UniversidadNacional deIngeniería      FACULTAD DE      INGENIERIA QUIMICA      Y TEXTIL                      PÉNDULO FÍSIC...
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Laboratorio fisica ii teorema de steiner

  1. 1. UniversidadNacional deIngeniería FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL PÉNDULO FÍSICO FISICA II FI 204/C ALUMNOS: PROFESOR: MESA: FECHA DE LA PRÁCTICA: FECHA DE ENTREGA:
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAI.OBJETIVOS: Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metalica, midiendo el periodo de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación. Hallar la variación del T(periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila. Determinar el tipo de movimiento respecto al angulo de giro de la barra metalica. Saber el procedimiento del calculo de momento de inercia para cuerpos con geometría desconocida. II.FUNDAMENTO TEORICO: PenduloFisico: Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rigido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo; como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad yeniendo como línea de acción al eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rigido y con dirección contraria al desplazamiento angular θ, y de esta forma llevar al cuerpo rigido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rigido, llevándola asi a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movImiento oscilatorio. En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (demostradas en el punto 8 de cálculos y resultados):Donde:T:periodo.Io: momento de inercia respecto al eje. FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  3. 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAIG: momento de inercia con respecto al centro de gravedad(cte).m: masal: longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O.l1: longitud del centro de gravedad a cada # de hueco.b: longitud de la barra(constante).a: ancho de la barra(constante). Momento de I nercia: Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de las distancia ‘r’ de cas particula al eje escogido.representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:Para un cuerpo de masa continua(medio continua) lo anterior se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que hay integrar sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masainercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme(la masa es la resistencia que presenta uncuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de inercia es la resistencia que presenta uncuerpo a ser acelerado en rotación.III.EQUIPO: Una barra metalica de longitud L con agujeros circulares. Un soporte de madera con cuchilla Dos mordazas simples Un cronometro digital Una regla milimetrada FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  4. 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAIV.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y DATOS OBTENIDOS: a) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples b) Hallar el centro de masa de la barra suspendiéndola horizontalmente en la cuchilla( el punto de apoyo de la barra en equilibrio será su centro de gravedad CG) c) Ahora suspenderla verticalmente por 10 de los 21 huecos en la cuchilla y hacerla oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio(<15°) d) Hacer 10 oscilaciones para los 7 primeros huecos y para 5 para los 3 que están mas cercanos al CG. e) Anotar el tiempo para luego hallar el periodo (T) y también medir las distancias(I) del eje de oscilación hacia el CG.V.CALCULOS Y ERRORES:1. TABLA I l(cm) t1(s) t2(s) t3(s) t promedio # de oscilaciones T(S) 50.80 16.75 16.72 16.61 16.69 10 1.669 45.80 16.46 16.26 16.39 16.37 10 1.637 40.80 16.05 16.04 16.07 16.05 10 1.605 35.80 15.91 16.03 16.07 16.00 10 1.600 30.80 15.77 15.97 15.81 15.85 10 1.585 25.80 16.91 16.08 15.99 16.33 10 1.633 20.80 16.45 16.54 16.70 16.56 10 1.656 15.80 8.53 8.71 8.54 8.59 5 1.719 10.80 9.85 10.09 10.11 10.02 5 2.003 5.80 12.94 12.99 13.00 12.98 5 2.595 FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  5. 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA2. GRAFICA PERIODO(T) vs DISTANCIA AL EJE DE OSCILACION(I)Ajuste de la curva medianten la parábola minimo cuadráticaxi yi xiyi xi^2 x2iyi x3i x4i 5.8 2.596 15.0568 33.64 87.32944 195.112 1131.6496 10.8 2.004 21.6432 116.64 233.74656 1259.712 13604.8896 15.8 1.718 27.1444 249.64 428.88152 3944.312 62320.1296 20.8 1.656 34.4448 432.64 716.45184 8998.912 187177.3696 25.8 1.599 41.2542 665.64 1064.35836 17173.512 443076.6096 30.8 1.585 48.818 948.64 1503.5944 29218.112 899917.8496 35.8 1.603 57.3874 1281.64 2054.46892 45882.712 1642601.09 40.8 1.605 65.484 1664.64 2671.7472 67917.312 2771026.33 45.8 1.637 74.9746 2097.64 3433.83668 96071.912 4400093.57 50.8 1.669 84.7852 2580.64 4307.08816 131096.512 6659702.81 283 17.672 470.9926 10071.4 16501.50308 401758.12 17080652.3Mediante las siguientes formulas: ………….(1) ……………….(2) ………………(3)De las ecuaciones (1), (2) y(3) FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  6. 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIADe las ecuaciones (1), (2 ) y(3)a0=2.0442a1=-0.0503a2=0.0012Se obtiene la siguiente grafica: T vs l 3.000 2.500 2.000 Axis Title 1.500 1.000 y = 0.001x2 - 0.073x + 2.793 0.500 R² = 0.872 - - 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 Axis TitleEncontrar el valor de l para un minimo como ya conocemos la función por la cual se rige que es unaespecie de parábola, entonces hallamos la primera derivada la igualamos a ‘0’Cero, asi obtenemos el máximo relativo:b)Encontra el valor de l para que el periodo sea minimo FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  7. 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIASabemos por Steiner:c) Comparación de los valores de “I” obtenidos en b)con el que obtiene de la grafica en a)Distancia obtenida mediante las ecuaciones (14.1) y (14.2): I1 = 31.68 cmDistancia obtenida en la grafica: I2 = 33.86 cmDiferencia de error :5.39 cmPorcentaje de error –% Error = x100% = 6.44 %La diferencia, se debe a que en los cálculos de las ecuaciones (1) y (2), el momento de inercia delcentro de gravedad de la barra (IG) fue calculado suponiendo que dicha barra era solida y rígida ,el cual , en la realidad no es así. Además, la barra posee 21 agujeros .Asimismo, no se puededescartar el gran margen de error al medir la masa de la barra .d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia (d = 33.86 cm )? l2 Se tiene :T’ = 2π , reemplazando T’= 1.6008 se) Del grafico, ¿existe dos puntos de oscilación con el mismo periodo? IndíquelosExisten dos puntos con un periodo mas próximo uno cuando I :35.8 Y T=1.603 Y y el otrocuando I = 40.8 y T = 1.605 FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  8. 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA Periodo (T) vs.Distancia al eje de oscilación (d) 3 2.595 2.5 2.003 2 1.719 1.656 1.633 1.585 1.6 1.605 1.637 1.669 T(S) 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 d(cm)3.TABLA 2 : Nº de hueco eje de oscilación (periodo)2 Momento de (m2) (cm) T2 (s2) inercia (Kg.m2) 1 50.8 2.79 6557,8955 2580,64 2 45.8 2.68 5688,377 2097,64 3 40.8 2.58 4878,294 1664,64 4 35.8 2.57 4263,8729 1281,64 5 30.8 2.51 3582,7173 948,64 6 25.8 2.56 3060,8904 665,64 7 20.8 2.74 2641,2044 432,64 8 15.8 2.95 2160,0067 249,64 FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  9. 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA 9 10.8 4.02 2012,046 116,64 10 5.8 6.74 1811,657 33,644. Hallar el grafico Ii VS I2 n Ii I2 Ii * i2 I i2 1 6557,8955 2580.64 16923567.44 43005993.39 2 5688,377 2097.64 11932167.13 32357632.89 3 4878,294 1664.64 8120603.32 23797752.35 4 4263,8729 1281.64 5464750.06 18180612.11 5 3582.7173 948.64 3398708.94 12835863.25 6 3060.8904 665.64 2037451.09 9369050.04 7 2641.2044 432.64 1142690.67 6975960.68 8 2160.0067 2160.0067 4665628.94 4665628.94 9 2012.046 2012.046 4048329.11 4048329.11 10 1811.657 1811.657 3282101.09 3282101.09SUMA 36656.9612 15655.19 61015997.97 158518923.85 FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  10. 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA 7000 mometno de inercia (Kg.cm2) 6000 5000 4000 y = 1.8647x + 1787.7 3000 2000 1000 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 distancia 2 (cm2 )5.- Del grafico , determinamos IGy MDe la ecuación :I = IG + Ml2Donde :M = 1.8647 KgIG=1787.7 Kg.cm26.Comparando IG con la formula :IG = M( L2+b2 )b=3.8 cmL =110 cm FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  11. 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAM =1.865 KgEntonces :IG = 1882.79 Kg.cm2¿QUE ERR0R EXPERIMENTAL SE OBTUVO? % ERROR IG = X 100 % 5%Esto se debe a que la barra no es homogénea sino que tiene agujeros lo cualdisminuye su Momento de Inercia teorico.¿Qué puede decir acerca de la masa ? % ERROR M = X 100% ≈ 0.016%También vemos que la masa es ligeramente menor a la teórica , todo es debidoa los 21 agujeros que presenta nuestro cuerpo rígido7. En este caso hallaremos el equivalente al péndulo simple del agujero #5.T5 = 2πT5 =1.599 s FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  12. 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA g =9.81 m/s2Entonces : = 63.53cm8. Ecuación 14.1La figura se muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccionalrededor de un eje que pasa por el punto O . En la posición de equilibrio elcentro de gravedad esta directamente por debajo del pivote ; en la posiciónmostrada en la figura el cuerpo esta desplazado del equilibrio un angulo θ queusamos como coordenadas para el sistema . La distancia de O al centro degravedad es d , en momento de inercia del cuerpo alrededor del eje rotación esI y la masa es m .Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra , el peso mgcausa un momento de torsión de restitución . FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  13. 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA τ= -(mg )(dsenθ)El signo negativo indica que el momento de torsión es horario si eldesplazamiento es antihorario y visceversa.Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio. Elmovimiento no es armonico simple porque el momento de torsión τ esproporcional al senθ por θ en radianes , y el movimiento es aproximadamentearmonicosimple.Entonces τ=-(mgd)La ecuación del movimiento es , así que :De ahí vemos que la frecuencia angular esta dada por : FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  14. 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA =La frecuencia f es 1/2π veces esto ,y el periodo T es :ECUACION 14.2 :El momento de inercia para un sistema de n partículas con respecto de un eje de giro esSi el cuerpo es tal que su masa esta distribuida en forma continua ,subdividimos su masa enelementos infinitesimales dm ubicados a una distancia r del eje de rotación .esto significa que elmomento de inercia esta dado por : dmEn el diagrama que se presenta a continuación ,se da a conocer la ubicación del elemento demasa dm ,su ubicación relativa a los ejes (ubicados en el centro de masa y en P ,respectivamente). FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  15. 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAEl lector se da cuenta de forma inmediata que la separación entre los ejes es constante ,en estecaso se simboliza con la letra a:La figura representa un cuerpo continuo ubicado en el plano de la hoja ,donde el eje z pasa por elcentro de masa del cuerpo .esto significa que las coordenadas del centro de masa son dadas por: =0 =0 =0Las coordenadas del elemento de masa dm son : X= y=r z=0Las coordenadas del punto P son : X=a y=0 z=0Por P pasa otro eje de giro perpendicular ala hoja y paralelo al eje Z . El trazo CP =a . El momentode inercia del cuerpo con respecto al eje Z que pasa por el centro de masa es : =El momento de inercia del cuerpo con respecto de un eje que pasa por P y que es paralelo al eje zdel centro de masa es : FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  16. 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIADe la figura y aplicando el teorema del coseno para un triangulo ,que relaciona las dimensiones dedos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos ,se obtiene :De manera que :Dado que a =constante ,tenemos : =Por otro lado sabemos que por definición de coordenadas del centro de masa : = donde M =De manera que : FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  17. 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAY puesto que hemos dicho que el centro de masa tiene coordenada .Tenemos :De manera que : = +9. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS:  El cálculo de momento de inercia para cuerpo que no presenta geometría conocida ,es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico .  En un péndulo físico ,cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad ,su periodo disminuye y luego aumenta .  En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados ,para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple ) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado ).  En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica , utilizando previamente el periodo experimental .  En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico hechas en clase.  En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no consideramos en los resultados como la temperatura ,la fuerza de fricción del aire .  El momento de inercia obtenido con la grafica vs , varia con respecto al momento de inercia obtenido con los datos medidos en el laboratorio ,esto se debe por los valores aproximados de la formula periodo – inercia ,y también en los valores aproximados en los cálculos de potencia para hallar los coeficientes de la función Lo mismo ocurre con la masa de la barra .  El periodo del movimiento es independiente de la masa ya que en la formula dada FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  18. 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIA = reemplazando del momento de inercia la masa del péndulo se cancela ,porlo tanto el periodo no depende de la masa sino de la longitud del eje al punto en que lamasa esta situada .  COLES METER Einstein y el nacimiento de la gran ciencia, Editorial GEDISA 2005.  HALLIDAY ,David y RESNICK ,Robert .Física .Parte 2 .Editorial CESCA .México 1974.  SERWAY. Física .Tomo II EDITORIAL McGraw Hill .Tercera Edición .México ,1993 .  FIGUEROA ,Douglas .Física .Sistema de partículas .Unidad 3 .Editorial Italgrafica Caracas ,1995.  http://es.scribd.com/doc/74223273/Pendulo-Fisico-y-Teorema-de-Steiner  http://es.scribd.com/doc/13904690/laboratoriopendulo-fisico  http://es.scribd.com/doc/93240891/Infome-Fisica-2-N%C2%B0-1 http://www.monografias.com/trabajos7/teste/teste.shtml  http://www.google.com.pe/imgres?q=pendulo+fisico&start=175&hl=es&sa= X&biw=1280&bih=935&tbm=isch&prmd=imvnsb&tbnid=tva2Qumn4L8IrM:&i mgrefurl=http://dc281.4shared  http://www.google.com.pe/imgres?q=pendulo+fisico&start=257&hl=es&sa= X&biw=1280&bih=935&addh=36&tbm=isch&prmd=imvnsb&tbnid=ASSHiPF eHfRrBM:&imgrefurl=http://hype FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1
  19. 19. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PÉNDULO FÍSICO INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL 1

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