p’(x) = q'(x2 + 3) - 2x = =17(x2 + 3)‘5« 2x. Derivada de las funciones circulares. Con la . ,, x+a x-a definicion y sen x—sen a = 2 cos-TsenT se obtiene la derivada del seno. Como cos x : = sen( 1- x), aplicando IRC): 2 (sen x)’ = cos x, (cos x)’ = - sen x 1 _ , = = ¡ . = l (tg x) c052)‘ 1 + tg x, (cotg x) Sena , _ —cosx _ , _ senx lcosec x) — enzx — (sec x) — cos“ - ATLAS DE MATEMÁTICAS 32 F. “í c‘ {Í vsvvvvmmmmmmmnmumaaeïaaï «— Funciün continua nunca rierivahle Ela y= /¡ix) y z mx) + Í¡lx) y = mx) » q(x) + filx) y = mx) + lzlx) + í¡(x) + aux) u! y : mx) y = mx) + q(x) v mx) 4 mx) + lglXl F55. l — Apmamciom sucesivas de la función continua en todo punto, pen) no derivahle en ninguno, 511,411) donde ¡nm = t = 1mm‘ xnmfl siendo my) I. distancia de y ¡l entero más cercano. " FUNCIONES DERIVABLES , - 33
  18. 18. FHIIDÍDIIES ÜEÍÍVHBIES Para las funciones circulares inversas, es larctg x)’ = I / l1 + x2) (arcsen x)’ : 1 / /1 — x2 (arccos x)’ = 4 / V1 — x2 Derivada de la función logarítmica. Como e = Inli) ‘t’ , X- a a la definición de f‘, y [RC], nos dan (ln x)’: 1/x, (longaxY = 1 llxv ln a). También se tiene (ln m)’ = Derivación Iogarítmica. Si fix) = (g(x)"‘“) toman» do logaritmos, ln fix) = h(x) ' ln glx), con lo que, derivando, M = h'(x) ln gix) + h(x) - m’ Rx) gtx) m) = rtx) [h'(x) ln gix) + h(x) - —É; —;"L Es usual no memorizar esta fórmula, pero si’ el procedimiento. Derivada de la función exponencial. Con ll], o con derivación logarítmica, resulta (a‘)’= a‘- ln a (a s R) y, en particular, (e‘)’ = e‘. (Obsérvese la mayor sencillez proporcionada por logaritmos y exponenciales de base e), A partir de aquí es inmediato obtener las derivadas de las funciones hiperbólicas definidas en C/3 1 1 l (sh x) = ch x, (ch x)’ = sh x (th x) : m. Derivada de la función potencial. Si k e R, por derivación logarítmica se obtiene (x‘)’ = k - xk" I Ejemplos. (X7 —%x5 + 2x3 +%»10)' = r= (7x€—%x4+6x2+13T, iG/ PTH e/ ïy = [(x2 + t)“ “3/71’: V ‘x / "a . r . <’J‘x, _,/ ‘. xx/ «y / . / / _r_, », x_/ *ae, AV/ _. Ae/ /, ne/ x x/ xfi/ «s-» x / ¡x 2x (x1 + 3) [ln (x2 + 3))’ = cos x, f’¡(x fzlx) = cos 7x, í’¡(x) = —sen 7x- (7x)’, f’¡(x) = -sen 7x - 7. f3lx) ’ t A cos 7, f’¡(x) = cos 7. fllx) = cos (x7) - Í’4(x) = -sen(x7) ' (x7)’ f’4(x) = - 7x6sen (x7). fslx) = cos7x, f’5(x) = »7 cos5x (cos x)’ f'5(x) = — 7co55x sen x. ¿pa = cosl7‘), f’¡, (x) = —sen (7‘) ' l7‘)’, f’¿, (x) = —7‘A ln 7 > sen K7‘). Í7(x) = 7am, f’7(x) = 76M‘ ln Ylcos x)’ f’7lx) : 4mm In 7 - sen x. Íglx) = (cos 7)‘, f’3(x) = (cos 7)‘ ln cos 7. fglx) = x<°57, Fglx) cos 7xtws7l-l, (cos3(3x2 + 1)) : = 3C0S2(3x2 +1) ' (—sen (3x2 + 1)) - 6x. Si fix) = l(x5 + 3x4 + I)” + sen32xl5, fix) = sms + 3x4 +1)“ + sen32x]“- -[8(x5+3x4+ t)(5x“+12x3)+3 senïzx-coszx-Z] (x2 ¿“sen x)’ = = 2x2‘ sen x+ x1 e‘sen x + x2 e-‘cos x. lln(| n xJl’ ATLAS DE MATEMÁTICAS 34 ¡t Significado fisico El? ’ i . Fig. l _ Leonard Euler (inizirsa), una delos más impor- tantes matemáticas de I: historia, especialmente en el campo dei Análisis. ) T = _.'° ï _ _ . , Fig. 2 e La velocidad a variación del espacio recorrido en inn. ción dei iierrnrd sólo puede definirse en sentido Instantanea mediante el uso de la derivada. 20 0 km/ h km/ h m4?“ míííl 40 km/ h efiï_m____ üíïfi Fig. 3 — la aceleración instantánea es el límite del cociente del incremenlo de velocidad por el incremento de tiempo, cuando este úllirwo tiende a cero, es decir, la derivada de la velocidad can respecto al tiempo. FUNCIONEÉ SDERIVABLES
  19. 19. FIHIBÍDITES ¡IEIÍVGÏJIES [sen3x- cos‘x| ’ = = (3sen2x - cosx) - cos‘x + + sen3x «l4cos3x - (—senx)) z 3sen ‘x cos5x — 4 sen‘x cos3x. 195°" "Y 6°“ 4" - cos 4x- 4 lsen(eï")l’ = cos 97*‘ 93*“ 2. (xsen zey = ¿en ¡e . Xsen 29-1. 3x1 x3 — 1 [cos(ln(x3 —1))]’= —sen(In(x1 — 1)) - [| n(cos(x3 —1))]' = 7su1+n« l—sen(x3 -1» - 3x2. [| n3(cos(x - l))] = 3 | n¡(cos(x - 1)) - - (—sen(x— 1)) [| n(cos3(x - 1J)] 1 — m? ‘ 3 cos¡(x— 1) ' (—sen(x- 1)). ltg3(cos‘(| n5(x°))>l' = l = 3 tg2(cos4(| n5(x°))) A - 4 cos3(lnS(x5)) - (—sen(| nS(x°)I. 5x5 -5 Infixórï. iiá}éigiiá}éíá¿k; }kïáïnu'= : 3 arctgüarctgfiarctg x))- 1 < 2 arctg(arctg x) A 4 1 + arctgfiarctg 1+arcIg2x 1+x2 [logflsh 10*")]' = 1 ln 3 sh 10*} -ch10"¡-10"' - | n10<2x. ¿m Sea gtx) = sen (x1 + e‘ A sen l COSX la , _ l g lxl — 3 [sen(x1 + e“ » sen co“ ‘C05 (x1+e">sen cosx >- +ehcosLfiosxtxsenx cosïx Sea Rx) = (senx) V? . Tomando logaritmos ln Rx) = V)? ln senx, Derivando f’(xl 1 — cosx = ¡ . Ílx) 2 V; n sem + VX senx ' HX) = (Sem) V; In senx + x/ ïcosx I 2V; senx Sea ghz) = [ln(2e< — 1)]“’5 ". Tomando logaritmos In g(x) = cos x< | n[| n(2e*- 1)]. Derivando ¿E154 = vsenx< ln[ln(2e' — 1)] + 1 1 +cosx- >e-2e’2 1 depejándose a continuación g’. Derivemos f¡(x) = XM", Í¡(x) z (senxjá f3(x) = senxt‘. ln Í¡(x) = senx- Inx, ln f¡(x) = x> In senx, con lo {’() 1 quefi = cosx- lnx+senx-T, Para la tercera, pongamos k(x) = XX; será lnk(x)= xtlnx, =’f))= l +Inx, es decir (XXV = x* + x’< Inx. Tendremos senx f’¡(x) : xsw - (cosx« Inx + x cosx senx í’¡(x) = (senxVr (In senx + ffilx osxX - (xx + x‘ lnx). Para derivar h(x) = (senx)l"‘¡ r 3"""”'I pongamos ¡m 3 (X2 + gcusrux. Será h(x) = (semd/ U‘), ln mx) = ¡(x) A In senx, con lo que bastará hallar ¡‘(XL Como In ¡(xl = C05 (10% In (x2 + 3), tendremos 2x x2+3 j’(x) = (x1 + 3)<’M‘°" [cos 10% + +(-sen 10*) l0"| n 10 In (X1 + 3)] ATLAS DE MATEMÁTICAS 36 H4 i. ‘ l V l‘? LP l P ¡Si ¡E lt (‘E Ill IE de derivadas Ïñlllñ El4 37 FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA fl") Z K mx) = o Iïxl = arcsenx M = ‘k (K E m m) 2 k’ X“ Rx) = arccosx ¡’txt : “ i; 1 — x1 En panicular 31x) = x 54'00 = 1 1 l ¡ fix) = arctgx 11x): 1T; htx) 4/2 h 1x) = X -1 , 1 il I: arccol Mx) = klxl= /ï klx)=2vï " 8*‘ 1+x7 Rx) = arcsecx ¡“(xl = 1X2 1 ¡m = Inx rm = á -1 m) = log“ "r(x) = 31: , Tïa fix) = arccosecx Ílx) = x‘ _1 Rx) = e‘ Nx) = y ¡W = 5h" fl" = d“ M) = a“ HX) = al. l” Ilx) = chx ¡‘un = shx fix) = senx Mx) = cosx fix) = ccsx ¡‘(xl = —senx -1 fix) = cotghx ¡"(xl = shzx , _ l llx) = tgx fix) — ms“ of 1 Ax) = argshx Mx) = X2 + 1 fix) : cmgx Mx) = Sen“ l _ 1 fix) : secx Mx) = Se? ‘ M’ ’ amd“ m’ ' Vxz — 1 C05 X , 1 Iïxl = cosecx ¡‘(xl = {OSX M’ = ¿rflghx “X, 1 1 — x1 senlx FUNCIONES DERIVABLES
  20. 20. FllllISlBllES lÍETlVBlJIES TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Si A es un subconjunto del dominio de una fun- ción f, se dice que f alcanza en A su máxima absoluto en el punto a e A, cuando lla) es el mayor valor que la función toma cuando la variable recorre A. Es decir, fix) S Ka) V x e A. Análogamente se define el mínimo absoluto. Por ejemplo, 1 es el máximo absoluto de la función fix) = senx en R, alcazándose en los puntos l + 2Iar (keZ) Z Se dice que ftiene un máximo relativo (o local) en a, cuando fix) < Ka) para todos los x de algún entorno de a distintos de a (aunque algu- nos autores ponen S). Análogamente se definen los mínimos locales. Este concepto no equivale al anterior (véanse figuras). Sin embargo, es inmediato que el máximo (y el mínimo) que una función continua alcanza en un intervalo (por el Teorema de Weierstrass, D/2), deberá tomarlo en un punto de máximo relativo (res- pectivamente, mínimo), o bien en los extremos del intervalo. La derivada proporciona informa- ción sobre la posición de tales puntos: Teorema. Si una función fdefinida en un inter- valo (a, b) presenta un máximo o mínimo local en c e(a, b), donde es derivable, forzosamente Í’(C) = 0. La demostración se basa en la observación de que los valores cuyo limite es f’(c) tienen signo opuesto a izquierda y derecha de c. Los puntos x tales que f'(x) = 0 son llamados puntos singulares de f. Ello significa que la tan- gente estará en posición horizontal (fig. 2). No es cieno el recíproco del teorema anterior, pues no en todo punto singular se alcanza extre- mo relativo. Rar ejemplo, la función Rx) = x3 cum- ple f’(0) = 0, con lo que 0 es un punto singular; sin embargo, en cualquier entomo de 0 se obtie nen cubos negativos a la izquierda y cubos posi- tivos a la derecha, por lo que en 0 no hay ni máxi- mo ni mínimo local (fig, 3). También se cumple: Teorema. Si falcanza un máximo (o mínimo) absoluto en (a, b) en el punto c, en el que es derivable, forzosamente f’(c) = 0. Como consecuencia, el máximo y el minimo absoluto de una función fcontinua en la, b], deberán buscarse en a, en b, en puntos singu- lares, o alli en donde no haya derivada, Otros resultados importantes son: Teorema de Rolle. Si fes cominua en la, b] y deri- vable en (a, b), cumpliéndose (a) = lib), forzosa- mente existe algún i: eta, b) singular tfigs. 4 y S). Teorema de Cauchy. Si f y g son derivables en (a, b) Y continuas en la, b], existe algún c s (a, b) tal que (Kb) — 113)) -g’(c) = tgtb) - g(a)) - f’(c), Los dos teoremas anteriores permiten llegar al siguiente, muy importante por sus consecuencias: Teorema del valor nvedio (u de Lagrange). si f es continua en la, b] y derivable en (a, b), exis. te algún c e(a, b) tal que Kb) — Ka) b e a ' Corolario. Si f '(x) = 0 para todos lo x de un intervalo, f es constante en tal intervalo. De hecho, en el Cálculo Integral usaremos este resultado bajo la forma siguiente: Proposición. Si f'(x) = g'(X) para todos los x de un intervalo, existe una constante C e K tal que Rx) = g(x) + Cen tal intervalo. En las dos proposiciones siguientes se pone de relieve cómo la derivada informa sobre el com- portamiento de la función. Proposición (crecimiento y decrecimiento local). Si f’(x) > 0 para todos los x de un inter- valo, f es creciente en tal intervalo (análoga. mente, f’(x) < 0 conlleva el decrecimiento). El crecimiento o la singularidad no siempre bastan para ubicar máximos y mínimos (fig. 6). La siguiente condición, que sí es suficiente, permite abordar numerosos problemas. Proposición. Si f’ta) = 0 y f“(a) < 0, {tiene un maximo relativo en a. Si f/ (a) = 0 y f"(a) > 0, ¡tiene un mínimo relativo en a. Debe observarse que si f"(a) = 0, la proposición no decide, pudiendo presentarse un extremo relativo (como así sucede, en x = O, con Rx) = = x4 + 2, fig. 8), o bien no haberlo (por ejem- plo, en x = 0, para fix) = x3, fig. 3). ¡’(6) = 0 Ejemplo. Hallar las zonas de crecimiento y de decrecimiento de la función fix) = x4—Bx3—2x¡ 4 l20x+ 7. Como es f’(x) = 4X3 — 24x’ — 4x+ 120 = = 4(x + 2)(x— 3)(x- 5), tendremos que —2, 3 y 5 son puntos singulares. En (S, +00) los tres factores de f’ son positivos, por lo que fcrece: en (3, 5) los dos primeros son positivos, pero el último es negativo, luego Í'(x) < 0 en (3, 5), donde fdecrecerá. Análoga- mente se ve que crece en (—2, 3) y defleCe E" (-°°, -Z). Puede suceder que f ’ delate la presencia «con- secutiva» de dos intervalos en que f tenga el mismo sentido de crecimiento, (a, m), (m, b), que algunas veces pueden fundirse ¡en uno sólo, (a, b), tras examen directo de la situacion (véase, por ejemplo, e| caso f(x) = X3, llg- 3)- ATLAS DE MATEMÁTICAS 38 lu l? ll‘ l? lv IF l? li l? IE R , ¡_ ‘x p. r, ¡ ‘ Propiedades EIE n; l - en ei intervalo [a, b] la función prsenh en a im máximo relativo y absoluto. rn u», d iiene en s un máximo relativo, que no es absoluto. En ic, b] carece de máximo relativo. Hp. 2 y 3 . Máximo: y ininanm relativos. lnflexiones. Figt. 4 y s - El teorema ae Rolle (ixquierda) angina ia existencia de puntos singulares ¡i ia función es derivable. Véase un con- III-ejemplo a la derecha. l y l? " ‘i? j «.1 r l) i (el f"). y ¡l l M; l)‘ Hg.7—laprirltenflerivadananulaparax= ll. donde la segunda derivada e. positiva, por io Fís- s — la función no ec creciente ni tampoco decreciente a ningún lado qu» se ¡mw-h "n minim- del máximo relativo. ‘J e FUNCIONES DERIVABLES ‘¡.4 39
  21. 21. FIIIICÍDHES flEfÍVfllllES OPÏIMIZACIÓN von MÁXIMOS v MINIMOS La última proposición de E/ S suele usarse para resolver problemas de optimización: se desea que cierta cosa sea máxima o minima; si ello puede expresarse mediante una variable, o varias ligadas entre si, que despejando permi- tan conducir el problema al de hallar los extre- mos de una función real de variable real, tene- mos ya algún instrumental para intentarlo. Deberá atenderse, sin embargo, no al dominio de la función obtenida, sino a aquél en el que el problema tenga sentido. 0 Ejemplos. ¡Qué rectángulo de perímetro 20 tiene mayor área? Si x e yson los lados, el área es A= xr y, perocomo2x+2y=20,sera'y=10— - x, con lo que deberemos hallar el máximo de Rx) = x(10—x)=10x—x1 en el dominio (0, 10) (pues no tienen sentido rectángulos de lados negativos o nulos). Tenemos Fix) = 10 - 2x, presentándose un punto singular en x = 5, que es un máximo retativo prque ¡“(x -2, f"(5) = -2 < 0. Asi pues, la solución es x = 5 = S, es decir, un cuadrado. Un individuo, que va corriendo por la orilla de un canal acuático de 16 metros de anchura, decide llegar a un punto situado 100 metros más adelante, pero en la otra orilla. Si corre a una velocidad de 6 metros por segundo, nada a 2 m/ s y empieza por pasar a nado recti| ínea- ' mente, ¿a qué punto debe dirigirse para que el tiempo invertido sea mínimo? La trayectoria a nado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo uno de cuyos lados es 16 m, y el otro, desconocido, x metros. El tiempo invertido en nadar y en correr, son, por ese orden siendo x + y = 100, por lo que el tiempo total es 7m z Él. + e ‘JW’, 6 2 con lo que T'(x) z — l- e que se anula 5 Zx/ xï + 167 en x = 4/ Ï. Como FUN/ Í) >0, se trata de un mínimo relativo, Como además T(0l =24,6, 71100) = 50,6, 714V? ) =24,18, es también mínimo absoluto en lO, 100], interva- lo fuera del cual nuestro individuo tendria que retroceder, por lo que no hay mejor solución. l K 3. / ,) ‘N <. S ll (l 2 l lx Se desea construir bidones cilindricos de volu- men dado K, de manera que el total de chapa (área) sea el menor posible. ¿‘Cómo debe hacerse? Si el radio de la base del cilindro es ry la altu- ra h, el área es A = Zur? + Znrh debiendo cumplirse la condición de volumen rrrïh = K por lo que, despejando r y sustituyendo, K Ath) = 2( T + t/ ïrKlï) nos da el área en función de h. VvrKI-P — 2K l hÏ que se anula cuando lo hace su numerador, es decir, cuando Derivando A’(h) = h = 3/4131: , , BK- VnKhï Como A (h) = fiï: ' en el punto h = J/4W7t se tiene A"<’/4Wní= 31m4 que es positiva, por lo que enx3/4Kl1r la función A(h) presenta un mínimo relativo, con lo que el problema está resuelto si no se imponen nuevas restricciones, pues hasta aqui la única es h > (l, para que el problema tenga sentido. En la práctica real, sin embargo, por imperati- vos estéticos, comerciales o industriales, como en nuestro ejemplo podría ser el que se tratara de latas que hubieran de ser abarcadas con la mano, o condiciones de apilado de los bido- nes, o limitaciones en Ia cadena de fabricación, puede suceder que el dominio se vea afectado por una restricción, por ejemplo 0<hsT donde Tacotaría la altura deseada de los bido- nes. Entonces, si Tzré/ ¡Wïel minimo absolu- to coincide con el anterior minimo relativo, pero sí T es menor que tal valor, el punto ‘, V1701? carecería de sentido en el contexto del problema, 0 < h S T, por lo que, 5¡9"d0 l? lun’ ción decreciente en tal intervalo, el minimo absoluto se alcanzaría en h r Éfomo Puede apreciarse en la gráfica de la funcion Aih) de la figura 3. ATLAS DE MATEMÁTICAS 40 gfififijfirrfiyïtamiïvïïïïüfvvf! ‘ Et Lv‘ tv tlntlmizaciün por máximas u mínimas E“; B 6 Fíg. r - lectángulm del mismo perlmetm con ¡mi diterente. _. ... ... ... .=. r. . V; kcwma. Fíg. 3 - Gráfica de la ¡tinción MM. FUNCIONEÉHDERIVABLES
  22. 22. FIJIIEÍIJIIES IÍEÍÍVÜDIES REGLA DE HHOFITAL INDETERMINACIONES ïeorema de llflópital [RH]. Si f y gson deriva- bles en un entorno a, con lim fix) = lim g(x) x-u x-oa siendo ambos 0, o ambos infinitos, entonces . . f ’ lim M = lIm :0‘) x—»ag(x) x43 gixi ' siempre y cuando este segundo límite exista (o sea infinito). El resultado es también cierto si x —> +40 o x —> m, a condición de que existan las derivadas en las semirrectas adecuadas. Si el segundo limite de [RH] es nuevamente indeter- minado de la forma 0/0 o w/ w se reitera el pro- cedimiento, si es que se dan las condiciones. Como veremos a continuación, este teorema resuelve otros muchos casos de indeterminación. Si Iimlf- gl es ¡determinado de la forma m — m, haciendo (1/5) - (l/ fl llfg tendremos una ¡determinación 0/0 abordable por la Regla de L’Hópita| . Si lim (f- g) es indeterminado de la forma 0 - m, haciendo flg: í/ (1/g)obien f>g= g/(l/ r) se pasa a las indeterminaciones 0/0 o wlan, escogiéndose la que resulte más cómoda para la aplicación de [RH]. Si lim (f5) es indeterminado de alguna de las formas l‘, 0° o m“, tomando logaritmos ln lim (f? ) = lim Ind”) = lim {g- Infl, siendo este último indeterminado de la forma 0 - m o w - 0, reconducible a [RH], f-g: 0 Ejemplos. lim _ es indeterminado del tipo 0/0. Ho senx Aplicando [RH] lim e‘ ‘l =1im L =1 Ho senx Ho cosx lim ‘Esti? es indeterminado de la forma calm. Hu Aplicando [RH] ln senx . cosx/ senx llTl — ¡[TI Ho cotgx Hg —1/sen¡x = —Iim senx cos x = 0. . 1 1 . . X- — mcg)‘ J es indeterminado de la foma x — x. Aplicando [RH] lim(1——1í>= lim!8X—‘L— hp x tgx x-ao xwgx 7 _| ¡m 1+t1x—1 i Hg x+ xtgïxngx 7 2tx-(1+t2x) = I‘ : ,. Ï."g1+tg2x+x<2tgx-(1 +tg1x) + (1 +tg1xI = ¿EL = “m 2 + Zxtgx o ‘¡r lira? ’ (cos4x)" es indeterminado de Ia forma 1‘, x su valor fuera A, seria ln A = lim ln cos4x= x40 X -4sen4x ln cos4x COS4X = lim = lim -—: = x-tD x1 Ho 2x m “m” = _2 nmïza x-¡D x X-¡O 1 Por lo tanto, A = 9'“ lim xïsfl es indeterminado de la forma 0°. Si su x-a-fl valor fuera B, sería ln B= |imtgx- lnx: x—o0 . lnx . Zsenx cosx = lim = — lIm e Hu cotgx Hg 1 su valor fuera M, sería ln M: lim x- In l1/x) = b-¡Ü _¡. Infl/ xlfhm n-x/ xl) _ ¡ILL l/ x A x40 l-Ï/ XZ) tras aplicar [RH] y simplificar. Será M = e" = l . ATLAS DE MATEMÁTICAS vrrrrrvrrrrráñnmrñfilïlfil IIIIÏEÍEHÏIÍIIÉCÍIJIIES 7 ' l » la figura recoge dilerenln funciona de límite para x -r ll. Siri embalfil: "les de ms cncientes loman diferentes valores, mldierldn compinllvlntenle la La ¡unciánfi es la que se ¡cena más demamnte- a n, y t“ la más nrípídan. fig. 2 — Guillaume de vmpiial (1551-1704), FUNCIONESLPERIVABLES 4
  23. 23. FIIHCÍIJIIES IÏEIÍVBDIES EQUIVALENCIA DE VARIABLES Variables equivalentes . fix) Cuandolgï; gm equivalentes para xaa. Si = 1 decimos que fy g son serán equivalentes fy m - g. Si fy g son equivalentes para x-ya, como se tiene í= (f/ g) ' g, tendremos que si ¡aparece como factor o divisor en una expresión cuyo limite para x—)a queremos hallar, puede ser reemplazada por g sin que se altere el límite, pues estariamos multiplicando o dividiendo por I. Son, por eiemplo, equivalentes, x y senx, para x—>0. Por ello, el siguiente limite, que median- te la Regla de L’Hópilal conllevaría una tediosa derivación, ahora es . sen5x . x‘ "m i = ‘m i" = Ho 9x cos 6x x_. o 9x cos 6x 1 = |' e xl-Ty 9cos36x 9 lnfinitos e infinitésimos Si es infinito el límite de Rx) para x-m, donde a es un número real o también +06, —w o m, dire- mos que fix) es un infinito para x-ra. Si fy g son infinitos para x—>a, tales que diremos que fes un infinito de mayor orden que g cuando a sea infinito, que ¡tiene menor orden que g cuando (1 = 0, y que son infinitos del mismo orden cuando ot sea finito no nulo. Si fes un infinito para x-H-vv, x-m o x-wc, decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con x"! Si í es un infinito para xaa le R), decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con 1/(x — a)”. Se puede decir, intuitivamente, que el orden mide Ia ra- pidez con que ftiende a x. Proposición. Si a un infinito se le suma uno de orden inferior se obtiene un infinito equivalen- te al primero. La diferencia de dos infinitos equivalentes es otro de orden no inferior, o una función no infinita. Obsérvese que la suma de dos infinitos del mismo orden tiene resultado indeterminado. "u ». .,/ / r‘ ‘JK. xx zx. /*/ / / // // “e/ x/‘x / ‘«. /’/ ' . Si 3P f (i, el polinomio a0 + ¿‘x + + ¿px? es un infinito de orden p, para X-nc Proposición. Para x-nc, son infinitos llogax)“, x", b‘, x1“ (a, b > I: m, n, p > 0) llamados infinito logarit- mico, potencial, exponencial y potencial-expo- nencial, respectivamente, siendo el orden de cada uno inferior al del siguiente, según se han enumerado. Si lxigtlx) = 0, decimos que fes un iníín/ tésimo para x-ra. Si fy gson infinitésimos para x-sa, cuando sea infinito, cero, o finito no nulo, diremos, res- pectivamente, que el orden del infinitésimo fes menor, mayor o igual que el de g. En particular, diremos que el orden de fes menor, mayor o igual que n según resulte de compararlo con (x - a)“. Por ejemplo, para x->O, sen17x es un infinitésimo de orden dos, pues lim [(sen27x)/ x1] = 49. Ho El orden mide la «rapidez» con que {tiende a 0 (véase la figura contigua)‘ Está claro que si fes un infinito para x-aa, (I/ fl será un infinitésimo. Así se obtiene: Proposición. Si a un infinitésimo se le suma uno de orden superior, se obtiene un infinitési- mo equivalente al primero. Orden de contacto de dos curvas Si dos funciones fix) y g(x) Éumplen lla) = g(a), con lo que sus gráficas se cortan, la diferencia ¿(hi í tia + h) - g(a + h) será un infinitésimo cuando h—>O. Tal diferencia no es más que la porción de ordenada comprendida entre las dos gráficas en el punto de abscisa a + h de las cercanias de a. Diremos que las dos curvas tie- nen en (a / la)l un contacto de orden m cuando e(h) sea un infinitésimo de orden m + 1. Se tiene _ Proposición. Si las funciones fy g tienen Igua- les las m primeras derivadas en un punto a en 9| que 11a) = gm), siendo finitas pero distintas las de orden m + 1, la curvas y= Rx) y y= glx) he‘ nen en la, Kai) un contacto de orden m. . Obsérvese que si el contacto es de primer orden o más, será Ka) = gla), ¡’(3) = E'l3)¿C0n lo que las curvas tienen en (a, ¡(«JD la misma tangente: se dice que en ese punto son tangen- Ies entre si’. ATLAS DE NÁlÓTEMÁTICAS vvvvvwnwnnnmnmnmn-wv-GTVYTT yumx nll+xl y - timo“ ‘M2123; m fix) = senx gix) = x htxl = |nl1 + xl rioi= o gl0l=0 htoi= o ¡’mi = l g‘(0) =1 i110) =1 WTC) = 0 g”(0) = 0 h”(Ül = A1 ¡"(Oi = 1 g"l0i = o h"(0) = 2 Fig. 1 - Contacta entre las gráficas de x, unxy | n(| v X). l Z 3 4 S Hg. 2 — lnvírtiendn los tipos fundamentales de infinitud pan x —> wrx se obtienen los tipm fundamentales de infinitésimos: (Inx)”", r , r", r""(a > l, p, ic m > o) logarílmicu, potential, expnnencial y potencial-exponencial respectlvanuenle cada uno de menor orden que el siguiente. FUNCIONES DERIVABLES 45
  24. 24. A Funciones derivahles APROXIMACIÓN POLINÓMICA Como las funciones polinómicas son las de más Íácil manejo, dada una función fix) es inte- resante ver si se puede sustituir por una polino- mica que sea «aproximadamente igualx. Está claro que ello difícilmente va a poder hacerse en todo el dominio de la función con un solo polinomio. La aproximación se hara’, pues, con carácter local, es decir, en las cercanías de cier- to punto a, ajustando diferentes polinomios a diferentes segmentos de curva. Por otra parte, la idea de aproximación podemos precisarla más: si Ia función fix) se reemplaza por un polino- mio pix) en las cercanias de un punto a, lo que se desea es que la diferencia fix) — p(x) sea un infinitésimo para x-ia, y cuanto mayor sea su orden, mejor será la aproximación. Supongamos un punto a del dominio de f, arbi- trario, pero fijo en adelante. Si ptx) = a0 4- + a¡(x— a) + + a, ,,(x - a)" es un polinomio, escrito en potencias de (x- a) (lo que es prefe- rible para analizar caracteres infinitesimales), se obtiene fácilmente ak = (p‘<(a))/ k! derivando k veces plx). Por consiguiente p(xJ = pta) + p’(ailx — a) + -# (x — a)? + + 1%” (x — a)’ En Ia anterior expresión, que liga los coefi- cientes del polinomio con sus derivadas, se basa el método de aproximación polinómica de Taylor: Supongamos que fadmite al menos n derivados ¡’(3). Ma), .. ., ¡"(al en el punto a. construimos los polinomios + +M(x- a)”. m! PolXl = lla) p¡(x) : Ka) + f’(a)(x« a) ¡“(al 21 pz(x) = lla) + f’(a)(x— a) + (x e a)? f“(a) p, ,(x) = iia) + ¡‘(aux — a) + (x— afl + 2! f"’(a) Ma) l 3! n! recibiendo p, ,,(x) el nombre de m-ésimo poli- nomio de Taylor de la función fen el punto a. Desde I< = t) hasta k : ntendremos p/ qial = Ma) por lo e, según se dijo en U8, Proposición. La gráfica fy la de su enésimo (x—a)‘+. ..+ (x — a)”, vñxqoc/ ‘Vioxx «. /. // ./ /. /_/ x polinomio de Taylor en a tienen en tal punto un contacto de orden no inferior a n. También uede enunciarse asi’: P Proposición. lim = O. Ha (x — al" Esto significa que, para x—>a, Ia diferencia fix) - p, ,(x) es un infinitésimo de orden superior a n. La diferencia llx) — p, .,(x) = R, ,(x) recibe el nom- bre de resto enésima (o término complemen- tario). Al reemplazar Rx) por Prix), el error cometido será R, .,(x), por lo que interesa dispo ner de expresiones apreciadoras del resto enési- mo, de modo que si no se conoce exactamente, se pueda, al menos, acotar, con lo que se podrá calibrar la magnitud del error cometido. La expresión Ka) = Ka) + Í-1llT‘¡l(x—aJ+ f? !) (x_¡)2 , + ¡"(al (x- a)! + + Mal (x- a) + Rnix), 3! n! recibe el nombre de fórmula de Taylor para f en torno al punto a. Cuando a = 0 la fórmula de Taylor se escribirá ¡"(Oi ¡(xl = ÍIOJ + f'(0lx+ Z! N0) n! x2 + +. ..+ x"+ Rnix), llamada fórmula de MacLaurin. Cuando en un entorno de x se dispone de la derivada ¡"+1 se tiene _ ¡"m (El (n + i)! forma de Lagrange del término complementa- rio, donde g es algún punto entre a y x. Si fm” tiene su valor absoluto acotado por M en el intervalo, será (innecesariamente) R, ,(x) (x e a)"“, M¡X_¡yn+1 (n+1)! expresión que nos permite estimar el error. Pueden ser también útiles las expresiones fm" (E) p | R,, (x)| s R, ,(x) = (x _ a)PlX » ¿wi-P (forma de Schlomilch, con 0 < p < n + 1), que para p = i es la forma de Cauchy ¡mn (g; n! R, ,(x) = (x — allx K E)“. ATLAS DE MATEMÁTICAS 46 ‘ITTVVTTTNMMMMWWWTW eeoeoeoowuwmfiluuuwwmvwaunar Hnrnximacifin nolinñmica E19 Hg. | - ¡mi Taylor 0505.1731). n; z — Colin Maclaurin ÍÍWI-Í7Ó6}. Fig. 3 — Louis de lagnngg uns-um. Fís- 4 7 la aproximación pplinómirz es de carácter local; es decir, sólo en un entorno. n. i; figura ¡e y. i; 5 Ica de una moción, un polinomio que la ¡proxima en las cercanías de x = r (y sólo ¡im y nino polinomio que ln han en tomo a = o. FUNCIONES DERIVABLES 47
  25. 25. Funciones oerivahles Desarrollo de la función exponencial. Si Rx) = = e‘, se tinen IWX) = e‘, con lo que f"‘(0) = 1, V n e N, luego el desarrollo de MacLaur¡n es X2 Xn xml ¿“:1 +x+—2—! +.. . +7T+ (n+1)! e“. Si para calcular 9Q“ tomamos el segundo poli- nomio, se obtiene el valor 90v” =1+0,12 + (0,12)7/2 = 1,1272 Como el tercer término complementario es R¡(x) = x3 9* 6, teniendo en cuenta que e“ < em < 2, una anotación posible será | R¡(x)| < (0,12)! 2/6 = 0,000576. Desarrollo de las funciones circulares. Las derivadas sucesivas de g(x) = senx cumplen 53"’ (0) = 0, gm" (0) = (-1 )"', obteniéndose el desarrollo _ x3 x5 X7 senx—x—ï+ï——7!—+ + Xzn -r (Zn — Análogamente X2)- (2o)! + (-1 )"-' + (-1 )" senex X’ +i-ï + 2l 4! 6! [_1)nX2n (-1 )n+1X2n+l (Zn)! (Zn + 1l! Si, por ejemplo, quisiéramos calcular cos 89°, que es cos llïl/ Z) - l1r/180)] desarrollaríamos cosx en torno a rr/ Z. veríamos entonces que basta llegar al grado 3 para que el error sea menor que una millonésima. Desarrollo de la función potencial. Si htx) = xk y k no es un número natural, no puede hacerse el desarrollo de MacLaurin. Desarrollaremos fix) = 1 + xk que sí es indefinidamente deriva- ble en el origen, teniéndose f"l(x) = k(k- 1) - - (k- n+1)(1+ x)"'", con lo que ¡”(0) = kflr- 1) - - (k— n+1), y el desarrollo será, con e e (0, 1), l<(k»1J 2 senex. (1+x)k=1+kx+ x2+. ..+ l) l, 3 K l 4, 5 +Hk-1)-. ..'(k—n+1) n n! X + + (1 + gxyenn . Xn+1 (n+1)! Si calculamos 3/1,21 a través de este desarrollo hasta el grado Z, tomaremos 1 _ (1+0,21)‘/3=1+3—0,21 + ¿(O11)? =1,or,51‘ Podemos acotar el error mediante 1 —Z —S lsll 3 ll 3 l p que corresponde al valor e = 1, el «peor posi- ble», por lo que la inexactitud deW 1,21 = =r 1,0651 no llega a 6 diezmilésimas. Desarrolla de la función logaritmica. Como el logaritmo y sus derivadas no están definidos para x = 0, no puede hacerse el desarrollo de MacLaurin. En vez de tomar el desarrollo de Taylor en x = l, es preferible tomar el desarro- llo de MacLaurin de Inti + x). Se tiene (| n(1 + x))"’ = (—1)""(n- 1)! v <1 + x-n, por lo que la deriva a enésima en el origen es (—1)"’"(n -1)! , y el desarrollo x1 x3 x 

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