Newton rapshon

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  1. 1. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Facultad de Ingeniería-Ingeniería Eléctrica Análisis de Sistemas de Potencia Rodriguez Cortes Eduard Ferney 20121007022 SISTEMA DE POTENCIA EJEMPLO 6.6 POR NEWTON RAPHSON La figura 1 muestra el sistema del sistema trifasico de potencia en pu con tres nodos Figura 1. Sistema de potencia BUS PD QD PG QG V δ 1 0 0 ¿? ¿? 1.05 0 2 2,566 1,102 0 0 NE ¿? 3 1,386 0,452 0 0 NE ¿?
  2. 2. RESOLUCIÓN TEORICA DEL EJERCICIO En primer lugar se realiza la matriz de admitancias correspondientes a los nodos propios del sistema. Y BUS 𝑌 = [ 20 − 𝑗50 −10 + 𝑗20 −10 + 30𝑗 −10 + 𝑗20 26 − 𝑗52 −16 + 32𝑗 −10 + 30𝑗 −16 + 32𝑗 26 − 62𝑗 ] Posteriormente se aplicaran el método y sus respectivas iteraciones hasta encontrar la solución. 𝑃2 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ cos( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)+ 𝑉2 2 𝑌22 ∗ cos⁡( 𝜃22) 𝑃2 = −0.5000 ∆𝑃2 = −2.0660 𝑃3 = 𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3)+ 𝑉3 2 𝑌33 ∗ cos⁡( 𝜃33) 𝑃3 = −0.5000 ∆𝑃3 = −0.8860 𝑄2 = −𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉2 2 𝑌22 ∗ sen⁡( 𝜃22 ) 𝑄2 =⁡⁡⁡ −1.0000⁡⁡ ∆𝑄2 = −0.1020 𝑄3 = −𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉3 2 𝑌33 ∗ sen⁡( 𝜃33 ) 𝑄3 =⁡ −1.5000 ∆𝑄3 = 1.0480
  3. 3. Los valores de los deltas no son los deseados por esto se procede a hallar los términos de la matriz jacobiana 𝜕𝑃2 𝜕𝛿2 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑃2 𝜕𝛿2 = 53.0000⁡⁡ 𝜕𝑃2 𝜕𝛿3 = −𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑃2 𝜕𝛿3 = −32.0000⁡⁡⁡ 𝜕𝑃3 𝜕𝛿2 = −𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) 𝜕𝑃3 𝜕𝛿2 =⁡⁡ −32.0000⁡⁡⁡ 𝜕𝑃3 𝜕𝛿3 = 𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) 𝜕𝑃3 𝜕𝛿3 = 63.5000⁡⁡ 𝜕𝑃2 𝜕𝑉2 = 𝑌12 𝑉1 ∗ cos( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2)+ 𝑌32 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) + 2𝑉2 1 𝑌22 ∗ cos( 𝜃22) 𝜕𝑃2 𝜕𝑉2 = 25.5000⁡⁡ 𝜕𝑃2 𝜕𝑉3 = 𝑌32 𝑉2 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑃2 𝜕𝑉3 = −16.0000
  4. 4. 𝜕𝑃3 𝜕𝑉2 = 𝑌32 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑃3 𝜕𝑉2 = −16.0000⁡⁡⁡ 𝜕𝑃3 𝜕𝑉3 = 𝑌13 𝑉1 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3)+ 𝑌32 𝑉2 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) + 2𝑉3 1 𝑌33 ∗ cos⁡( 𝜃33) 𝜕𝑃3 𝜕𝑉3 = ⁡25.5000 𝜕𝑄2 𝜕𝛿2 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ cos( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑄2 𝜕𝛿2 = −26.5000⁡⁡⁡ 𝜕𝑄2 𝜕𝛿3 = −𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑄2 𝜕𝛿3 = 16.0000⁡⁡⁡ 𝜕𝑄2 𝜕𝑉2 = −𝑌12 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2)− 𝑌32 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) − 2 ∗ 𝑉2 1 𝑌22 ∗ sen⁡( 𝜃22 ) 𝜕𝑄2 𝜕𝑉2 = 51.0000⁡⁡ 𝜕𝑄2 𝜕𝑉3 = −𝑌32 𝑉2 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2) 𝜕𝑄2 𝜕𝑉3 = −32.0000 𝑄3 = −𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3)− 𝑉3 2 𝑌33 ∗ sen⁡( 𝜃33 ) 𝜕𝑄3 𝜕𝛿2 = −𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) 𝜕𝑄3 𝜕𝛿2 = ⁡⁡16.0000⁡⁡
  5. 5. 𝜕𝑄3 𝜕𝛿3 = 𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) 𝜕𝑄3 𝜕𝛿3 =⁡⁡⁡⁡−26.5000⁡⁡ 𝜕𝑄3 𝜕𝑉2 = −𝑌32 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) 𝜕𝑄3 𝜕𝑉2 =⁡−32.0000⁡⁡⁡ 𝜕𝑄3 𝜕𝑉3 = −𝑌13 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3)− 𝑌32 𝑉2 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3) − 2𝑉3 1 𝑌33 ∗ sen⁡( 𝜃33) 𝜕𝑄3 𝜕𝑉3 = ⁡⁡60.5000 A continuación operamos la matriz jacobiana con la matriz de los deltas de potencia para hallar los deltas de voltaje [ ⁡−2.0660 −0.8860 −0.1020 ⁡⁡1.0480 ] = [ 53.0000⁡⁡ ⁡−32.0000 −26.5000 16.0000 −32.0000 63.5000 16.0000 −26.5000 25.5000 −16.0000 51.0000 ⁡−32.0000 −16.0000 25.5000 −32.0000 ⁡60.5000 ] ∗ [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] = [ 53.0000⁡⁡ ⁡−32.0000 −26.5000 16.0000 −32.0000 63.5000 16.0000 −26.5000 25.5000 −16.0000 51.0000 ⁡−32.0000 −16.0000 25.5000 −32.0000 ⁡60.5000 ] −1 ∗ [ ⁡−2.0660 −0.8860 −0.1020 ⁡⁡1.0480 ] [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] = [ ⁡−0.0604 ⁡⁡⁡−0.0496 −0.0158 ⁡⁡0.0032 ] Hallando los nuevos valores de ángulos y voltaje se obtiene [ 𝛿2 𝛿3 𝑉2 𝑉3 ] = [ 0 0 1 1 ] + [ ⁡−0.0604 ⁡⁡⁡−0.0496 −0.0158 ⁡⁡0.0032 ]
  6. 6. [ 𝛿2 𝛿3 𝑉2 𝑉3 ] = [ ⁡−0.0604 ⁡⁡⁡−0.0496 0.9842 ⁡⁡1.0032 ] Se evalúan los valores nuevos en las ecuaciones de potencia para encontrar el delta deseado. 𝑃2 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ cos( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)+ 𝑉2 2 𝑌22 ∗ cos⁡( 𝜃22) 𝑃2 =⁡⁡⁡−2.5138 ∆𝑃2 = −0.0522 𝑃3 = 𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3)+ 𝑉3 2 𝑌33 ∗ cos⁡( 𝜃33) 𝑃3 =⁡⁡⁡−1.3797 ∆𝑃3 = −0.0063 𝑄2 = −𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉2 2 𝑌22 ∗ sen⁡( 𝜃22 ) 𝑄2 =⁡⁡⁡⁡⁡⁡ −1.0605 ∆𝑄2 = −0.0415 𝑄3 = −𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉3 2 𝑌33 ∗ sen⁡( 𝜃33 ) 𝑄3 =⁡ −1.5000 ∆𝑄3 =⁡⁡⁡−0.0466 Ya como tomamos la primera iteración el proceso sigue siendo el mismo por lo cual no vamos a repetir lo mismo sino que vamos a dar directamente la matriz jacobiana directamente. A continuación operamos la matriz jacobiana con la matriz de los deltas de potencia para hallar los deltas de voltaje.
  7. 7. [ ⁡−0.0522 −0.0063 −0.0415 ⁡⁡−0.0466 ] = [ 51.4299⁡⁡⁡⁡ −31.7626 −27.6985 ⁡15.4570 −31.4231 62.8013 16.1358 −27.5458 23.0350 −15.7052 50.1007 ⁡−32.2726⁡⁡⁡ −16.0846 24.7075 −31.3233 ⁡61.7936 ] ∗ [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] = [ 51.4299⁡⁡⁡⁡ −31.7626 −27.6985 ⁡15.4570 −31.4231 62.8013 16.1358 −27.5458 23.0350 −15.7052 50.1007 ⁡−32.2726⁡⁡⁡ −16.0846 24.7075 −31.3233 ⁡61.7936 ] −1 ∗ [ ⁡−0.0522 −0.0063 −0.0415 ⁡⁡−0.0466 ] [ ∆𝛿2 ∆𝛿3 ∆𝑉2 ∆𝑉3 ] = [ −0.0008⁡ ⁡⁡⁡−0.0003 −0.0024 ⁡⁡−0.0019 ] Hallando los nuevos valores de ángulos y voltaje se obtiene [ 𝛿2 𝛿3 𝑉2 𝑉3 ] = [ ⁡−0.0604 ⁡⁡⁡−0.0496 0.9842 ⁡⁡1.0032 ] + [ −0.0008⁡ ⁡⁡⁡−0.0003 −0.0024 ⁡⁡−0.0019 ] [ 𝛿2 𝛿3 𝑉2 𝑉3 ] = [ −0.0611⁡ ⁡⁡⁡−0.0500 0.9818 ⁡⁡⁡1.0013 ] Se evalúan los valores nuevos en las ecuaciones de potencia para encontrar el delta deseado. 𝑃2 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ cos( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)+ 𝑉2 2 𝑌22 ∗ cos⁡( 𝜃22) 𝑃2 =⁡⁡⁡⁡⁡⁡ −2.5658 ∆𝑃2 = 1.0e − 03⁡ ∗ −0.1711 𝑃3 = 𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿3) + 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ cos( 𝜃32 + 𝛿2 − 𝛿3)+ 𝑉3 2 𝑌33 ∗ cos⁡( 𝜃33) 𝑃3 =⁡⁡⁡⁡⁡⁡ −1.3860 ∆𝑃3 = 1.0e − 03⁡ ∗ ⁡⁡⁡⁡0.0145 𝑄2 = −𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉2 2 𝑌22 ∗ sen⁡( 𝜃22 )
  8. 8. 𝑄2 = −0.4519 ∆𝑄2 = 1.0e − 03⁡ ∗⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡−0.1004 𝑄3 = −𝑌13 𝑉3 𝑉1 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿1 − 𝛿2) − 𝑌32 𝑉2 𝑉3 ∗ sen( 𝜃32 + 𝛿3 − 𝛿2)− 𝑉3 2 𝑌33 ∗ sen⁡( 𝜃33 ) 𝑄3 =⁡ −1.5000 ∆𝑄3 = ⁡⁡⁡1.0e − 03⁡ ∗⁡⁡⁡⁡⁡⁡−0.1124 Como los delta están entre el parámetro de error la respuesta es la correcta a continuación se procede a hallar las potencias en el nodo de compensación. 𝑃1 = 𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ cos( 𝜃12 + 𝛿2 − 𝛿1) + 𝑌13 𝑉1 𝑉3 ∗ cos( 𝜃31 + 𝛿3 − 𝛿1) + 𝑉1 2 𝑌11 ∗ cos⁡( 𝜃11) 𝑃1 = 4.09483⁡⁡⁡⁡ 𝑄1 = −𝑌12 𝑉2 𝑉1 ∗ sen( 𝜃21 + 𝛿2 − 𝛿1) − 𝑌31 𝑉1 𝑉3 ∗ sen( 𝜃31 + 𝛿3 − 𝛿1) − 𝑉1 2 𝑌11 ∗ sen⁡( 𝜃11 ) 𝑄1 = 1.88975 [ 𝛿2 𝛿3 𝑉2 𝑉3 ] = [ −0.0611⁡ ⁡⁡⁡−0.0500 0.9818 ⁡⁡⁡1.0013 ]

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