1. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
POLITEKNIK PORT DICKSON
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER
PENGAMIRAN
dy
Proses mencari y apabila diberi disebut pengamiran.
dx
 Pengamiran ialah proses songsang bagi pembezaan
dy
= f ′(x)  kamirkan f ′(x) utk dapatkan y  ∫ f ′(x)dx
dx
 Pengamiran Tak Tentu.
1. Darab dengan indeks x 2.Kurangkan
indek sebanyak 1
f’(x) = 2 * 4x2-1
y = 4x2 8x
3. Tambah indeks x
sebanyak 1
8x 1+1
∫ 8x dx = 2
4. Bahagi dengan
indeks baru
 Pengamiran Fungsi Algebra Asas
Rumus Kamiran xn Tambah indeks x sebanyak 1
x n+1
∫ x dx = n + 1 + c dengan syarat n ≠-1
n
Tambah
Bahagi dengan pemalar c
Rumus Kamiran ax indeks baru
n
Tambah indeks x sebanyak 1
June/JMSK/PPD/750621
1

2. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
ax n+1
∫ ax dx = n + 1 + c dengan syarat n ≠-1
n
Tambah
Bahagi dengan pemalar c
indeks baru
 Contoh Soalan
1.
4x 2
∫ 4x dx = + c = 2x 2 + c
4. ∫ − 23 dy = −23y + c
2
∫
3
7x 7 x4 7x 4 5. 10 dz = 10z + c
2. ∫ dx = × +c = +c
2 2 4 8
t6 5k 2
3. ∫ t dt =
5
+c 6. ∫ 5k dk = +c
6 2
 Pengamiran Hasil Tambah & Hasil Tolak
Fungsi lebih drpd byk fungsi lain, kamirkan setiap fungsi satu demi satu.
a) Pengamiran hasil tambah  ∫[p(x) + q(x)]dx = ∫ p(x)dx + ∫ q(x)dx
b) pengamiran hasil tolak 
∫ [p(x) − q(x)]dx = ∫ p(x)dx − ∫ q(x)dx
Contoh:
a. ∫ [2x + 3]dx = ∫ 2x dx + ∫ 3 dx
2x 3 Tambah satu
= + 3x + c pemalar sahaja
3
2t 2t
b. [3t − ∫ ] dt = ∫ 3t5 dt − ∫ dt
5
3 3
3t 6 2t 2
= − +c
6 3×2
t6 t 2
= − +c Tambah satu
2 3 pemalar sahaja
∫ ∫
c. (3x − 2)(2x + 1) dx = [6x − x − 2] dx
2
Kembangkan utk mendapat
June/JMSK/PPD/750621
2

3. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
∫
= 6x dx − x − 2 dx ∫ ∫
2
6x 3 x 2
= − − 2x + c
3 2
x2
= 2x 3 − − 2x + c
2
4x 3 − 2x 5 4x 3 2x 5
d. ∫ x dx = ∫ [
x
−
x
] dx Bahagikan setiap sebutan
pengangka dengan x
= ∫ 4x 2 dx − ∫ 2x 4 dx
4x 3 2x 5
= − +c
3 5
 Pengamiran Melalui Penggantian
∫(2x − 3)
5
Cari, dx
Gantikan (2x-3)
dengan u
Penyelesaian : anggap u = 2x – 3.
du du
Maka, = 2 ⇒ dx =
dx 2
 du 
∫(2x − 3) dx = ∫ u5 
5

 2  Gantikan dx dengan
1
= ∫ u5du
2
1 u5+1
Ganti semula = × +c
u = (2x-3) 2 5 +1
(2x − 3)6
= +c
2×6
(2x − 3)6
= +c
12
Contoh :
June/JMSK/PPD/750621
3

4. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
∫ (3x + 5) dx
6
a. Cari kamiran bagi Gantikan
(3x+5) dengan
Anggap : u = 3x + 5
du du
= 3 ⇒ dx =
dx 3
Gantikan dx dengan
du
∫ (3x + 5) dx = ∫ u
6 6
3
1  u7 
=  +c
3 7 
 
Gantikan semula
u dengan 3x + 5
(3x + 5)7
= +c
21
 Rumus-Rumus Melalui Kaedah Penggantian
Tambah indeks n
sebanyak 1
Rumus Kamiran (ax+ b) n
( ax +b )n+1 + c ,
∫ ( ax +b) dx = a(n +1)
n
n ≠−1
didarab dengan pekali x pemalar c
Bahagi dengan indeks baru Tambah
(2x + 1) 2 (3x − 4)3
a. ∫ (2x + 1) dx = ∫ (3x − 4) dx = +c
2
+c b.
2× 2 3×3
(2x + 1)2 (3x − 4)3
= +c = +c
4 9
(4t + 7)5 (3k − 1)−1
∫ (3k − 1) dk =
−2
∫(4t + 7) dt =
4
+c +c
4 ×5 3 ×(−1)
c. d.
(4t + 7)5 (3k − 1)−1
= +c =− +c
20 3
 PENGAMIRAN FUNGSI LOGARITHMA, TRIGONOMETRI & EKSPONEN
June/JMSK/PPD/750621
4

5. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
1
 Kamiran Fungsi Salingan x, ;
x
Semua nilai
mesti +ve
utk semua nilai x 
1
 ∫ x dx = ln x + c
1 1
 ∫ (ax +b )dx = a ln ax +b +c
1 f' ( x )
 ∫(ax +bn
dx = ∫
)
f(x )
dx
 Contoh
a) 1 1 1 b) −3 1
∫ 2x dx = 2 ∫ x dx ∫ x
dx = −3∫ dx
x
1 = −3ln x + c
= ln x + c
2
c) 1 1 1 d) 1 1
∫ − 5x dx = − 5 ∫ x dx ∫ 2t + 3 dt = 2 ln 2t + 3 + c
1
= − ln x + c
5
e) 1 1 f) 1 1
∫ 5 - 2x dx = − 2 ln 5 - 2x + c ∫ 5x + 2 dx = 5 ln 5x + 2 + c
g) x h) p4
∫ x 2 + 3 dx ∫ p5 + 3 dp
katakan f ( x ) = x 2 + 3 Tulis semula
katakan f ( x ) = p 5 + 3 Tulis semula
dalam
f' ( x ) = 2x bentuk
f' ( x ) = 5p 4 dalam
bentuk
maka maka
x 1 2x
∫ x 2 + 3 dx = 2 ∫ x 2 + 3dx p4
∫ p5 + 3
1 5p 4
dp = ∫ 5 dp
5 p +3
1
= ln x 2 + 3 + c 1
2 = ln p 5 + 3 + c
5
 Kamiran Fungsi Trigonometri
June/JMSK/PPD/750621
5

6. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
1. ∫ sin x dx = −kos x + c
2. ∫ kos x dx = sin x + c
∫ sek x dx = tan x + c
2
3.
1
4. ∫ sin ax dx = − a kos ax + c
1
5. ∫ kos ax dx = a sin ax + c
1
∫ sek ax dx = tan ax + c
2
6.
a
1
7. ∫ sin (ax + b) dx = − a kos (ax + b) + c
1
8. ∫ kos (ax + b) dx = a sin (ax + b) + c
1
∫ sek (ax + b) dx = tan (ax + b) + c
2
9.
a
 Contoh:
a)
∫
− 3 kos x dx = −3 kos x dx ∫
= −3 sin x + c
b) 2
sek x 1
∫ 2 dx = 2 sek x dx
2
1
= tan x + c
2
c)
∫ 2 kos 4x dx = 2∫ kos 4x dx
1
= 2• sin 4x + c
4
1
= sin 4x + c
2
d) x 1
∫ kos 3 dx = ∫ kos 3 xdx
1 1
= sin x + c
1 3
3
1
= 3 sin x + c
3
June/JMSK/PPD/750621
6

7. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
e) 1 1
∫ 2 sin (3k + 1) dk = 2 ∫ sin (3k + 1) dk
1 1
= • − kos (3k + 1) + c
2 3
1
= − kos (3k + 1) + c
6
f)
∫ 5 sek (1- 3x) dx = 5∫ sek 2 (1- 3x) dx
2
1
= 5 • − tan (1- 3x) + c
3
5
= − tan (1- 3x) + c
3
g) sin x
∫ tan x dx = ∫ kos x dx
Tulis semula
katakan f ( x ) = kos x dalam
f' ( x ) = −sin x
bentuk
maka
sin x - sin x
∫ kos x dx = ∫ kos x dx
= − ln kos x + c
h) kos x
∫ kot x dx = ∫ sin x dx
katakan f ( x ) = sin x
Tulis semula
dalam
f' ( x ) = kos x
bentuk
maka
kos x kos x
∫ sin x dx = ∫ sin x dx
= ln sin x + c
 Pengamiran Melalui Penggantian – Identiti Trigonometri
 Jika soalan trigo yang mempunyai kuasa maka penyelesaian masalah mesti
menggunakan identiti trigo.
 Langkah-langkah penyelesaian masalah
1. Tukar ke bentuk yg boleh dikamirkar dgn menggunakan identiti trigo. –
pilih identiti trigo yg sesuai
2. salin balik soalan yg telah ditukat bentuk dan selesaikan.
June/JMSK/PPD/750621
7

8. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
a)
∫ kos 3x dx Diketahui : kos 2A = 2kos 2 A − 1
2
1 Gantikan : A = 3x
1
= ∫ (kos 6x + 1)dx kos 2(3x) = 2kos2 3x − 1
2
1
[
= ∫ kos 6x dx + ∫ 1 dx
2
] 2kos2 3x = kos 2(3x) + 1
kos 2(3x) + 1
kos2 3x =
1 1  2
=  sin 6x + x  + c
2 6  1
= (kos 6x + 1)
1 1 2
= sin 6x + x + c 2
12 2
b) 1
∫ tan 3x dx Diketahui : sek 2 A = 1+ tan2 A
2
Gantikan : A = 3x
= ∫ (sek 3x − 1) dx
2
sek 2 3x = 1 + tan 2 3x
= ∫ sek 3x dx − ∫ 1 dx
2
tan 2 3x = sek 2 3x - 1
1
= tan 3x − x + c 2
3
c) x Diketahui : kos 2A = 1 − 2sin 2 A
∫ sin
2
dx
3 2 sin 2 A = 1 − kos 2A
1 2 1 − kos 2A
= ∫ (1− kos x)dx sin 2 A =
2 3 2
1 2 1
= ∫ (1− kos x)dx = (1 − kos 2A)
2 3 2
1 2  x
=  ∫ 1 dx − ∫ kos x dx  Gantikan : A =
2 3  3
x 1 2
1 1 2  sin 2 = (1 − kos x)
= x − sin x  + c 3 2 3
2 2 3 
 3 
1 3 2 
=  x − sin x  + c
2 2 3 
1 3 2
= x − sin x + c
2 4 3
 Kamiran Fungsi Eksponen
∫e dx = e x + c
x
1.
1
2. ∫ e ax dx = e ax + c
a
1 ax + b
∫ e dx =
ax + b
3. e +c
a
June/JMSK/PPD/750621
8

9. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
 Contoh:
a)
∫e dx = e x + c
x
b) 1 −4x
∫e
− 4x
dx = e +c
−4
c) 1
− x 1
1
− x
∫e 2
dx =
−1
e 2
+c
2
1
− x
= −2e 2 + c
d) 1 3x +5
∫ e dx = 3 e + c
3x + 5
Soalan Latihan
1. Cari setiap kamiran berikut.
3 2 x4 4 3
a. ∫ [ x + 4 x ]dx = + x +c
4 3
1 3 1
b. ∫ [3t 3 − 3 ]dt = t 4 + 2 + c
t 4 2t
2 2
c. ∫ [ 2 − 3]dx = − − 3x + c
x x
2. Nilaikan yang berikut:
3
a. ∫ [k 2 − 4k + 4]dk = k − 2k 2 + 4k + c
3
4 3
∫(2 z − 3) dz = z − 6 z 2 + 9 z + c
2
b.
3
2 + 4x 5
2
∫ x 2 dx = − x + x + c
4
c.
3. Nilaikan kamiran yang berikut:
a. ∫ 7dz = 7z +c
5
2 t
∫ 2t dt = 5
3
b. +c
10 10
c. ∫x 4
dx = −
3x 3
+c
∫ (6 x ) 9 2 2 3
d.
2
+ 9 x − x dx = 2 x 3 + x − x +c
2 3
4x3
∫ ( 2 x − 5) dz
2
e. = − 10 x 2 + 25 x + c
3
June/JMSK/PPD/750621
9

10. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
4. Tuliskan semula ungkapan berikut supaya ia boleh diselesaikan dengan
menggunakan rumus hasil tambah dan hasil tolak pengamiran.
a. (3x - 2)2 = 3 x 3 − 6 x 2 + 4 x + c
x 2 ( x − 1) 1 1
b. = 2
− +c
x 5
2x x
(k + 1)(k − 1) 1
c. 2
= k + +c
k k
5. Selesaikan:
3
∫ 4 + 3s ds = 4s + 4 s
3
a.
4
+c
49 3
∫ (6 − 7 x )
2
b. dz = 36 x − 21x 2 + x +c
3
Soalan Latihan
1. Dapatkan setiap kamiran berikut:
(2 x − 3) 5 (3z + 6) 4
∫ (2 x − 3) dx = ∫ (3z + 6) dz =
4 3
a. +c b. +c
10 12
(5 − 7t ) 6 3(4 x + 8) 4
c. ∫ (5 − 7t ) dt = − ∫ 6(4 x + 8) 3 dx =
5
+c d. +c
42 8
1 π π
e. ∫ (7 x − 2) dx = −
−3
14(7 x − 2) 2
+c f. ∫ (1 + 3t ) 2 dt = − 3(1 + 3t ) + c
1 1 −3 1
g. ∫ dx = − +c h. ∫ 2(3x + 5) 4 dx = 6(3x + 5) 3 + c
(4 x − 5) 3
8(4 x − 5) 2
a. Nilaikan kamiran berikut:
−1
a. ∫k
2
24
(1 − k 3 ) 8 + c
(1 − k 3 ) 7 dk =
∫ (3z − z ) (3 − 3z )dz = 3 (3s − s ) + c
3 3 2 1 2 3
b.
p2 +1
dp = 1 ( p 3 + 3 p ) 3 + c
2
c. ∫ 3 p3 + 3 p 2
June/JMSK/PPD/750621
10

11. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
PENGAMIRAN TENTU
Gantikan x = a
a disebut had bawah
b pengamiran dan b
∫a
f ( x ) = [ F ( x )]b = F (b) − F ( a )
a had atas pengamiran
Hasil pengamiran Gantikan x = b
CONTOH
2
Gantikan semua x dengan 2
2 x
a.
∫ 0
(x + 1) dx = [
2
+ x ]2
0
22
=( + 2) − (0 + 0)
2
=4 Gantikan semua x dengan 0
2
2 2x 3 3x 2 
∫ (2x − 3x) dx =  −
2
b. 
1
 3 2 1
 2 × 23 3 × 2 2   2 × 13 3 × 12 
= 3 − 2 − 3 − 2 
  
   
 16  2 3
=  − 6 −  − 
 3  3 2
1
=
6
2
2  x3 
c. ∫ (4x − x ) dx =  2x 2 −
2

−1
 3  −1
 23   (−1)3 
=  2 × 2 2 −  −  2 × (−1)2 −
 
 3 
  3  
 8  1
= 8 −  − 2 + 
 3  3
=3
June/JMSK/PPD/750621
11

12. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
SOALAN LATIHAN
3
a) ∫ 2
(x 2 − 5x) dx
3
3  x 3 5x 2 
∫ (x − 5x) dx =  −
2

2
 3 2 2
 33 5( 3) 2   23 5( 2 ) 2 
= −
3
− − 
 2  3
  2  
 27 45   8 20 
=  − − − 
3 2  3 2 
27  22 
=− −− 
2  3 
1 37
= −6 atau −
6 6
−1 x 4 + 5x
b) ∫ −2 x3
dx
−1
−1 x 4 + 5x
∫
−2 x3
dx = ∫ (x + 5x −2 ) dx
−2
−1
 x2 5 
= − 
 2 x  −2
 (−1)2 5   (−2)2 5 
= 2 − −
  2 − (−2) 

 (−1)   
1   5
=  + 5 −  2 + 
2   2
11 9
= −
2 2
=1
4
c) ∫ 2
(1− 3t)(1 + 2t) dt
4 4
∫ 2
(1− 3t)(1 + 2t) dt = ∫ ( 1− t − 6t 2 ) dt
2
4
 t2 
=  t − − 2t 3 
 2 2
 42   22 
= 4 −
 − 2(4)3  −  2 − − 2(2)3 
  
 2   2 
= −116
June/JMSK/PPD/750621
12

13. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
3 2x
d) ∫(3 0
− 3) dx
3
3 2x  2x 2 
∫ 0
( − 3) dx = 
3 3× 2
− 3x 
0
 2(3)2   2(0)2 
= 6 − 3(3)  − 
  6 − 3(0) 

   
18
= − 9 = −6
6
∫ ( 2x + 6x − 1) dx
3
2
e)
1
3
∫
1
3
( 2x + 6x − 1) dx =  3 + 2 − x 
2  2x 3 6x 2

 1
3
 2x 3 
= + 3x 2 − x 
 3 1
2 3  2 3 
=  ( 3) + 3( 3) − 3 −  (1) + 3(1) − 1
2 2
3  3 
2 
= [18 + 27 − 3] −  + 3 − 1
3 
8
= 42 −
3
118 1
= atau 39
3 3
f) Satu objek dicampakkan ke bawah daripada sebuah helikopter pada masa sifar (t=0).
Objek itu mempunyai halaju v=13 +10t meter per saat. Jika objek itu mencecah tanah
selepas 10 saat, apakah jarak helikopter daripada tanah pada masa t = 10 saat?
10
= ∫ ( 13 + 10t )dt
0
10
 10t 2 
=  13t + 
 5 0
[
= 13(10) + 5(10) 2 − 0 ]
= 630
June/JMSK/PPD/750621
13

14. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
KAMIRAN TENTU BAGI FUNGSI SELANJAR DALAM SELANG TERTUTUP [a, b]
Contoh:
5
Diberi ∫ 3
f(x) dx = 6 , nilaikan kamiran berikut.
a) 5 b) 5
∫ 3
3f(x) dx ∫ 3
( 2 f(x) − 3) dx
5 5 5
= 3∫ f(x) dx = 2 ∫ f(x) dx − ∫ 3 dx
3 3 3
= ( 2 × 6 ) − [ 3x ]
5
= 3×6 3
= 18 = 12 − (15 − 9)
I
Ingat! =6 dinilaikan
berasingan
HAD KAMIRAN TENTU YANG DISALING TUKARKAN
a b
∫b
f(x) dx = − ∫ f(x) dx
a
Apabila had kamiran disaling tukarkan,
kamiran itu bertukar tanda.
CONTOH :
5
Diberi ∫ 1
h(x) dx = 12 , nilaikan kamiran berikut:
a) 1 b) 1
∫ 5
h(x) dx ∫ 5
(8h(x) − 2x) dx
5 5 1
= − ∫ h(x) dx = −8 ∫ h(x) dx − ∫ 2x dx
1 1 5
= −12
Tukar tanda = (−8 × 12) − x 2 [ ] 1
5
= −96 − (1− 25)
− 72
June/JMSK/PPD/750621
14

15. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
Kamiran Tentu Bagi Fungsi Hasil Tambah
c b c
∫ a
f(x) dx = ∫ f(x) + ∫ f(x) dx
a b
CONTOH:
6
Diberi ∫ 2
f(x) dx = 5 , nilaikan kamiran berikut.
a) 6 b) 6
∫ 2
3f(x) dx ∫ (3f(x) + 2) dx
2
6 6
= 3∫ f(x) dx + ∫
6
= 3∫ f(x) dx 2 2
2 dx
2
= (3 × 5) + [ 2x ] 2
6
= 3×5
= 15 = 15 + (12 − 4)
= 15 + 8
I
Ingat!
= 23
dinilaikan
berasingan
CONTOH SOALAN
1 7 2 3
1. Jika ∫
−2
f(x) dx =
2
dan ∫ 1
f(x) dx =
2
, nilaikan yang berikut.
a. 1 2 b. 2
∫ −2
f(x) dx + ∫ 2f(x) dx
1 ∫
−2
f(x) dx
7 2 1
= ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
2
= + 2 ∫ f(x) dx −2
2 1 1
7 7 3
3 = +
= + 2  2 2
2 2
=5
13
=
2
1
=6
2
c. 1 1
∫ −2
f(x) dx − 2 ∫ f(x) dx
2
7  2
=  − 2  × − ∫ f(x) dx
2  1
7  3
=  − 2 × −
2  2
13 1
= atau 6
2 2
June/JMSK/PPD/750621
15

16. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
3 3
2. Nilaikan yang berikut jika ∫ 2
f(x) dx = −1 dan ∫ 1
g(x) dx = 4
a. 3 b. 3 3
∫ 2
(3f(x) − 1) dx 2( ∫ g(x) dx − ∫ f(x) dx)
1 2
3 3 3 3
= ∫ 3f(x)dx − ∫ 1 dx = 2 ∫ g(x) dx − 2 ∫ f(x) dx
2 2 1 2
= 3(−1) − [ x ] = 2(4) − 2(−1)
3
2
= −3 − (3 − 2) =8+2
= −3 − 1 = 10
= −4
PENGAMIRAN TENTU MENGGUNAKAN KAEDAH GANTIAN
a. 1
∫ x( x + 2 ) dx
2 3
KESIMPULANNYA
0
1. Andaikan U
Andaikan 2. Bezakan U
u = x2 + 2
3. dx jadikan tajuk
du
= 2x 4. gantikan nilai x dalam u
dx
du 5. kamirkan dan selesaikan
dx =
2x
Apabila x = 0 maka u = 0 + 2 = 2
Apabila x = 1 maka u = 1 + 2 = 3
}
Maka kamiran menjadi :
3 3
du 1 3
∫ x • u 2x = 2 ∫ u du
3
2 2
3
1 u4 
=  
2  4 2
1 34 24 
=  − 
2 4 4
1  81 16 
=  − 
24 4
65
=
8
June/JMSK/PPD/750621
16

17. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
6
3
b. ∫
1 t+3
dt
Andaikan
u=t+3
du
=1
dt
du = dt
Apabila t = 1 maka u = 1 + 3 = 4
Apabila t = 6 maka u = 6 + 3 = 9
Maka kamiran menjadi :
9 9
3 3
∫
4 t+3
dt = ∫
4 u
dt
9 −1
= 3∫ u du 2
4
9
 1
u2 
= 3 
1
 
 2 4
9
 1
= 32u 2 
 4
[
=6 9− 4 ]
= 6(3 − 2)
=6
CONTOH SOALAN :
1
∫ 2( 2x + 1)
3
1. dx
0
Andaikan
u = 2x + 1
du
=2
dx
du
dx =
2
Apabila x = 0 maka u = 2(0) + 1 = 1
Apabila x = 1 maka u = 2(1) + 1 = 4
June/JMSK/PPD/750621
17

18. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
Maka kamiran menjadi :
3 3
du
∫ 2 • u 2 = ∫ u du
3 3
1 1
3
 u4 
= 
 4 1
 34 14 
= − 
4 4
 81 1 
= − 
 4 4
= 20
3
4z
2. ∫ ( 2z
2
2
+ 1)
2
dz
Andaikan
u = 2z2 + 1
du
= 4z
dz
du
dz =
4z
Apabila z = 0 maka u = 2(2) 2 + 1 = 9
Apabila z = 1 maka u = 2(3) 2 + 1 = 19
Maka kamiran menjadi :
19 19
4z du 1
∫ u2 • 4z = ∫ u2 du
9 9
19
= ∫ u-2 du
9
19
 u-1 
= 
 -1  9
19
 1
= − 
 u 9
 1 1
= − + 
 19 9 
- 9 + 19
=
171
10
=
171
June/JMSK/PPD/750621
18

19. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
2
∫ t (5t + 1)dt
3 4
3.
-1
Andaikan
u = 5t4 + 1
du
= 20t3
dt
du
dt =
20t 3
Apabila t = -1 maka u = 5(-1)4 + 1 = 6
Apabila t = 2 maka u = 5(2)4 + 1 = 81
Maka kamiran menjadi :
81 81
du 1
∫ t •u =
20 ∫
3
3
u du
6
20t 6
81
1  u2 
=  
20  2  6
1  812 6 2 
= − 
20  2
 2
1  6561 36 
= − 
20  2
 2
1  6525 
=
20  2 
 
6525
=
40
1
= 163
8
3
k
4. ∫
0 k2 +1
dk
Andaikan
u = k2 + 1
du
= 2k
dk
du
dk =
2k
Apabila k = 0 maka u = 1
Apabila k = 3 maka u = 4
June/JMSK/PPD/750621
19

20. BAB 4 : Pengamiran
Matematik II (B 2001)
Maka kamiran menjadi :
3 4
k k du
∫0 k2 +1
dk = ∫
1
•
u 2k
1 −1
4
= ∫ u 2 du
21
4
 1
1 u2 
=  
2 1 
 2 1
4
1 1
= 2u 2 
2 1
4
 1
= u 2 
 1
[
= 4− 1 ]
= 2 -1
=1
SOALAN LATIHAN
1. Dengan menggunakan kaedah kamiran berhad, kamirkan setiap yang berikut:
∫ ( 2x − 3x ) dx
a) b)
∫ ( x + 1) dx
2 3
2
0 1
∫ ( 2x − x ) dx ∫ ( x − 3x ) dx
c) 0
2 d) 4
2
-2 2
∫ (kos x − x ) dx ∫ ( 2 + tan x ) dx
e) 0
2 f) 3
2
-2 0
2. Dengan menggunakan kaedah kamiran berhad, kamirkan setiap yang berikut:
2x ( x 2 + 3) dx
a) b)
∫ 3( 3x − x )
2 4 3
∫
4
dx
0 0
c) 0 6x d) 3 x
∫ (3x
-2 2
+ 5)
2
dx ∫
1
x2 - 2
dx
June/JMSK/PPD/750621
20