1. Algoritmo de karatsuba
EDWIN OSUNA MAHECHA
MARIA FERNANDA
YISEL TRIGOS

2. Historia del Algoritmo karatsuba
El procedimiento estándar para multiplicar dos
números de n dígitos requiere un número de
operaciones elementales proporcional a n2, o Θ(n2) en
la Notación O grande. En 1952, Andrey Kolmogorov
intentó probar que el algoritmo clásico era óptimo
asintóticamente, queriendo demostrar así que
cualquier algoritmo para esta tarea
requeriría Ω(n2) operaciones elementales.
En otoño de 1960, Kolmogorov organizó un seminario
acerca de problemas matemáticos de cibernética en
la Universidad Estatal de Moscú, donde planteó su
suposición de Ω(n2) y otros problemas de complejidad
computacional.

3. Historia del Algoritmo Karatsuba
En una semana, Karatsuba, un estudiante de 25 años, encontró
un algoritmo divide y vencerás que multiplicaba dos números de
n dígitos en operaciones elementales, refutando así la
suposición inicial de Kolmogorov. Kolmogorov se sintió muy
desilusionado por tal descubrimiento, y lo hizo público en el que
sería su siguiente y último encuentro del seminario.
El método fue publicado en 1962, en la revista científica
soviética Proceedings of the USSR Academy of Sciences. El
artículo había sido escrito por Kolmogorov, posiblemente en
colaboración con Yuri Ofman, pero nombraba a "A. Karatsuba y
Yu. Ofman" como los autores. Karatsuba sólo se dio cuenta de la
publicación cuando recibió una copia del artículo por parte de la
editorial de la revista.

4. Algoritmo karatsuba
El algoritmo de Karatsuba es un procedimiento
para multiplicar números
grandes eficientemente, que fue descubierto
por Anatolii Alexeevitch Karatsuba en 1960 y
publicado en 1962.El algoritmo consigue reducir
la multiplicación de dos números de n dígitos a
como máximo multiplicaciones de un
dígito. Es, por lo tanto, más rápido que el
algoritmo clásico, que requiere n2 productos de
un dígito. Si n = 210 = 1024, en particular, el
cómputo final exacto es 310 = 59.049 y (210)2 =
1.048.576, respectivamente.

5. Algoritmo karatsuba
El paso básico
El paso básico del algoritmo de Karatsuba es una fórmula que nos
permite calcular el producto de dos números grandes x e y usando tres
multiplicaciones de números más pequeños, cada uno con más o menos
la mitad de los dígitos de x e y, más algunas sumas y desplazamientos de
dígitos.
Supongamos que x e y están representados como cadenas de n dígitos
en alguna base B. Para cualquier entero positivo m menor que n, uno
puede dividir
los dos números dados de la manera siguiente:
x = x1Bm + x0
y = y1Bm + y0
donde x0 e y0 son menores que Bm. El producto es, entonces:
xy = (x1Bm + x0)(y1Bm + y0)
= z2 B2m + z1 Bm + z0
donde
z2 = x1y1z1 = x1y0 + x0y1z0 = x0y0

6. Algoritmo Karatsuba
Estas fórmulas requieren cuatro multiplicaciones. Karatsuba
observó que podemos calcular xy en sólo tres multiplicaciones, por
el coste de unas sumas adicionales:
Supongamos z2 = x1y1
Supongamos z0 = x0y0
Supongamos z1 = (x1 + x0)(y1 + y0) − z2 − z0
ya que
z1 = (x1y1 + x1y0 + x0y1 + x0y0) - x1y1 - x0y0 = x1y0 + x0y1
Si y1 = 0, sólo hay que realizar dos multiplicaciones puesto que:
z2 = 0
z0 = x0y0
z1 = x1y0

7. Ejemplo
Digamos que queremos calcular el producto de 1234 con
5678. Elegimos la base 10 (B = 10) y m = 2. Entonces
tenemos:
12 34 = 12 × 102 + 34
56 78 = 56 × 102 + 78
z2 = 12 × 56 = 672
z0 = 34 × 78 = 2652
z1 = (12 + 34)(56 + 78) − z2 − z0 = 46 × 134 − 672 − 2652 =
2840
resultado = z2 × 102×2 + z1 × 102 + z0 = 672 × 10000 + 2840
× 100 + 2652 = 7006652